Méthodologies de synthèse de commandes de vol d’un avion souple
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Texte intégral
(2) 1. Introduction Les structures flexibles soulèvent de nombreux problèmes de commande et sont des applications particulièrement pertinentes pour évaluer les algorithmes et les techniques de synthèse de lois de commande. La nature fréquentielle des modes flexibles conduit à l’utilisation des techniques fréquentielles ( , ) qui sont bien adaptées pour prendre en compte des spécifications de “roll-off” nécessaires pour prévenir le “spill-over” sur les modes flexibles négligés dans le modèle de synthèse [BAL 94]. Il est également nécessaire de prendre en compte l’incertitude paramétrique sur les modes flexibles contrôlés (c’est-à-dire en dessous de la fréquence de coupure de la boucle de commande ). Les techniques de -synthèse [BAL 94] ou PRLQG (Parametric Robust LQG) [M.T 89] [ALA 96] sont adaptées à ce type de spécifications. Par contre, ces techniques fréquentielles ou quadratiques sont mal adaptées pour prendre en compte des spécifications temporelles ou modales (découplage) sur les modes rigides du système. Ce dernier point est particulièrement important en ce qui concerne les lois de commande de vol et plus particulièrement les spécifications de découplage roulis/lacet en vol latéral. C’est donc un problème de synthèse multiobjectifs. Dans [SAT 96], les auteurs proposent une approche intéressante qui combine un filtre estimateur et un gain de retour d’état calculé par les techniques modales. La combinaison des techniques modales et quadratiques est souvent évoquée dans les applications aéronautiques [JOS 98] [KUB 94] [LIV 96]. La forme standard dite “de passage” que nous proposons dans le cadre des synthèse et est une alternative intéressante au problème LQ inverse général.. .
(3) . . . . . Par ailleurs, il est intéressant, lors des études d’avant projet, de tester différents jeux de capteurs. Il faut donc pouvoir modifier le vecteur de mesures dans le modèle sans remettre en cause les réglages de la synthèse pour analyser directement l’influence du choix des capteurs sur le comportement en boucle fermée. Les schémas classiques de sensibilité mixte ou de “loop-shaping” ne sont pas adaptés à de telles contraintes. Le schéma de forme standard que nous présentons ici a été développé pour prendre en compte des spécifications modales, fréquentielles, de robustesse paramétrique et pour évaluer l’influence sur la synthèse de différentes configurations de capteurs. Enfin, un autre point important abordé dans cet article est celui des précommandes. Le retour dynamique de sortie est généralement calculé sur des spécifications modales, des spécifications de réjections de perturbations et des spécifications de robustesse. Or, les réponses aux ordres du pilote et l’allure des transitoires (spécifications temporelles) sont très importantes dans le cadre des commandes de vol et nécessitent une précommande. Nous proposons une approche novatrice de synthèse de précommandes dynamiques fondée sur la forme LQG équivalente ([ALA 99a]). Le lecteur trouvera également dans [FER 97] une technique de synthèse de précommande qui a donné sur cette application des résultats très intéressants. La première partie de ce papier rappelle brièvement les modèles utilisés et les spécifications du cahier des charges. La seconde aborde les problèmes de réduction.
(4) de modèles et propose une approche combinant la réduction équilibrée et l’analyse de la participation des différents modes flexibles sur le système rebouclé par la loi de commande “rigide” [MAD 98]. La troisième partie est consacrée à la synthèse robuste du retour de sortie. Deux synthèses sont présentées : la première est faite sur le modèle rigide et ne vise qu’à satisfaire les performances sur les modes rigides et la stabilité des modes flexibles, la seconde a pour objectif d’amortir les modes flexibles pris en compte dans le modèle de synthèse afin de satisfaire les spécifications de confort. Dans la dernière partie, la synthèse nominale est reformulée comme un correcteur LQG à deux degrés de liberté afin d’améliorer les réponses aux ordres pilote.. 2. Modèles et spécifications Les modèles utilisés pour cette étude sont des modèles linéarisés du mouvement latéral de l’avion souple autour de l’équilibre. Il s’agit d’un avion type gros porteur dans lequel la flexibilité a été volontairement dégradée pour évaluer la pertinence des techniques de synthèse de lois de commande sur un cas particulièrement critique. Les modèles se présentent sous forme de représentations d’état d’ordre 68 avec 3 entrées : 2 commandes (braquage des ailerons et braquage de la gouverne de direction ) et 1 entrée vent (perturbation) et 44 mesures : 4 mesures (accélération latérale , vitesse de roulis , vitesse de lacet
(5) , assiette latérale ) en 11 points de mesure régulièrement espacés sur le fuselage ( ). Le vecteur d’état se compose de :.
(6). – 4 états rigides (angle de lacet , vitesse de roulis , vitesse de lacet
(7) , angle de roulis ), – 36 états représentatifs des 18 modes souples modélisés entre et
(8) (coordonnées généralisées et ! , (" #$ )), – 20 états secondaires représentatifs de la dynamique des servo-gouvernes et des retards aérodynamiques (couplages aéro-élastiques), – 8 états sur l’entrée vent introduits pour modéliser la turbulence.. .
