La règle et le compas.

TPE ALGEBRE

La Règle et Le Compas

1

Ben Hamouda Karima et Serigne Gueye

Université Paris-Est Marne la Vallée, 2016

INTRODUCTION

5

0.1 Contexte historique . . . 5

0.2 Quelques exemples . . . 5

I

LES NOMBRES CONSTRUCTIBLES A LA REGLE

ET AU COMPAS

7

0.1.1 définition . . . 8

0.1.2 définition . . . 8

0.1.3 définition . . . 9

0.1.4 remarques . . . 9

0.2 Les constructions géométriques . . . 9

0.2.1 propriétés . . . 9 0.3 Constructions algébriques . . . 10 0.3.1 proposition . . . 10 0.3.2 preuves . . . 11 0.3.3 remarque . . . 12 0.3.4 proposition . . . 12 0.3.5 démonstration . . . 12 0.3.6 remarques . . . 13

II

LES CORPS ET LES NOMBRES

CONSTRUC-TIBLES

14

0.1.1 exemples . . . 15

0.1.2 définition . . . 15

0.1.3 remarque . . . 16

0.2 Les extensions de corps . . . 16

0.2.1 propriétés/définitions . . . 16

0.2.2 exemple . . . 17 2

TABLE DES MATIÈRES 3

0.3 Nombres algébriques, nombres transcendants . . . 17

0.3.1 définition . . . 17 0.3.2 proposition . . . 18 0.3.3 notation . . . 18 0.3.4 preuve . . . 18 0.3.5 définition . . . 19 0.3.6 exemple . . . 19 0.3.7 propriété/définition . . . 19

III

Théorème de Wantzel et transcendance de π

20

0.1.1 Remarques . . . 21

0.1.2 proposition . . . 21

0.1.3 preuves . . . 22

0.1.4 Preuve du théorème de Wantzel . . . 23

0.1.5 corollaire du théorème de Wantzel . . . 24

0.1.6 preuve . . . 24

0.1.7 corollaire . . . 24

0.1.8 preuve . . . 24

0.1.9 lemme . . . 24

0.1.10 preuve . . . 25

0.2 théorème fondamental des polynômes symétriques . . . 25

0.3 Transcendance de e et de π . . . 25 0.3.1 transcendance de e . . . 25 0.3.2 lemme . . . 26 0.3.3 démonstration du lemme . . . 26 0.3.4 transcendance de π . . . 27

CONCLUSION

33

BIBLIOGRAPHIE

35

0.1. CONTEXTE HISTORIQUE 5

0.1

Contexte historique

Euclide a fondé sa géométrie sur un système d’axiomes qui assure en parti-culier qu’il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu’il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles donc la règle et le compas. L’intuition d’Euclide était que tout nombre pouvait être construit ou obtenu à l’aide de ces deux instruments. Cette conjecture va remettre d’une part en question la définition d’un nombre et d’autre part, engager la communauté mathématique dans la résolutions de problèmes tels : la quadrature du cercle, la trisection de l’angle et la duplication du cube .

0.2

Quelques exemples

1)La trisection des angles

Est-il possible de diviser un angle en trois angles égaux à l’aide de la règle et du compas ?

Soit α un angle.

En prenant la bissectrice de l’angle α on peut diviser un angle en deux angles égaux. Mais aucun moyen ne nous permet de le faire en trois angles... Atten-dons de voir la suite pour comprendre !

* tracer α

* faire un cercle de centre C

* Ce cercle coupe (d) en A et (δ) en B

*faire le cercle de centre A puis le cercle de centre B : on obtient alors D * D’où (CD) bissectrice

2)La duplication de cube

Le problème ici consiste à construire un carré de côté a√2 à partir d’un carré de côté de a.

Ainsi dans l’espace cela revient à se demander s’il est possible de construire à la règle et au compas un segment de longueur √3

2 étant donné un segment de longueur 1 ?

3)La quadrature du cercle

Est-il possible de construire un segment de longueur √π à la règle et au compas à partir d’un segment de longueur 1 ?

