Modélisation numérique de la guitare acoustique.

Texte intégral

(1)Modélisation numérique de la guitare acoustique. Grégoire Derveaux. To cite this version: Grégoire Derveaux. Modélisation numérique de la guitare acoustique.. Mathématiques [math]. Ecole Polytechnique X, 2002. Français. �pastel-00002585�. HAL Id: pastel-00002585 https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00002585 Submitted on 28 Jul 2010. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) ` THESE présentée a`. ´ L’ECOLE POLYTECHNIQUE pour obtenir le titre de. DOCTEUR EN SCIENCES spécialité. ´ ´ MATHEMATIQUES APPLIQUEES par Grégoire D ERVEAUX Sujet de la thèse :. Modélisation numérique de la guitare acoustique. Directeur de thèse : Patrick J OLY. Soutenue le 4 juin 2002 devant le jury composé de : Antoine C HAIGNE Dominique C HAPELLE Dominique H ABAULT Patrick J OLY Patrick L E TALLEC Serge P IPERNO Olivier P IRONNEAU Bernard R ICHARDSON. Examinateur Examinateur Examinatrice Directeur Examinateur Rapporteur Rapporteur Examinateur.

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(4) a` Soazig et Enora.

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(6) MERCI BEAUCOUP. Merci a` Patrick Joly de m’avoir accueilli au sein du projet Ondes a` l’I NRIA. Je ne sais pas si j’ai toujours su mesurer la chance que j’ai eue d’avoir e´té encadré par une personne dont l’incroyable gentillesse n’a d’égale que l’immense culture mathématique. Merci a` Antoine Chaigne d’avoir proposé ce sujet captivant. Merci de m’avoir initié avec une si grande patience a` l’acoustique musicale et au fonctionnement de la guitare. Merci a` Eliane Bécache d’avoir toujours e´té disponible, toujours avec le sourire, pour répondre a` mes petites questions. Merci a` Ian Solliec pour tout ce temps passé a` discuter dans notre bureau, a` deviser sur le sens des ding, bling et blang d’une guitare et d’autres sources de bruit. Merci a` Francis Collino pour ses remarques et son aide précieuses. Merci a` Fran¸cois Clément pour sa disponibilité permanente pour résoudre toute sorte de problèmes techniques et informatiques avec une telle sérénité. Merci a` Michel Kern, mon gourou en algèbre matricielle, pour son aide dans le choix bien difficile des bons algorithmes de résolution de problèmes linéaires. Merci a` Olivier Pironneau et a` Serge Piperno d’avoir accepté avec gentillesse d’être rapporteurs de ma thèse. Merci beaucoup de vous eˆtre plongés aussi rapidement dans les détails de ce manuscrit et de m’avoir fait part de vos remarques. Merci a` Patrick Le Tallec de m’avoir fait l’honneur de participer au jury de cette thèse. Merci a` Dominique Chapelle pour l’intérêt qu’il a toujours porté a` ce travail et pour ses remarques judicieuses. Je suis très heureux qu’il ait fait partie du jury de thèse. Merci a` Dominique Habault et a` Bernard Richardson d’avoir accepté de venir de si loin pour participer au jury de thèse. Merci a` Bernard Larrouturou pour m’avoir mis sur les rails de la recherche. Sa confiance et ses conseils m’ont bien aidé a` franchir le pas. Merci a` l’équipe multimedia de l’Inria Rocquencourt, en particulier a` Arghyro Paouri, pour l’énorme travail de réalisation d’un film d’animation. Merci pour sa patience, pour sa curiosité et pour les merveilleuses images qu’elle a réalisées. Merci a` Marie-Claude Bour et a` Yves Duval de m’avoir enseigné les mathématiques avec tant de qualité. Je ne les oublierai jamais. Merci aussi a` tous les membres des projets Ondes, Estime et Otto. Helena, Muriel, Leila, Claire, Clarisse, Thierry, Jean-Marc, Kevin, Sandrine, Houssem, Chrysoula, Benoit, Dolores, Wang, Vincent, Jeronimo, Abelaziz, Gilles, Sebastien, Isabelle, Fabrice, Jacopo, Hussein, Etienne, Christine, JeanDavid, Gary, Jacques, Jean, Jerome,... Merci d’avoir contribué a` la bonne ambiance qui règne dans le long couloir tordu du bâtiment 13..

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(8) ` TABLE DES MATIERES. Table des matières Introduction. 1. I Un modèle numérique de guitare. 9. 1. 2. 3. La guitare, une description et un modèle physique. 11. 1.1. Un mot sur le fonctionnement de la guitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.2. La corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.3. La table d’harmonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 1.4. L’équation des ondes acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 1.5. Un modèle pour la guitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. Analyse mathématique du modèle. 41. 2.1. Le théorème de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 2.2. Solution forte pour le modèle de guitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 2.3. Identité de l’énergie – Estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. Présentation générale de la méthode de résolution numérique. 61. 3.1. Présentation des difficultés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 3.2. Démarche pour e´ tablir un schéma de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 3.3. Choix effectués pour la résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. II Résolution numérique de l’équation de plaque de Kirchhoff-Love. 69. 1. Une formulation mixte de l’équation de plaque orthotrope de Kirchhoff-Love. 71. 1.1. Les inconvénients de la formulation variationnelle naturelle . . . . . . . . . .. 72. 1.2. Survol de quelques méthodes existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77. vii.

(9) ` TABLE DES MATIERES. 2. 1.3. Une nouvelle formulation mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. 1.4. Formulation variationnelle du problème amorti . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. Discrétisation spatiale de l’équation de plaque orthotrope de Kirchhoff-Love. 95. 2.1. 96. 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discrétisation spatiale du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discrétisation spatiale du problème

(10) et

(11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation des espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation de l’espace . 2.6. A propos d’estimations d’erreurs concernant le problème semi-discret . . . . 128. 2.2 2.3 2.4. 3. 4. 5. Analyse de dispersion numérique des problèmes semi-discret. 97 99 107 107. 137. 3.1. Relation de dispersion du problème continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138. 3.2. Dispersion numérique du problème semi-discret . . . . . . . . . . . . . . . . . 139. 3.3. Courbes de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152. Discrétisation temporelle de l’équation de plaque. 163. 4.1. Forme général du problème semi-discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163. 4.2. Résolution par différences finies en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165. 4.3. Une autre approche : la résolution exacte en temps . . . . . . . . . . . . . . . . 186. 4.4. Comparaison des différentes approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198. Résultats numériques. 207. 5.1. Fréquences propres d’une plaque rectangulaire homogène isotrope encastrée. 207. 5.2. Fréquences propres d’une plaque rectangulaire hétérogène encastrée . . . . . 211. 5.3. Fréquences propres d’une plaque circulaire homogène isotrope encastrée . . . 214. 5.4. Comparaison des trois discrétisations en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216. 5.5. Troncature et fréquence de coupure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222. III Résolution numérique du modèle de guitare. 225. 1. 227. Analyse du couplage plaque-corde 1.1. Le problème non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228. 1.2. Le problème amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232. 1.3. Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 viii.

