Des conditions d'interface efficaces pour le couplage de modèles océaniques

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modèles océaniques

Elise Nourtier-Mazauric

To cite this version:

Elise Nourtier-Mazauric. Des conditions d’interface efficaces pour le couplage de modèles océaniques.

[Rapport de recherche] RR-6512, INRIA. 2008, pp.113. �inria-00275016v4�

inria-00275016, version 4 - 30 Apr 2008

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

9

IS

R

N

IN

R

IA

/R

R

--6

5

1

2

--F

R

+

E

N

G

Thème NUM

Des conditions d’interface efficaces

pour le couplage de modèles océaniques

Elise Nourtier-Mazauric

N° 6512

EliseNourtier-Mazauri

ThèmeNUMSystèmesnumériques

Équipe-ProjetMoise

Rapportdere her he n°6512Avril2008109pages

Résumé : La modélisation o éanique s'est développée es dernières années notamment

grâ eàlamiseenpla e demodèlesrégionauxàhauterésolution etleur ouplageave des

modèlesgrandeé helledefaiblerésolution[BD06℄.Nousnousintéressonsi iàlaréalisation

etàl'optimisationd'untel ouplageaumoyend'algorithmesdeS hwarzglobauxentemps.

Cesalgorithmes(optimizedS hwarzwaveformrelaxationalgorithms)ontétédéveloppés

en parti ulier dans le adre de la modélisation o éanique, à savoir des équations de type

adve tion-diusion pour lestra eurs (température, salinité) et du système bidimensionnel

deSaint-Venantlinéarisé autourd'uneadve tionnulle[Mar03,Mar05℄.

Dans le adre duprojet ANR COMMA, nous souhaitons étendre es travaux dans un

vraimodèleo éanique,etnousenprésentonsi idiversesétapes:nousavonsd'aborddéni

les onditionsabsorbantespourleséquationsdeSaint-Venantave adve tion,danslasuite

dire tedestravauxde[HS89℄et[Mar03℄.Ensuitenousavonsétudiéuneéquationdestra eurs

modiée,oùlelapla ienestrempla é parunbilapla ien.

Mots- lés: Conditionsauxinterfa es,Frontièresouvertes,Conditionsabsorbantes,Couplage,

Abstra t: Model ouplingis animportantpresentproblem in o eanoratmosphere

mod-elling,whereregionalmodellingsystemsaredesignedby ouplinghighresolutionlo al

mod-elsto lowerresolutionlarges alemodels.

In this study, we investigate the use of global-in-time S hwarz algorithms for su h a

oupling.Thee ien yoftheseiterativemethodsis loselyrelatedtothetransmission

on-ditions between the subdomains interfa es. The absorbing boundary onditions and their

approximationsprovedto beanextremelypowerfultoolto dedu egoodtransmission

on-ditions for domain de omposition methods and oupling. The limitation of the iteration

ount anbe a hieved by developing S hwarz optimized methods : theyare based onthe

useof absorbingboundary onditions,with optimizedtransmission onditions,and onthe

minimization of the onvergen e rate of the algorithm overall frequen ies propagated by

thenumeri als heme.

Severalsystemsofequationsen ounteredino eanmodelsareaddressedin thisstudy:

 The2-Dshallow-watermodel,eitherunderhyperboli andin ompletelyparaboli form

(i.e.systemswithoutorwithvis osity)

 The s alar 2-D and 3-D adve tion-diusion equations, whi h des ribe the evolution

of tra ers like temperature or salinity. Two dierent parameterizations of diusion,

lapla ianandbi-lapla ian,are onsidered.

E ientinterfa e onditions forthose systemsare derived, andimplementedin numeri al

experiments,inidealizedorrealisti test ases.

Key-words: Interfa e onditions,Openboundaries,Absorbing onditions,Coupling,S hwarz

Table des matières

I Introdu tion 5

II Dynamique 2-D : équations de Saint-Venant 11

1 Équations hyperboliques(sans vis osité) 13

1.1 Introdu tion. . . 13

1.2 Problèmeinitial. . . 13

1.3 FrontièreEst . . . 14

1.3.1 Diagonalisationouméthodedes ara téristiques . . . 14

1.3.2 Triangularisationet onditionsabsorbantesexa tes . . . 16

1.3.3 Constru tiondelamatri edepassage

V (ξ, ω)

. . . 19

1.3.4 Approximationdes onditionsabsorbantes. . . 20

1.4 FrontièreOuest . . . 24

1.5 FrontièreNord . . . 26

1.6 FrontièreSud . . . 28

2 Équations in omplètementparaboliques(ave vis osité) 31 2.1 Introdu tion. . . 31

2.2 Notations . . . 33

2.3 ProblèmedeCau hy . . . 33

2.3.1 ModesnormauxduproblèmedeCau hy . . . 34

2.3.2 Conditionsdetransmission . . . 36

2.4 Dérivationdes onditionsauxfrontièresarti ielles . . . 37

2.4.1 Conditionsauxfrontièrestransparentes . . . 37

2.4.2 Conditionsauxfrontièresappro héesen

ν

(nonlo ales) . . . 38

2.4.3 Rappeldes onditionsabsorbantespourleproblèmehyperbolique . . 38

2.4.4 Conditionsappro héesen

η

. . . 39

2.4.5 Cas parti ulier:lesystèmedeSaint-Venantlinéarisé . . . 40

2.5 Casparti ulierdusystèmesanstermes deCoriolis

F

. . . 41

2.5.1 Conditionsabsorbantespourleproblèmehyperbolique. . . 41

2.5.2 Conditionslo alespourleproblème omplet . . . 41

2.5.3 Conditionsauxlimitesd'ordresplusélevés(en

ν

). . . 41

2.5.4 Cas parti ulier:lesystèmedeSaint-Venantlinéarisé . . . 42

III Conservation des tra eurs : équations d'adve tion-diusion 45 3 Équations d'adve tion-diusion harmonique 47 3.1 Introdu tion. . . 47