Première partie

LES NOMBRES

CONSTRUCTIBLES A LA

REGLE ET AU COMPAS

0.1

Les nombres constructibles

0.1.1

définition

Soit x ∈ R, on dit que x est constructible si (x,0) ou (0,x) est constructible.

0.1.2

définition

Soit P le plan euclidien muni d’un repère orthonormé que l’on identifiera à R2_.

On définit des ensembles de points Ci ⊂ P par récurrence.

* C0 = {O, I} où O(0,0) et I(1,0)

* Pour i _{> 0, C}i+1 est l’ensemble des points élémentaires constructibles à

partir de Ci c’est-à-dire :

P ∈ Ci+1 Si P ∈ (AB) ∩ (A0B0)avec A, B, A’ et B’ ∈ Ci

0.2. LES CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES 9 ou P ∈ C(A, AB) ∩ C(A0, A0B0) avec A,B,A’ et B0 ∈ Ci

0.1.3

définition

*C =S

i>0Ci est l’ensemble des points constructibles.

*C_{R ⊂ R est l’ensemble des abscisses des points constructibles que l’on} appelle nombres réels constructibles.

0.1.4

remarques

*Les droites (AB) et (A’B’) sont toutes distinctes quelques soient A,B,A’ et B’, de même pour deux cercles.

*Si A et B constructibles alors on peut tracer la droite (AB) mais les points de (AB) ne sont pas tous constructibles.

0.2

Les constructions géométriques

0.2.1

propriétés

1) Si A et B sont constructibles

Alors le symétrique de B par rapport à A l’est aussi.

En effet, il suffit juste de tracer la droite (AB) et le cercle de centre A passant par B : ils se recoupent en B et B’=SA(B).

2) Si A,B,A’ sont trois points constructibles

Alors on peut construire B’ tel que ABA’B’ soit un parallélogramme Autrement dit on pourra dorénavant tracer la parallèle à une droite.

En effet :

-placer les point A, A’ et B -construire le milieu de [AA’]

-faire le symétrique de B par rapport à J

0.3

Constructions algébriques

0.3.1

proposition

Pour x,x’ sont des réels constructibles on a : 1. la somme x+x’ est constructible

2. le symétrique -x est constructible 3. le produit x.x’ est constructible 4. pour x’6=0, _xx0 est constructible

0.3. CONSTRUCTIONS ALGÉBRIQUES 11

0.3.2

preuves

1) Montrons que la somme est constructible : - construire le milieu x+x₂ 0

- faire le symétrique de O par rapport à ce milieu

2) Construisons le symétrique : - placer x

- faire le symétrique de x par rapport à O

3) Le produit :

- placer (x,0), (0,x’) et (0,1)

- tracer la droite passant par (x,0) et (0,1) : on note cette droite D - tracer la parallèle à cette droite passant par (0,x’) qu’on note D0 - D0 coupe l’axe des abscisses

- Ainsi, d’après le théorème de Thalès, on obtient : _x10 = _xx00

4) Le quotient :

- placer (0,1), (0,x’) et (x,0) - tracer la droite passant par (0,x’) et (x,0) qu’on note ∆

- tracer la droite parallèle à ∆ passant par (0,1) que l’on notera ∆0

- d’où d’après le théorème de Thalès : ∆0 coupe l’axe des abscisses en (_xx0,0)

0.3.3

remarque

Tous les éléments de Q sont donc constructibles

0.3.4

proposition

Si x est un nombre constructible positif ou nul, alors,√x est constructible

0.3.5

démonstration

Soient (0,0), (-1,0) et (x,0) des points.

0.3. CONSTRUCTIONS ALGÉBRIQUES 13 - contruire le cercle de diamètre [-1,x] donc de centre x−1₂ (qui est bien en-tendu constructible car il appartient à la médiatrice de ce segment)

- on note y l’ordonnée du point d’intersection entre l’axe des ordonnées et le cercle.

- on obtient alors un triangle formés par les points (-1,0), (0,y) et (x,0) qui est rectagle au point (0,y).

- d’après le théorème de Pythagore on a donc : (x − (−1))2 = (−1)2+ y2+ y2+ x2 x2+ 2x + 1 = 12+ y2+ y2+ x2 2y2 _{= 2x}

y = √x.