(12) ` TABLE DES MATIERES 1.4 2. 3. Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240. Analyse du couplage plaque-air. 259. 2.1. Avantages et inconvénients des méthodes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 260. 2.2. Une formulation en domaines fictifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264. 2.3. Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269. 2.4. Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276. Résolution du problème complet. 287. 3.1. Formulation variationnelle mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287. 3.2. Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288. 3.3. Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290. 3.4. Résolution du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294. 3.5. Complément : présentation d’un autre schéma possible . . . . . . . . . . . . . 299. 3.6. Une guitare a` 6 cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. 3.7. Aspects numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306. IV Résultats numériques. 309. 1. 311. 2. Expériences de validation 1.1. Validation de la méthode des domaines fictifs : le cas d’une boˆıte parallélépipédique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311. 1.2. Etude de convergence par raffinement de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . 313. 1.3. Influence des composantes modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319. 1.4. Fréquences propres d’une table d’harmonie de guitare non raidie . . . . . . . 319. Modèle numérique de guitare. 323. 2.1. Influence des raidisseurs et du chevalet sur les modes de la table d’harmonie. 324. 2.2. Spectres temps-fréquence des six cordes a` vide. 2.3. Admittance au chevalet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330. 2.4. Influence du rayonnement sur l’amortissement de la table . . . . . . . . . . . 333. 2.5. Les modes de cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336. 2.6. Le rayonnement du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337. 2.7. Visualisation des vibrations mises en jeu par la guitare . . . . . . . . . . . . . 341 ix. . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.

(13) ` TABLE DES MATIERES Bilan et perspectives. 343. Annexes. 345. A Le modèle de plaque mince de Kirchhoff-Love. 347. A.1 Le modèle e´ lastique tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 A.2 Les hypothèses de Kirchhoff-Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 A.3 Le modèle de plaque mince de Kirchhoff-Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 A.4 Equations locales du modèle de Kirchhoff-Love . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 B La problématique de la condensation de masse. 367. B.1 Un exemple : l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 B.2 Echec de la condensation de masse dans. . C Solutions stationnaires de l’équation de corde amortie. x. . . . . . . . . . . . . . . . . 370 375.

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(15) Introduction. Introduction Les enjeux de la construction d’une guitare La guitare classique est un instrument de musique a` corde pincée, descendant de la vihuela espagnole datant du XVI e siècle, elle-même d’origine antique. Elle e´ volua rapidement au cours des XVIIIe et XIXe siècles pour se stabiliser vers la fin de ce dernier sous sa forme actuelle.. F IG . 1: — a` gauche, une vihuela — a` droite une guitare classique Le propos de la guitare est d’amplifier le son extrêmement faible rayonné par une corde, a` l’aide d’un mécanisme acoustique. Les vibrations de la corde sont donc transmises a` la table d’harmonie, qui grâce a` sa large surface interagit plus efficacement avec l’air. En fait, lorsqu’on pince une corde de guitare, l’essentiel de l’énergie est dissipé au sein de la corde, et seule une toute petite partie d’entre elle est transmise jusqu’à nos oreilles. L’effort le plus remarquable des luthiers au cours des années de perfectionnement de cet instrument est certainement la recherche d’une plus grande puissance sonore. Dans ce but, le corps de la guitare a e´ té agrandie et la table d’harmonie affinée, pour favoriser sa mobilité. La masse des cordes a e´ té augmentée, ce qui a eu pour conséquence d’augmenter 1.

(16) Introduction leur tension, afin de conserver la même hauteur de note. Ces transformations fragilisant l’instrument, un système de barrage plus ou moins sophistiqué, réalisé a` l’aide de baguettes de bois dur collées sous la table de l’instrument a permis de garantir la solidité de la table, et en particulier la résistance a` la tension des six cordes. Cette contribution majeure est attribuée au luthier espagnol Antonio de Torres (1817 - 1892). Le travail du luthier consiste ainsi, entre autres, en la recherche d’un savant e´ quilibre entre les dimensions de la table d’harmonie et sa raideur, pour obtenir le meilleur rendement acoustique possible. Mais la qualité d’une guitare ne repose bien entendu pas sur le seul critère de la puissance sonore. L’amélioration de la justesse, l’homogénéisation du timbre, le faible bruit engendré par les vibrations de la table d’harmonie, la fiabilité mécanique dans le temps, le confort de l’exécution et l’esthétique sont e´ galement des e´ léments déterminants intervenant dans l’appréciation de la qualité d’un instrument. Celle-ci repose en outre sur des critères subjectifs qui dépendent de la sensibilité de chacun, ou encore du type de musique que l’on désire jouer. On ne peut donc pas parler d’une guitare idéale, dont la reproductibilité serait assurée par l’exécution d’un plan bien e´ tabli. Les luthiers cherchent ainsi en permanence a` faire e´ voluer la guitare pour obtenir une qualité sonore nouvelle et adaptée aux besoins de chacun. Pour cela une bonne compréhension du fonctionnement intime de l’instrument est nécessaire. Celle ci repose essentiellement sur leur expérience personnelle et la transmission des savoirs faire techniques.. Le contexte scientifique Dans ce contexte, le travail du chercheur en acoustique musicale est de contribuer a` une meilleure compréhension de la physique de l’instrument, afin de préciser les phénomènes vibroacoustiques mis en jeu. “L’un des défis des années a` venir réside probablement dans le développement de techniques d’optimisation et de prédiction qui devraient permettre aux luthiers d’avancer plus surement ˆ vers le but visé, sans eˆtre obligé de tâtonner dans le flou d’un empirisme total” (A. Chaigne [10]). L’étude présentée ici fait suite aux travaux initiés par Antoine Chaigne il y a une dizaine d’année au groupe acoustique de l’E NST sur l’élaboration de modèles physiques destinés a` la prédiction fine du comportement vibratoire des instruments de musique, appliquée en particulier a` la synthèse sonore 1 . La démarche générale adoptée consiste en l’élaboration d’un modèle qui s’attache a` décrire le plus précisément possible les phénomènes vibratoires mis en jeu lors de l’utilisation d’un instrument de musique. Celui ci est considéré comme un assemblage plus ou moins sophistiqué de structures e´ lémentaires. Le modèle se traduit alors par l’écriture d’un ensemble d’équations aux dérivées partielles couplées entre elles, régissant les vibrations de chacune de ces structures e´ lémentaires, et complété par des conditions aux limites faisant intervenir la géométrie de l’instrument. On s’attache alors a` mettre en œuvre une méthode numérique que l’on veut bien sur ˆ ef1. On parle dans de cas de synthèse sonore par modèle physique. La technique utilisée par la plupart des synthétiseurs repose sur un enregistrement préalable du son produit par un instrument réel, et cherche a` le reproduire en utilisant des techniques de traitement du signal. Il s’agit alors de synthèse sonore par analyse. 2.