3.2 Espa e

R

2

. . . 47

3.2.1 AlgorithmeappliquéauxtransforméesdeFourierdeserreurs . . . 47

3.2.2 Conditionsoptimalesauxinterfa es . . . 49

3.2.3 Conditionsappro hées . . . 49

3.2.4 Optimisationdutauxde onvergen epourles onditionsappro hées . 50 3.3 Espa e

R

3

. . . 51

4 Équations d'adve tion-diusion biharmonique 53 4.1 Introdu tion. . . 53

4.2 Formulationvariationnelle,existen eet uni itédelasolution . . . 54

4.2.1 Cas d'unseuldomaine(sans ouplage) . . . 58

4.2.2 Cas d'unedé omposition endeuxsous-domainesà oupler. . . 59

4.2.3 Cas générald'unedé ompositionenplusieurssous-domaines . . . 61

4.3 Conditionsabsorbantesexa teset appro héesdansle assansadve tion . . . 64

4.3.1 Cas simpliéstationnaireave réa tion. . . 65

4.3.2 Cas simpliétransitoire . . . 67

4.4 Méthodesnumériquesen1-D . . . 70

4.4.1 Semi-dis rétisationenespa eparélémentsnis . . . 70

4.4.2 Dis rétisationtotaleenespa eetentemps . . . 72

4.5 Simulationspourleproblèmedediusion biharmonique . . . 73

4.5.1 Cas de onditionsdetransmissiondeDiri hlet-Neumann. . . 74

4.5.2 Résultatsdesimulationsdansle asstationnaireave termeréa tif . . 78

4.5.3 Résultatsdesimulationsdansle astransitoire . . . 81

IV Annexes 85 A Équations de Saint-Venant in omplètementparaboliques 87 A.1 TransforméedeFourier-Lapla edeséquationsdeSaintVenant . . . 88

A.2 AlgorithmedeS hwarz lassiquedetyperelaxationd'ondes . . . 90

A.3 Conditionsauxlimitesabsorbantes(ouoptimales) . . . 91

A.3.1 Re her hede onditionsabsorbantes lassiques . . . 91

A.3.2 Re her hede onditionsabsorbantesnaturelles . . . 92

A.4 Conditionsauxlimitesoptimisées. . . 93

B Équations d'adve tion-diusion harmonique3-D 95 B.1 Démonstrationsde onvergen edans

R

3

. . . 95

B.1.1 Conditionsd'interfa ed'ordre0. . . 95

B.1.2 Conditionsd'interfa ed'ordre1. . . 97

C Équations d'adve tion-diusion biharmonique 99 C.1 Systèmedis retdansle assimplié1-Dsansadve tion . . . 99

C.1.1 Matri e demasse . . . 99

C.1.2 Matri e derigidité . . . 99

C.1.3 Ve teur harge . . . 100

C.1.4 Matri e ja obienne . . . 100

C.2 Cas2D:appro hepardéveloppementensériedelavis osité

ν

. . . 101

C.2.1 TransforméedeFourier-Lapla e. . . 101

C.2.2 Ra ines del'équation quartique . . . 101

C.2.3 Approximationen

ν

. . . 102

C.2.4 Conditionsdetransmission . . . 103

Première partie

La ir ulationo éaniqueestparti ulièrementhétérogène,àlafoisentempsetenespa e:

les modèles doivent pouvoir gérer des phénomènes aussi variés que les tourbillons

méso-é helles, lesfronts, et la ir ulation générale.Un modèle de ir ulationgénérale (OGCM)

seulnepeutpasdé rire omplètementunephysiqueaussivariée.Un moyend'améliorerla

modélisation est de ouplerles OGCMsave des modèleso éaniques régionaux(ROMs) à

hauterésolution. L'utilisationdeROMss'esta rue esdernières années,enparti ulier du

faitdudéveloppementdel'o éanographieopérationnelleetdel'o éanographie tière.

(1)Quelemodèlesoitutiliséseulsurundomaine

Ω

ou(2)qu'ilsoit oupléave unautre

modèle ouvrantundomainegéographiquediérent(et ontigudupremier),ilfautpouvoir

limiterlapropagationdeserreursauxbordsdudomaine

Ω

(Figure1).Danslepremier as,

esbordssontdesfrontièresouvertes.Onpeutalors onsidérerqu'on ouplevirtuellement

lemodèleave unmodèleextérieurquinousfournitdesdonnéesauxbords.Danslese ond

as,lebordest uneinterfa eentreles deuxmodèles,qui sont ouplésee tivement.Notre

obje tif est d'optimiser le ouplage de es modèles enposantles "bonnes" onditionsaux

limites,appeléesrespe tivement(1) onditionsauxfrontièresouvertesou(2) onditionsde

transmissionauxinterfa es.

Fig.1:Exemplede ouplaged'unmodèlede ir ulationgénérale(AtlantiqueNord)ave unmodèle

o éaniquerégional(GolfedeGas ogne)

Bien que l'emboîtementdouble (two-way nesting) soit laméthode de ouplage laplus

utilisée dans la ommunauté o éanographique, ette méthode ne permet pas d'aborder le

problèmeexa tmaisseulementuneapproximation.Enoutre,ellen'assurepasunerégularité

susanteàtraversl'interfa eentrelesdeuxmodèles[BD06℄.L'appro heexa tequi onsiste

en un ouplage omplet est beau oup plusdi ile et beau oup plus hèreque

l'emboîte-ment double, ar elle requiert de trouveret d'implémenter un algorithme qui assure que

lessolutionsdans haquedomainesatisfontles onditionsderégularitéàtraversl'interfa e.

