Investigation des méthodes d'estimation en aéroacoustique automobile par résolution temporelle rapide des équations intégrales

THESE

pour l’obtention du Grade de

Docteur de l’Université de Poitiers

(École Supérieure d’Ingénieurs de Poitiers) (Diplôme National – Arrêté du 7 août 2006)

École Doctorale : Sciences et Ingénierie en Materiaux, Mécanique, Energétique et Aéronautique Secteur de recherche : Aéroacoustique – Aérodynamique

Présentée par:

Mathieu WATRIGANT

Investigation des méthodes d’estimation en

aéroacoustique automobile par résolution

temporelle rapide des équations intégrales

Directeurs de Thèse :

Christian PRAX – Emmanuel PERREY-DEBAIN Tuteurs industriels :

Christophe PICARD – Vincent HERBERT

Soutenue le 10 Novembre 2010 devant la Commission d’Examen

JURY

Mabrouk BEN-TAHAR (Professeur, UTC, Compiègne) Président Charles PEZERAT (Professeur, Université du Maine, Le Mans) Rapporteur Christophe SCHRAM (Professeur Assistant, von Karman Institute, Bruxelles) Rapporteur Jacques BOREE (Professeur, ENSMA, Poitiers) Examinateur Yves GERVAIS (Professeur, Université de Poitiers, Poitiers) Examinateur Vincent HERBERT (Docteur-Ingénieur, PSA-PEUGEOT-CITROËN, Vélizy) Examinateur Emmanuel PERREY-DEBAIN (Maître de Conférences, UTC, Compiègne) Examinateur Christian PRAX (Maître de Conférences, Université de Poitiers, Poitiers) Examinateur

« Semper ubique fideles »

« The stroke of peace »

Remerciements

Merci.... C’est un peu court mais c’est le sentiment qui m’habite au moment d’écrire ces quelques lignes personnelles, une fois la pression de la soutenance retombée. Je vais donc un peu étoffer cette partie au combien importante de la thèse, en tous cas la partie qui est lue par tous, dans l’espoir d’y retrouver son nom, une anecdote intéressante, ou que sais-je encore. Avant d’entrer dans le vif du sujet, je tiens d’abord à remercier et à m’excuser auprès de ceux que j’ai oublié. Je sais qu’elles sont nombreuses, mais il est très difficile de remercier tout le monde tout en conservant une partie remerciement de taille raisonable. Alors merci à chacun d’entre vous, que j’ai eu le plaisir de rencontrer au cours de ces trois années.

“Si on m’avait dit, j’aurais pas venu ! ” C’est donc ça une thèse? Bien sûr, si vu de l’extérieur l’aspect scientifique et technique du projet semble de loin le plus important, les aspects humains et organisationnels prennent aussi une part très importante dans le bon déroulement de l’ensemble... Je pense même maintenant que sans ces deux aspects, une thèse peut difficilement être menée à bout.

En réalité, une des faces cachées de la thèse est que cette aventure, c’est avant tout des rencontres, et la confirmation de relations déjà existantes. Je souhaite donc remercier toutes les personnes qui ont pris une part primordiale dans le bon déroulement de cette thèse. Je souhaite donc adresser un merci général à tous ceux que j’ai pu croiser, non pas depuis seulement 3 ans, mais depuis bien plus longtemps, au cours des dix dernières années, et qui ont eu une incidence sur mon parcours, même sans le savoir.

En pôle position, je souhaite remercier les personnes sans qui je ne serais pas arrivé à ce point aujourd’hui. Je pense particulièrement à mes parents, qui m’ont soutenu tout au long de mon parcours pour le moins chaotique. Où serais je aujourd’hui s’ils ne m’avaient pas poussé à poursuivre mes études après le bac? A ce qu’il paraît, il n’y a pas que le sport automobile dans la vie. Suivre un doux rëve, c’est bien, mais assurer ses arrières en plus, c’est mieux. A la suite de mes études d’ingénieur “classiques”, ils ont soutenu mon choix de continuer en thèse, alors que le chemin le plus simple et sécurisant aurait sûrement été d’intégrer directement l’industrie en CDI... Au cours de la dernière année, ils ont accepté (forcés ou non) de ne presque plus me voir pour que je puisse me consacrer uniquement à ma thèse, le week end étant aussi une bonne occasion pour finir la semaine. Dans un soucis de continuité familliale, je souhaite remercier mes frères, Nicolas, Thomas, Va-lentin, Timothée et ma sœur, ma princesse Elise, qui m’ont permis de me ressourcer et de changer d’air de temps en temps le week end. Particulièrement, je remercie mon frère aîné, Nicolas, avec qui j’ai habité pendant ces trois années. Que de chemin parcouru entre la colocation de ce super 15 m2_à

Boulogne, qu’on a même réussi à diviser en 3 par moments, à l’achat de l’appartement à Châtillon. Ces week ends entiers passés dans la poussière des travaux, et ces fameuses 89 plaques de placo, les journées destruction de mur, reconstruction, plomberie, plafonds (mes préférées), carrelage, elec-tricité, bandes d’enduit (la contribution majeure à la poussière)... Maintenant que l’appartement est plus proche de la fin que du début, il va enfin être temps d’en profiter à fond. On recommence

ii REMERCIEMENTS quand? :p. Je souhaite aussi remercier mes grands parents, oncles, tantes et cousins cousines qui ont toujours montré de l’intérêt pour mes travaux.

Je souhaite également remercier les personnes sans qui le projet de cette thèse n’aurait pas pu voir le jour. Je pense particulièrement à l’instigateur du sujet de thèse, Christophe Picard, qui a aussi été mon tuteur industriel pendant les deux premières années. Merci d’avoir cru en moi et de m’avoir soutenu malgrè mon incompétence notoire. Je te souhaite bonne continuation au CEVAA, et dans tous les domaines de ta vie. Merci aussi à mes deux directeurs de thèse, Christian Prax et Emmanuel Perrey-Debain qui ont suivi mon travail au cours de ces trois années, et qui ont permis, grâce à leur recul, de trouver le juste équilibre entre l’intêret industriel et l’intêret scientifique de cette thèse. Je remercie également Vincent Herbert, le responsable du service MFTA dans lequel j’ai effectué l’essentiel de ma thèse pour m’avoir accueilli dans un premier temps dans son équipe, puis pour avoir repris l’encadrement industriel de ma thèse au pied levé, début 2010.

Je remercie aussi l’ensemble de mon jury qui a accepté d’évaluer mon travail de thèse, et parti-culièrement les rapporteurs, Mr. Schram et Mr. Pézerat, dont les relectures ont permis d’avoir une vision extérieure à mon travail, ainsi que le président du jury, Mr. Ben Tahar.

Je remercie aussi l’ensemble du personnel que j’ai pu rencontrer au cours de ma thèse, que ce soit chez PSA, à l’UTC où à P’, aussi bien les permanents, les thèsards ou les stagiaires qui ont contribué à la bonne ambiance dans laquelle j’ai pu évoluer pendant 3 ans. Outre les personnels des services et bâtiments dans lesquels j’ai travaillé, je souhaite remercier particulièrement Denis Thenail, dont l’apport de la vision plus “métier” a été considérable, et Touffic Abboud, dont les connaissances ont souvent contribué à l’avancement du travail sur les points bloquants.

J’ai une pensée particulière pour tous les thèsards que j’ai pu rencontrer au cours de ma thèse, ceux qui ont fini longtemps avant moi : Sébastien, le créateur de la la thèse évaluée en dBt, du tableau à “objectifs”, du “tout n’est pas perdu” et du “j’ai trouvé de l’acoustique”, Gregory, un aérodynamicie hors pair, à l’origine du nombre de “Greg’, Sylvain, Mahmoud souvent dans leur labos respectifs . Ceux qui étaient à peu près au même stade d’avancement dans leurs thèses respectives : Xavier, mon coloc de bureau poitevin; Remi, nl’auvergnat exilé en Belgique pendant deux ans; Lionel, la référence en tour du monde; Stéphane, à la moyenne temporelle fluctuant dans le temps; David, l’homme serpent, ou devrai je dire l’homme python?; Thomas, l’expérimentateur qui aura fait autant de numérique ou dans l’autre sens, je ne sais plus.

Enfin, j’adresse tous mes encouragements aux doctorants actuellement au début leur deuxième ou troisième annnée : Thomas, le “petit frère de Mahmoud”; Jeoffrey, le pro du karaoké (“on va s’aimer...”, hein Gilbert?), et qui va essayer de retrouver des resultats au plus proche des miens en 3D, bon courage (j’ai longtemps hésité à ajouter une section spéciale “encouragements” pour toi, mais bon); Cyril, un autre “analogue” et Ida, une expérimentatrice formée à l’école du numérique (les ponts sont donc si courts que celà entre numérique et expérimental?)....