(17) Introduction ficace, précise et fiable, pour résoudre le système d’équations obtenu dans le domaine temporel. Ce choix original d’une résolution dans le domaine temporel est une une caractéristique de la démarche, qui rompt avec l’approche fréquentielle, intimement liée a` la notion de modes de résonances, adoptée généralement pour décrire le comportement vibratoire des instruments de musique. L’intérêt de l’approche temporelle réside dans la finesse de description des couplages ainsi que dans la modélisation des transitoires d’attaque, particulièrement lorsque ceux-ci font intervenir des phénomènes non linéaires comme la percussion d’un maillet sur la membrane d’une timbale ou le frottement d’un archet sur une corde de violon ou encore le frottement du doigt pin¸cant une corde de guitare. Outre le développement d’outils d’aide a` la conception pour la facture instrumentale, de tels modèles constituent un outil de production de sons variés, fort utile dans le domaine de la psychoacoustique, en plein essor actuellement. On peut en effet faire varier comme on le désire les paramètres physiques ou géométriques de l’instrument, ce qui met a` notre disposition une véritable “bibliothèque sonore” pouvant eˆ tre utilisée dans le cadre d’étude dont l’objet est l’analyse de la fa¸con dont on per¸coit les sons. 2 L’oreille humaine e´ tant un outil extrêmement puissant pour e´ valuer la pertinence des signaux calculés, l’écoute des sons de synthèse constitue une e´ tape de validation essentielle du modèle. Mais il convient de remarquer que les résultats obtenus sont beaucoup plus riches que la simple production d’un son, comme on peut le constater a` la lecture du dernier chapitre de ce manuscrit, consacré a` l’exploitation systématique du modèle de guitare. Son réalisme permet en effet de simuler un grand nombre d’expériences effectuées sur instrument réel : calcul des modes de la table d’harmonie, mesures de l’admittance au chevalet, diagrammes de directivités, intensité acoustique, rendement... Parmi les travaux réalisés dans le cadre de ce thème de recherche, on peut citer l’analyse des cordes de guitare (Antoine Chaigne [8]), l’analyse des instruments de percussion a` clavier (Vincent Doutaut [20]), l’analyse des vibrations de plaques minces rectangulaire (Christophe Lambourg [46]) et la modélisation numérique de la timbale (Leila Rhaouti [54]), réalisée en collaboration avec l’I NRIA, premier modèle d’un instrument complet faisant intervenir des méthodes numériques modernes. La contribution du travail présenté dans ce document concerne la modélisation numérique de la guitare acoustique.. Un modèle physique de la guitare S’attachant a` décrire le fonctionnement de cet instrument, le modèle retenu inclut : le mouvement transverse de la table d’harmonie, décrit par le modèle de plaque mince de Kirchhoff-Love pour un matériau orthotrope (comme le bois) et hétérogène (pour prendre en compte les raidisseurs), 2. Les travaux de C. Lambourg, développés dans le cadre de ce thème de recherche sur les vibrations de plaques minces, ont par exemple e´ té utilisés par l’I RCAM, pour réaliser des e´ tudes psychoacoustiques. 3.

(18) Introduction le mouvement transverse de la corde, décrit par une simple e´ quation des ondes monodimensionnelle, le rayonnement du son, a` l’intérieur et a` l’extérieur de la cavité qui communiquent par l’intermédiaire de la rose. Le champ acoustique est décrit a` l’aide des e´ quations d’Euler linéarisés et de conditions d’interaction fluide-structure a` la surface de l’instrument, la prise en compte des phénomènes de pertes internes au sein de la corde et de la table d’harmonie, qui interviennent de manière fondamentale dans le timbre du son produit. Ces pertes sont décrites a` l’aide de deux termes d’amortissement, l’un de type fluide, l’autre d’origine viscoélastique. Jusqu‘à ce jour, a` notre connaissance, les modèles proposés pour rendre compte du couplage fluide-structure reposent sur une approximation, comme par exemple l’utilisation de l’intégrale de Rayleigh ou la réduction du comportement de la cavité a` celui d’un simple oscillateur [13]. L’originalité de cette e´ tude par rapport aux travaux antérieurs réalisés sur la guitare est de modéliser complètement le champ acoustique rayonné.. Résolution numérique du modèle D’un point de vue mathématique, le problème a` résoudre apparaˆıt comme un problème linéaire d’évolution. Il rentre a` ce titre dans le cadre des hypothèses du théorème de HilleYosida, ce qui permet de vérifier, en guise de préliminaire, qu’il s’agit d’un problème bien posé, c’est a` dire qu’il possède une unique solution dans un espace fonctionnel adéquat. Ce résultat repose en grande partie sur une identité de l’énergie qui assure que l’énergie totale du système décroˆıt en régime libre. Cette propriété est bien sur ˆ fondamentale du point de vue de la physique, mais elle nous intéresse aussi pour la résolution numérique, puisqu’on cherchera a` obtenir une propriété similaire au niveau discret, ce qui permettra d’assurer la stabilité de notre schéma de résolution. S’il existe bien une solution, il n’est pas du tout envisageable de chercher a` la déterminer analytiquement. Il nous faut donc mettre en œuvre une méthode numérique pour la calculer. Les difficultés qui surgissent alors sont nombreuses. Les principales d’entre elles sont les suivantes : - problème de grande taille (3D) posé dans un domaine infini et de géométrie complexe, - résolution de l’équation de plaque dynamique de Kirchhoff-Love, tant pour l’approximation spatiale que temporelle, - stabilité de la méthode, La recherche d’une méthode numérique de résolution de ce problème nous a conduit a explorer assez systématiquement un nombre important d’alternatives possibles. Nous avons donc e´ té amené a` effectuer un choix en s’appuyant sur des critères de précision, d’efficacité, tant en terme de mémoire que de temps de calcul, de fiabilité, de stabilité numérique mais aussi de simplicité d’implémentation informatique. 4.

(19) Introduction La résolution numérique repose avant tout sur une rée´ criture sous une forme variationnelle mixte du problème global, qui permet d’utiliser la méthode des e´ léments finis pour l’approximation spatiale, particulièrement adaptée aux problèmes de géométrie complexe. D’autre part, c’est un moyen e´ légant d’obtenir une identité d’énergie discrète similaire a` celle obtenue dans le cas continue, qui permet d’assurer la stabilité numérique de la méthode. Les aspects essentiels de la méthode numérique retenue sont les suivants : L’approximation spatiale de l’équation de corde est effectuée par e´ lément finis mixtes, de type Lagrange du premier ordre, sur maillage régulier. L’approximation temporelle repose sur l’utilisation de différences finies explicites centrées en temps d’ordre 2. De même, l’approximation spatiale de l’équation des ondes acoustiques est effectuée par e´ léments finis mixtes de Raviart-Thomas du premier ordre sur maillage cubique régulier. L’approximation temporelle repose elle aussi sur l’utilisation de différences finies explicites centrées en temps d’ordre 2. L’équation de plaque est résolue par une méthode spectrale. Les modes de la table d’harmonie sont calculés par une méthode d’éléments finis mixte originale basée sur une formulation en vitesse-moment. L’approximation spatiale est effectuée a` l’aide d’éléments finis de type Lagrange, du second ordre, développés par Nathalie Tordjmann pour obtenir la condensation de masse [62]. Le système semi-discrétisé en espace est ensuite résolu analytiquement en temps. Le problème d’interaction fluide-structure est résolu par une méthode de domaine fictifs introduite par Glowinsky dans le cas du problème de Laplace stationnaire, et adapté ici des travaux de Leila Rhaouti sur la modélisation numérique de la timbale [54]. L’introduction d’une nouvelle inconnue , qui s’interprête comme le saut de pression a` travers la surface de l’instrument permet d’écrire une formulation variationnelle de type mixte dans laquelle la guitare n’apparaˆıt que via le multiplicateur de Lagrange , ce qui permet d’utiliser un maillage régulier cubique pour approcher le champ acoustique. Il suffit alors de mailler la surface de la guitare pour approcher par e´ léments finis mixtes de type Lagrange d’ordre 1. On prend ainsi en compte de manière très précise la géométrie de l’instrument tout en préservant l’efficacité de la méthode des différences finies pour la résolution du problème 3D. Le couplage entre la corde et la table d’harmonie au niveau du chevalet est e´ galement assuré par un multiplicateur de Lagrange qui n’est autre que la contrainte exercée par la corde sur le chevalet, naturellement introduite dans la formulation mixte de l’équation de corde mentionnée ci dessus. Les calculs sont restreints a` un domaine borné a` l’aide de conditions aux limites absorbantes d’ordre e´ levé, développées par Francis Collino [17]. La stabilité numérique du schéma global de résolution est obtenue par une méthode e´ nergétique. En pratique, cette stabilité est garantie sous deux conditions de type CFL reliant le pas de discrétisation en temps aux pas d’espace des maillages de la corde et de l’air. Ce résultat de stabilité est intéressant a` double titre : . Il s’agit d’une méthode originale qui couple deux techniques de résolution en temps radicalement différentes : une méthode de résolution exacte pour la 5.