L'algorithmedeS hwarzsansre ouvrementglobalentemps onvienttoutparti ulièrement

pouruntel ouplage,etpeutmeneràuneaméliorationdesrésultatsphysiques[CFB

+

07℄.

Soit

Ω

ledomaineo éanique.Soitl'intervalledetemps

[0, T ] ⊆ R

+

.Lemodèleo éanique

estdé rit dans

Ω

parlesystèmed'équations



Lu = f

dans

Ω × [0, T ],

u|

t=0

= u

0

dans

Ω.

Fig.2:Couplage aumoyend'unalgorithme deS hwarzglobal entemps (a)d'unmodèlede

ir- ulationgénéraleave unmodèlerégional(Éri Blayo, ommuni ationpersonnelle),(b)de

modèlesd'adve tion-diusionharmonique[Mar05℄

Dé omposons le domaine en deux sous-domaines

1

Ω

−

et

Ω

+

(Figures 1 and 2). Dans le

as d'un re ouvrement, on dénit deux interfa es, par exemple

Γ

0

le bord de

Ω

+

et

Γ

L

eluide

Ω

−

.Dansle asoùlesdeuxsous-domainessontbiendistin ts(sansre ouvrement),

l'interfa e,notée

Γ

,estunique(i.e.

Ω

+

_{∩ Ω}

−

₌

Øet

Γ

L

= Γ

0

= Γ

).

L'algorithmederelaxationdeS hwarz onsisteàrésoudredemanièreitérativelesystème

dans haquesous-domaine enassurantla ohéren e par des onditionsaux interfa es.On

onsidéreratoujoursdans etravailunalgorithmedeS hwarzadditif

2 :







Lu

n+1

−

= f

dans

Ω

−

_{× [0, T ],}

u

n+1

₋

|

t=0

= u

0

dans

Ω

−

_,

B

−

_u

n+1

−

= B

−

u

n

+

sur

Γ

L

× [0, T ],







Lu

n+1

+

= f

dans

Ω

+

_{× [0, T ],}

u

n+1

₊

|

t=0

= u

0

dans

Ω

+

_,

B

+

_u

n+1

+

= B

+

u

n

−

sur

Γ

0

× [0, T ],

(2)

oùl'exposant

n

estlenumérodel'itération.Lesopérateursauxinterfa es

B

±

sont hoisisde

sorteque haquesous-problèmedans haquesous-domaineestbienposéetquel'algorithme

orrespondant onvergerapidement,mêmesansre ouvrement.

Mettons en éviden e que l'e a ité de la méthode de ouplage dépend du hoix des

onditions d'interfa e entre les sous-domaines. On introduit leserreurs

e

n

±

à l'itération

n

danslessous-domaines

Ω

±

:

e

n

−

= u|

Ω

−

− u

n

₋

et

e

n

+

= u|

Ω

+

− u

n

₊

,

(3)

où

u

est la solution duproblème (1) . Ces erreurs satisfont l'algorithme (2) ave

f = 0

et

u

0

= 0

. Si les opérateurs aux interfa essont hoisis de sorte que

B

−

_u

1

+

= B

+

u

1

−

= 0

, les

sous-systèmesasso iésauxerreursdeviennenthomogènes,leserreurs

e

n

i

déniesdans haque

sous-domaine onvergentalorsverszéroenseulementdeuxitérations: esontles onditions

auxlimites absorbantes.

Une partie du problème a déjà été traitée en hoisissant des onditions absorbantes

[NRS95℄, e qui onduit à une onvergen e en un nombre d'itérations égal au nombre de

sous-domaines. L'in onvénient de es onditions est leur omplexité d'utilisation. Une

al-ternative aux onditions absorbantes a été exposée par Martin [Mar05℄ : elle onsiste à

1

Selonles hapitres,onpourraaussinoterlessous-domaines

Ω

1

et

Ω

2

.

minimiserletauxde onvergen edel'algorithme, equi onduitàdes onditionsaux

inter-fa esplussimples.

Cetravailapourbutd'améliorerle ouplageo éaniqueendéterminantdes onditionsaux

interfa ese a espourleséquationso éanographiques lassiques.Ceséquations, appelées

"équationsprimitives",sont onstituéesdeplusieurséquations:

 Ladynamiqueo éaniqueestmodéliséepardeséquationsde onservationdelaquantité

demouvementet de onservationdelamasse:

∂u

∂t

+ U · ∇u − f v +

1

ρ

0

∂p

∂x

=

F

u

,

∂v

∂t

+ U · ∇v + f u +

1

ρ

0

∂p

∂y

=

F

v

,

(approx.hydrostatique)

∂p

∂z

=

−ρ g,

(approx.deBoussinesq)

∇ · U = 0.

Sous ertainesapproximations(bathymétrie lo alementassezplane,linéarisation

au-tourdelavitessebarotrope),onpeutdé omposerlesvariables







































u(x, y, z, t) =

∞

X

n=1

u

n

(x, y, t) M

n

(z),

v(x, y, z, t) =

∞

X

n=1

v

n

(x, y, t) M

n

(z),

p(x, y, z, t) =

ρ

0

g

∞

X

n=1

h

n

(x, y, t) M

n

(z),

où

M

n

sont les modes verti aux (ve teurspropres de Brünt-Vaïsala), et représenter

alorsleséquationsdeladynamique3-D ommeunesuperpositiondemodèlesde

Saint-Venant(shallow-water)2-D.



