(9). Les modèles sont disponibles en 3 points de vol différents et 6 cas de chargement différents (correspondant à 6 répartitions de la masse à l’intérieur de l’avion), soit 18 modèles. Les différents résultats présentés dans ce papier ne porteront que sur 2 modèles en 1 point de vol (modèle “léger” noté &% et modèle “lourd” noté ). Nous ferons également référence aux modèles rigides correspondants ( % et ) dans les quels seuls les 4 états rigides ( (' )$ *+
(10) , .-0/ ) ont été conservés. La représentation d’état d’un modèle est notée :. . .
(11). . 21 . 354 . 7 . 6 . . 8 : 9. . . . [1]. Comme nous l’avons dit dans l’introduction, les spécifications sont très complètes et de natures différentes (temporelles, fréquentielles, modales, paramétriques). La liste.
(12) suivante résume ces différentes spécifications : – S1 : amortissement du roulis hollandais (voir figure 7 pour la signification des modes), – S2 : gabarit imposé sur la réponse temporelle à un échelon de consigne en , – S3 : gabarit imposé sur la réponse temporelle à un échelon de consigne en , – S4 : découplage des chaînes de roulis et de lacet, – S5 : aucune dégradation des amortissements des modes flexibles, – S6 : réduire autant que possible les pics de la réponse fréquentielle de l’accélé , ) pour accroître le confort des passagers, ration latérale à l’entrée vent ( – S7 : les performances précédentes doivent être robustes aux différents cas de chargement, – S8 : utiliser un nombre de mesures raisonnable (entre 4 et 10). Les spécifications modales et temporelles (S1) à (S4) sont relatives à la dynamique rigide de l’avion. Si l’on suppose le système rigide, les techniques modales sont particulièrement efficaces pour satisfaire ces spécifications, d’autant plus que nous disposons d’un nombre de sorties ( ) suffisant pour restituer un retour d’état rigide idéal par un retour de sortie statique. Nous ne détaillerons pas ici les techniques modales permettant de calculer un retour d’état assurant le placement exact des modes rigides. Le lecteur pourra examiner la référence [CHA 89] pour plus de détails. Un retour d’état rigide sur les 4 états rigides ( ) a donc été calculé sur le modèle % afin de satisfaire les spécifications modales suivantes :. . . – le mode de roulis hollandais est placé en
(13) + et est découplé de , – le mode de roulis pur est placé en
(14) et est découplé de , – le mode spiral est placé en
(15) et est découplé de .. La réponse temporelle présentée figure 6 (en noir) relative au modèle rigide % satisfait (S1) à (S4) et servira de référence pour apprécier les solutions proposées sur les modèles complets. Il s’agit des réponses des états rigides , et 1 et . On peut également vérifier sur cette
(16) à des échelons de consignes figure que les réponses obtenues sur (en gris) sont satisfaisantes (spécification de robustesse (S7)). Il n’y a donc pas vraiment de problèmes de robustesse si l’on se borne aux spécifications et aux modèles relatifs au comportement rigide de l’avion.. . . . . . . la commande réellement appliquée s’écrit :. 3 . . 9. 3. . "!#%$ "!#%$ & '. !. *)+. 9)(. [2]. -,. où est une matrice statique de précommande calculée pour assurer en régime permanent la . contrainte : 3 87:9; 3 3 !#%$ = /10. 24365. <. 7:9;. 9. (. >. 9. & '. . !#%$. 9. [3].
(17) Nous utiliserons également pour évaluer les différentes synthèses :.
(18) . obtenu en faisant – le lieu des racines du transfert de boucle varier le gain de boucle de 0 à 1 simultanément sur les deux chaînes de commandes et
(19) (voir figure 7 par exemple, les et les désignent les pôles en boucle ouverte et en boucle fermée respectivement), – les réponses fréquentielles en boucle fermée entre l’entrée turbulence et les accélérations à l’avant (* % ), au milieu (* ) et à l’arrière ( % % ) de l’avion pour évaluer le critère de confort passager par comparaison avec les réponses en boucle ouverte (voir figure 19 par exemple). Le problème peut donc être maintenant reformulé de la façon suivante : synthétiser une loi de commande satisfaisant les spécifications fréquentielles et modales sur les modes flexibles (S5) et (S6) et permettant de conserver au mieux les performances sur les modes rigides obtenues par le gain modal , le tout sous la contrainte de robustesse (S7) et la contrainte matérielle (S8).. . 3. Analyse du modèle et réduction Le nombre de mesures étant supérieur au nombre d’états rigides, il est facile de calculer le retour statique de sortie équivalent, au sens des moindres carrés, au retour d’état : 7 . [4] %
(20) 8 % . . .
(21) . . avec la notation de la pseudo-inverse : 4 4.