(20) Introduction plaque et une méthode de différences finies en temps pour la corde et pour l’air. Ce point est certainement l’aspect le plus innovant de la méthode numérique développée ici. . Les conditions de stabilités obtenues ne sont autres que les très usuelles conditions CFL des schémas aux différences finies explicites couramment utilisés la résolution de l’équation des ondes 1D et 3D. On a donc e´ crit un schéma robuste pour lequel la condition de stabilité n’est pas pénalisé par les termes de couplages.. Concernant la résolution numérique de l’équation de plaque Une grosse partie de ce travail a porté sur la recherche d’une méthode de résolution de l’équation de plaque de Kirchhoff-Love, pour laquelle on a trouvé peu de références dans la littérature concernant le problème d’évolution. L’étude de cette e´ quation fait donc l’objet d’une partie entière de ce manuscrit dans laquelle sont décrites un grand nombre de solutions envisagées pour l’approximation spatiale et pour l’approximation temporelle. La formulation variationnelle naturelle de l’équation de plaque conduit a` chercher l’inconnue dans , de sorte que son approximation conforme repose sur l’utilisation . Pour contourner ce problème, on propose d’éléments finis sophistiqués de classe une formulation mixte non standard dans laquelle intervient le moment fléchissant ..

(21) . . Cette formulation est non standard dans la mesure ou` elle ne vérifie pas les hypothèses de la théorie des méthodes mixtes de Babuskˇa-Brezzi. Une des conséquences est que l’espace dans lequel on peut choisir le moment fléchissant n’est pas fixé par les conditions requises par ce théorème. On est ainsi amené a` e´ tudier deux choix possibles pour cet espace, a` savoir et ..

(22) . . . . . . L’introduction du moment , qui est un tenseur du deuxième ordre, augmente sérieusement la taille du problème. Un moyen de la réduire est d’éliminer le moment lors de l’approximation spatiale. Pour cela, la matrice de masse du moment est réduite a` une matrice diagonale par bloc, aisément inversible, a` l’aide de la technique de condensation de masse. Si la problématique de la condensation de masse pour les e´ léments de Lagrange dans le cas de l’approximation de l’espace est un problème bien connu, il n’en est pas

(23) de même pour l’approximation de l’espace . Une grande partie du chapitre 2

(24) est consacrée a` la construction d’un e´ lément fini conforme pour lequel on obtient la condensation de masse et qui ne sera finalement pas retenu.... . . . . En outre, pour limiter le phénomène de dispersion numérique, c’est a` dire pour obtenir une estimation correcte des fréquences propres de la table d’harmonie de la guitare, on e´ tend cette e´ tude aux e´ léments finis d’ordre 2. Une analyse de dispersion numérique complète sur maillage régulier infini concernant toute les approximations spatiales envisagées de cette formulation justifie le bien 6.

(25) Introduction fondé de la méthode (sa consistance), l’intérêt de la montée en ordre, et en outre est un indicateur précieux permettant de comparer la performance des différents choix proposés. N’entrant pas dans le cadre de la théorie des méthodes mixtes, on ne peut exploiter les résultats usuels concernant l’analyse d’erreur. Plusieurs auteurs ont e´ tudié des formulations variationnelles de ce type dans le cas particulier d’une plaque homogène isotrope et en prenant dans . Une brève synthèse bibliographique est présentée a` la section 2.6..

(26) . Il s’avère que pour des raisons d’efficacité ou de précision, l’utilisation d’un classique schéma aux différences finies en temps n’est pas adapté, qu’il soit explicite ou implicite. On est donc amené a` résoudre exactement en temps continu le schéma semidiscrétisé en espace, ce qui nécessite de diagonaliser la matrice de raideur. Le principal intérêt de cette approche est de permettre d’utiliser n’importe quel pas de temps d’échantillonage pour calculer la solution sans nuire a` la précision du schéma semidiscret. A posteriori, cette méthode s’interprête tout simplement comme une méthode spectrale.. Organisation du document Ce document est composé de cinq parties : 1. La première partie est consacrée a` la présentation du modèle et a` son analyse mathématique ainsi qu’à la présentation générale de la méthode numérique retenue. 2. La deuxième partie est consacrée a` l’analyse de la résolution de l’équation de plaque : formulation variationnelle, discrétisations spatiale et temporelle, analyse de dispersion. Cette partie se conclut par une présentation de résultats numériques permettant de comparer les différents schémas de discrétisation spatiale et temporelle proposés. 3. La troisième partie s’attache a` résoudre le modèle complet en trois e´ tapes. On résout tout d’abord le problème couplant la plaque a` la corde puis le problème couplant la plaque a` l’air. On réalise ensuite une synthèse de ces deux problèmes pour obtenir un schéma de résolution du modèle complet. 4. La quatrième partie présente une exploitation du modèle numérique obtenu. Après quelques expériences de validation, on réalise un nombre important de simulations numériques qui montrent les potentialités extrêmement riche de ce modèle. Les résultats obtenus présentent de nombreuses caractéristiques bien connues de la guitare, comme le couplage entre la première fréquence propre de la table d’harmonie et la fréquence de Helmholtz de la cavité. Un aspect innovant et très intéressant du modèle est qu’il permet de mesurer l’influence du couplage de la table d’harmonie a` l’air environnant sur l’amortissement, quantité difficilement accessible voire inaccessible a` des mesures. 7.

(27) Introduction 5. Enfin, on présente en annexe la construction du modèle de plaque mince de KirchhoffLove, la problématique de la condensation de masse, ainsi que le détails de calculs concernant la solution générale de l’équation de corde amortie.. 8.

(28) Première partie. Un modèle numérique de guitare.

