Université de Rennes 1 2011-2012
Magistère de mathématiques L3-Topologie
Feuille 4 :
Espaces complets, espaces de fonctions continues
Exercice 1. Soit (E, d) un espace métrique.
1. Soit (xn)n∈N une suite à valeurs dans E telle que :
d(xn, xn+1) ≤ 2−n, ∀n ∈ N. (1)
2. Montrer que E est complet si et seulement si toute suite de E vérifiant (1) converge. Exercice 2. Montrer qu’un espace vectoriel normé E est complet si et seulement si toute série P
nxn avecPnkxnk < +∞ converge.
Exercice 3. Soit X un espace métrique et F un espace de Banach. On considère l’espace Cb(X, F ) muni de la norme k · k∞et une suite (fn)n∈N. Montrer que siPnkxnk < +∞, alors, la
sérieP
nfn(x) converge uniformément par rapport à X.Pnfn(x) appartient-elle à Cb(X, F ) ?
Exercice 4. Soit E = {ai, i ∈ N} un ensemble dénombrable, on définit d : E × E → R+ par ∀i ∈ N d(ai, ai) = 0 ∀i 6= j d(ai, aj) = δ + 1 i + 1 + 1 j + 1. Montrer que c’est une distance si δ ≥ 0; (E, d) est-il complet ? Exercice 5. Sur l’espace C[X] des polynômes on pose, pour
P = n X 0 akXk, kP k∞= sup k |ak|, kP k1 = n X 0 |ak|, kP k2= v u u t n X 0 |ak|2.
Montrer que l’on définit ainsi trois normes non équivalentes et que l’espace (C[X], k · k∞) n’est
pas complet.
Exercice 6. Soit E l’ensemble des fonctions de classe C1 de [0, 1] dans R telles que f (0) = 0. Démontrer que kf k = sup t∈[0,1] |f (t)| + sup t∈[0,1] |f0(t)| et kf k1 = sup t∈[0,1] |f (t) + f0(t)|
définissent deux normes équivalentes sur E et que E est complet. Exercice 7. Montrer que l’espace C([0, 1]; R) normé par kf k1=
R1
0 |f (x)| dx n’est pas complet.
(on pourra considérer la suite de fonctions fn(t) = inf(n,√1 t))
Exercice 8. ]0, 1[ et [0, 1] sont-ils homéomorphes ?
Exercice 9. Soit E = C0([0, 1], R) muni de la norme uniforme et : X = {f ∈ E : −2 ≤ f (x) ≤ 0, x ∈ [0, 1]}. Pour f ∈ X, on considère la fonction T f définie par :
(T f )(x) = 1 2 Z x 0 f (y) sin x − y 2 dy − x, x ∈ [0, 1]. 1. Montrer que X est fermé dans E.
2. Montrer que si f ∈ X, alors T f ∈ X.
3. Montrer qu’il existe une unique fonction f0 ∈ X : T f0 = f0.
Exercice 10. Montrer que pour une norme quelconque sur Mn(K), K = R ou C, Id + A est
inversible et log(Id + A) est bien défini dès que la norme de A est assez petite. (On vérifiera que c’est vrai en particulier pour kAk < 1 si k k est une norme d’algèbre).
Quelques résultats fondamentaux
Exercice 11. Théorème de Cauchy-Lipschitz : On considère une fonction f : Rt×Rdy → Rdy
continue et localement Lipschitzienne par rapport à y : Pour tout (t, y) ∈ R1+d, il existe un voisinage Vty de (t, y) et une constante Cty qui dépend de (t, y) telle que
∀y1, y2 ∈ Rd,
((t, y1) ∈ Vty et (t, y2) ∈ Vty) ⇒ (kf (t, y2) − f (t, y1)k ≤ Ctyky2− y1k) .
Sous ces hypothèses, on considère le problème de Cauchy (i.e. équation différentielle avec données initiales)
y0(t) = f (t, y(t)) y(0) = y0 ∈ Rd.
(2) 1. Vérifier que y ∈ C1([−α, α]; Rd) résout (2) si et seulement c’est un point fixe de l’application
Φ : C0([−α, α]; Rd) → C([−α, α]; Rd) définie par [Φ(y)] (t) = y0+
Z t
0
f (s, y(s)) ds.
2. Montrer que pour α > 0 et R assez petits, Φ est une contraction de C0([−α, α]; Bf(y0, R))
dans lui même. Conclure.
Exercice 12. Théorème des fonctions implicites : Soit f une fonction C1 de Rnx × Rmy dans Rm et l’on rappelle que dans ce cas la différentielle de f par rapport à y en un point (x0, y0), notée dyf (x0, y0) est l’unique application linéaire de Rm dans Rm telle que f (x0, y) =
f (x0, y0) + dyf (x0, y0).(y − y0) + o(ky − y0k) quand y → y0.