(22) . . 4. . /. % 4. / [5] 7 % et 8 % sont les matrices de sorties et de transmission directe du modèle % restreintes aux seules mesures utilisées. Si l’on ne considère que les 4 mesures , ,
(23) 7 et au point de mesure , on notera ces matrices % et 8 % et le gain résultant .. . . On peut alors évaluer les couplages entre la dynamique rigide et la dynamique flexible en traçant le lieu des racines de la boucle obtenue lorsque l’on applique ce retour de sortie sur le modèle complet 5% ou . Ainsi, les figures 7 à 10 représentent les lieux obtenus lorsque l’on utilise le point de mesure 6 (au centre de l’avion) et le point de mesure 1 (au nez de l’avion) pour les deux configurations massiques ( % et ). Ces figures mettent en évidence que, dans les deux cas, le retour statique de sortie calculé pour placer les modes rigides déstabilise les modes flexibles, mais aussi que les couplages dynamiques rigide / flexible sont moins prononcés si l’on utilise les mesures au centre de l’avion :. . . . . . – les branches issues des modes flexibles sont moins importantes, – le placement spécifié sur les modes rigides est nettement plus dégradé par les couplages dynamiques dans le cas des mesures prises au nez de l’avion ( % ), notamment dans le cas du modèle (cas “lourd”) où le mode de roulis hollandais devient instable (figure 10) alors que dans le cas des mesures prises au centre de l’avion,. . .
(24) les branches issues des modes rigides sont insensibles au cas de chargement. On retrouve donc ici que la position du point de mesure par rapport aux nœuds de vibrations est déterminante vis-à-vis de la stabilité des différents modes flexibles et des modes rigides. On notera également que certains modes, notamment le mode flexible numéro 2 2 , sont insensibles aux retours : ce sont des modes locaux quasiment ingouvernables par les commandes et
(25) qui devront être réduits dans le modèle de synthèse.. . Enfin, pour évaluer la représentativité des modèles réduits vis-à-vis des problèmes de commande, nous nous appuierons également sur cette analyse des couplages rigide / flexible : le modèle sera réduit tant que l’allure du lieu des racines obtenu avec le modèle réduit sera conservée. Il est important de réduire de façon découplée les modes flexibles et les modes secondaires. A partir d’une représentation bloc-diagonale réelle, les modes flexibles sont réduits par simple sélection, le sous-espace relatif aux modes secondaires est équilibré et tronqué. Les 4 modes rigides sont systématiquement conservés et les 8 états de turbulence sont éliminés car ingouvernables par les deux commandes et
(26) . Le modèle réduit de synthèse ainsi obtenu est noté . La figure 11 donne le lieu des racines obtenu après une réduction à l’ordre 2 de la dynamique secondaire (les états correspondants sont notés ' % - / ) et l’élimination des modes flexibles 2, 14, 15, 16, 17 et 18 du modèle % . Le modèle obtenu est donc d’ordre 30 associé au vecteur d’état :. .
(27). . .
(28). .
(29). (' / / & - / " ( . . [6]. A titre de comparaison, on donne figure 12 le lieu obtenu après une réduction équilibrée directe à l’ordre 30 du modèle complet % . On peut constater, par comparaison avec les figures 11 et 7, que la nature des couplages rigide / flexible est perturbée par cette réduction alors que le modèle réduit nominal est bien représentatif des phénomènes dynamiques jusqu’à la pulsation de
(30) , pulsation au-delà de laquelle des modes sensibles ont été négligés et devront être contrôlés en gain. Il faudra donc adjoindre au cahier des charges une spécification de roll-off pour prévenir le phénomène de spill-over sur ces modes négligés.. . . . Le nombre de modes sensibles basse-fréquence que l’on souhaite conserver dans le modèle de synthèse dépend fortement des objectifs de la loi de commande : – dans le cas d’une loi peu active sur les modes flexibles, on ne conservera que les premiers modes flexibles, voire aucun (voir section 4.3), – dans le cas d’une loi très active qui vise à amortir les modes flexibles situés dans une bande de fréquence donnée, il faudra conserver tous les modes sensibles dans cette bande plus quelqu’uns pour les effets de bord (voir section 4.4). . . Les modes flexibles sont classés par pulsations croissantes..
(31) . 4. Synthèse. multi-objectif d’un retour dynamique de sortie. 4.1. La forme standard de passage La forme standard de passage (Cross Standard Form) que nous détaillons dans cette section exploite la structure du correcteur LQG et plus généralement des correc teurs utilisant un observateur de l’état du système (par un gain d’estimation ) et un retour de l’état estimé (par un gain de commande ).. . . Considérons donc un système défini par la représentation d’état générale ( états, commandes, sorties) : 3 3 4 3 6 7 [7] 8 9 9 9 et la forme standard dite de passage, associée à ce système : 4 6 .
(32) [8] 7 8. .
(33). . . . .
(34). . . . où et désignent respectivement un gain de retour d’état et un gain d’estimation synthétisés pour satisfaire certaines spécifications par une4 technique appropriée 4 7 (modale, LQG, ...). Nous supposerons de plus que
(35) 6 et
(36) sont stables. Alors, les synthèses et menées sur la forme standard fournissent ) la même solution. Cette solution coïncide avec le correcteur LQG (noté : construit sur et et s’écrit : 3 354 3 7 8 6
(37)
(38). [9]
(39) 9 9 9 Justification : la représentation d’état de la forme standard rebouclée sur le correcteur , c’est-à-dire , s’écrit : 4 6
(40) 4 7 7 6
(41)
(42) [10]
(43) . . . . .