Un merci particulier aussi aux informaticiens, Jean Christophe Vergez, alias bipbip, Laeck Che-nai, Boris Stoecker, ... qui m’ont sorti plus d’une fois de situations délicates, alors que je risquais de perdre une quantité non négligeable de données. Un merci tout particulier aussi à Cyrille qui m’a aidé à me former au plus vite à la programmation MPI et au lancement de calculs sur le cluster du LEA... A quoi ressemblerai mon dernier chapitre sans ton aide? Je te souhaite une bonne réussite maintenant que tu es parti voguer sous les cieux capricieux du Nord.

Je remercie aussi mes amis hors PSA, P’ ou UTC, que j’ai connu avant ou pendant ces trois ans. La thèse cumulée à ma vie déjà très remplie par mes autres activités, ne m’ont autorisé que très peu de temps libre sur ces trois dernières années, essentiellement concentrés dans les nuits de Jeudi à Vendredi, la nuit sans sommeil. Merci de m’en avoir tenu que peu rigueur, j’espère dorenavant avoir un peu plus de temps disponible. Il est peu classique de retrouver un remerciement pour un

REMERCIEMENTS iii prof’ de prépa. Je tiens cependant à remercier quelqu’un qui m’a fait découvrir mon potentiel en première année de prépa, il y a maintenant presque 8 ans, mon prof’ de Maths, Mr. Vangeluwe.

J’ai une pensée particulière pour les stagiaires que j’ai croisé au cours de ces 3 annnées, qu’ils aient travaillé avec moi, de manière plus ou moins directe, ou non. Je pense bien sûr à Fabien et Guillaume qui ont travaillé directement avec moi, mais aussi à Pierre, Mehdi et Antoine , les stagiaires longue durée, et aux autres qui sont passés par le service MFTA pour leur stage de fin d’études. Un clin d’oeil particulier à Alban, parti à l’ONERA, où j’ai pu le retrouver dans ma très courte période ONERA.

Pour finir, et non des moindres, j’adresse tous mes remerciements à Yves, le technicien aéroa-coustique du service MFTA. Ne pense pas que ces remerciements sont juste la suite de ces paris lancés et du “Sept remerciements dans une thèse = le grade de docteur”. Tu as vraiment pris une importance primordiale pour moi, ton ouverture d’esprit et ta façon d’être “vrai” et de dire tout haut ce que les autres pensent tout bas sont raffraîchissants, et m’ont permis de vivre de super pause café.... ou thé!!! Je pense vraiment avoir trouvé un ami sincère en ta personne. Et maintenant, il te manque combien de remerciements pour que je t’appelle docteur?

Que serait une thèse sans l’innovation? Je décide donc d’ajouter une section spéciale pour ceux que je ne souhaite surtout pas remercier : Je pense tout d’abord à notre fantôme, Marcel, qui s’est toujours arrangé pour cacher ce qu’on cherchait, ou augmenter la quantité de vaisselle à faire....Je pense aussi à Murphy, sans qui la loi de l’emmerdement maximal n’existerai peut être pas. Que ce soit pour les travaux de thèse ou pour l’appart, il s’est toujours arrangé pour que sa loi soit vérifiée!! Je souhaite d’ailleurs ajouter une annexe à la loi de Murphy : L’intensité et la gravité des problèmes augmente avec la proximité de la soutenance. J’en veux pour preuve ma voiture qui décide de rendre l’âme à 50 Km de Lille une semaine avant la soutenance, le projecteur dans la salle des actes qui marchait la veille de la soutenance et qui ne marchait plus le jour de la soutenance, et enfin la panne de courant qui s’est déclarée dans la salle des actes à 13H30, soit 30 minutes avant le début des festivités. Je souhaite donc aussi ne pas remercier la fiabilité de ma voiture (je ne donne pas de marque.... mais la prochaine fois, j’achète une Peugeot ou Citroën neuve) et l’incompétence des garagistes (à l’heure où j’écris ces lignes, ma voiture est immobilisée dans un garage depuis plus d’un mois, mais en dehors de dire combien il faudra payer, certains garagistes ne sont pas très bons en mécanique). Enfin, je souhaite ne pas remercier le comportement de l’essentiel des parisiens, particulièrement sur la route... Et dire qu’après ils s’étonnent qu’il y ait des bouchons.

Résumé

Le travail présenté dans ce mémoire traite de la problématique des calculs aéroacoustiques dans la zone source, en vue d’une meilleure estimation du bruit aérodynamique perçu par les occupants d’un véhicule. L’objectif recherché est de proposer une méthode de calcul qui prenne en compte les contraintes industrielles. Une analogie pour la pression totale est développée et résolue à cet effet. Cette analogie est obtenue par une recombinaison des équations de Navier-Stokes, d’une manière similaire à celle effectuée par Lighthill en 1952. Les analogies aéro-acoustiques présentent l’avantage d’être industriellement accessibles. Nous réalisons ensuite une validation de l’analogie proposée pour des cas d’écoulements à compléxité croissante. Les premières validations sont réalisées dans le domaine fréquentiel à l’aide de sources définies de manière analytique et sans obstacle, en 2D et 3D. Nous profitons de ces sources analytiques pour déterminer les limites de validité des résultats de l’analogie proposée. Le deuxième cas test étudié concerne l’écoulement autour d’un cylindre 2D, dans le domaine spectral. Pour ce cas, nous disposons à la fois d’un calcul direct acoustique (DNA, référence) et d’un calcul LES 2D obtenu avec le logiciel Fluent. Les résultats de l’analogie appliquée aux sources obtenues d’une part par le calcul DNA et d’autre part par le calcul LES sont comparés à ceux obtenus directement par le calcul DNA. Enfin, nous ouvrons le travail à une application industrielle avec l’étude de l’écoulement autour d’un obstacle tridimensionnel complexe à nombre de Reynolds élevé. L’écoulement aérodynamique est simulé à l’aide d’une méthode hybride RANS / LES (type DES), et les calculs d’analogie sont réalisés dans le domaine temporel, par la méthode des temps avancés.

Abstract

The work exposed in this report refers to aeroacoustic calculations in source field for automotive applications. Indeed, a better estimation of the total or the acoustic pressure on the skin of the car is necessary in order to have a good estimation of the aerodynamic noise felt by the passengers of the car. The first aim seeks in this work is to develop a aeroacoustic analogy, that is the only aeroacoustic calculation method industrially used, which let us have access to de total pressure in the source field. This analogy is obtained by a simple Navier - Stokes equations combinaison, based on Lighthill’s and Doak’s works. Then, a validation of this analogy is done with increasing difficulties test cases. The first validation is done in the Fourier domain with the help of analytically defined source terms, in 2D and 3D. Those test cases are then re-used to determine the limits of the proposed analogy. The second test case is the flow around a 2D cylinder, that have been simulated both with a direct acoustic method and an incompressible 2D-LES with Fluent. The proposed analogy is applied with the source terms obtained by both the DNA and incompressible LES, and give quite good results compared to results directly obtained by the DNA. Finally, we open the work on an industrial application by studying analogy results on a complex tridimensionnal case with high Reynolds number. The aerodynamic simulation is based on a hybrid RANS/LES method (DES) and the analogy calculation is done in the temporal domain, with the help of the advanced times procedure.