(29)

(30) La guitare, une description et un modèle physique. Chapitre 1. La guitare, une description et un modèle physique L’objet de ce chapitre est de présenter le modèle de guitare retenu pour cette e´ tude. C’est en particulier l’occasion de définir les notation utilisées. Ce modèle doit prendre en compte les phénomènes physiques susceptibles de contribuer au son produit par l’instrument tout en restant abordable dans le cadre d’une résolution numérique. Il faut dans ce sens rester modeste quand au degré de finesse désiré pour une telle modélisation. Il s’agit donc de proposer un modèle a` la fois simple et suffisamment pertinent par rapport aux objectifs que nous nous sommes fixés. Avant de proposer un modèle, il convient de comprendre, très brièvement, le fonctionnement d’une guitare (section 1.1.) Ce fonctionnement général e´ tant entendu, on considère la guitare comme un assemblage de structures e´ lémentaires couplées entre elles. Ici, une corde couplée a` la table d’harmonie par l’intermédiaire du chevalet. La table est elle même couplée a` l’air environnant, situé a` l’intérieur et a` l’extérieur de la cavité. On suppose que seule la table d’harmonie vibre, c’est a` dire que le reste du corps de la guitare est totalement rigide. Il est important de préciser que le timbre du son produit dépend très fortement des phénomènes de dissipations internes au sein des matériaux qui constituent la guitare. Cette caractéristique est fondamentale pour l’élaboration d’un modèle destiné a` la synthèse sonore (voir section 1.1.2). On présente tout d’abord les e´ quations régissant les vibrations de chacune des trois composantes de la guitare indépendamment les unes des autres : e´ quation de corde (1.2), e´ quation de plaque (1.3) et e´ quation des ondes acoustiques (1.4). Ces trois e´ quations sont alors couplées entre elles selon un modèle présenté en section 1.5. L’ensemble du chapitre est repris lors de la présentation globale des e´ quations (section 1.5.4).. 11.

(31) La guitare, une description et un modèle physique. Notation 1.1 D’une manière générale dans ce document, pour distinguer les quantités scalaires des grandeurs vectorielles ou tensorielles, les vecteurs sont représentés par des variables simplement soulignées (comme cela ), les tenseurs d’ordre deux sont représentés par des variables doublement soulignées (comme ceci ), et les tenseurs du quatrième ordre sont représentés par des majuscules en gras ( ). D’autre part, de manière a` distinguer les diverses parties de l’instrument, l’indice représentera la corde, l’indice représentera la plaque supérieure de la guitare et l’indice représentera l’air.

(32)

(33) On se donne un repère muni d’une base orthonormale ( , , ) , dans lequel l’axe , dirigé selon la verticale, correspondra a` la direction normale a` la table supérieure de la guitare, qui se trouve donc dans un plan horizontal. Dans la mesure ou` dans ce qui suit, on néglige systématiquement la pesanteur, il n’y a aucune raison particulière de choisir la direction verticale plutôt qu’une autre. Il s’agit juste d’un choix conventionnelle.. . 1.1 Un mot sur le fonctionnement de la guitare Le propos de cette section est de décrire sommairement le fonctionnement vibroacoustique de la guitare. Cet instrument fait l’objet de nombreuses recherches en acoustiques depuis une trentaine d’années. Le lecteur soucieux d’en savoir plus trouvera par exemple une présentation plus approfondie de la guitare dans [56] ou bien dans “The physics of musical instruments” [32] qui constitue une introduction générale a` l’acoustique des instruments de musique.. 1.1.1 Principe général La caisse de la guitare est composée d’une part de la table d’harmonie, qui est une fine plaque de bois percée d’un trou appelée la rose, et d’autre part des bords, nommés e´ clisses, et du fond, qui sont dans un bois plus dur. Les six cordes sont fixées d’un cot´ ˆ e au manche et de l’autre au chevalet, lui même collé sur la table d’harmonie (voir figure (1.1)).. F IG . 1.1: Vue ećlatée d’une guitare 12.

(34) 1.1 Un mot sur le fonctionnement de la guitare Usuellement les six cordes sont numérotées de la plus aigue ¨ a` la plus grave. Les six notes a` vide sont Mi6 (82,5 Hz), La5 (110 Hz), Ré4 (147 Hz), Sol3 (196 Hz), Si2 (247 Hz), Mi1 (330Hz), (le chiffre indiqué entre parenthèses est la fréquence fondamentale de chacune de ces cordes). La source sonore est la corde (bien sur), ˆ appréciée dès l’antiquité pour ses qualités harmoniques naturelles, qui produisent un son agréable a` l’oreille. Malheureusement, bien que le mouvement de la corde soit de forte amplitude, le son qu’elle e´ met est pratiquement inaudible, car son diamètre est beaucoup trop petit pour rayonner efficacement dans l’air. Le propos de la guitare, comme de tous les instruments a` corde, est d’amplifier ce son par un mécanisme acoustique. Les vibrations de la corde sont donc transmises a` la table d’harmonie par l’intermédiaire du chevalet. Grâce a` sa large surface, la table rayonne plus efficacement dans l’air. Mais, compte tenu de ses petites dimensions, le rayonnement e´ mis de part et d’autre de la table a tendance a` s’annuler pour les grandes longueurs d’onde, c’est a` dire en basses fréquences (figure (1.2)) On coupe donc l’onde arrière en l’enfermant dans une cavité.. F IG . 1.2: fonctionnement schématique d’une guitare Il s’avère que la fréquence fondamentale d’une table d’harmonie de guitare est de l’ordre de 200 Hz, alors que le fondamentale de la corde la plus grave vibre a` 82 Hz. Pour renforcer la puissance aux alentours de cette fréquence , on perce un trou dans la caisse de la guitare (la rose), de manière a` la transformer en résonateur de Helmholtz. D’une manière générale, le fait de percer un trou de petites dimensions dans une cavité fermée a pour effet de créer une fréquence de résonance nettement plus grave que le fondamental de cette même cavité dépourvue de trou : c’est la fréquence de résonance de Helmholtz (voir par exemple [9]). Ce principe est utilisé par exemple pour construire les enceintes (ou caisson) de graves. Dans le cas de la guitare, cette fréquence se situe aux alentours de 100Hz. La caisse a donc un role ˆ acoustique fondamental dans le registre grave de la guitare.. 1.1.2 A propos des phénomènes d’amortissement En acoustique musicale, les phénomènes d’amortissement jouent un role ˆ très important sur la perception du son. La perception d’une note dépend a` la fois de sa hauteur, c’est a` dire de sa fréquence fondamentale, mais aussi de son timbre, de sa couleur, c’est a` dire de la fa¸con dont l’amplitude des harmoniques décroissent au cours du temps. Les tous premiers essais de synthèse sonore d’instruments a` corde par modèle physique, réalisées par Hiller et Ruiz en 1971 [40], montrèrent en effet que l’introduction d’un simple terme d’amortissement 13.