∂u

n

∂t

+ u

0

∂u

n

∂x

+ v

0

∂u

n

∂y

− f v

n

+ g

∂h

n

∂x

= 0

∂v

n

∂t

+ u

0

∂v

n

∂x

+ v

0

∂v

n

∂y

+ f u

n

+ g

∂h

n

∂y

= 0

∂h

n

∂t

+ u

0

∂h

n

∂x

+ v

0

∂h

n

∂y

+

c

n

2

g



∂u

n

∂x

+

∂v

n

∂y



= 0

n = 1, 2, . . .

 La onservationdes tra eurs,telsquelatempératureet lasalinité,estmodélisée par

deséquations d'adve tion-diusion:

∂T

∂t

+ U · ∇T = F

T

,

∂S

∂t

+ U · ∇S = F

S

,

où

F

est un opérateur de diusion, qui est introduit pour prendre en ompte les

phénomènesturbulentsméso-é helles.Eneet,lepasd'espa edumaillagen'est

générale-mentpassusammentpetitparrapportàl'é helledestourbillons.Ilfautalorspouvoir

dissiperl'énergiequi sepropagedel'é hellesous-mailleversl'é helledelamaille.La

priseen ompte delaphysiqueàl'é helle sous-mailledoitpermettred'assurerla

sta-bilitédumodèlesansinterférerave l'a tivitéméso-é helledéjàrésolue.

Deuxparamétrisationsdiérentesdeladiusionpeuventêtre onsidérées[MDIL98℄:

première,oùl'opérateurestunlapla ien,estlaplusfréquemmentren ontréedansles

modèles. Ce idit, il estgénéralementpréférabled'utiliserla deuxième,plusséle tive

quantauxlongueursd'ondesdissipées.

 Enn,une équationd'état

ρ = ρ(T, S, p),

Deuxième partie

Dynamique 2-D : équations de

La dynamique o éanique peut être dé rite en 2-D par les équations de Saint-Venant

linéarisées:

∂

t

W + A

1

∂

x

W + A

2

∂

y

W − νP ∆W + BW

, et

W |

t=0

= W

0

, où

W = (u, v, φ)

t

,

ave

(u, v)

la vitesse horizontale,

φ

lahauteur de surfa e libre et

ν

la vis osité.

A

1

et

A

2

sontdesmatri es,

P

estunematri ediagonaledeproje tionsurleplanhorizontal,et

B

est

unematri e antisymétriquequi exprime larotationdueàla for ede Coriolisdans leplan

horizontal.

AprèsunetransformationdeFourier-Lapla e,lasolutiondusystèmeestsupposéepouvoir

s'é riresouslaforme

W = Φ e

c

−ξx

,ave

Φ

unve teuret

ξ

unera ineàdéterminer.Dansle

asgénéral,onestalorsamenéàrésoudreuneéquationd'ordre5en

ξ

.Dansle assimplié

sansadve tion,elleseréduitàuneéquationbi arréedu4èmeordre,dontlesra inespeuvent

êtredéterminéesfa ilement.Laformulationvariationnelledonnelaformedes onditionsde

transmission.En ombinant esdeuxappro hes,onobtientles onditionsabsorbantesidéales

nonlo ales. Dans le as sansadve tion, 'estsusantpour imposerdes onditionssurles

variableshorizontales[Mar03℄:

B = ( e

B, 0)

t

,

B

e

i

= −ν∂

x

+ c(φ, 0)

t

_−Λ

i

,ave

Λ

i

unopérateur

pseudo-diérentiel.Uneapproximation

Λ

i(j)

desmatri es

Λ

i

, i = 1, 2,

àl'ordre0ou1peut

onduireàdes onditionslo ales. Martin [Mar03℄adémontré que es problèmessontbien

posés, et que les algorithmes onvergent vers la solution globale pour des matri es

Λ

i(j)

diagonales.Dans le assans adve tion, l'équation du 5ème ordre ne peut pasêtre résolue

Chapitre 1

Équations hyperboliques (sans

vis osité)

1.1 Introdu tion

Engquist et Majda [EM77℄ ont développé une théorie des onditions aux limites

ab-sorbantesparfaiteset appro héesdansle asdessystèmes hyperboliquessymétriques

d'or-dre1.Ils ontnotammentillustré leurthéorie en al ulantexpli itementles onditions

ab-sorbantespourleséquationsshallowwaterlinéariséessurunefrontièreEst.

Lebutde emémoestd'expli iterleurthéoriepourlessystèmeshyperboliquessymétriques

d'ordre1,àpartirdel'étudedeséquationsshallowwaterlinéariséeshyperboliques,et

d'éten-dreleursrésultatsàtouteslesfrontièresdudomaine.Nousavonsobtenuquelquesdiéren es

danslajusti ationdeladémar hede[EM77℄et danslesrésultats,quenousavonsmisen

éviden eenbleu.

1.2 Problème initial

Onsepla e dansunrepèrenormédontl'axe

Ox

estorientéversl'Ouestetl'axe

Oy

est

orientéversleNord.

Soit

u

et

v

les omposantesdelavitesseduuide,

h

l'élévationdelasurfa edel'eau,

h

0

laprofondeurdel'eau,

g

lagravitéréduite,

f

leparamètredeCoriolis.Leséquationsshallow

waterlinéariséess'é rivent



























∂u

∂t

+ u

0

∂u

∂x

+ v

0

∂u

∂y

− f v + g

∂h

∂x

+ D

x

= 0 ,

∂v

∂t

+ u

0

∂v

∂x

+ v

0

∂v

∂y

+ f u + g

∂h

∂y

+ D

y

= 0 ,

∂h

∂t

+ u

0

∂h

∂x

+ v

0

∂h

∂y

+ h

0



∂u

∂x

+

∂v

∂y



= 0 ,

oùlestermes dissipatifs

D

x

,

D

y

orrespondentàlapartie nonhyperbolique.Lestermesde

forçagen'ontpasétéprisen ompte.