Table des matières

Remerciements i

Résumé v

Table des matières vii

Liste des notations et abréviations xi

Introduction 1

I Méthodes numériques en aéroacoustique 9

Introduction. . . 11

I.1 Analogie de Lighthill . . . 12

I.1.1 Etablissement de l’analogie . . . 12

I.1.2 Résolution de l’équation de Lighthill . . . 14

I.1.3 Expressions des différentes fonctions de Green de champ libre . . . 16

I.1.4 Solutions intégrales de l’analogie de Lighthill . . . 17

I.1.5 Limitations de l’analogie Lighthill. . . 21

I.2 Présence de parois solides fixes non poreuses et parfaitement rigides : Analogie de Curle. . . 22

I.2.1 Prise en compte de la présence d’obstacle dans le domaine temporel : Exten-sion de l’analogie de Lighthill par Curle . . . 22

I.2.2 Solution spectrale en présence d’obstacle fixe : Formulation de Kirchhoff . . . 23

I.3 Présence d’obstacles quelconques : Analogie de Ffowcs-Williams et Hawkings . . . . 24

I.3.1 Développement de l’analogie. . . 24

I.3.2 Solutions de l’analogie de Ffowcs Williams et Hawkings en dérivées spatiales . 25 I.3.3 Solution de l’analogie de Ffowcs Williams et Hawkings en dérivées temporelles 26 I.3.4 Solution de l’analogie de Ffowcs Williams et Hawkings dans le domaine spectral 27 I.3.5 Principales différences entre les analogies de Curle et de Ffowcs Williams . . . 27

I.4 Résolution particulière des analogies : principe de diffraction . . . 27

I.5 Approche de type Ribner . . . 28

I.5.1 Analogie aéro-acoustique pour la pression . . . 28

I.5.2 Analyses physique de Ristorcelli. . . 29

I.6 Analogie acoustique dans la zone source : travaux de Schram . . . 30

Conclusions du chapitre . . . 32

II Développement d’une analogie pour la pression totale 35

viii TABLE DES MATIÈRES

Introduction. . . 37

II.1 Etablissement d’une équation d’onde pour la pression totale . . . 37

II.1.1 Reformulation des équations de la mécanique des fluides . . . 37

II.1.2 Conventions utilisées . . . 39

II.2 Expression de la pression totale dans le domaine spectral . . . 39

II.2.1 Expression de la pression totale avec fonction de Green de champ libre en 2D, pour un observateur situé dans le domaine fluide . . . 40

II.2.2 Expression de la pression totale avec fonction de Green de champ libre en 2D, pour un observateur situé sur une paroi de l’obstacle . . . 45

II.2.3 Expression de la pression totale avec fonction de Green adaptée, en 2D. . . . 47

II.2.4 Expression de la pression totale avec fonction de Green de champ libre en 3D 48 II.2.5 Expression de la pression totale avec fonction de Green adaptée, en 3D dans le domaine spectral . . . 48

II.3 Solution de l’analogie en tridimensionnel dans le domaine temporel . . . 49

II.4 Interprétation des solutions de l’analogie . . . 51

Conclusions du chapitre . . . 52

III Validation de l’analogie pour la pression totale sur des configurations de sources définies de manière analytique 53 Introduction. . . 55

III.1 Présentation des cas d’études . . . 55

III.1.1 Choix de la fonction filtre utilisée . . . 56

III.1.2 Mise en place du filtrage . . . 58

III.1.3 Choix des cas tests : définition des fonctions sources analytiques. . . 60

III.2 Validation de l’analogie proposée à l’aide de sources analytiques . . . 61

III.2.1 Configurations 2D . . . 61

III.2.2 Configurations 3D . . . 63

III.3 Etudes de convergence de l’analogie. . . 64

III.3.1 Choix du maillage source . . . 65

III.3.2 Méthode d’évaluation du terme additionnel . . . 67

III.3.3 Position des points observateurs dans le maillage source . . . 68

Conclusions du chapitre . . . 69

IV Estimation de la pression totale en zone source sur cas réel : application à un cylindre 2D 71 Introduction. . . 73

IV.1 Introduction . . . 73

IV.2 Caractérisation de l’écoulement autour d’un cylindre . . . 74

IV.2.1 Sensibilité de l’écoulement aux paramètres de simulation . . . 74

IV.2.2 Les différents régimes d’écoulement subsoniques autour d’un cylindre. . . 74

IV.2.3 Influence des conditions expérimentales . . . 80

IV.2.4 Caractéristiques des champs de pression autour d’un cylindre . . . 81

IV.2.5 Choix du cas test . . . 83

IV.3 Calcul direct acoustique (DNA) autour d’un cylindre 2D . . . 85

IV.3.1 Paramètres d’entrée . . . 85

IV.3.2 Calcul direct acoustique . . . 86

IV.4 Calcul incompressible sur code commercial . . . 87

TABLE DES MATIÈRES ix

IV.5.1 Coefficients intégraux. . . 90

IV.5.2 Grandeurs caractéristiques . . . 92

IV.5.3 Champs dynamiques des simulations LES et DNA . . . 92

IV.6 Analogie avec sources issues du calcul DNA et fonction de Green de champ libre . . 93

IV.6.1 Validation hors zone source . . . 95

IV.6.2 Analogie pour un observateur situé dans la zone source . . . 97

IV.6.3 Observateur situé sur une paroi de l’obstacle . . . 100

IV.7 Principe de diffraction et validation des hypothèses classiques . . . 103

IV.7.1 Hypothèses d’incompressibilité, non viscosité et isentropie . . . 103

IV.7.2 Illustration du principe de diffraction . . . 104

IV.8 Analogie avec sources obtenues par un code CFD incompressible . . . 105

IV.8.1 Solution à privilégier : utilisation de la fonction de Green adaptée . . . 106

IV.8.2 Analogie avec fonction de Green de champ libre . . . 106

IV.9 Analogie de Ribner dans la zone source . . . 112

IV.9.1 Analogie de Ribner avec fonction de Green de champ libre . . . 112

IV.9.2 Analogie de Ribner avec fonction de Green adaptée . . . 114

IV.9.3 Etablissement du front de pression acoustique . . . 114

IV.9.4 Séparation pression acoustique et pression incompressible . . . 115

Conclusions du chapitre . . . 116

V Estimation de la pression totale autour d’une géométrie complexe 119 Introduction. . . 121

V.1 Présentation de l’étude . . . 121

V.1.1 Choix de la configuration d’étude . . . 121

V.1.2 Calcul et modélisation de la turbulence . . . 122

V.1.3 Discrétisation numérique du problème . . . 123

V.1.4 Options de calcul, conditions aux limites et modèles de la turbulence.. . . 126

V.1.5 Calcul aérodynamique incompressible stationnaire . . . 126

V.1.6 Calcul aérodynamique incompressible instationnaire . . . 128

V.2 Validation des calculs aérodynamiques à partir des résultats expérimentaux . . . 130

V.2.1 Calcul stationnaire et instationnaire moyenné . . . 130

V.2.2 Résultats instationnaires du calcul DES . . . 133

V.3 Mise en œuvre des calculs d’analogie . . . 136

V.4 Estimation du rayonnement acoustique en dehors de la zone source . . . 138

V.4.1 Définition des points observateurs. . . 138

V.4.2 Résultats bruts de pression acoustique rayonnée au niveau des antennes . . . 140

V.4.3 Filtrage des contributions avec dérivées . . . 142

V.4.4 Etude de la pression acoustique rayonnée en dehors de la zone source . . . 143

V.4.5 Etude de la solution de l’analogie dans le domaine fréquentiel. . . 149

V.5 Estimation de la pression totale en zone source . . . 153

V.5.1 Etude de la pression totale pariétale dans le domaine spectral . . . 153

V.5.2 Décomposition de la pression totale pariétale dans le domaine temporel . . . 155

V.5.3 Apport de l’analogie proposée pour la prédiction de pression sur les parois du MOPET . . . 158

V.6 Voies d’amélioration des résultats de l’analogie pour la pression totale en 3D temporel159 V.6.1 Sources d’erreurs imputables aux interactions entre calcul aérodynamique et calcul par analogie . . . 159

x TABLE DES MATIÈRES

Conclusions du chapitre . . . 162

Conclusions & Perspectives 165 Annexes 171 A ANNEXE du chapitre I . . . 173

A.1 Développement de la solution de Curle dans le domaine temporel . . . 173

A.2 Principales méthodes d’extrapolation des ondes (WEM) . . . 174

B ANNEXE du chapitre II : Développement de solutions de l’analogie . . . 177

B.1 Etablissement de la solution en 2D spectral avec fonction de Green de champ libre et observateur situé sur les parois de l’obstacle . . . 177

B.2 Etablissement de la solution en 3D spectral avec fonction de Green de champ libre et observateur situé dans le domaine fluide . . . 178

B.3 Expression de la pression totale en 3D, avec fonction de Green de champ libre pour un observateur reposant sur une paroi de l’obstacle . . . 180

B.4 Développement de la solution 3D temporelle à partir de l’équation (II.4), pour un point observateur situé dans le domaine fluide avec fonction de Green de champ libre.. . . 181

C ANNEXE du chapitre IV . . . 187

C.1 Passage du domaine temporel au domaine fréquentiel . . . 187

C.2 Présentation du code de calcul DNA . . . 187

C.3 Formulations de la fonction de Green adaptée au cylindre 2D . . . 189

C.4 Divergence de la fonction de Green adaptée proche du cylindre . . . 192

D ANNEXE du chapitre V : Présentation succinte du code de calcul d’analogie 3D utilisé195 D.1 Principes généraux . . . 195

D.2 Déroulement d’un calcul d’analogie . . . 199

Liste des notations et abréviations

AA Analogie aéro-Acoustique

WEM Wave Extrapolation Method. Méthode d’extrapolation des ondes

CFD Computational Fluid Dynamics. Mécanique des fluides assistée par ordinateur DNA Direct Numerical Acoustic. Calcul Direct Compressible (Acoustique)

