Lycée 2 Mars 34 Ksar Hellal
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Devoir de contrôle n° 2
Devoir de contrôle n° 2
Devoir de contrôle n° 2
Devoir de contrôle n° 2
4444
èmeèmeèmeèmeM
M
M
Math
ath
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Mr
Mr
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Mr Boudhaouia
Boudhaouia
Boudhaouia
Boudhaouia
Durée
Durée
Durée : : : : 2 h
Durée
2 h
2 h
2 h
Le
Le 03/02
Le
Le
03/02
03/02
03/02/20
/20
/2011110000
/20
Exercice 1 (4 points)
Donner la réponse correcte sans aucune justification.
A/
1) Soit l’application du plan complexe vers lui-même qui à tout point M d’affixe
associe le point ′ d’affixe ′ tel que ′ = 2 + 1 + alors f est :
a) une translation b) une rotation c) une homothétie
2) Soit g l’application du plan complexe vers lui-même qui à tout point M d’affixe z
associe le point ′ d’affixe ′ tel que ′ = 2 ̅ + 3 alors g est :
a) une homothétie b) une similitude indirecte c) une symétrie axiale
B/
Soit une symétrie glissante d’axe ∆.
1) Soit D une droite parallèle à ∆ , alors о ∆ est :
a) une translation b) une rotation c) une symétrie centrale 2) Soit D une droite sécante à ∆ alors о ∆ est :
a) une translation b) une rotation c) une symétrie centrale
C/
Soit S une similitude directe de rapport 2 et d’angle . 1) Soit h une homothétie de rapport 2 alors о ℎ est :
a) une homothétie b) une rotation c) une translation 2) Soit R une rotation d’angle alors о est :
a) une homothétie b) une translation c) une symétrie centrale
Exercice 2 (8 points)
Soit un carré de centre tel que , ≡ !2"# et $ = ∗ , la bissectrice intérieure de , coupe ! # en J.
1) a) Montrer qu’il existe une unique similitude directe qui transforme & en et en . b) Déterminer le rapport et l’angle de .
c) Montrer que est le centre de . d) Donner la forme réduite de .
2) Soit la rotation de centre et d’angle
' .
a) Montrer que : = ()*) о (),)
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’application : - = о (),)
3) On pose : . = /( ) et on désigne par 0 la similitude indirecte qui transforme : & en et en ..
a) Montrer que 2 est le rapport de 0 en déduire que 0 admet un centre. b) Déterminer (0 о 0) (&). En déduire que est le centre de 0.
c) Déterminer alors l’axe de 0.
Exercice 3 (8 points)
Soit la suite U définie sur &1∗ par : 23 = 4 5 63 7 87
9 :
; .
1) a) Justifier l’existence de 23 pour tout 6 ∈ &1∗. b) Montrer que ∀6 ∈ &1∗ , 23 ≥ 0 .
c) Montrer que la suite 2 est décroissante. Que peut-on conclure ? d) Vérifier que : 2 = 1 et que 2 =
' .
2) a) A l’aide d’une intégration par parties montrer que :
∀6 ∈ &1∗ on a : 4 5 637 @A5 7 87 = 3B 23B 9 : ; . b) En déduire ∀6 ∈ &1∗ on a : 23B = 3B 3B 23.
c) Montrer que pour tout entier 6 ≥ 2 on a : 3
3B 23 ≤ 23B ≤ 23
En déduire la limite de DEFG
DE .
3) a) Montrer par récurrence que : 6 23 23 = b) En déduire la limite de la suite .