0.3.6

remarques

La réciproque est bien évidemment vraie : en effet, prenons x’=√x un nombre constructible.

LES CORPS ET LES NOMBRES

CONSTRUCTIBLES

0.1. DÉFINITIONS/EXEMPLES 15

0.1

Définitions/Exemples

Un corps (K,+,.) est un ensemble K muni de deux opérations, l’addition et la soustraction (lois de composition interne) qui vérifient :

1. (K,+) est un groupe commutatif c’est-à-dire : * il existe 0 ∈ K tel que 0+x=0 ∀x ∈ K * ∀x ∈ K, ∃ -x, tel que x + (-x)=0

* + est associative soit : (x+y)+z = x+(y+z) ∀(x, y, z) ∈ K3

* x+y = y+x ∀(x, y) ∈ K2

2. (K, {0}, .) est un groupe commutatif c’est-à-dire : * il existe 1 ∈ K\{0} tel que 1.x = x ∀x ∈ K * ∀x ∈ K\{0} il existe x−1 tel que x.x−1 = 1

* . est associative : (x.y).z = x.(y.z) ∀x, y, z ∈ K\{0} * x.y = y.x

3. . est distributive par rapport à + : * (x+y).z = x.z + y.z ∀x, y, z ∈ K

0.1.1

exemples

- Q, R, C sont des corps.

0.1.2

définition

Soit (L,+,.) un corps et K un ensemble.

On dit que K est un sous-corps de (L,+,.) si et seulement si : - K ⊂ L

- 1L∈ K

- ∀(x, y) ∈ K2_{, x − y ∈ K}

- ∀(x, y) ∈ K.(K\{0L}), x.y−1 ∈ K

0.1.3

remarque

En pratique, il est souvent plus facile de montrer qu’un triplet (L, +,.) est un corps en montrant qu’il est un sous-corps d’un corps connu.

proposition

Q est le plus petit sous-corps de R.

démonstration

En effet si K est un cous-corps de R on a :

- 1 ∈ K et la stabilité de K pour l’addition nous donne que N ⊂ K - la stabilité pour l’opposé nous donne Z ⊂ K

- la stabilité pour le produit et l’inverse nous donne que Q ⊂ K On a donc Q ⊂ K .

0.2

Les extensions de corps

Tous les corps sont supposés commutatifs.

0.2.1

propriétés/définitions

1) Si K et L sont des corps tels que K soit un sous-corps de L

Alors ont dit que L est une extension de K et on l’indique simplement par K ⊂ L.

2) Si a ∈ L

Alors on note K(a) le plus petit corps de L contenant K et a. Ce sous-corps existe car c’est l’intersection de tous les sous-sous-corps de L contenant K et a.

0.3. NOMBRES ALGÉBRIQUES, NOMBRES TRANSCENDANTS 17 Plus généralement, si a1, a2..., an sont dans L alors K(a1, a2..., an) désigne

le plus petit sous-corps de L contenant K et a1, a2..., an.

3) Soit L une extension de corps de K. L est dite quadratique si elle est de degré 2.

Remarque : si a est un élément de L qui n’est pas élément de K, alors 1 et a forment une famille libre du K-espace vectoriel L, donc une base si l’extension L est quadratique. Dans ce cas, K(a), le plus petit sous-corps de L contentant K et a, qui est engendré par les puissances de a est donc égal à L tout entier.

0.2.2

exemple

Soit Q[√2] = {a + b√_{2/a, b ∈ Q}}

remarque : il s’agit d’un sous-ensemble de R.

*Soient a+b√2 et a’+b’√_{2 deux éléments de Q[}√2] Alors la somme est bien évidemment un élément de Q[√2] .

*De même le produit est aussi un élément de Q[√2]

En effet, (a+b√2).(a’+b’√2) = aa’ + 2bb’ + (ab’ + a’b)√2 *De même pour l’inverse : l’inverse de a+b√2 est 1

a+b√2 = 1 a2_+2b2(a−b √ 2) ∈ Q[ √ 2]

Ces propriétés font alors de Q[√2] un corps. Il contient Q,on parle alors d’une extension de Q.