DNS Direct Numerical Simulation. Calcul Direct incompressible

LES Large Eddy Simulation. Simulation des grandes échelles tourbillonaires DES Dettached Eddy Simulation. Methode hybirde RANS / LES

DDES Delayed Dettached Eddy Simulation. Methode hybirde RANS / LES RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes. Calcul stationnaire

U-RANS Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes. Calcul stationnaire CFL Courant Friedrich Lewy (nombre de)

NS Navier - Stokes (équations de)

MOPET MOdèle Pour l’Etude des Tourbillons

fft Fast Fourier Transform. Transformée de Fourier Rapide

PIV Particle Image Velocimetry. Vélocimétrie par Image de Particules TFD Transformée de Fourier Discrète

UDF User Defined Function

MPI Message Passing Interface (programmation parallèle) ppf pression pariétale fluctuante

DSP Densité Spectrale de Puissance

c0 Célérité du son (c0 ∼ 340 m.s−1 dans l’air à environ 15°C)

f Fréquence (f = ω/2π)

ω Pulsation

λ Longueur d’onde

k Nombre d’onde (k = 2π/λ)

Ue, U∞, U0 Vitesse de l’écoulement à l’infini amont

ρ Masse volumique totale du fluide ρ0 Masse volumique moyenne du fluide

ρa Fluctuations acoustiques de la masse volumique du fluide

ρh Fluctuations aérodynamiques de la masse volumique du fluide

p0 Pression atmosphérique

ph Pression aérodynamique (valeur moyenne + fluctuations)

p′

h Fluctuations de pression aérodynamique

pa Fluctuations de pression acoustique

xii LISTE DES NOTATIONS ET ABRÉVIATIONS pt Pression totale

p′ _{Fluctuations de pression (de n’importe quel type)}

u Composante de la vitesse suivant l’axe x (valeur moyenne + fluctuante) v Composante de la vitesse suivant l’axe y (valeur moyenne + fluctuante) w Composante de la vitesse suivant l’axe z (valeur moyenne + fluctuante) δij Symbole de Kroenecker (δij = 1 si i = j, δij = 0 sinon

τij Tenseur des contraintes visqueuses

σij Tenseur des contraintes (σij = τij + ptδij)

δ(x) Fonction de Dirac au point x G0 Fonction de Green de Champ libre

Gad Fonction de Green adaptée

Re Nombre de Reynolds, Re = ρU_∞L/µ µ viscosité dynamique du fluide [Pa.s] M a Nombre de Mach, Ma = U_∞/c0

Introduction

Introduction

Contexte industriel

Un des grands axes de progrès actuel dans l’automobile concerne le confort des passagers d’un véhicule. Les critères de confort peuvent varier d’un individu à l’autre, mais certains reviennent fréquement. Ils concernent le comportement routier de la voiture (souplesse de la direction, de l’amortissement par les suspensions, nervosité du véhicule ...), l’habitabilité du véhicule (espace, aménagements intérieurs...), les assistances à la conduite (ABS, ESP, ...), l’autonomie du véhicule ou encore le bruit émis et ressenti par les occupants de la voiture. L’amélioration de chacun de ces critères se révèle donc être une véritable priorité pour les constructeurs généralistes, comme le groupe PSA Peugeot Citroën. Nous nous intéressons ici au confort acoustique d’un véhicule.

Dans l’automobile, on considère généralement qu’il existe trois principales sources de bruit : le bruit de roulement dû au contact entre les pneus et la chaussée, le bruit du groupe moto-propulseur (GMP) et le bruit d’origine aérodynamique, interne (ventilation) et externe (écoulement de l’air autour du véhicule). Alors que cette dernière source a longtemps été masquée par les deux premières, le traitement de plus en plus efficace des bruits de roulement et GMP (via de meilleures étanchéités et l’utilisation de matériaux isolants placés au plus proche des sources de bruit) a fait ressortir l’importance du bruit aérodynamique à vitesses élevées. Ainsi, pour des vitesses suppérieures à 90 - 100 km/h, le bruit d’origine aérodynamique devient prépondérant, et est caractérisé par des fréquences moyennes à élevées, suppérieures à 400 Hz.

Contrairement aux bruits GMP et de roulement, il est difficile de réduire le bruit aérodynamique pour un projet véhicule avancé. En effet, s’il s’avère que les niveaux de bruits dus au roulement ou au GMP sont trop élevés, il est souvent possible d’ajouter une couche de matériau absorbant, qui, bien située, peut réduire de manière notable le bruit ressenti par les passagers du véhicule. Les bruits d’origine aérodynamique prennent leurs sources dans les principales structures présentes dans l’écoulement d’air autour de la voiture. Ces sources sont donc moins localisées que les sources des bruits GMP et de roulement. On constate que l’essentiel du transfert de bruit aérodynamique se réalise au niveau des parois vitrées du véhicule (pare brise, fenêtres, lunette arrière ou toit ouvrant). Il est possible d’agir sur l’épaisseur de ces parois pour réduire les niveaux acoustiques transmis. Cependant, cette augmentation d’épaisseur s’accompagne d’une augmentation de la masse du véhicule, et donc de sa consommation. Le traitement du bruit aérodynamique doit donc être réalisé très tôt dans un projet véhicule.

Le bruit d’origine aérodynamique est généralement décomposé en deux parties. La première, appelée “aéroelasticité”, est due à l’excitation de la structure du véhicule par les fluctuations de l’écoulement. Ces excitations mettent alors en vibration la structure, générant un rayonnement acoustique à l’intérieur du véhicule. L’estimation des niveaux de bruits dus à l’aéroélasticité se fait grâce à la connaissance de la distribution de pression hydrodynamique (ou incompressible) sur les parois du véhicule, et est assimilé à un problème de vibro-acoustique.

2 INTRODUCTION En plus de l’aéroélasticité, le bruit d’origine aérodynamique est composé de ce que l’on appelle “l’aéroacoustique”. Cette composante est due à la distribution de pression acoustique sur les parois du véhicule, qui est alors transmis à l’intérieur du véhicule par transparence acoustique des parois. Cette pression acoustique est générée par les fluctuations turbulentes présentes dans l’écoulement aérodynamique autour du véhicule.

On considère généralement que “l’aéroelasticité” est due à la forme globale du véhicule (bruit de forme) alors que “l’aéroacoustique” est due aux singularités présentes dans l’écoulement, tels que les montants de baie, les antennes, les essuie-glaces, les passages de roue ou encore les retro-viseurs (bruit d’accessoire). Au final, le bruit perçu par les passagers d’un véhicule est la somme des deux contributions, “aéroelasticité” (à laquelle on attribue les basses et moyennes fréquences) et “l’aéroacoustique” (hautes fréquences). A l’extérieur du véhicule, ces deux contributions évoluent suivant un rapport 1/1000, en faveur de l’aéroélasticité, alors qu’à l’intérieur, ils sont du même ordre de grandeur.

Chez PSA Peugeot Citroën, le traitement de la problèmatique “ Bruit aérodynamique” est un art à la fois expérimental et numérique. Expérimentalement, les études sont réalisées en deux étapes. Dans un premier temps, tôt dans le projet, on réalise des mesures d’antennerie (réseau de micros situés en dehors de l’écoulement). L’utilisation de méthodes inverses permet alors d’estimer la dis-tribution de pression sur la peau du véhicule : on accède ainsi aux niveaux dus à “l’aéroacoustique”. La distribution de pression incompressible, permettant de calculer les niveaux dus à “aéroelasticité”, est obtenue par l’intermédiaire d’un réseau de capteurs de pression pariétale fluctuante (ppf). Lors des dernières étapes de développement du projet, des maquettes, instrumentées de têtes acoustiques, sont utilisées en soufflerie. Ces têtes acoustiques permettent de mesurer le bruit d’origine aérodyna-mique dans sa totalité. Les approches expérimentales, bien que nécessaires aujourd’hui, présentent deux inconvénients majeurs. En effet, ces dernières s’avèrent très coûteuses (location de soufflerie, fabrication de maquettes), et nécessitent presque systématiquement une campagne d’essais pour chaque modification majeure apportée au projet. Le second inconvénient des approches expérimen-tales a attrait au calendrier du projet : leur aspect pratique impose de disposer d’une idée précise de la forme finale du véhicule, ce qui passe par un projet déjà relativement avancé.