(35) La guitare, une description et un modèle physique fluide, agissant identiquement sur toutes les fréquences, conduit a` un son artificiel, de type e´ lectronique. Ce qui, entre autres, distingue le bruit sec d’une lame de bois par rapport au tintement d’un lame de métal par exemple, c’est la vitesse a` laquelle les hautes fréquences s’atténuent : très rapidement pour l’un, plus doucement pour l’autre. Le même phénomène est e´ galement perceptible lorsque l’on pince une corde en nylon ou une corde en métal. Illustrons quantitativement ce phénomène, dans le cas du son produit par une guitare, pour un peu mieux le comprendre. La figure (1.3) représente l’évolution au cours du temps de la pression acoustique générée par le pincer de la corde grave d’une guitare, enregistrée a` environ deux mètres de l’instrument. Une caractéristique e´ vidente de ce signal est sa décroissance au cours du temps, mais on ne voit ici que l’enveloppe du signal, ce qui nous fournit peu d’informations.. 1 Mi6 0.8. pression acoustique normalisee. 0.6 0.4 0.2 0. -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. temps (en s). ´ F IG . 1.3: Evolution au cours du temps de la pression acoustique générée par une guitare pincée sur sa corde grave (Mi6). Une représentation plus judicieuse, sous la forme d’un spectre temps-fréquence, présentée sur la figure (1.4), permet de mieux caractériser l’extinction du son. Sur ce spectrogramme, on visualise l’évolution au cours du temps (en abscisse) de l’amplitude de chaque composante fréquentielle du signal (en ordonnée — en rouge, l’amplitude est e´ levée, en vert, elle est faible). Comme précisé ci dessus, on constate une forte dépendance de l’amortissement en fonction de la fréquence : les partiels d’ordre e´ levé sont beaucoup plus vite amortis. Le fondamental de la corde grave de la guitare vibre a` 83 Hz. En fait, très rapidement, seuls les harmoniques de la corde, ie. les multiples de 83 Hz, sont encore présents. On observe, au tout début du signal, des pics qui correspondent aux vibrations de la table d’harmonie et qui sont très rapidement amortis. La suite des fréquence propres de la table n’est pas harmonique, ce qui a pour conséquence de produire un bruit sourd au moment de l’attaque. Ce bruit caractérise le son d’une guitare. L’introduction de phénomènes dissipatifs dans le modèle est donc fondamentale. Ceux-ci doivent rendre compte a` la fois du phénomène de dépendance temporelle et e´ galement de l’importance relative de l’amortissement des modes de table par rapport a` celui des modes de corde. 14.

(36) 1.2 La corde. F IG . 1.4: Spectrogramme du signal de pression acoustique générée par une guitare pincée sur sa corde grave (Mi6).. 1.2 La corde 1.2.1 Corde vibrante non amortie L’étude des vibrations des cordes est très ancienne. Pythagore e´ labora sa gamme musicale en observant que les sons e´ mis par deux cordes de même nature dont les longueurs avait un rapport simple (1:2, 1:3, 2:3 etc ) produisaient un son agréable a` l’oreille. D’une manière générale, la fréquence des sons e´ mis par une corde dépend de sa masse, de sa tension, de sa longueur et des conditions imposées a` ses extrémités. On rappelle quelques résultats e´ lémentaires concernant la solution générale de la très classique e´ quation de cordes vibrantes. 1.2.1.a. Equation de corde vibrante . On considère une corde sans raideur, de longueur , inextensible, de masse linéique constante , soumise a` une tension . On néglige l’action de la pesanteur devant la tension imposée, de sorte que sa position au repos est droite et confondue avec l’axe . On s’intéresse aux déplacements transversaux de part et d’autre de cette position d’équilibre dans le plan vertical

(37) . Cette corde est soumise a` une force extérieure de densité linéique qui représentera l’effort exercé par le doigt de l instrumentiste. On suppose que ses déplacements sont suffisamment petits pour que la tension reste constante au cours du temps, ce qui permet de linéariser les e´ quations fondamentales de la dynamique appliquées a` une petite portion de corde. Cette hypothèse est justifiée dans la mesure ou` les vibrations d’une corde de guitare longue de 60 cms sont de l’ordre de quelques millimètres.. . . Un point d’abscisse x au repos est situé au point M a` l’instant . Le mouvement de la corde est donc décrit par le déplacement

(38) représenté par une seule inconnue scalaire (voir la figure (1.5)). On note ainsi : . La tangente en . a` la corde fait avec l’axe. . . . 15. . un angle . (1.1). . que l’on suppose e´ galement.

(39) La guitare, une description et un modèle physique. F IG . 1.5: Géométrie de la corde petit. On aura donc :. . . . . . . (1.2).

(40) . . . . . La contrainte exercée au point par la corde sur une portion de corde est en fait la composante normale de la tension en ce point. Dans la suite, cette contrainte sera notée . On a (voir la figure (1.13) concernant le couplage corde-plaque) :. . . . . . . . . (1.3). Sous ces hypothèses, et en l’absence d’effort extérieur, le déplacement tion des cordes vibrantes non amorties : . ou` le terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . est régi par l’équa-. . (1.4). représente l’inertie d’accéleration locale tandis que le terme . représente le rappel du a` la tension de la corde.. . . . . On ıt ici la très classique e´ quation des ondes monodimensionnelle, de célérité reconnaˆ dont la solution générale, due a` d’Alembert, est donnée par la superposition de deux ondes se propageant sans se déformer a` la vitesse , l’une dans le sens des croissants, l’autre dans le sens des décroissants. Ces solutions sont dites propagatives car elles mettent en e´ vidence le phénomène de propagation d’un signal, intuitivement associé a` la notion d’onde.. . Remarque 1.1 En toute généralité, on aurait pu e´galement autoriser des mouvements dans l’autre . . Dans direction transversale a` la corde, c’est a` dire autoriser des déplacements selon la direction . . . Il s’av` ce cas le déplacement d’un point serait noté ere que les deux composantes et sont indépendantes l’une de l’autre : leur mouvement est régi par la même e´quation de corde vibrante (1.4).. . 16. . .

(41) 1.2 La corde 1.2.1.b. Conditions aux bords . La longueur de la corde est en fait déterminée par la position du doigt du musicien le long du manche. Soit celui ci pince la corde a` vide, soit il exerce une pression sur la corde entre deux frets avec son doigt. Dans le premier cas, l’extrémité de la corde est en contact avec le sillet, dans le second, elle est en contact avec la fret, comme on peut le voir sur la figure (1.6). On néglige les vibrations du manche, de sorte que celui ci est totalement immobile dans le référentiel de la pièce. Il est alors naturel de supposer dans un cas comme dans l’autre que le déplacement de la corde est nul a` cette extrémité, ce qui s’écrit :. . . . . . . (1.5). F IG . 1.6: Contact de la corde au sillet ou sur une fret Remarque 1.2 En situation de jeu, de la longueur de la corde est en fait amenée a` varier. Nous nous contentons ici de considérer que est un paramètre fixé. A l’autre extrémité, la corde est fixée au chevalet. Ici encore, elle est en contact permanent avec une sillet rigidement liée au chevalet. C’est par ce point que la corde transmet une partie de son e´ nergie a` la table d’harmonie, ce qui la met en vibration. Le chevalet est donc lui même en mouvement. Cet aspect est décrit plus en détail a` la section 1.5. Disons juste, pour fixer les idées que si l’on suppose que le chevalet est un solide rigide possédant un seul degré de liberté, animé d’un mouvement vertical, décrit par le déplacement de son centre de gravité, noté (t), on aura :. 1.2.1.c. . . . . . . . (1.6). Rappel : solution générale de l’équation de corde vibrante. Dans l’immédiat, pour rappeler brièvement quelques résultats classiques concernant l’équation de cordes vibrantes, nous supposerons que le chevalet est immobile, soit :. . . . 17. . (1.7).