0.3

Nombres algébriques, nombres transcendants

0.3.1

définition

L’ensemble des nombres algébriques est défini par :

Dans la suite nous utiliserons aussi cet ensemble définit comme : A = {x ∈ R tel que [Q[x] : Q] < +∞}

0.3.2

proposition

0.3.3

notation

0.3.4

preuve

Montrons que A est un sous-corps de R - 1 ∈ A ok

- si x et y ∈ A alors x-y ∈ A ok - si x et y ∈ A et y 6= 0 alors x_y ∈ A En effet :

Soit x et y ∈ A tel que :

Q[x] est un Q espace vectoriel de dimension finie Q[y] est un Q espace vectoriel de dimension finie

Alors Q[x, y] = (Q[x])[y] et Q ⊂ Q[x] ⊂ (Q[x])[y] trois corps donc : dim_{QQ[x, y] = dimQ[x]Q[x, y].dimQQ[x] < +∞ car :}

Il existe P à coefficients dans Q tel que P(y)=0 et Q ⊂ Q[x] donc on peut considérer que P est à coefficients dans Q[x] donc :

0.3. NOMBRES ALGÉBRIQUES, NOMBRES TRANSCENDANTS 19

Q[x + y] ⊂ Q[x, y] donc dimQQ[x + y] < +∞

idem pour Q[xy] donc x+y ∈ A et x.y ∈ A

Et si x∈ A alors il existe d et il existe a0, ..., ad∈ Q tel que

Pd i=0ai.x i _{= 0 et en multipliant par} 1 xd on obtient que Q( 1 x)=0 où Q∈ Q[X]

0.3.5

définition

Soit x ∈ A un nombre algébrique.

On appelle le plus petit degré algébrique le plus petit degré parmi tous les degrés des polynômes P ∈ Q[x] tel que P(x)=0.

0.3.6

exemple

Trouvons le degré algébrique de √2.

Un polynôme annulant ce nombre est P(x)=x2 _{- 2 et il n’est pas possible}

d’en trouver un de degré 1 donc 2 est le degré algébrique de √2.

0.3.7

propriété/définition

Soit K et L deux corps commutatifs. Soit K ⊂ L et a ∈ L.

Théorème de Wantzel et

transcendance de π

0.1. THÉORÈME DE WANTZEL 21

0.1

Théorème de Wantzel

Soit t ∈ R,

t est constructible si et seulement si il existe une suite finie (L0, L1, ..., Lp)

de sous-corps de R vérifiant : 1) L0 = Q

2) ∀i ∈ [0; p − 1], Li+1 est une extension quadratique de Li avec t ∈ Lp

0.1.1

Remarques

1. ∀t ∈ Q, t est constructible (d’après I) on a p=0 et L0 = Q.

2. Si t ∈ R\Q et t est constructible alors p 6 1. 3. On peut choisir p tel que t ∈ Lp\Lp−1

0.1.2

proposition

Soient :

-F un sous-corps de R et U = F.F l’ensemble des coordonnés dans F -D l’ensemble des droites passant par deux points distincts de U.

-C l’ensemble des cercles centrés en un point de U et de rayon égal à la distance de deux points distincts de U.

On a :

1) Soit d une droite de D et γ un cercle de C :

Si un point M ∈ d∩γ, alors M ∈ U = FxF ou bien il existe G une extension quadratique de F tels que les coordonnés de M ∈ G

Si M ∈ γ ∩ γ0, alors M ∈ U ou bien il existe G une extension quadratique de F tels que les coordonnées de M appartiennent à G.

0.1.3

preuves

1) Soient l’équation de d : ux + vy + w = 0 à coefficients dans F et l’équa-tion de γ :

x2_{+ y}2 _{− 2ax − 2by + c = 0 à coefficient dans F et M(x,y) qui vérifie donc}

les deux équations.

On a (u,v)6=(0,0) et d’après l’équation de d on a : y = −u

vx − w

v En substituant dans l’autre équation on a :

(1 + (u v) 2_).x2_{+ 2(}uw v2 − a + bu v )x + (c + 2 bw v + ( w v) 2_{) = 0}

Donc x est zéro d’un polynôme de la forme P(X)=(X-a1)(X-a2) où (a1, a2) ∈

F2

Ainsi, comme P(x)=0 pour x=a1 ou a2 alors x ∈ F et donc y = −u_vx − w_v

∈ F d’où M ∈ U.