(44). . . . . . . . . .
(45). . . . . . . . . . . . . . . . Effectuons le changement de variable qui fait apparaître dans le vecteur d’état l’erreur d’estimation
(46) liée au filtre de K ALMAN : 3 3 3 .
(47) % avec et " [11] 9 9.
(48)
(49) !
(50) 9 La nouvelle représentation de # $% s’écrit alors : 4 6
(51) 4 6 7
(52) [12] .
(53).
(54).
(55).
(56). .
(57). . . . . .
(58) Nous pouvons donc constater que les états associés à l’erreur d’estimation sont ingouvernables par et que les états du système sont inobservables par . Le transfert entre et est donc nul : [13] ! $ . . et, par conséquent :. ! $ .
(59). . .
(60). ! $ .
(61) . . [14]. Ce correcteur est donc bien la solution optimale à ce problème de commande au sens de la norme 2 et au sens de la norme infinie.. 4.2. Utilisation pratique. . . Ce résultat peut être considéré comme une généralisation, aux cas des critères et , de la solution au problème dit LQ inverse soulevé dans les années 60 et 70 et qui consistait à retrouver le critère LQ dont la minimisation permettait de restituer un retour d’état donné. Cette forme standard de passage utilisée en tant que telle ne pré sente aucun intérêt puisqu’il faut connaître les gains et pour mettre en forme le problème de commande et retrouver finalement le correcteur LQG initial. Par contre, partant d’un retour d’état satisfaisant certaines spécifications modales ou temporelles relatives à certains états du système, elle peut être très utile pour amorcer une mise en forme qui sera complétée par des pondérations fréquentielles complémentaires.. . . . Dans notre application on dispose en fait d’un gain de retour d’état :.
(62) ' ,[15] du modèle réduit (équation 6) et calculé pour placer les quatre . relatif à l’état modes rigides. Le gain de Kalman n’est pas spécifié. La forme standard que nous allons exploiter est présentée figure 1 et se décompose de la façon suivante : . .
(63). . pour orienter la synthèse vers la solution – une sortie contrôlée % rigide de référence, – une sortie contrôlée qui permet de spécifier un “roll-off” d’ordre
(64) à partir de la pulsation , – des bruits de mesure % réglés marginalement faibles ( . ) car les mesures sont suffisantes pour estimer correctement les états rigides. Ce réglage entraîne des dynamiques rapides dans le correcteur que l’on peut réduire après la synthèse, – des conditions initiales sur les 4 états rigides ( #' ,- ).. .
(65). . . .
(66). . La sortie pondère en fait la dérivée à l’ordre
(67) de la commande . Cette formulation du “roll-off” présente l’intérêt de ne pas avoir à spécifier l’allure de la coupure.
(68)
(69) . w1. z2 z1. + +. . K w2. V. u. B. 1 s. + + +. C. + + +. y. A. D. Figure 1. Mise en forme pour les performances rigides et le “roll-off”. . comme cela est le cas avec les filtres passe-hauts habituellement sur le si introduits gnal de commande : le transfert direct en boucle ouverte entre et ' % s’écrit 3 / ' - / dont le tracé de la valeur singulière présente bien les caractéristiques de “roll-off” recherchées c’est-à-dire un gain de 1 en basse fréquence et une pente de , au delà de la pulsation . Enfin, on peut également se demander pour
(70) 6 quoi la spécification de “roll-off” n’a pas été introduite sur les bruits de mesures, ce qui aurait permis de ne conserver que la sortie régulée % et d’assurer parfaitement les spécifications modales sur les modes rigides (propriété de la forme standard de passage). La raison est simple: étant donné qu’il y a plus de mesures que de commandes et que le jeu de mesures utilisées peut être éventuellement modifié (4 à 10 mesures parmi 44), nous avons choisi d’introduire la spécification de “roll-off” sur les commandes 4 plutôt que sur les mesures afin de :. . . – réduire l’ordre de la forme standard (et donc du correcteur), – avoir un réglage indépendant du jeu de mesures utilisées, puisque le seul paramètre de réglage de la forme standard qu’il faudrait adapter à un éventuel nouveau jeu de mesures est la taille du bruit de mesure % dont le réglage est marginal ( ) et dont l’influence sur la synthèse est masquée par la réduction a posteriori des modes rapides du correcteur.. . . Ce calcul de principe ne tient pas compte des pôles rapides ( ( pseudo-dérivation pour des questions de réalisibilité. ! . '. "!. & $ $ $"&-&' . Sur la figure 1, il y a autant de filtres #' %. = = =. . . ) introduits dans la. que de signaux de commande (soit 2)..
(71) 4.3. Synthèse minimaliste. La synthèse minimaliste consiste à appliquer la forme standard précédente (figure 1) au modèle rigide % avec les 4 mesures au centre de l’avion ( ), soit : 3 4 3 4 6 6 % 7 7 % + 8 9 % 8 % 9. .