On suppose que f (0, 0) = 0 et que M = dyf (0, 0) est dans GLm(R).
1. Montrer que pour α > 0 et r > 0 assez petit l’application Φ définie sur Fαr = C0(Bfn(0, α); Bfm(0, r))
par
[Φ(y)] (x) = y(x) − M−1f (x, y(x)) = −M−1[f (x, y(x)) − M.y(x)] envoie F dans lui même et est une contraction de Fαr.
2. En déduire que pour α > 0 et r > 0 il existe une unique application continue y de Bfn(0, α) dans Bm
f (0, r) telle que f (x, y(x)) = 0 pour tout x ∈ Bf(0, α).
3. Vérifier que la solution y(x) est en fait C1et que sa différentielle vaut dxy(x) = −dyf (x, y(x))−1◦
dxf (x, y(x)).
Exercice 13. Théorème de Baire : Soit (X, d) un espace métrique complet :
1. Montrer qu’une suite décroissante de fermés (Fn)n∈N, non vides, Fn6= ∅, dont le diamètre
tend vers 0 quand n → ∞ a une intersection non vide.
2. Montrer qu’une intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Indication : On prendra une suite (On)n∈N d’ouverts denses et pour x ∈ X, on construira pour tout voisinage V une suite décroissante de boules fermées (Bn)n∈N telles que Bn ⊂ V ∩ O1∩ · · · ∩ On.
3. On appelle Gδ-dense une partie de X qui s’écrit comme intersection dénombrable d’ouverts
denses. Montrer que la famille des Gδ-denses est stable par intersection dénombrable. 4. On appelle partie maigre de X une partie incluse dans un réunion dénombrable de
fer-més d’intérieur vide. Montrer que X n’est pas maigre et ne peut s’écrire comme réunion dénombrable de parties maigres.
5. Montrer que si X est égal à une réunion dénombrable de fermés X = S
n∈NFn alors la
réunion des intérieursS
n∈N ◦
Fn est un ouvert dense de X. (On travaillera dans une boule
fermée arbitraire de X).
6. Que peut-on dire pour un espace topologique (X, T ) si on remplace les mots “métrique complet” par localement compact (au sens ou tout point admet une base de voisinages compacts) ?
Exercice 14. Une application du théorème de Baire :
1. Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions réelles continues sur [0, 1] qui converge simplement vers
f . Pour n, p, q ∈ N on note Fn,p= \ q≥p x ∈ [0, 1] , |fq(x) − fp(x)| ≤ 1 n + 1 .
(a) Montrer que pour n fixé, l’unionS
p∈NFn,p n’est autre que [0, 1].
(b) En appliquant le a), en déduire que On=Sp∈N ◦
Fn,p est un ouvert dense de [0, 1]. A
l’aide du théorème de Baire à nouveau, en déduire que G =T
n∈NOn est un Gδ-dense
de [0, 1].
(c) Expliciter ce que signifie x ∈ G et en conclure que la limite simple f est continue en tout point de G.
2. Montrer que la fonction 1Q ne peut être limite simple d’une suite de fonctions continues. 3. Montrer que la dérivée de toute fonction dérivable sur [0, 1] est continue sur un Gδ-dense
de [0, 1]. (On écrira la dérivée comme une limite simple de fonctions continues).
Exercice 15. Polynômes de Bernstein : L’objectif de cet exercice est de redémontrer de façon plus explicite la densité de R[X] dans C0([a, b]; R). On commencera avec a = 0 et b = 1.
1. En dérivant la formule du binôme par rapport à X, montrer pour n ∈ N∗ les identités de polynômes à 2 variables : nX(X + Y )n−1= n X p=0 pCnpXpYn−p et n(n − 1)X2(X + Y )n−2= n X p=0 p(p − 1)CnpXpYn−p. 2. Montrer que pour tout x ∈ R on a
n X p=0 Cnpxp(1 − x)n−p= 1 et n X p=0 (nx − p)2Cnpxp(1 − x)n−p= nx(1 − x).
(Pour la deuxième identité, on utilisera les deux égalités du a)). 3. Pour f ∈ C0([0, 1]; R), on note Pn le polynôme
Pn(X) = n X p=0 Cnpf (p n)X p(1 − X)n−p.
Montrer que pour tout ε > 0 il existe α > 0 tel que x − p n ≤ α ⇒ f (x) − f p n ≤ ε. Vérifier que si x −np ≥ α alors nx−pnα
2 ≥ 1. En remarquant que f (x) − Pn(x) = n X p=0 Cnp f (x) − f p n xp(1 − x)n−p montrer que |f (x) − Pn(x)| ≤ ε + 2 kf k∞ nα2 .
Conclure que lim
n→∞Pn(x) = f (x) uniformément sur [0, 1].
4. Comment obtient-on en général le résultat pour C0([a, b]; R) ?