Sinon, P(X) est le polynôme minimal de l’élément x sur le corps F. Soit G = F(x), on a [G : F] = degP=2

Donc G est une extension quadratique de F On a donc y = −u_vx − w_v ∈ G

Donc M ∈ G .

2) L’idée est la suivante : résoudre le système en utilisant les deux équa-tions de cercle puis se mener en 1).

0.1. THÉORÈME DE WANTZEL 23

0.1.4

Preuve du théorème de Wantzel

On notera P le plan affine euclidien orienté, R(0,−→i ,−→j ) un repère ortho-normé direct de P où chaque point M de à ses coordonnées dans P.

⇒ Soit t ∈ R constructible.

Alors M(t,0) constructible et il existe une suite finie (M1, M2, ..., Mn) de point

de P tel que ;

∀i ∈ [1, n], Ai = Ai−1S{Mi} où A0 = {0, I}M n = M et ∀i ∈ [1, n] Mi est

constructible en un pas à partir de Ai−1.

∀i ∈ [1, n] posons, Mi = (xi, yi), Ko = Q et

Ki = Q(x1, y1, ..., xi, yi) donc (K0, Kn) est une suite de sous-corps de R

crois-sante au sens de l’inclusion et t=xn ∈ Kn.

Comme Mi est constructible en un pas à partir de Ai−1 les équations des

cercles et des droites avec lesquelles on construit Mi sont à coefficients dans

Ki−1 et on a deux cas d’après la proposition :

-Soit xi ∈ Ki−1 et yi ∈ Ki−1 donc Ki−1 = Ki.

-Soit il existe G extension quadratique de Ki−1 tel que Mi ∈ G : xi ∈ G

et yi ∈ G et donc [G : Ki−1]=2

Donc la suite (Kn) est une suite de sous-corps de R strictement croissante

au sens de l’inclusion tel que K0 = Q , t=xnet ∀i ∈ [1, n]; [Ki : Ki−1]=1 ou 2 .

On extrait de cette suite une suite strictement croissante (L0, ..., Lp) en ne

conservant que les extensions quadratiques avec Lo= Q et Lp = Kn

D’où le sens direct.

⇐ Soit T le corps des nombres réels constructibles. On veut montrer par récurrence que :

∀i ∈ [1, p], Li ⊂ T

L0 = Q ⇒ L0 ⊂ T car Q constructible.

On suppose que Li ⊂ T

Soit x ∈ Li+1\Li. Comme [Li+1 : Li]=2 alors (1,x) est une base de Li+1 sur

Li donc (1, x, x2) est liée dans Li.

Si a=0 alors x=−c_b ∈ Li donc x ∈ T

Sinon on résout l’équation du second degré et on a x ∈ {−b±

√ b2_−4ac

2a }

Or T est un sous-corps stable par racine carrée donc x ∈ T donc Lp ⊂ T

donc t est constructible.

0.1.5

corollaire du théorème de Wantzel

Soit x∈ R, ; si x est constructible alors il existe e∈ N tel que [Q(x) : Q] = 2e

0.1.6

preuve

Si x constructible Alors il existe une suite finie (L0, ..., Lp) de sous-corps

de R vérifiant : L0 = Q, ∀i ∈ [0, p − 1], [Li+1: Li] = 2

et x ∈ Lp d’après le théorème de Wantzel.

Or, 2p _{= [L : Q] = [L}p : Q(x)][Q(x) : Q] d’où le fait qu’il existe e ∈ N tel

que [Q(x) : Q] = 2e

0.1.7

corollaire

Tout nombre constructible est algébrique.

0.1.8

preuve

Soit x un élément constructible alors d’après le corollaire du théorème de Wantzel, il exite e ∈ N tel que [Q(x) : Q] = 2e _<∞.

Donc x est algébrique sur Q.