(72).
(73).
(74) .
(75). et à augmenter
(76) et réduire jusqu’à ce que le correcteur obtenu stabilise le modèle complet % . En fait, on réduit tant que les performances rigides ne sont pas trop dégradées puis on augmente
(77) si la valeur de obtenue est trop proche de la pulsation naturelle des modes rigides. Le choix :. .
(78).
(79).
(80) . . .
(81). .. . . conduit à une solution intéressante. Le correcteur obtenu est d’ordre 10 (4 + 2 3) et exhibe 4 valeurs propres très rapides (voir section précédente) que l’on réduit dans la base modale du correcteur (on adapte alors la transmission directe pour que le gain statique du correcteur soit conservé). Les valeurs singulières du correcteur d’ordre 6 finalement obtenu, noté , sont représentées figure 2 et confirment que la spécification de “roll-off” est bien satisfaite. Les analyses de ce correcteur sur le lieu des racines et en simulation sur les modèles complets sont présentées figures 13 et 14 respectivement :. . – sur le lieu des racines (figure 13), nous pouvons constater que la stabilité des modes flexibles est assurée. Les pôles du correcteur, repérés par des grises, sont proches des pôles rigides du système, – sur les réponses temporelles (figure 14), les performances rigides obtenues sont encore satisfaisantes. On notera toutefois, sur le modèle , une réponse de 5 à qui devra être corrigée par déphasage non-minimal en réponse à un échelon de une précommande dynamique (voir section 5) pour améliorer les qualités de vol.. . 4.4. Synthèse active La synthèse précédente n’a aucune action sur les modes flexibles, cela se traduit sur le lieu des racines par l’absence de branches issues des modes flexibles : ils sont à la même place en boucle ouverte et en boucle fermée. La synthèse minimaliste ne permet donc pas de réduire les pics sur la réponse fréquentielle du transfert entre la turbulence et les mesures accélérométriques et donc d’améliorer le critère de confort. Dans cette section, nous allons chercher à agir sur les modes flexibles ou plus. les simulations impliquant le modèle complet, sont représentées les réponses des mesures . Sur et au lieu des états rigides , et afin de visualiser la participation des modes , <. . flexibles.. . <. . .
(82) 60. 40. Singular Values (dB). 20. 0. −20. −40. −60. −80 −1. 0. 10. 1. 10. 2. 10. 10. Frequency (rad/sec). . Figure 2. Valeurs singulières de. exactement à amortir ces modes en boucle fermée. Nous allons pour cela relâcher la spécification de “roll-off” afin d’obtenir une commande active jusqu’à 3 Hz ; soit :.
(83).
(84). . .
(85)
(86). . . et prendre en compte, dans le modèle de synthèse, les modes flexibles sensibles dans cette bande de fréquences. Le modèle de synthèse correspond donc maintenant au modèle réduit d’ordre 30 issue de l’étape de réduction et dans lequel 12 modes flexibles ont été pris en compte (voir équation 6).. . Mais l’application directe de la forme standard 1 ne permet pas d’amortir les modes flexibles car les états flexibles ( et , " . $ ) ne sont pas pondérés dans les sorties contrôlées % et étant donné la structure du gain (équation 15). Il faut pour cela enrichir la forme standard selon la figure 3. La sortie vectorielle permet de pondérer directement les états dérivés des 12 modes flexibles et d’agir directement sur l’amortissement des modes flexibles par le biais d’une pondération statique 6 . A.N. diag . .
(87). .
(88). . On peut alors constater que la solution ainsi obtenue n’est pas robuste aux différents cas de chargement et ne supporte pas les variations sur les caractéristiques (fréquences, amortissements) des modes flexibles : le correcteur présente en fait des zéros sur les pôles flexibles du système. Cela traduit la tendance naturelle des techniques de synthèse optimales à inverser localement le système. Il faut donc spécifier dans la forme standard que le modèle est incertain par la prise en compte d’entrées perturbatrices et d’une pondération . Nous avons choisi pour cela de prendre en compte des variations sur les amortissements des modes flexibles : les 12 entrées . . . Les modes flexibles en dessous de la pulsation spécifiée pour le “roll-off” sont pondérés de façon identique, les modes juste au-delà de cette pulsation ne sont pas pondérés..
(89) . et les 12 sorties définies par les matrices et sont en fait le résultat de la modélisation sous forme LFT de ces variations paramétriques complétées respectivement des pondérations statiques (identique sur tous les modes) et .. .
(90) . . A.N.. . . La représentation sous forme LFT des variations additives 4 sur les7 amortissements des modes flexibles est obtenue de la façon suivante : soit , 6 , les blocs élémentaires relatifs au mode flexible numéro " dans la représentation bloc diagonale réelle normalisée 7 du modèle : 3 3 4 7 7 % 7 6 % 6 ' [16] - 6 9
(91)
(92) 9. . .
(93). .
(94). .
(95). alors la forme LFT s’écrit : . . .. .. ... .. %. . ... .. . . ... . . . . . ... .. .. .. ... .. .