Soit

c

la élérité

c =

√

gh

0

. Aprèsun hangementde variable

φ = c

h

h

0

=

q

g

h

0

h

, les

équationsshallowwaterlinéariséeshyperboliquesprennentlaforme

∂U

∂t

+ A

1

∂

∂x

U + A

2

∂

∂y

U + BU = 0

(1.1)

ave

U =





u

v

φ





,

A

1

=





u

0

0

u

0

0

0

c

c

0

u

0





,

A

2

=





v

0

0

v

0

0

0

c

0

c

v

0





,

B =





f

0

−f 0

0

0

0

0

0



 .

Ces équations présupposentque le relief du fond marin est très faible, 'est-à-direque la

hauteurd'eau entre le fondet lasurfa emoyenne( orrespondantà une eauparfaitement

alme)estàpeuprès onstante.

1.3 Frontière Est

Dans ette se tion, on étudiera les onditions aux limites absorbantes à la frontière

Γ

E

= {(x, y) ∈ R

2

_{/ x = 0}}

duproblèmerestreintaudomaine

Ω

E

= {(x, y) ∈ R

2

_{/ x ≤ 0}}

.

1.3.1 Diagonalisation ou méthode des ara téristiques

Unepremièreétape onsisteàdiagonaliserlamatri e

A = A

1

n

x

+A

2

n

y

,où

~n =



n

x

n

y



estleve teursortantnormalàlafrontière onsidérée.I i,

~n

E

=



1

0



,don

A

E

= A

1

.

Notons

τ

leve teurtangentàlafrontière onsidérée.Soit

P

E

lamatri edepassagequi

permetdetransformerlamatri e

A

E

enunematri ediagonale

A

x

= P

E

−1

_A

E

P

E .Enposant

W = P

E

−1

_{U ,}

onpeutréé rirelesystème(1.1)souslaforme

∂W

∂t

+ P

E

−1

_A

E

P

E

∂

∂n

W + P

E

−1

_A

⊥

E

P

E

∂

∂τ

W + P

E

−1

_BP

E

W = 0

(1.2) 'est-à-dire

∂W

∂t

+ P

E

−1

_A

1

P

E

∂

∂x

W + P

E

−1

_A

2

P

E

∂

∂y

W + P

E

−1

_BP

E

W = 0

(1.3) ouen ore

∂W

∂t

+ A

x

∂

∂x

W + A

y

∂

∂y

W + B

′

_{W = 0 .}

(1.4) Ladiagonalisation de

A

E

∈ M

n

estobtenueen her hantses

n

valeurspropres

λ

i

puis

ses

n

ve teurspropresàgau he

L

i

.I i,lesvaleurspropresde

A

1

sont

u

0

,

u

0

− c ,

u

0

+ c ,

et les ve teurs propres

L

i

à gau he de

A

E

asso iés aux valeurs propres

λ

i

sont tels que

L

T

i

A

1

= λ

i

L

T

i

.

Ce hangementdevariable

W = P

E

−1

_U

utilisépourdiagonaliserlesystème(1.1)revient

àutiliserlaméthodedes ara téristiques.Eneet,lesvariables ara téristiquesdansla

dire tion

~n

sontles omposantes

w

k

dunouveauve teur

W =







w

1

. . .

w

3







,tellesque

w

i

= L

T

i

U

Attention : L'ordredans lequelsontrangéesles valeurspropresest hoisi de sorteque

les valeurspropresde même signesoient ontiguës et que les

k

premièresvaleurs propres

orrespondentauxvariables ara téristiquesentrantes,

k ≤ n

.

 lavaleurpropre

(u

0

− c)

esttoujoursnégative,don lavariable ara téristiqueasso iée

vaversl'Ouest;

 lavaleurpropre

(u

0

+ c)

esttoujourspositive,don lavariable ara téristiqueasso iée

vaversl'Est.

Par onséquent,àlafrontièreEstdudomaine

Ω

E ,

 si

u

0

< 0

,

(u

0

−c)

et

u

0

sontnégatives,don lesvariables ara téristiquesasso iéesvont

versl'Ouest, 'est-à-direversl'intérieurdudomaine

Ω

E

,tandisque

(u

0

+c)

estpositive,

don lavariable ara téristiqueasso iée vaversl'Est, 'est-à-direversl'extérieur du

domaine:

k = 2

;

 si

u

0

> 0

,

(u

0

− c)

est négative,don lavariable ara téristiqueasso iéeentredansle

domaine

Ω

E

,tandisque

u

0

et

(u

0

+ c)

sontpositives,don lesvariables ara téristiques

asso iéessortentdudomaine:

k = 1

.

Lesvaleurspropressontdon lassées omme e i:

λ

1

= u

0

− c ,

λ

2

= u

0

,

λ

3

= u

0

+ c ,

etlesve teurspropresasso iéssont

L

1

= α





1

0

−1



 , L

2

= β





0

1

0





et

L

3

= γ





1

0

1



 , ∀ α, β, γ ∈ R

∗

_.

Chaqueligne de la matri e

P

E

−1

orrespond à la transposée du ve teur propre à gau he

asso ié à

λ

i

, i.e.

L

T

i

. On hoisit les oe ients

α

,

β

,

γ

de sorte que lamatri e

P

E

−1

soit

unitaire.Onobtienti i:

P

E

−1

₌





1

√

2

0

−

1

√

2

0

1

0

1

√

2

0

1

√

2





ouen ore

P

E

=





1

√

2

0

1

√

2

0

1

0

−

_√

1

2

0

1

√

2



 .