0.1.9

lemme

Soit a ∈ R+_;

0.2. THÉORÈME FONDAMENTAL DES POLYNÔMES SYMÉTRIQUES25

0.1.10

preuve

Montrons la contraposée : a est algébrique si et seulement si sa racine l’est aussi.

⇒ Soit a un nombre algébrique, soit P le polynôme minimal de a sur Q : P(a)=0.

Soit Q(x)=P(x2_{) .}

Alors Q(x) ∈ Q[x]\ 0 car P non nul On a Q(√a) = 0 donc √a est algébrique.

⇐ On a √_{a algébrique tel que Q[}√a] = {b + c√_{a/(b, c) ∈ Q}2_}

{1,√_{a} est une base de Q[}√_{a] sur Q.} Donc [Q[√a] : Q]=2 < ∞

On a : a ∈ Q[√a] implique que Q[a] ⊂ Q[√a] Donc [Q[a] : Q] 6 [Q[√a] : Q]

Donc [Q[a] : Q] < ∞ Donc a est algébrique.

0.2

théorème fondamental des polynômes

sy-métriques

Soit A un corps commutatif.

Si P est un polynôme symétrique de n variables à coefficients dans A Alors il existe un unique polynôme T à coefficients dans A tel que :

P (X1, ..., Xn) = T (Sn,1, ..., Sn,n) où les Sn,i sont les fonctions symétriques

élémentaires des variables X1, ..., Xn .

0.3

Transcendance de e et de π

0.3.1

transcendance de e

Procédons par l’absurde : supposons que e soit algébrique .

Soit p un nombre premier. Prenons le polynôme :

f(x)=xp−1(x−1)p_(p−1)!(x−2)p...(x−n)p qui est de degré np+p-1 d’où d(np+p)(x) = 0 Prenons F(x)=f(x)+f0(x) + ... + f(np+p−1)(x)

On a dans ce cas :

d dx{e

−x_{F (x)} = e}−x_{F0

(x) − F (x)} = −e−xf (x) d’où pour tout α : aα

Rα 0 e

−x_{f (x)dx = a}

α[−e−xF (x)]α0 = aαF (0) − aαe−αF (α)

En multipliant par eα _{les deux membres on obtient :}

aαeα

Rα

0 e

−x_{f (x)dx = a}

αeα(0) − aαF (α)

En sommant pour α=0,1,...,n on obtient :

n α=0(aαeα Rα 0 e −x_{f (x)dx) = F (0)}n α=0aαeα−Pn_α=0aαF (α) ~ = −Pn α Pnp+p−1 β=0 aαf β_{(α) car} Pn αaαe α _{= 0}

0.3.2

lemme

Pour tout α et pour tout β, fβ(α) est un entier divisible par p sauf si α=0 et β=p-1 et alors f(p−1)_{(0) = (−1)}p_...(−n)p

0.3.3

démonstration du lemme

Pour α ∈ {1, ..., n}, α est un zéro d’ordre p du polynôme f, il en résulte que α est un zéro de f, f0, ..., fp−1 _{ce qui prouve la première partie du lemme}

pour β _{6 p − 1.}

En développant f(x) on obtient :

f(x)=_(p−1)!1 (bp−1xp−1+ bpxp + ... + bnp+p−1xnp+p−1) avec bp−1...bnp+p−1 ∈ Z

donc en écrivant à l’ordre p : fp_{(x) =} p! (p−1)!bp+ (p+1)! 1!(p−1)!bp+1x + ... + (np+p−1)! (np−1)!(p−1)!bnp+p−1x np−1 = pbp + (p + 1)C1 pbp+1x + (p + 2)Cp+12 x2+ ... + (np + p − 1)C np−1 np+p−1bnp+p−1xnp−1

Les coefficients de fp(x) sont donc entiers, le terme est pbp et pour λ ∈

0.3. TRANSCENDANCE DE E ET DE π 27 (p + λ)bp+λCp−1+λλ = (p + λ)bp+λ(p+λ)(p+λ−1)...p_(p−1)!

p étant premier, les coefficients de fp(x) sont donc tous dans pZ, il s’en-suit que les coefficients de fβ_{(x) pour β > p sont aussi des éléments de pZ.}

Donc, pour tout α ∈ {1, ..., n} et tout β _{> p, f}β_{(α) ∈ pZ ce qui complète la} démonstration de la première partie du lemme.