(96).
(97).
(98). . . . . . . 7 % . . . 7. ... ... . . . .
(99).
(100) . . .. . .. .. .. . . . . . . . . .. .. ... .. 6 %. 6 . ... .. .. . .. . .. .. ... .. %. . ... .. .. . .. 2 . . . . On reconnaît ici la méthode PRLQG ([M.T 87], [ALA 99c]), exprimée sous forme standard, qui consiste à désensibiliser en entrée la synthèse en augmentant tant que les performances ne sont pas trop dégradées. Afin d’illustrer l’effet de ce paramètre de désensibilisation , nous proposons les analyses suivantes : – les lieux des racines présentés figures 15 (cas léger) et 16 (cas lourd) correspondent au réglage nominal. On note % le correcteur obtenu, – les lieux des racines présentés figures 17 (cas léger) et 18 (cas lourd) corres . (soit un dixième de la valeur nominale). On note pondent au réglage le correcteur obtenu.. .
(101). . . . . Normalisée signifie ici que parmi toutes 3 les représentations blocs diagonales réelles, on choi=. sit celle qui normalise la matrice à. 3. =. . 9. dans le cas monovariable. Dans le cas multiva-. riable, on choisit où désigne la colonne de la matrice relative à l’entrée 9 qui domine la gouvernabilité du mode ..
(102)
(103)
(104) . . . w1. z2. z1. + + K. w2. u. . M. B. + +. w3. V. + + +. . N. 1 s. C. + + +. z3. y. A. D. Figure 3. Mise en forme pour la commande active. On peut constater que dans le premier cas on introduit effectivement de l’amortissement sur les modes flexibles et que cette propriété est robuste au chargement alors que dans le second, elle est vérifiée sur le modèle de synthèse ( % ) mais ne l’est plus sur le modèle où la solution obtenue est en limite de stabilité autour des modes flexibles 1 et 3 (voir figure 18).. . . . Les réponses en confort de la solution nominale % sont présentés figures 19 et 20. On peut également constater que l’atténuation en boucle fermée des pics dominants est robuste au chargement. Enfin nous rappelons que le réglage de la forme standard obtenue (figure 3) est indépendant des mesures utilisées. Cette propriété est particulièrement intéressante pour ce problème où le jeu de mesures doit pouvoir être remis en cause. Les résultats qui sont présentés ici (figures 15 à 22) ont été obtenus avec un jeu de 6 mesures ( , , ,
(105) % ,
(106) % % , ) sélectionnées par une analyse de la sensibilité au chargement des participations modales sur les mesures [ALA 99d].. 5. Synthèse d’un correcteur à 2 ddls par la forme LQG équivalente La solution précédente est particulièrement intéressante pour ces propriétés de robustesse en performance en termes d’amortissement introduit sur les modes flexibles. Par contre, les réponses temporelles présentées figures 21 ne sont pas admissibles du fait du dépassement en , du déphasage non minimal sur en réponse à un échelon de et du temps de réponse trop lent en . Il faut donc synthétiser une précommande dynamique permettant de corriger ces défauts. Ce dernier point est un aspect.
(107) important et revêt une importance toute particulière dans le domaine des commandes de vol. La démarche que nous proposons ici consiste à reformuler le retour de sortie calculé précédemment comme un correcteur LQG sur un modèle dit embarqué puisqu’il sera intégré en vol selon la structure du correcteur présenté figure 4 (voir aussi [ALA 99a]). Nous avons choisi d’utiliser ici le modèle rigide comme modèle embarqué. L’ingouvernabilité des modes d’estimation des états rigides par l’entrée propre à la structure LQG entraîne un effet de précommande dynamique 8. Il n’est donc pas nécessaire d’introduire des dynamiques supplémentaires tel que nous aurions dû le faire avec une structure de commande où la partie précommande et la partie retour de sortie sont découplées. La structure que nous obtenons est dite à 2 degrés de liberté. . . paramètre Q e=0.
(108). + +u -. +. +. x. y. +. . -. . Système. + +. +. ^ x. . . . Estimateur. ^ x. Retour d’état. Figure 4. La paramétrisation de YOULA sur la structure LQG. . . . . et qui définissent entièrement le correcteur Le calcul des paramètres , est détaillé dans [ALA 99a]. Nous rappelons qu’il existe plusieurs solutions selon le 9 choix de la répartition 4 des valeurs propres de la boucle fermée entre 4 la dynamique 7
(109) de commande (spec
(110) 6 ), la dynamique d’estimation (spec ) et la 4 dynamique du paramètre de Youla (spec ). Le transfert entre et , c’est-à-dire la précommande, dépend directement de ce choix. L’éventail de solutions peut être réduit selon les considérations suivantes :. . . . . . – choisir un ensemble de valeurs propres auto-conjugées pour trouver une paramétrisation réelle, . . le signal. réellement appliqué s’écrit :. . . 3. "!#%$. '. &. "!#%$. 9. où. . est la matrice statique de. précommande calculée pour assurer le régime permanent désiré. ! . Il s’agit de la boucle fermée obtenue avec le correcteur et le modèle embarqué (c’est-à-dire le modèle rigide)..