Lesvariables ara téristiquessontdon















w

1

=

√

1

₂

(u − φ) =

√

1

₂



u −

q

h

g

0

h



w

2

= v

w

3

=

√

1

₂

(u + φ) =

√

1

₂



u +

q

_h

g

0

h



Ré apitulatif :I i,

 si

u

0

> 0

,laseulevariable ara téristiqueentrantedansledomaine

Ω

E

est don

w

1

;

 si

u

0

< 0

,lesvariables ara téristiquesentrantes sont

w

1

et

w

2

.

Lamatri ediagonale ontientalorslesvaleurspropresde

A

1

:

A

x

= P

E

−1

_A

1

P

E

=







λ

1

0

. . .

0

λ

n





 =





u

0

0

− c

u

0

0

0

0

0

0

u

0

+ c





i i. Lesmatri es

A

y

et

B

′

sonti i

A

y

= P

E

−1

_A

2

P

E

=







v

0

−

√

c

₂

0

−

_√

c

2

v

0

c

√

2

0

_√

c

2

v

0







et

B

′

_{= P}

E

−1

_BP

E

=







0

−

√

f

2

0

f

√

2

0

f

√

2

0

−

√

f

2

0





 .

Lamatri e

A

x

étantinversible,onpeutmultiplieràgau helesystème(1.4)par

A

x

−1

=







1

λ

1

0

. . .

0

_λ

1

n





 =





1

u

0

−c

0

0

0

1

u

0

0

0

0

_u

₀

1

_+c





i i.

Onobtientalorslesystème

∂W

∂n

= A

time

∂

∂t

W + A

τ

∂

∂τ

W + B

′′

_{W ,}

(1.5)

équivalenti iausystème

∂W

∂x

= A

time

∂

∂t

W + A

τ

∂

∂y

W + B

′′

_{W ,}

(1.6) où

A

time

= −A

x

−1

,

A

τ

_{= −A}

x

−1

A

y

et

B

′′

_{= −A}

x

−1

B

′

. I i,

A

time

=





1

−u

0

+c

0

0

0

_−u

1

₀

0

0

0

1

−u

0

−c



 , A

τ

₌







v

0

−u

0

+c

−

c

(−u

0

+c)

√

2

0

c

u

0

√

2

−

v

0

u

0

−

c

u

0

√

2

0

−

_(u

₀

_+c)

c

√

2

v

0

−u

0

−c







et

B

′′

₌







0

−

_(−u

₀

_+c)

f

√

2

0

−

_u

₀

f

√

2

0

−

f

u

0

√

2

0

f

(u

0

+c)

√

2

0





 .

1.3.2 Triangularisation et onditions absorbantes exa tes

Les onditions aux limites absorbantes qu'on impose au système doivent permettre de

modéliserleproblème onsidéré ommesilesfrontièresouvertesn'existaientpas,en

onsid-érantquelesquantitésentrantdansledomainesontégalesdepartetd'autredelafrontière

(demanièreànepasintroduirearti iellementuneinformationerronéedansledomaine

on-sidéré).Lorsqu'onne disposed'au une informationà l'extérieurdudomaine, lesquantités

entrantesàlafrontièrepeuventêtrepriseségalesà0.

Pourdéterminerles onditionsabsorbantesexa tes,on her heàserameneràunsystème

delaforme

∂W

∂~n

= −Λ



∂

∂t

,

∂

∂~τ



W

(1.7) surlafrontière

Γ

E

, pourlesquantitésentrantes. Lesve teurs

~n

et

~τ

orrespondent

respe -tivementàlanormaleetàlatangenteàlafrontière

Γ

.I i,

∂

∂~n

E

=

∂

∂x

et

∂

∂~τ

=

∂

∂y

.

DénissonslatransforméedeFourierentempsetenespa e

TF

(w(x, y, t)) = b

w(x, ω, ξ) =

1

2π

Z

∞

−∞

Z

∞

−∞

w(x, y, t)e

−i(ωy+ξt)

dt dy

etlatransforméedeFourierinverse

TF

−1

_{( b}

_{w(x, ω, ξ)) = w(x, y, t) =}

1

2π

Z Z

b

w(x, ω, ξ)e

i(ωy+ξt)

dω dξ .

Comme TF



∂w

∂t



= iξ b

w

et TF



∂w

∂y



= iω b

w

,et ommelesmatri es

A

time

,

A

τ

et

B

′′

sont onstantes( arlesvitessesontétégelées),latransforméedeFourierdusystème(1.6)

donne

∂c

W

∂x

= (A

time

i ξ + A

τ

i ω + B

′′

)c

W ,

(1.8) Rappelonsque

A

time

estunematri ediagonale,qu'onpeutdé omposerpar"blo sentrants

ousortants":

A

time

=





A

in

0

k,n−k

0

_n−k,k

A

out



 ∈ M

n

(R) ,

(1.9) ave

A

in

=







1

λ

1

0

. . .

0

1

λ

k





 ∈ M

k

(R

−

)

et

A

out

=







1

λ

k+1

0

. . .

0

_λ

1

_n





 ∈ M

n−k

(R

+

)

où

n

est lenombredevariables ara téristiques

w

i

,et

k

lenombredevariables

ara téris-tiquesentrantes.I i,

n = 3

et

k = 1

ou

2

selonlesignede

u

0

.