D’autre part, comme le terme constant de fβ(x) pour β > p est égal à fβ_{(0) ∈ pZ pour β > p.}

Et comme 0 est un zéro d’ordre p-1 de f on a :

f(0)=f0(0) = ... = fp−2(0) = 0 ce qui prouve la deuxième partie du lemme lorsque β 6= 0

Enfin, fp−1(0) = (p−1)!_(p−1)!bp−1= bp−1 = (−1)p...(−n)p

Coefficient du terme de plus de plus bas degré de f.

Du lemme on en déduit que l’expression _{~ est de la forme :} Tp−a0(−1)

p_...(−n)p

avec T ∈ Z

Si p > sup(n, |a0|) et p premier, p n’est pas diviseur de l’entier a0(−1)p...(−n)p.

Donc pour un nombre premier p suffisamment grand, le premier membre de ~ est un entier non divisible par p et donc ~ est non nul . Nous allons main-tenant majorer l’intégrale :

Si 0_{6 x 6 n : on a |f (x)| 6} xnp+p−1 (p−1)! donc |Pn α=0aαe αRα 0 e −x f (x)dx| 6 Pn α|aα|e αRα 0 nnp+p−1 (p−1)! dx 6 (Pn α=0|aα|eα)n np+p (p−1)!

qui tend vers 0 quand p tend vers l’infini. On a donc prouvé la transcen-dance de e.

0.3.4

transcendance de π

La démonstration fait intervenir la formule d’Euler.

Par l’absurde on suppose de π, et iπ sont algébriques. Alors iπ est racine d’une équation bm+ bm−1x + ... + d1xm−1+ dxm avec m> 1 et b6= 0, d1, ..., d

Si γ1 = iπ, γ2, ..., γm sont les racines de cette équation, l’égalité d’Euler

eiπ_{+ 1 = 0 on en déduit que :}

(1 + eγ1_{)(1 + e}γ2_{)...(1 + e}γm_{) = 0}

En développant le produit, on obtient : 1 +

2n−1

X

n=1

eU n = 0 _} où U1, U2, ..., U2m₋₁ sont les 2m− 1 nombres.

P

i∈Iγi I⊂ {1, ..., n} et I6= ∅ :

1 + X

I⊂{1,...,n}

ePi∈Iγi _{= 0}

En récrivant _{} on obtient la somme de 1 et de produit exponentielles} ’est-à-dire des exponentiels de sommes de nombres pris parmi les Ui. Certaines

de ces sommes sont nulles étant des exponentielles égales à 1.En regroupant tous ces 1 sous la forme d’un entier k>0 on a :

k + eui+ eU2 _{+ ... + e}Ur _{= 0}

où les U1, ..., Ur sont toutes les sommes non nulles de nombres puis parmi

les γi.

Considérons le polynôme :

Ψ(X) = (X − U1)(X − U2)...(X − Ur)

On va montrer que ces coefficients sont rationnels .

Ces coefficients sont, au signe près, les fonctions symétriques élémentaires de U1, ..., Ur , ce sont des polynômes symétriques à coefficients de U1, ..., U r

0.3. TRANSCENDANCE DE E ET DE π 29 P

i∈Iγi avec I⊂ {1, ..., n} et I 6= ∅

Au final, les coefficients de Ψ(X) sont des polynômes symétriques à co-efficients entier de γ1, γ2, ..., γn. D’où d’après le théorème fondamental des

polynômes symétriques, les coefficients de Ψ(x) s’écrivent comme polynômes à coefficients entiers des fonctions symétriques élémentaires de α1, α2, ..., αn.