(111) – une valeur propre ingouvernable dans le système doit être sélectionnée dans la dynamique de commande, – une valeur propre inobservable dans le système doit être sélectionnée dans la dynamique d’estimation, 4 7 – enfin, on choisit couramment la dynamique ) plus 4 d’estimation (spec
(112) rapide que la dynamique de commande (spec
(113) 6 ).. . . . . . Le correcteur nominal % a été préalablement réduit à l’ordre 20 (troncature dans la base équilibrée) puis mis sous forme LQG sur le modèle rigide d’ordre 4 (le paramètre de Youla est donc d’ordre 16). La répartition des valeurs propres que nous avons choisie est présentée sur la figure 5. La simulation obtenue est présentée figure 22 : nous pouvons constater que le dépassement sur est moins important, le déphasage non minimal sur a disparu et le temps de réponse en a été divisé par un facteur 2 (ce qui augmente par ailleurs l’excitation des modes flexibles). Le transitoire est maintenant conforme aux exigences requises pour les qualités de vol. 16. Control dynamics Estimation dynamics Youla dynamics Gr(s) dynamics. 14. 12. Imag Axis. 10. 8. 6. 4. 2. 0 −5. −4. −3. −2. −1. 0. 1. 2. 3. Real Axis. Figure 5. Distribution des valeurs propres (autour des modes rigides). 6. Conclusions Nous avons présenté dans cet article une approche fondée sur la forme standard pour la synthèse de lois de commande de vol latéral d’un avion souple. Les propriétés de la forme standard ont été utilisées pour faire apparaître des paramètres de réglage haut niveau permettant de maîtriser les compromis entre les différentes spécifications du cahier des charges en termes de robustesse et de performances. La notion de forme standard de passage (Cross Standard Form) a permis de prendre en compte les spéci-.
(114) . fications de découplage des chaînes de roulis et de lacet dans cette approche fréquentielle de la forme standard telle qu’elle est couramment utilisée pour les synthèses et . Enfin, le schéma de synthèse que nous proposons permet d’étudier l’influence des capteurs sans retoucher ses réglages. C’est certainement la propriété la plus intéressante de cette approche.. . La technique de mise sous forme LQG a permis de reformuler le correcteur obtenu comme un correcteur à 2 ddls à structure LQG sur le modèle rigide (modèle embarqué). La précommande dynamique associée à cette structure permet de maîtriser les transitoires des modes rigides sur les réponses temporelles aux ordres du pilote. La participation des modes souples sur ces réponses, bien que les caractéristiques de confort soient satisfaisantes, est encore trop importante (voir figure 22) mais ces premiers résultats sont encourageants pour appliquer cette technique sur des modèles embarqués plus représentatifs que le modèle rigide.. Remerciements Ces travaux ont été effectués en collaboration avec Aérospatiale Matra Airbus et avec le soutien du Service Programme Aéronautique (SPAé) de la Direction Générale de l’Armement (DGA).. 7. Bibliographie [ALA 96] A LAZARD M., C HRÉTIEN J., D U M. L., « Attitude control of a telescope with flexible modes », Dynamic and control of structures in space III, London (UK), 15-19 June 1996, Computational Mechanics Publications, p. 167-184. [ALA 99a] A LAZARD D., A PKARIAN P., « Exact oberserver-based structures for arbitrary compensators », Internationnal Journal of Robust and Non-Linear Control, vol. 9, 1999, p. 101-118. [ALA 99b] A LAZARD D., C HRÉTIEN J. P., Commande active des structures flexibles, SUPAERO (notes de cours), 1999. [ALA 99c] A LAZARD D., C UMER C., A PKARIAN P., G AUVRIT M., F ERRERES G., Robustesse et Commande Optimale, CEPADUES Édition, 1999. [ALA 99d] A LAZARD M., B UCHARLES A., F ERRERES G., M AGNI J. F., P RUDHOMME S., « Towards a global methodology for flexible aircraft control », Structural aspect of flexible aircraft control, Ottawa (CANADA), 18-20 October 1999, RTO-AVT, p. 25.1-25.10. [BAL 94] BALAS G., D OYLE J., « Control of lightly damped, flexible modes in the controller crossover region », Journal of Guidance, Control and Dynamics, vol. 17, No. 2, 1994, p. 370-377. [CHA 89] C HAMPETIER C., M AGNI J., « Analysis and synthesis of modal control laws », Rech. Aérospatiale, , 1989, p. 17-35. [FER 97] F ERRERES G., DARDENNE I., « LP synthesis of a lateral flight control system for a transport aircraft », Guidance, Navigation and Control Conference, vol. 1, New-Orleans, 11-13 August 1997, AIAA, p. 155-164..