En posant

M (ξ, ω) = i (A

time

ξ + A

τ

_{ω) ,}

(1.10)

lesystèmes'é riten ore

∂c

W

∂x

= (M (ξ, ω) + B

′′

_)c

_{W .}

(1.11) Dénissons

Λ ≡ M + B

′′

ommeunopérateur pseudo-diérentiel :

Λ



∂

∂t

,

∂

∂y



W

=

TF

−1



_{Λ(iξ, iω) c}

_W



=

1

2

Z Z

e

i(ωy+ξt)

Λ(iξ, iω) c

W (ξ, ω) dξ dω

.

Latransformée deFourierinversedu système(1.11)donne alorslesystème (1.7),qui

or-respond aux onditions aux limites absorbantes exa tes qui s'appliquent aux

k

variables

ara téristiquesentrantes:



∂W

∂x

− Λ



∂

∂t

,

∂

∂y



W



i









x=0

= 0 ∀ i ∈ [1, k] .

Dansle asdeséquationsshallowwaterlinéariséeshyperboliques,l'opérateurpseudo-diérentiel

Λ



_∂t

∂

,

_∂y

∂



estlo alentempsetenespa e,etlesystèmepré édentestidentiqueausystème

initial(1.6).

Ce idit, esystèmenepermetpasdedé orrélerles

k

ara téristiquesentrantesdes

(n−k)

ara téristiquessortantes,du faitque lesmatri es

A

τ

et

B

′′

sontpleines, ontrairementà

lamatri e

A

time

diagonale.Pourobteniruneséparationdesvariablesentrantes/sortantes,il

faudraitquelesmatri es

A

τ

et

B

′′

soienttriangulairesinférieuresparblo sentrants/sortants.

On va her her àtransformer le système de sorteque les variationsà traversla

fron-tière

(∂/∂x)

desnouvellesvariablesasso iéesauxvariables ara téristiquesentrantes(les

k

premières)nedépendentpasde ellesasso iéesauxvariables ara téristiquessortantes(les

Pour ela,onee tue un hangementdevariables

W = V



∂

∂t

,

∂

∂y



W

(1.12)

àl'aided'unematri e

V

quireprésenteunopérateurpseudo-diérentiel,i.e.

W =

TF

−1



_{V (iξ, iω) c}

_W



_,

ouen ore

c

W = V (iξ, iω) c

W .

Supposonsque la matri e

V

soitinversibleetindépendantede lavariable

x

.Cette

hypothèse est admissibledans lamesureoù lesvitesses ontété gelées auvoisinagedela

frontière, de sorte que les variations de

V

à travers la frontière sont onstantes. Le

sys-tème(1.11)seréé ritalors

∂ c

W

∂x

= V (M + B

′′

_)V

−1

_{W .}

_c

(1.13)

D'aprèsTaylor[Tay75℄,ilestpossiblede onstruireunetellematri e

V

,quisoitinversible

lorsque

|ω|/|ξ|+|ω| < c

0

pourun

c

0

parti ulierettellequelesystème(1.13)soittriangulaire

parblo s.

La ondition

|ω|/|ξ| + |ω| < c

0

revientàsupposerquelesondes onsidéréesentrentave

unanglepro hedel'in iden enormale.Eneet,

 si

ω

estborné,lesfréquen esen

y

sontbornées,lesvariationstangentiellesàlafrontière

sontlimitées;

 si

ω/ξ

estborné,

∆t

∆y

estborné,don

∃ α ∈ R / ∆t < α ∆y

Par onséquent,l'opérateur

V

est telque lesystème (1.6)puisse seréexprimersousla

forme

∂W

∂x

=





Λ

11



∂

∂t

,

∂

∂y



0

_k,n−k

Λ

21



∂

∂t

,

∂

∂y



Λ

22



∂

∂t

,

∂

∂y





 W ,

(1.14)

où la taille des blo s est déterminée par le nombre de ara téristiques entrantes

(k)

et

sortantes

(n − k)

:

Λ

11

∈ M

k

,

Λ

21

∈ M

n−k,k

et

Λ

22

∈ M

n−k

sontdesmatri esd'opérateurs

pseudo-diérentielsd'ordre 1.

Λ

11

(1, 0)

orrespondà lamatri e

A

in

des

k

valeurspropres

entrantes,au

B

′′

près:

Λ

11

(1, 0)

= A

in

+V B

′′

V

−1

=







1

λ

1

0

. . .

0

1

λ

k







+V B

′′

V

−1

.

(1.15)

D'aprèsOliger et Sundström[OS78℄, il semblerait que les onditionsauxlimites entrantes

àappliquerpour etyped'équationsnedépendent quedesélémentspropresdelamatri e

A = A

1

n

x

+ A

2

n

y

(

= −A

1

i i), e qui amèneà s'aran hir de lamatri e

B

′′

. Par

on-séquent,

Λ

11

(1, 0)

(sansleterme

V B

′′

_V

−1

)identieles ara téristiquesentrantes à

la frontière.

Les onditionsaux limitesabsorbantes parfaitessontalorsdonnéespar

W

i

= (W

ext

'est-à-dire

(V W )

i

= V W

ext

i

∀ i ∈ [1, k]

en

x = 0 .

(1.17)

En supposant que la solution exa te est nulle à l'extérieur, les onditions aux limites

absorbantesparfaitesdeviennent

W

i

|

x=0

= (V W )

i

|

x=0

= 0

∀ i ∈ [1, k] .

(1.18)

Restedon àdéterminerlamatri e

V

.

1.3.3 Constru tion de la matri e de passage

V

(ξ, ω)

Lamatri edepassage

V

,qui représenteunopérateurpseudo-diérentiel,est onstruite

delafaçonsuivante[Nir73,Tay75℄:

V (ξ, ω) ≃ V

0

(ξ, ω) + ξ

−1

V

−1

(ξ, ω) + ξ

−2

V

−2

(ξ, ω) + . . . ,

(1.19)

oùlesmatri es

(V

−j

)

j≤0

représententdesopérateurspseudo-diérentiels(dedegré0).D'après

[EM77℄, esmatri esvérientlarelation

V

_−j

(ξ, ω) = V

_−j

(1,

ω

ξ

) .