Ainsi, demandons nous si Ψ(x) est un polynôme à coefficients rationnels. Soit A(x) = CΨ(x) un polynôme à coefficients entiers obtenu à partir de Ψ(x) en chassant les dénominateurs des coefficients. Nous avons donc que la preuve de la transcendance de π est ramenée à démontrer le résultat suivant :

Soient U1, ..., Ur les racines d’un polynôme tel que :

A(x) = Cxr_+C

1xr−1+...+Cr de degré r61 sans racine nulle tel que Cr6= 0

L’égalité k +eU1_+...+eUr _{= 0 est impossible avec k entier > 1. Démontrons}

le :

Prenons les polynômes f(x)=Cqx_(p−1)!p−1A(x)p avec p premier et q=r(p-1) et F(x)=f(x)+f’(x)+...+fq+p+r−1_{(x) donc} d

dx(e

−x_{F (x)) = −e}−x_{f (x) de facon}

que :

e−xF (x) − F (0) = −R₀xe−yf (y)dy

En faisant un changement de variable y=λx dans l’intégrale on obtient : F (x) − exF (0) = −x Z 1 0 e(1−λ)xf (λx)dλ Pour x = U1, ..., Ur et en sommant on a : r X i=1 F (Ui) + kF (0) = − r X i=1 Ui Z 1 0 e(1−λ)Ui_{f (λU} i)dλ

Pour i∈ {1, ..., r}, puisque Ui est racine multiple d’ordre p de f(x) on

re-marque que si 0_{6 t < p on a :} Pr

i=1f t_(U

Si t_{> p chaque dérivée C}1qft(Ui) est dérivable par p puisque pour obtenir

un terme non nul il faut dériver notre polynôme A(x)p _{p fois . Ce qui nous}

aide à supprimer le facteur (p-1) ! de notre dénominateur et laisse le produit par p d’un polynôme à coefficients entiers en Ui.

Le polynômePr

i=1ft(Ui) est symétrique en les Ui et de degré inférieur ou

égal à q pour ce t.

On en déduit que c’est un polynôme à coefficients entiers de degré inférieur ou égal à q aux coefficients Ci

C.

Le produit par Cqutilisé dans la définition nous permet de dire quePr

i=1f t_(β

i)

est un entier. D’où si t_{> p alors :} Pr

j=1ft(βj) = pkt avec kt un entier.

En suite en examinant F(0) nous remarquons que ft(0)=0 si t < p − 2 et Cq_Cp

r.

Si t=p-1 et est un entier divisible par p avec t_{> p on a :} Pr

i=1F (Ui)+kF (0) ’écrit sous la forme Kp+kC q_Cp

r avec K entier et k,C,Cr,

non nuls.

Donc si p>(k,|C|, |Cr|), cette expression est un entier non divisible par p

(qui est non nul dans ce cas). Ainsi |f (λUi)| 6

|C|q_n(i)p

(p−1)! |Ui|

p−i _{avec n(i)=Sup}

06λ61|A(λUi)| . Donc : | − r X i=1 Ui Z 1 0 e(1−λ)Ui_{f (λU} i)dλ| 6 r X i=1 |Ui|p|eq||n(i)|p.D (p − 1)! Avec D = SupiR −01|e(1 − λ)Ui|dλ .

De ce fait, on obtient : lim p→+∞− r X i=1 Ui Z 1 0 e(1−λ)Ui_{f (λU} i)dλ = 0

0.3. TRANSCENDANCE DE E ET DE π 31 avec −Pr i=1Ui R1 0 e (1−λ)Ui_{f (λU} i)dλ 6= 0

0.1. CONCLUSION 33

0.1

conclusion

Ainsi, la quadrature du cercle ne peut s’effectuer à la règle et au compas. En effet, comme vu précédemment π n’est pas un nombre algébrique donc n’est pas constructible .

Comme π n’est pas constructible, alors√π n’est pas constructible d’après la contraposée du théorème (Ic).

0.1. BIBLIOGRAPHIE 35

0.1

bibliographie

- Autour du nombre π PIERRE EYMARD et JEAN-PIERRE LAFON - Le fascinant nombre π JEAN-PAUL DELAHAYE

- http://iml.univ-mrs.fr/~rodier/Cours/RappelCorps%20finis.pdf - polycopiè distribuè par l’enseignant : III CORPS : THEORIE ELEMENTAIRE

- polycopiè distribuè par l’enseignant : Nombres algèbriques et applications gèomètriques CONCOURS D’ADMISSION 1996