Numériquement, les travaux aéroacoustiques se décomposent en deux étapes. La première étape consiste à calculer le chargement aéroacoustique et aéroélastique généré par l’écoulement sur les parois du véhicule. La somme de ces deux pressions est appelée pression totale, dont on peut alors réaliser le transfert acoustique vers l’intérieur du véhicule. Si les lois de transfert vibro-acoustique semblent bien maîtrisées, le calcul du chargement de pression totale sur les parois du véhicule est un sujet sur lequel portent de nombreux travaux interenes ou externes. Les travaux présentés dans le cadre de cette thèse portent sur le développement d’une méthode d’estimation de la pression totale sur les parois d’un véhicule.

En dehors de toute prise en compte du contexte industriel, on dénombre trois principaux types de résolution numérique des problèmes aéroacoustiques. La plus “directe”, mais de loin la plus chère, consiste en une résolution totale des équations de NS compressibles, la DNA (Direct Numerical Acoustics). En effet, les équations de NS prennent en compte tous les mouvements fluides, et donc aussi les mouvements acoustiques. En DNA, on est amené à prendre en compte une très grande diversité d’échelles. Il est donc nécessaire d’utiliser des schémas extrêmement précis, accompagnés d’une résolution sur un maillage très fin, qui s’étend sur des dimensions importantes, et avec un pas de temps de simulation faible. L’utilisation de la DNA est donc, aujourd’hui, limitée à des confi-gurations académiques, définies par une géométrie relativement simple et un nombre de Reynolds faible.

3 La seconde famille de résolution des problèmes aéroacoustique repose sur la Wave Extrapolation Method (WEM). Dans ces méthodes, il suffit de connaître la pression acoustique sur une surface de contrôle située suffisament loin de la zone source (écoulement). Les méthodes utilisées pour l’obtention de la pression acoustique sur la surface de contrôle varient, mais sont souvent réliées soit à un calcul direct compressible (DNA) soit aux analogies aéroacoustiques (AA), qui est la troisème famille de résolution numérique des problèmes aéroacoustiques. Par la suite, on peut faire rayonner cette pression en champ lointain.

Le principe des analogies aéroacoustiques repose sur une reformulation des équations de la mé-canique des fluides (NS). La plus connue, et historiquement la première, est l’analogie de Lighthill ([55], [56]), qui réalise, en 1952, une reformulation des équations de NS pour obtenir une équa-tion d’onde pour les fluctuaéqua-tions acoustiques de masse volumique. Par la suite, de nombreuses améliorations ont été apportées à cette analogie, dont la principale, dans notre cas, est celle de Curle [16]. Il prend en compte, dans la résolution de l’analogie de Lighthill, la présence d’obstacles dans l’écoulement, ce qui n’était pas le cas des premières solutions de Lighthill.

En pratique, le calcul numérique du chargement de pression totale par analogie aéroacoustique ([55], [56], [16], [24], [70], [20]) se base sur le découpage en deux du calcul (d’où la dénomination de calcul hybride). Dans un premier temps, on réalise un calcul aérodynamique incompressible, qui permet de fournir les sources réutilisées dans un calcul intégral par la suite. Ce second calcul repose sur la résolution d’un ensemble d’équations issues de la reformulation des équations de Navier Stokes. Après quelques hypothèses, la résolution de cette équation passe uniquement par la connaissance des quantités aérodynamiques incompressibles définissant l’écoulement.

Il existe trois voies de travail pour utiliser les analogies acoustiques. La première consiste à utiliser des simulations aérodynamiques stationnaires (RANS). La connaissance du champ aérodynamique moyen autour du véhicule permet alors d’utiliser les lois statistiques des analogies acoustiques clas-siques (principalement Ribner [74], Lighthill [55] et [56], Phillips [68]). Ces lois fournissent une estimation des niveaux de pression acoustique rayonnée en dehors de la zone source. Cette méthode présente l’avantage de fournir des résultats rapidement, par l’utilisation d’un calcul aérodynamique stationnaire. Les résultats obtenus par ces modèles fournissent principalement des informations comparatives entre deux formes, mais qui sont encore relativement éloignées des résultats expéri-mentaux.

La deuxième méthode consiste à utiliser des simulations aérodynamiques instationnaires incom-pressibles (DES, DDES, LES voire DNS), qui fournissent une description temporelle des champs aérodynamiques présents dans l’écoulement. La résolution des analogies aéro-acoustiques permet alors d’obtenir une estimation de l’évolution temporelle de la pression acoustique rayonnée par l’écoulement, en dehors de la zone source. Ces résolutions permettent d’obtenir des résultats plus proches des résultats expérimentaux que ceux obtenus par les méthodes stationnaires, mais pre-sentent l’inconvénient d’être beaucoup plus coûteuses.

Dans les deux cas, les analogies aéro-acoustiques fournissent une estimation de la pression acous-tique en dehors de la zone source. Ce n’est que par l’utilisation de méthodes inverses que l’on peut, par la suite, estimer la distribution de pression sur la paroi du véhicule. Industriellement, on souhaite connaître directement la distribution de pression sur les parois du véhicule. Cette thèse s’inscrit dans cette optique, avec pour objectif principal de développer une analogie aéroacoustique permettant d’accéder à la distribution de pression totale en n’importe quel point de l’espace. En particulier, le travail présenté ici souhaite permettre d’estimer de manière précise le chargement de pression totale directement sur les parois d’un véhicule, par voie numérique.

4 INTRODUCTION La troisième méthode repose sur les calculs de type Lattice Boltzmann (gaz sur réseaux), qui sont par essence intationnaires. Cette méthode, par exemple utilisée dans le code commercial Powerflow, permettent d’obtenir un champ compressible, et donc acoustique, dans la zone source.

Dans cette thèse, nous développons une méthode intégrale permettant d’accéder à la pression totale en tout point d’un écoulement (qui pourrait se décomposer, sous conditions, en la somme d’une pression aérodynamique incompressible et d’une pression acoustique compressible).

Objectifs de la thèse

Le travail présenté dans cette thèse a pour but premier de développer une approche novatrice permettant d’accéder à la pression totale présente dans un écoulement complexe. Les analogies aéroacoustiques classiques ne permettent aujourd’hui, en toute rigueur, que de calculer la pression acoustique rayonnée par l’écoulement pour des points observateurs situés en dehors de la zone source (siège des instabilités turbulentes). Ici, l’objectif principal est de pouvoir utiliser une méthode hybride pour laquelle il est possible de placer les points observateurs aussi bien dans la zone source qu’en dehors. Le travail présenté dans cette thèse tente de répondre aux questions suivantes :

• Quel modèle est le mieux adapté au calcul de la pression totale par une méthode d’analogie aéro-acoustique dans la zone source?

• Un calcul de la pression totale directement est il envisageable ou doit on passer par le calcul séparé de la pression aérodynamique incompressible et acoustique?

• Quelles sont les limites d’application de la méthode proposée?

• Quels sont les paramètres numériques optimaux pour l’utilisation de la méthode intégrale proposée?

• Peut on envisager appliquer l’analogie industriellement à moyen terme?

Le travail présenté ici se place dans l’optique d’être applicable sur une configuration industrielle à moyen terme, nous devons donc garder cet objectif à l’esprit lors des développements réalisés. Nous avons développé, dans ce travail une analogie aéroacoustique pour la pression totale, valable pour des points observateurs situés indifféremment dans la zone source ou en dehors. La résolution de cette analogie a nécessité le développement d’outils de calculs aéroacoustiques, basés sur des simulations aérodynamiques instationnaires utilisant le code de volumes finis commercial Fluent. Ces outils de calculs doivent être facilement industrialisés. Ils ont donc été mis au point sur des configurations 2D à l’aide d’une programmation en Fortran. Par la suite, les outils de calculs sont réutilisés en 3D en langage C, très proche du langage scheme utilisé pour les UDFs (User Defined Functions) dans Fluent. Enfin, pour réaliser les calculs d’analogie 3D temporelle dans des délais industriellement acceptables, les outils de calcul doivent être développés en intégrant la possibilité de réaliser des calculs parallèles (MPI).

La démarche proposée étant relativement novatrice, il est nécessaire de présenter ici toutes les étapes de sa validation, en partant de sources définies de manière analytique pour finalement pouvoir l’appliquer dans un cas d’écoulement 3D complexe, dont la simulation aérodynamique est réalisée par un calcul DES, très proche d’une application industrielle.