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(116) 40. 40 flexible modes n.14 ... 18. 35. flexible mode n.13. 30. 30. 25. 25. Imag Axis. Imag Axis. 35. 20. 15. 20. 15. 10. 10 flexible mode n.2 flexible mode n.1. 5. 5. Dutch roll mode. aerodynamic lags. spiral mode. 0. Figure %. 7. Lieu. . des. 0. 0. 2. racines. de. 8. Lieu . . 35. 35. 30. 30. 25. 25. 20. 15. 10. 10. 5. 5. Figure % %. 9. Lieu. . des. 0. racines. 0. 2. de. des. −4. . −2 Real Axis. Figure 10. Lieu %. . 0. racines. 2. de. 20. 15. −2 Real Axis. −2 Real Axis. Figure 40. −4. −4. roll mode. 40. 0. . −2 Real Axis. Imag Axis. Imag Axis. . −4. des. 0. 2. racines de.
(117) 40. 35. 35. 30. 30. 25. 25 Imag Axis. 15. 15. 10. 10. 5. 5. −4. −2 Real Axis. Figure 11. Lieu . . des. 0. 0. 2. racines de. −2 Real Axis. βref step response. 1. β (deg). 2. 35. 1. 0 0. 30 r6 (deg/s). 0.5. 25. 5 10 βref step response. 0. −0.5. β (deg). 0.5. 10. r6 (deg/s). 0.5. 0. −4. . −2 Real Axis. Figure 13. Lieu
(118) %. des. 0. 2. racines de. 5 10 pref step response. 0. −0.5 0. 5. 2. 0. −0.5 0. non−minimum phase. 1. 5 10 βref step response. 0. −1 0 10. 5 10 pref step response. 5. 0 0. 5 10 pref step response. βref step response. 0. −1 0. φ6 (deg). −1 0. 20. 15. 0. Figure 12. Réduction équilibrée directe à l’ordre 30. 40. Imag Axis. −4. p6 (deg/s). 0. . 20. φ6 (deg). 20. 1. 5 10 pref step response. p6 (deg/s). Imag Axis. 40. 0.5. 5 time (s). . 10. 0 0. Figure 14. Simulation: (noir) et (gris). 5 time (s). . sur. 10. %.
(119) 40. 40. 35. 35. 30. 30. 25. 25 Imag Axis. Imag Axis. . 20. 15. 15. 10. 10. 5. 5. 0. −4. −2 Real Axis. Figure 15. Lieu
(120) % %. . des. 0. 0. 2. racines de. 40. 35. 35. 30. 30. 25. 25. 20. 15. 10. 10. 5. 5. −2 Real Axis. 0. des racines
(121) . Figure 17. Lieu
(122) % . 0. 2. de. −4. −2 Real Axis. 2. racines de. 0. des racines
(123) . Figure 18. Lieu
(124). des. 0. 20. 15. −4. −2 Real Axis. . 40. 0. −4. Figure 16. Lieu
(125) %. Imag Axis. Imag Axis. 20. 2. de.
(126) Ny /Vent. 1.5 1. 1. 0.4. 1. Ny /Vent. 2 0.6. 0.2 10. 20. 30. 40. 0.5 10. 50. 20. 30. Ny /Vent. Ny6/Vent. 0.2 0.1. 0.05 10. 20. 30. 40. 40. 50. 0.1 10. 20. 30 rad/s. 0.5. Ny /Vent. 0.4 0.3. 11. 11. Ny /Vent. 50. 0.2. 50. 0.4 0.2 10. 20. 30. 40. 0.2 0.1 10. 50. 20. 30 rad/s. rad/s. 0. −1 5 10 pref step response. 0. 0.5. 0 0. 5 10 βref step response. 1. 2 0. −2 0 10. 1. 0.5. . 10. 0 0. Figure 21. Simulation: (noir) et (gris). 5 time (s). 0.5. % . sur. %. 0. −1 0 2. 5 10 βref step response. 0. −2 0 10. 5 10 pref step response. 5. 0 0. 5 10 pref step response. 0. −0.5 0. 10. 5 10 pref step response. 0. −0.5 0. 5 10 pref step response. 0.5. 5 time (s). 5 10 βref step response. 0. −2 0. 5 10 pref step response. βref step response. −0.5. −1. 5. 0 0. 5 10 pref step response. 0. −0.5 0. 4. 1. p6 (deg/s). −0.5 0. −1 0. φ6 (deg). −2 0 0.5. 0. 0.5. p6 (deg/s). 5 10 βref step response. βref step response. φ6 (deg). 1. p6 (deg/s). 0 0. 2. β (deg). φ6 (deg). β (deg). 1. βref step response non−minimun phase. overshoot. 1. 5 10 pref step response. p6 (deg/s). 1. . r6 (deg/s). βref step response. . Figure 20. Réponse en confort de % sur - boucle ouverte (- -) et boucle fermée (–). β (deg). 2. . r6 (deg/s). . φ6 (deg). Figure 19. Réponse en confort de % sur % - boucle ouverte (- -) et boucle fermée (–). r6 (deg/s). 40. 0.3. rad/s. 0.6. β (deg). 50. 6. 0.15. r6 (deg/s). 40. rad/s. rad/s. 0.5. 5 time (s). 10. 0 0. 5 time (s). 10. Figure 22. Réponse du correcteur LQG équivalent à 2ddls.
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