(42) La guitare, une description et un modèle physique. . ce qui nous conduit finalement a` de simples conditions aux limites de type Dirichlet, et nous supposerons e´ galement que les forces extérieures sont nulles (soit . . Le problème de corde vibrante homogène fixée a` ses deux extrémités est alors : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1.8). .

(43) . On peut dans ce cas décomposer toute solution a` l’aide de la base des modes propres du laplacien monodimensionnel avec conditions de Dirichlet. Rappelons que cette base est donnée par :. . . . . . Et on a : . . . . . . . . . . . . . . . pour. . . . . (1.9). . . . et . (1.10). ou` . . . . On cherche alors des solutions du problème (1.4-1.5-1.7) sous la forme :. et on trouve aisément : . . . . $#%. ". ou`.

(44) &. . . . . . . !. . . (').

(45) . . (1.11). &. (1.12). . . est la pulsation du ne` me mode. Celui ci vibre donc a` la fréquence . *. . + . , +. . . . Le premier. mode est appelé “fondamental” et les suivants sont appelés les partiels. Ces modes sont dits harmoniques car leur fréquence est un multiple de la fréquence fondamentale + .. . On peut montrer que la solution générale du problème (1.4) avec conditions de type Dirichlet peut s’ecrire :. . . !. . ". $#% .

(46) *. 18. -') . . .

(47) *. . (1.13).

(48) 1.2 La corde. F IG . 1.7: Les premiers modes de vibrations d’une corde Pour eˆ tre complet, il reste a` choisir des conditions initiales ' tront de déterminer de manière unique les coefficients " et. . . .. et. . . . qui permet-. Remarque 1.3 On appelle solution stationnaire toute solution a` variable séparée de (1.4-1.5-1.7), c’est a` dire toute solution de la forme . On montre alors très simplement que les solution stationnaires sont données par : #% * -') & ') . " " (1.14). . . .

(49) .

(50) . . Ainsi, la solution générale du problème (1.4) avec conditions de type Dirichlet est une superposition de solutions stationnaires. Précisons que ces solutions sont dites stationnaires en opposition aux solutions propagatives décrites sommairement ci dessus, puisqu’ici il n’y a justement aucune propagation ici : il s’agit simplement d’un mode qui vibre sur place a` une vitesse donnée. On a représenté schématiquement sur la figure (1.7) les vibrations des trois premiers modes. Les points , pour Les d’amplitude nulles sont appelés nœuds de vibrations et sont situés en

(51) points d’amplitude maximale sont appelés ventres de vibration et sont situés en +. . . Remarque 1.4 Dans le cas d’une corde, le spectre fréquentiel est naturellement harmonique, c’est a` dire que les fréquences sont un multiple de la fréquence fondamentale. Mais ce n’est pas le cas de toutes les structures vibrantes que l’on peut trouver dans les instruments de musique. Par exemple, les modes d’une membrane de timbale sont totalement inharmoniques. Pour obtenir un son plus agréable a` l’oreille, on couple cette membrane a` une cavité fermée ce qui a pour effet de rapprocher ses modes d’une suite harmonique. Un autre exemple est donné par les lames d’un xylophone. Si celles ci e´taient de simples parallélépipèdes en bois, leur spectre serait inharmonique. Les lames ont donc une section variable (en forme d’arche de pont) de manière a` s’assurer que la fréquence des deux premiers partiels est dans un rapport entier avec les fondamental. On parle alors de vibration pseudo-harmonique ([20]).. 1.2.2 Prise en compte des phénomènes de dissipation dans la corde 1.2.2.a. Les origines diverses des pertes vibratoires. Les origines des pertes vibratoires sont très variées. Du fait de leur multiplicité, il est très difficile de distinguer telle cause plutot ˆ qu’une autre, et par conséquent plus difficile encore 19.

(52) La guitare, une description et un modèle physique de les quantifier. On peut néanmoins distinguer : les pertes aux bords, ici, par exemple, les extrémités de la corde sont en contact avec des sillets qui absorbent en réalité une partie de l’énergie transportée par la corde. Nous ne les prenons pas en considération. les pertes par rayonnement, négligeables dans le cas d’une corde car ses dimensions n’ont pas d’effet sur l’air. les pertes par couplage, fondamentales dans le cas d’une guitare, puisque c’est une partie de l’énergie transmise a` la caisse via le chevalet qui parviendra a` notre oreille. Ces pertes seront prises en compte naturellement dans le modèle, puisque justement un modèle de couplage au chevalet y est proposé. les pertes internes au matériau, dues a` des dissipations d’énergie au sein même de sa structure. Les phénomènes de pertes internes sont eux mêmes délicat a` décrire. Ils peuvent eˆ tre par exemple d’origine thermique, mais ce phénomène est négligeable pour un matériau comme le nylon, ou d’origine viscoélastique. Il existe une grande variété de modèles qui cherchent a` prendre en compte ces phénomènes. 1.2.2.b. Un modèle d’amortissement intrinsèque. Nous avons choisi ici d’introduire deux termes d’amortissement linéaires plutot ˆ classiques et relativement aisés a` manipuler dans le cadre d’une résolution numérique : un terme d’amortissement visqueux :. . . . . . . . qui illustre les phénomènes de relaxation du matériau, c’est a` dire la prise en compte d’un effet de retard entre la force exercée sur une portion de corde et la déformation qui en résulte (ce phénomène est e´ galement qualifié de phénomène d’hystérésis). Ce type d’amortissement affecte davantage les hautes fréquences et est très faible voire négligeable pour les basses fréquences (ce qu’on peut comprendre intuitivement on considérant que le retard est d’autant plus grand que le mouvement est rapide). un terme d’amortissement fluide appelé ainsi car il est proportionnel a` la vitesse : . . . Ce type d’amortissement extrêmement simple ne dépend pas de la fréquence comme on va le voir ci dessous, mais uniquement du coefficient . Usuellement, l’amortissement fluide décrit l’effet des forces de frottement exercées sur un solide en mouvement au sein d’un fluide ou en contact avec un autre solide. Les pertes de ce type pour une corde en contact avec l’air sont en fait négligeables. On ne peut donc pas mettre ce terme directement en relation avec une cause physique précise. Si on l’introduit ici, c’est plutot ˆ pour assurer un amortissement minimal en basse fréquence, que ne permet pas l’amortissement visqueux. 20.