5 Si le domaine d’application initial de ce travail se veut avant tout être l’aéroacoustique, une bonne estimation de l’évolution temporelle de la pression totale sur les parois d’un véhicule est aussi un enjeu capital pour l’aérodynamique, dans le domaine du contrôle des écoulements par exemple. En effet, les seuls calculs aérodynamiques instationnaires industriellement accessibles sont basés sur les méthodes hybrides RANS / LES. Ces calculs fonctionnent sur une base stationnaire (RANS) en proche paroi de l’obstacle. Ils fournissent donc une bonne estimation du niveau moyen de pression, mais pas de son évolution temporelle. Une meilleure connaissance de cette évolution peut être à la base d’une meilleure maîtrise des phénomènes aérodynamiques, en vue d’une amélioration des coefficients de traînée ou de portance, ou des systèmes de ventillation / refroidissement par exemple. L’approche proposée permet donc de traiter à l’aide d’une seule simulation à la fois la prestation “chargement aérodynamique” (calcul du torseur) et la prestation “bruit aérodynamique”. Il existe de très nombreuses configurations d’étude possibles, en fonction par exemple du nombre de dimensions du problème (2D ou 3D voire 1D), du domaine d’étude (spectral ou temporel) ou de la méthode de génération des sources par le calcul aérodynamique (simulation DNA, DNS, LES, DES, DDES ou encore U-RANS). En plus des validations analytiques, nous nous concentrons ici sur la validation de l’analogie proposée dans trois principales configurations :

• Les sources sont générées par un calcul DNA, pour une validation de l’analogie en 2D spectral. • Les sources sont générées par un calcul LES incompressible par le logiciel commercial Fluent,

pour une validation de l’analogie en 2D spectral.

• Les sources sont générées par un calcul aérodynamique hybride de type DES incompressible avec le logiciel commercial Fluent, pour une validation de l’analogie en 3D temporel.

Organisation du mémoire

Dans la première partie du mémoire (chapitre I) nous présentons, de manière non exhaustive, les principales formulations théoriques d’analogies aéroacoustiques, accompagnées de leurs solutions. La bibliographie présente de très nombreuses formulations, plus ou moins complexes et adaptées à différents types de problèmatiques (configuration de l’écoulement, besoin de prendre en compte certains phénomènes physiques spécifiques, ou encore souhait de présenter une justification physique aux sources de l’analogie). Chacune de ces analogies peut par la suite présenter de nombreuses solutions différentes, en fonction des hypothèses physiques qui peuvent être faites, du domaine de résolution (temporel ou fréquentiel, en 2D ou 3D) ou encore des contraintes concernant l’application de la solution de l’analogie. Dans ce chapitre, nous ne cherchons pas à présenter une revue complète des analogies aéroacoustiques. Nous nous concentrons sur les analogies les plus fréquemment utilisées dans le domaine industriel, qui sont caractérisées par une formulation relativement simple. Dans la seconde partie de ce chapitre, nous nous concentrons sur les deux principales voies de résolution d’une analogie acoustique dans la zone source, qui reposent sur l’analogie de Ribner ([73]) et les travaux récents de Schram ([85], [86], [87], [88] ou [89]).

Le cœur scientifique de la thèse est contenu dans les chapitres II et III, dans lesquels est présenté dans un premier temps le développement d’une analogie aéroacoustique pour la pression totale (chapitre II). Cette analogie, principalement basée sur les travaux de Lighthill [55] et [56], Curle [16]

6 INTRODUCTION et Doak [19], s’obtient par une simple reformulation des équations de Navier Stokes (équation de conservation de la masse et de quantité de mouvement). Elle présente l’avantage, de par l’absence de découpage de l’espace, de pouvoir être résolue dans l’ensemble de l’espace, en particulier dans la zone source.

La seconde partie du chapitre II est consacrée à la présentation des principales solutions de cette analogie, dans les configurations utilisées dans les chapitres IV et V pour valider l’analogie proposée. La particularité des solutions de l’analogie proposée passe par un traitement des singularités de la fonction de Green lorsque le point observateur se situe dans la zone source. Ce traitement des singularités abouti à l’ajout d’un terme local, absent de la solution de Curle. Lorsque le point observateur se situe en dehors de la zone source nous montrons alors que la solution se réduit à la solution classique de Curle [16].

Dans le troisième chapitre, nous effectuons une première validation de l’analogie proposée à l’aide de cas analytiques, en 2D et 3D fréquentiel. Nous profitons de ces cas analytiques, pour lesquels nous maîtrisons tous les paramètres, pour étudier l’évolution des solutions de l’analogie proposée en fonction des paramètres d’étude. Nous pouvons ainsi déterminer les principaux critères à respecter pour s’assurer d’obtenir de bons résultats avec l’analogie proposée.

Les chapitres IV (calculs 2D fréquentiels) et V (calculs 3D temporels) présentent la validation de l’analogie sur des cas semis pratiques d’écoulement. Dans le chapitre IV, l’analogie est validée sur un cas académique d’écoulement autour d’un cylindre 2D, défini par un nombre de Mach faible (Ma = 0.1) et un faible nombre de Reynolds (Re = 150). L’étude des solutions de l’analogie est réalisée dans le domaine fréquentiel. Ce cas académique présente l’avantage de pouvoir être simulé à l’aide d’un code de calcul direct acoustique (DNA). On applique donc, dans une première partie du chapitre IV, l’analogie proposée sur les données sources directement issues d’un calcul DNA. En comparant les résultats obtenus par l’analogie avec les résultats fournis directement par le calcul DNA, nous réalisons une première validation sur un cas pratique. Nous profitons de la précision des résultats aérodynamiques et aéroacoustiques du calcul DNA pour valider les hypothèses d’incompressiblité, de viscosité faible et d’isentropie pour ce cas à priori plus restrictif par rapport aux hypothèses qu’un calcul automobile. Nous validons, pour finir, l’utilisation d’une fonction de Green adaptée à la géométrie de l’obstacle à la place d’une fonction de Green de champ libre dans la solution de l’analogie proposée.

La seconde partie du chapitre IV traite de la validation de l’analogie sur le même cas de cylindre 2D, dans le domaine fréquentiel, mais dont la simulation aérodynamique est réalisée à l’aide d’un code CFD commercial (Fluent). Dans ce cas, nous utilisons les hypothèses classiques d’isentropie, d’incompressibilité et de non viscosité, dont les deux premières sont imposées par l’utilisation d’un calcul incompressible pour la simulation aérodynamique. Nous profitons de ce cas pour appliquer une approche de type Ribner directement dans la zone source. Cette approche, contrairement à l’analogie proposée, permet d’obtenir directement une pression “acoustique” sans traitement des singularités de la fonction de Green.

Dans le dernier chapitre (chapitre V), nous présentons les résultats de l’analogie dans un cas plus proche d’une application industrielle automobile. Nous appliquons l’analogie proposée pour le cas de l’écoulement autour d’une forme tridimensionnelle complexe (MOPET) qui présente certaines caractéristiques d’une macro-forme de véhicule terrestre. Dans ce cas, les calculs d’analogie sont réalisés dans le domaine temporel, et la simulation aérodynamique incompressible est réalisée par l’intermédiaire du logiciel commercial Fluent. Si actuellement les calculs aérodynamiques sur les cas véhicules sont essentiellement réalisés en stationnaires (RANS) ou pseudo-instationnaire (U-RANS), l’augmentation des capacités de calcul prévue pour les 5 prochaines années permet d’entrevoir la possibilité de réaliser ces calculs avec des méthodes hybrides RANS / LES. Dans cette optique à

7 moyen terme, la simulation aérodynamique, qui sert à fournir les sources du calcul intégral, est réalisée en suivant une méthode hybride RANS / LES de type DES.

Chapitre

I

Méthodes numériques en aéroacoustique

Sommaire

Introduction . . . 11

I.1 Analogie de Lighthill . . . 12

I.1.1 Etablissement de l’analogie . . . 12

I.1.2 Résolution de l’équation de Lighthill . . . 14

I.1.3 Expressions des différentes fonctions de Green de champ libre . . . 16

I.1.4 Solutions intégrales de l’analogie de Lighthill . . . 17

I.1.5 Limitations de l’analogie Lighthill. . . 21

I.2 Présence de parois solides fixes non poreuses et parfaitement rigides : Analogie de Curle . . . 22

I.2.1 Prise en compte de la présence d’obstacle dans le domaine temporel :

Extension de l’analogie de Lighthill par Curle . . . 22

I.2.2 Solution spectrale en présence d’obstacle fixe : Formulation de Kirchhoff . 23

I.3 Présence d’obstacles quelconques : Analogie de Ffowcs-Williams et Hawkings . . 24

I.3.1 Développement de l’analogie. . . 24

I.3.2 Solutions de l’analogie de Ffowcs Williams et Hawkings en dérivées spatiales 25

I.3.3 Solution de l’analogie de Ffowcs Williams et Hawkings en dérivées

tem-porelles . . . 26

I.3.4 Solution de l’analogie de Ffowcs Williams et Hawkings dans le domaine

spectral . . . 27

I.3.5 Principales différences entre les analogies de Curle et de Ffowcs Williams. 27

I.4 Résolution particulière des analogies : principe de diffraction . . . 27

I.5 Approche de type Ribner . . . 28

I.5.1 Analogie aéro-acoustique pour la pression . . . 28

I.5.2 Analyses physique de Ristorcelli . . . 29

I.6 Analogie acoustique dans la zone source : travaux de Schram . . . 30

Conclusions du chapitre . . . 32

11

Introduction

L’apparition du traitement numérique des problèmes aéroacoustiques coïncide, comme dans de nombreux domaines de la physique, au développement des ressources informatiques, au cours des années 1980. Il existe trois grands types de résolutions numériques en aéroacoustique. Le premier type prend ses racines une trentaine d’années avant l’essort de l’informatique. Il s’agit de ce que l’on appelle couramment les analogies aéroacoustiques, initiées par Lighthill dans les années 1950 [55] et [56]. Cette analogie était, dans un premier temps, limitée aux bruits d’écoulements libres, sans obstacle. Depuis, de nombreuses autres analogies ont été développées, afin de prendre en compte d’autres types d’écoulements (compressibles, visqueux, chauffés, en présence d’obstacles...) ou de répondre à des besoins spécifiques (prise en compte de la convection par l’écoulement moyen, de la diffraction et réfraction des ondes acoustiques, avec des sources basées sur des grandeurs physiques spécifiques comme la vorticité...).

De manière générale, les analogies aéroacoustiques permettent de réaliser l’estimation du bruit rayonné par un écoulement en découplant les phénomènes aérodynamiques des phénomènes acous-tiques. Industriellement, c’est ce type de résolution qui est privilégié, car il s’avère moins coûteux en terme de temps et de ressources informatiques. L’idée fondatrice des analogies aéroacoustique repose dans le fait que les équations de Navier - Stokes sous leur forme générale décrivent tous les mouvements du fluide ainsi que toutes les formes de perte ou de gain que l’écoulement subit. Elles peuvent donc aussi décrire la génération et la propagation des fluctuations acoutiques dans les écoulements. L’objectif recherché lors du développement d’une analogie est donc de former, à partir des équations de NS, un ensemble d’équations regroupant d’une part les termes décrivant la propagation des ondes (opérateur d’onde) et d’autre part les termes associés à la génération de bruit (sources). En pratique, les sources sont obtenues à l’aide d’un calcul aérodynamique incompressible, réalisé de manière préliminaire. Le calcul d’analogie permet alors d’avoir accès au champ de pression acoustique.

En dehors des analogies acoustiques, il existe deux autres grandes familles de résolutions numé-riques pour un problème d’aéroacoustique :

1. La DNA, pour Direct Numerical Acoustic, dans laquelle on résout de manière directe les équations de Navier Stokes compressibles, permettant d’accéder en une seule étape au champ total en tout point de l’espace. En pratique, ces calculs sont très coûteux et donc limités à des cas académiques, définis par un nombre de Reynolds faible.

2. La WEM, pour Wave Extrapolation Method, qui peut être schématisée comme une solution intérmédiaire entre l’analogie aéro-acoustique et la DNA : on calcule la pression acoustique (généralement à l’aide d’un calcul compressible des équations de Navier Stokes) sur une surface, avant de la faire rayonner au lointain.

Dans ce chapitre, nous présentons les principales formulations d’analogies aéro-acoustiques pre-sentant un réél intérêt pour une utilisation dans les calculs d’aéroacoustique externe en automobile (écoulement incompressible, isentropique et faiblement visqueux, en présence d’obstacle rigide et non confiné). De nombreuses formulations d’analogies ne seront donc pas présentées. Une étude presque exhaustive de ces analogies est réalisée par Gloerfelt [34]. Nous nous efforçons de mettre en lumière les principales hypothèses réalisées dans les développements, afin de mieux cerner les limites de chaque analogie. En annexe, nous présentons brièvement les principales méthodes WEM, dont l’utilisation industrielle se limite essentiellement à la validation numérique des analogies aéro-acoustiques.

12 CHAPITRE I – MÉTHODES NUMÉRIQUES EN AÉROACOUSTIQUE

I.1

Analogie de Lighthill

I.1.1 Etablissement de l’analogie

En 1952, puis 1954, Lighthill ([55], [56]) est le premier à travailler sur une recombinaison exacte des équations du mouvement de la mécanique des fluides (équations de Navier Stokes) pour trans-former le problème d’aérodynamique en problème d’aéro-acoustique (équation d’onde inhomogène). Historiquement, ces travaux se situent dans un contexte de mesure du bruit rayonné par les jets de turbines dans le contexte aéronautique. L’équation de Lighthill est obtenue par la recombinai-son des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, de manière à faire apparaître un opérateur d’onde. En se plaçant dans l’hypothèse d’absence de débit masse Qm et

de forces extérieures fi, les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement

s’écrivent : ∂ρ ∂t + ∂ρuj ∂yj = 0 (I.1) ∂ρui ∂t + ∂ (ρuiuj + pδij − τij) ∂yj = 0 (I.2)

Dans ces équations, ui désignent les composantes du vecteur vitesse, ρ la masse volumique du

fluide, p la pression, τij le tenseur des contraintes visqueuses et δij est le symbole de Kroenecker.

A l’aide de la transformation : ∂ (I.1) ∂t − ∂ (I.2) ∂yi , On obtient l’égalité suivante :

∂2ρ ∂t2 =

∂2(ρuiuj+ pδij− τij)

∂yi∂yj

(I.3) Afin de faire apparaître un opérateur d’onde, Lighthill retranche alors des deux côtés de l’équation (I.3) le terme c2

0∂

2_ρ

∂y2 i

. Ceci conduit à l’équation d’onde de Lighthill, qui est la base de son analogie, basée sur la masse volumique :

∂2_ρ ∂t2 − c 2 0 ∂2_ρ ∂y2 i = ∂ 2_T ij ∂yi∂yj (I.4) où on a posé dans (I.4) :

• c2

0 : la célérité du son dans le milieu au repos

• Tij = ρuiuj+ (p − c20ρ)δij− τij : le tenseur de de Lighthill

Remarque: Il est possible d’obtenir une forme équivalente à l’équation (I.4) sous la forme d’une équation d’onde inhomogène pour la pression. Pour cela, au lieu de soustraire le terme c2

0∂

2_ρ

∂y2

i à

l’équation (I.3), on y ajoute le terme 1 c2 0

∂2 p

∂t2, comme proposé par Doak [19]. Après réorganisation des

termes, on peut aboutir à l’équation d’onde inhomogène pour la pression : ∂2p ∂t2 − c 2 0 ∂2p ∂y_i2 = c 2 0 ∂2(ρuiuj− τij) ∂yi∂yj +∂ 2_{(p − c}2 0ρ) ∂t2 (I.5)

I.1 – Analogie de Lighthill 13 Nous reviendrons plus tard sur ce type d’équation. Nous présenterons en détail son développe-ment et sa résolution dans le chapitre 2, la solution que nous proposons dans ce travail reposant essentiellement sur la résolution d’une équation de type (I.5).

Sous cette forme, il est à priori impossible de résoudre l’équation (I.4), car on ne dispose alors que d’une équation pour 5 inconnues. De plus, l’inconnue ρ intervient des deux côtés de l’équation, bouclant le problème sur lui même. C’est l’interprétation du problème posé sous cette forme par Lighthill qui va permettre de résoudre (I.4). Comme nous l’indiquions précédemment, l’idée de base des analogies aéroacoustiques est de découper le problème en deux étapes : aérodynamique puis acoustique. Le traitement du problème aérodynamique incompressible va permettre d’obtenir les quantités p, u, τ . Ensuite, en postulant que l’observateur se situe dans un milieu uniforme au repos, il ne lui parvient alors que des fluctuations d’origine acoustiques. Ceci revient donc à découper l’espace en deux domaines disctincts : une zone source, où sont concentrés les phénomènes aérodynamiques turbulents (non linéaires), à l’origine de la génération de bruit, et un domaine observateur où le seul phénomène physique susceptible d’être présent est la propagation linéaire des ondes acoustiques. A l’opposé, on considère que dans la zone source, les fluctuations acoustiques sont noyées par les fluctuations aérodynamiques. En réalisant ce découpage de l’espace, Lighthill impose donc implicitement que l’observateur est placé en dehors de l’écoulement.