(53) 1.2 La corde Introduisant les deux termes d’amortissement par pertes internes, l’équation de corde vibrante (1.8) devient :. . 1.2.2.c. . . . . . . . . . . . . . . . . (1.15). Solution générale du modèle d’amortissement. Afin de déterminer plus quantitativement l’effet de ces deux termes, regardons comment en sont affectées les solutions stationnaires non amorties (1.14) déterminées plus haut.. . . Si on se restreint aux fréquences audibles, comprises entre 16Hz et 20000 Hz, et en prenant et ), on montre que les des valeurs typiques de et , (typiquement solutions stationnaires de l’équation de corde vibrante amortie (1.15) correspondent quasiment aux solutions de l’équation non amortie, pondérées par un coefficient d’amortissement exponentiel (voir annexe C) :. . . . ou` . . . #% ". +. . . &. et . -'. . . . . &. . . (1.16). . Cette analyse permet de faire les remarques suivantes :. . la fréquence des solutions stationnaires non amortie a` peine perturbée par l’amor est tissement, puisque le facteur de perturbation est très proche de 1. . le taux d’amortissement introduit par le terme visqueux vaut et croit donc rapidement avec la fréquence du mode considéré. Tandis que le taux d’amortissement + et touche donc de la même manière introduit par le terme de type fluide vaut toutes les fréquences. . . +. A basses fréquences, l’amortissement fluide est prépondérant devant l’amortissement

(54) visqueux. En effet, pour le cas de notre exemple, pour une , soit, dans fréquence inférieure a` environ 500 Hz, on a . Le coefficient d’amortissement fluide permet donc bien de modéliser un amortissement en basses fréquences qui serait insuffisant avec par le seul terme d’amortissement visqueux.. Finalement, ce simple modèle d’amortissement est donc satisfaisant dans la mesure ou` il répond a` notre exigence minimale de croˆıtre avec la fréquence, et il sera amplement suffisant pour cette e´tude.. . Remarque 1.5 Ici on considère que représentant le taux d’amortissement en fonction de la la courbe ). Il nous faut alors ajuster les deux paramètres et fréquence est une parabole ( 21.

(55) La guitare, une description et un modèle physique pour que cette parabole “colle” au mieux des données obtenues par des mesures de taux d’amortissement effectuées sur des cordes réelles. 1 On remarque ici que l’approche naturel de l’amortissement doit eˆtre faite dans le domaine fréquentiel, puisque cette courbe que l’on désire est définie dans le domaine fréquentiel. Toute la difficulté consiste alors a` proposer un modèle qui soit transposable simplement dans le domaine temporel, ce qui revient a` pouvoir l’écrire a` l’aide d’opérateurs différentiels locaux.. Remarque 1.6 On pourrait proposer d’autres modèles d’amortissement interne. Une généralisation du modèle présenté ici est donnée par le modèle de Wiechert (voir par exemple [46]). Celui ci consiste a` ećrire un modèle plus sophistiqué de la relation contrainte-déformation au sein du matériau. Dans le cas d’une corde, on introduit la contrainte , qui, dans le cas non amorti n’est autre que la composante normale de la tension, soit . Le modèle de Wiechert s’écrit : . . . . . . . . !. . . . . . . . . . . !. . . Notons que notre modèle consiste alors a` prendre Dans ce cas, la contrainte est définie par :. . . . . . . . . et. . . . . . (1.17) . , avec . . . , . . . et . . .. (1.18). F IG . 1.8: Intérieur d’une table d’harmonie. 1. Quoique, en pratique, il ne faut pas totalement chercher a` fitter des courbes expérimentales, puisque les taux d’amortissement mesurés sont dus a` toutes les pertes, dont les pertes au bords, et non seulement aux pertes internes.. 22.

(56) 1.3 La table d’harmonie. 1.3 La table d’harmonie 1.3.1 Présentation La table d’harmonie est une fine plaque de bois, en général en e´ picéa. Elle est raidie localement par un barrage, réalisé a` l’aide de baguettes de bois plus rigide, par exemple de l’acajou ou du cèdre canadien, dont la première fonction est de la consolider suite a` un rabotage important (figure (1.8)). La table supérieure doit en effet résister a` l’effort permanent exercé par la tension des six cordes attachées au chevalet.. Traditionnel. Bouchet. Transverse. Sloane. F IG . 1.9: Quelques barrages de guitare (in Sloane [58]) Ce barrage a e´ galement une influence considérable sur la fréquence et sur la forme des modes, et par conséquent sur le rayonnement de la table. En particulier, l’effet du barrage est de concentrer les vibrations des modes dans le “ventre” de l’instrument et d’augmenter notablement les fréquences propres de la table. Ces barres peuvent eˆ tre arrangées de différentes manières, et c’est un e´ lément critique de la qualité d’une guitare. Quelques barrages sont présentés sur la figure (1.9). La prise en compte d’un barrage le plus général possible est donc un des objectifs de la modélisation. Une difficulté de la modélisation réside dans le matériau. Le bois, substance naturelle, est un matériau vivant qui ne peut de ce fait entrer dans le cadre d’une modélisation très rigoureuse. Ses propriétés sont très variables d’un e´ chantillon a` l’autre, puisqu’elles dépendent directement de l’histoire de l’individu (l’arbre) dont il provient. Suivant les années, les cernes du bois ne sont pas toujours pareillement espacées. En outre, des nœuds correspondant au départ des branches induisent une inhomogéneité flagrante, qui n’est pas désiré pour le bois de lutherie. Si bien qu’un luthier aura beau construire deux instruments exactement de la même taille et de la même forme, a` l’aide des mêmes techniques, les fréquences de résonances varieront de quelques Hz, et ce sera un instrument complètement différent. On peut e´ galement noter que ses propriétés dépendent très fortement des conditions atmosphériques (en particulier la température et l’humidité). 23.

(57) La guitare, une description et un modèle physique Néanmoins on pourra considérer que le bois utilisé pour la lutherie a e´ té choisi avec soin, de sorte qu’il ne présente pas de nœud apparent. On supposera que les cernes sont régulièrement espacées et toutes dans la même direction. Un simple controle ˆ visuel sur la moindre guitare confirme, au moins grossièrement, ces deux hypothèses. La raideur d’une plaque de bois est bien e´ videmment beaucoup plus importante dans la direction parallèle aux cernes que dans la direction perpendiculaire aux cernes. On considérera donc que le bois est un matériau e´ lastique linéaire orthotrope.. 1.3.2 Equation de plaque non amortie 1.3.2.a. Modèle de Kirchhoff-Love. La table supérieure d’une guitare mesure typiquement 50cm de long pour une e´ paisseur de 2 a` 3 mm, si bien qu’il est complètement justifié de la modéliser a` l’aide du modèle de plaque de Kirchhoff-Love, décrit en détail a` l’annexe A. On confond alors la plaque avec sa surface médiane de sorte que l’on considère qu’elle . Son bord , noté est composé de deux parties, son bord occupe le domaine de . extérieur noté (on suppose donc que et le bord du trou noté . La normale et la tangente au bord, choisie de manière a` ce que le extérieure a` est notée soit orthonormé direct, est notée ( voir la figure (1.10) ). trièdre . . . . . . . . . . F IG . 1.10: Description géométriques de la table d’harmonie Les vibrations de la table sont alors décrites en toute généralité par un champ de déplacement . défini sur par :. . parallèle a` la table, est appelé mouvement Le déplacement est appelé mouvement de flexion. membranaire et le déplacement vertical . . Nous n’avons pris en compte que la polarisation verticale de la corde, si bien que l’effort exercé par la corde sur la table consistera en une charge surfacique perpendiculaire a` la table, comme on le verra plus loin (cf. section 1.5). D’autre part la charge de l’air consiste en une force de pression exercée sur les faces supérieures et inférieures de la table. Ici encore, il s’agit d’une charge surfacique perpendiculaire a` la table (voir la modélisation des couplages a` la section 1.5). Au total, dans le modèle que nous utiliserons, le chargement de la table est donc un chargement de flexion pure (voir page 361). 24.