Dans une équation d’onde inhomogène, comme l’équation (I.4), le membre de gauche se réfère à l’observateur et le membre de droite à la source ayant généré les fluctuations acoustiques. Sui-vant l’interprétation du problème donnée par Lighthill, et en notant de l’indice a les fluctuations acoustiques, on peut alors réécrire (I.4) :

∂2ρa ∂t2 − c 2 0∇2ρa= ∂2Tij ∂yi∂yj (I.6) Interprétation de l’équation

Dans l’équation (I.6), le membre de gauche est l’opérateur de propagation d’onde dans un milieu au repos. Le membre de droite représente les termes sources : cette équation se réduit donc à une équation d’onde avec second membre. Par conséquent, il y a bien une analogie entre les fluctuations acoustiques de masse volumique dans un fluide et celles produites par une distribution de sources de forces ∂2_T

ij/∂yi∂yj dans un milieu homogène au repos. ∂2Tij/∂yi∂yj représente une densité de force

instantanée d’une distribution volumique de sources acoustiques agissant sur le milieu homogène au repos.

Comme le laisse supposer son écriture, le tenseur de Lighthill, sous sa forme complète, est composé de 3 termes représentant chacun un type de source répondant à un phénomène physique. Le premier terme (ρuiuj, tenseur des vitesses) représente la génération de bruit par des fluctuations

de vitesses turbulentes, ou la vorticité comme le montre la théorie du Vortex Sound [71]. Ce type de source est dominant dans l’essentiel des écoulements à Reynolds élevé. En utilisant la décomposition du champ de vitesse en champ moyen, turbulent et acoustique :

ui = ui0+ uit+ uia

Et en supposant de plus l’écoulement incompressible vis à vis de la masse volumique uniquement, on peut alors réécrire ce terme source en :

ρuiuj ≈ ρ0(uitujt+ uituj0+ ui0ujt+ uiauja+ uiauj0+ ui0uja+ uiaujt+ uituja)

Ce terme contient donc les interactions turbulence/turbulence ainsi que les interactions entre l’écoulement moyen et la turbulence, les interactions acoutique/acoustique, écoulement moyen /

14 CHAPITRE I – MÉTHODES NUMÉRIQUES EN AÉROACOUSTIQUE

Figure I.1 –Domaine source et milieu observateur de l’analogie de Lighthill.

acoustique (effets de convection et de réfraction) et enfin acoustique avec la turbulence (d’ordre faibles).

Le deuxième terme ((p−c2

0ρ)δij) représente la génération de bruit par les fluctuations d’entropie.

Enfin, le dernier terme (τij : termes dissipatifs) représente la dissipation d’énergie par la viscosité.

Le problème devient explicite une fois que l’on a calculé les sources contenues dans Tij à l’aide de

la résolution du problème aérodynamique pur. Simplifications et limites

L’analogie de Lighthill étant basée sur une division de l’espace physique en deux régions, elle ne permet pas la prise en compte des phénomènes d’interaction du champ aérodynamique sur les ondes acoustiques : la convection des ondes par l’écoulement, ou leur réfraction sont donc ignorées dans l’analogie de Lighthill (l’opérateur de propagation est ici associé à un milieu homogène et au repos). Ceci constitue la principale hypothèse limitante de l’analogie qui implique que l’observateur est entouré d’un fluide uniforme au repos.

Dans de nombreuses conditions d’écoulement, il est possible de simplifier le problème, en agissant sur les sources prises en compte dans le tenseur de Lighthill. Pour des applications à faible nombre de Mach, à nombre de Reynolds élevé et sans effets thermiques (tels que les écoulements rencontrés en aérodynamique externe automobile), on montre ([55], [16], [53]) que le tenseur de Lighthill peut être approximé par une expression incompressible, non visqueuse et isentropique :

Tij = ρ0uiuj (I.7)

où ρ0 indique la masse volumique du fluide au repos.

I.1.2 Résolution de l’équation de Lighthill

Comme toute équation d’onde inhomogène, l’équation de Lighthill peut être résolue à l’aide du formalisme de Green. Nous présentons ce formalisme avant de l’appliquer à la résolution de l’analogie de Lighthill.

I.1 – Analogie de Lighthill 15 Fonctions de Green en espace libre

La solution d’une équation d’onde inhomogène est accessible en faisant appel au formalisme de Green. Pour cela, on définit la fonction de Green de champ libre, G0, comme la solution de

l’équation [54], [15] : ∂2G0(x, t|y, τ) ∂x2_i − 1 c2₀ ∂2G0(x, t|y, τ) ∂t2 = δ(x − y)δ(t − τ). (I.8)

où δ est la distribution de Dirac, donnée par :R_−∞+∞_{ψ(x)δ(x−x}0)dx = ψ(x0), avec ψ une fonction

quelconque.

La fonction de Green représente donc la réponse d’une impulsion émise à un point source y à l’intant τ et reçue au point observateur x à l’instant t (figure I.2). Elle doit par conséquent satisfaire le principe de causalité (signifiant qu’aucune information ne peut arriver à l’observateur avant d’avoir été émise) :

G0(x, t|y, τ) = 0 et

∂G0(x, t|y, τ)

∂t = 0 pour t ≤ τ.

Elle vérifie aussi le principe de réciprocité [60], qui permet d’intervertir instants source et obser-vateur :

G0(x, t|y, τ) = G0(x, −t|y, −τ)

Enfin, la fonction de Green de champ libre doit vérifier la condition de rayonnement nul à l’infini.

Figure I.2 –Système de coordonnées utilisé pour la résolution de l’analogie de Lighthill. La solution d’une équation d’onde inhomogène du type :

∇2φ −_c12 0

∂2φ

∂t2 = Q (I.9)

s’exprime alors sous la forme :

φ = G0∗ Q (I.10)

où la notation (. ∗ .) utilisée dans (I.10) représente le produit de convolution spatio-temporel. Ce mode de résolution d’une équation d’onde inhomogène peut être utilisé dans toutes les configu-rations : 2D ou 3D, dans le domaine temporel ou spectral. Il faut, pour celà, utiliser la fonction de Green de champ libre correspondant au cas étudié.

16 CHAPITRE I – MÉTHODES NUMÉRIQUES EN AÉROACOUSTIQUE I.1.3 Expressions des différentes fonctions de Green de champ libre

Il existe de nombreuses expressions de fonctions de Green de champ libre, dépendant du nombre de dimensions spatiales du problème (2D, 3D, voire 1D), du domaine (temporel ou spectral) ou encore de la convention de signe utilisée dans la transformée de Fourier (problèmes dans le domaine spectral). Nous présentons ici les expressions analytiques des différentes fonctions de Green sus-ceptibles de nous intéresser : nous ne traitons donc pas la fonction de Green pour des problèmes monodimensionnels. Afin de bien faire la distinction entre la fonction de Green de champ libre et un autre type de fonction de Green (adaptée, statique, basse fréquence, convectée...) que l’on peut rencontrer dans la bibliographie, cette dernière est repérée par l’indice0.

Fonction de Green 3D dans l’espace temporel La fonction de Green en espace libre s’écrit :

G0(x, t|y, τ) = −

δ(t − τ − c0r)

4πr (I.11)

où r

c0 représente le temps mis par le signal pour parcourir la distance r =| x − y | qui sépare le

point observateur du point source. Ce temps est aussi appelé temps de vol. Fonction de Green 3D dans l’espace spectral

Pour pouvoir définir une fonction de Green dans le domaine spectral, il est nécessaire de préciser la convention de signe utilisée lors de la définition de la transformée de Fourier. Soit une fonction quelconque, notée φ dans le domaine temporel, et dont la transformée de Fourier s’écrit bφ. La convention de transformée de Fourier (F[φ(x, t)])que nous utilisons ici est :

F[φ(x, t)] = bφ(x, ω) = Z _+∞

−∞

φ(x, t)e−iωtdt (I.12)

F−1[bφ(x, ω)] = φ(x, t) = 1 2π

Z _+∞

−∞

b

φ(x, ω)e+iωtdω (I.13)

Avec la transformée de Fourier ainsi définie, la fonction de Green est solution de l’équation de Helmholtz suivante :

(∇2+ k2) cG0(x|y, ω) = δ(x − y), (I.14)

où ω = 2πf est la pulsation, f la fréquence et k = ω/ c0 est le nombre d’onde.

L’expression analytique de la fonction de Green de champ libre 3D spectrale s’écrit alors : c

G0(x|y, ω) = +

e−ikr

4πr (I.15)

Fonction de Green 2D dans l’espace temporel

Même si le recours à ce type de fonction de Green est relativement peu fréquent, pour des raisons de conditions aux limites (aspect non instantané de la fonction de Green), il en existe une expression analytique : G0(x, t|y, τ) = − c0H((t − τ) − r/c0) 2πpc2 0(t − τ)2− r2 (I.16)