Ce iétant,nousnesavonspassi etterelation estvériée parhypothèseousielledé oule

d'unepropriétéqui nousaé happé.

Lapropriétéd'hyperboli itéstri tedusystèmeimpliqueque

M (1, 0)

estunematri e

diagonaleave

n

valeursdistin tes.Eneet,

M (1, 0) = A

time .I i,

M (1, 0) =





1

−u

0

+c

0

0

0

_−u

1

0

0

0

0

−

1

u

0

+c



 .

Par onséquent, lorsque

|ω|/|ξ| + |ω|

est majoré parune ertainevaleur,

M (ξ, ω)

possède

également

n

valeurspropresdistin tes.Attention:Celan'estvraiquedanslevoisinagede

l'in iden enormale(

ω = 0

).

On hoisitalors

V

0

(ξ, ω)

desorteque

V

0

M V

−1

0

soittriangulaireinférieureparblo

V

0

M V

0

−1

=

f

M

11

0

f

M

21

M

f

22

!

,

(1.20)

Considérons en première approximation

V ≃ V

0

. Ee tuons le hangement de variable

W

0

= V

0

W

, omme dans l'équation (1.12).

W

0

satisfait le système (1.14), au

B

′′

près.

LaraisonpourlaquelleEngquistet Majda[EM77℄"éva uent"leterme

B

′′

nenoussemble

pas laire.Cette matri eest pourtantpriseen ompte judi ieusement dansle al ul

suivantde

W

1

.

On her heensuiteàdéterminerunnouveauve teur

W

1

quisatisfaitlesystème(1.14)au

moinsjusqu'àl'ordre(-1)en

ξ

.D'après(1.19), eve teurpeuts'é rire

W

1

= (V

0

+ξ

−1

_V

−1

)W

.

Leproblèmerevientdon à her herleterme

V

−1

del'équation (1.19).

Enposant

ξ

−1

_V

−1

= KV

0

,lenouveauve teurs'é rit

W

1

= (I + K)W

0

.Lebutestdon

dedéterminerlamatri e

K

telleque

W

1

satisfaitlesystème (1.14)jusqu'àl'ordre

O(ξ

−1

₎

,

don tellequelapartieenhautàdroitedelamatri e

[ (I + K)V

0

] (M + B

′′

_{) [ (I + K)V}

₀

_]

−1

soitidentiquementnulleàl'ordre

O(ξ

−1

₎

.Après al uls,onmontreque

K

doitavoirlaforme

K =



0

K

e

0

0



,

(1.21) où

K ∈ M

e

k,n−k

existeà onditionque

f

M

11

= A

in et

M

f

22

= A

out

,

(1.22)

etdoitalorsvérier

e

KA

out

− A

in

e

K + e

B

12

= 0

(1.23)

ave

B = B − ∂

e

x

V

0

.Commeonasupposéque

V

nedépend pasde

x

,

B = B

e

.

Unefois quelamatri e

K

estdéterminée,onpeut al uler

V

₋₁

= ξKV

0

,

(1.24)

'est-à-dire

W

1

.

1.3.4 Approximation des onditions absorbantes

PourquelatransforméedeFourierinverse(impli itedanslesopérateurspseudo-diérentiels)

soit lo ale, et non globale, en temps et en espa e, il faut appro her lamatri e

V

par une

formepolynmiale en

ξ

et

ω

.

Lesapproximationslo alessont onstruitesenappro hantlamatri e

V (ξ, ω)

àl'in iden e

normale(

ω = 0

).On approxime don haque

V

−j

(ξ, ω), ∀ j ≤ 0 ,

de l'équation (1.19) par

undéveloppementdeTaylor:

V

_−j

(ξ, ω) = V

_−j

(1,

ω

ξ

) = V

−j

(1, 0) +

m

X

k=1

1

k!



ω

ξ



k

∂

k

∂ω

k

V

−j

(1, 0) + O









ω

_ξ









m+1

!

a) Premièreapproximation

Les onditionsabsorbantes(1.18)deviennent,àl'ordre

O(|ω/ξ| + |1/ξ|)

,

(V

0

(1, 0)W )

i

|

x=0

= 0

∀ i ∈ [1, k] .

(1.25)

Dansnotreappli ation ausystèmeshallow-water2Dlinéarisé hyperbolique,onprend

V

0

(1, 0) = I .

Les onditionsappro héess'é riventalors

W

i

|

x=0

= 0

∀ i ∈ [1, k] .

Casd'un ux entrant :

u

0

< 0

Les variables ara téristiques entrantes sont

w

1

et

w

2

. Les onditionsappro héessont

don

Casd'un ux sortant:

u

0

> 0

La seule variable ara téristique entrante est

w

1

. On obtient alors omme ondition

appro hée

w

1

|

x=0

= 0 .

b) Deuxièmeapproximation

Al'ordre

O |ω/ξ|

2

_{+ |1/ξ|}

2

,les onditionsabsorbantesappro héess'é rivent



∂

∂t

V

0

(1, 0) +

∂

∂ω

V

0

(1, 0)

∂

∂y

+ V

−1

(1, 0)



W



i









x=0

= 0

∀ i ∈ [1, k] ,

(1.26) ar



V

0

(1, 0) +

ω

ξ

∂

∂ω

V

0

(1, 0) +

1

ξ

V

−1

(1, 0)



W



i









x=0

= 0 ∀ i ∈ [1, k] .

(1.27)

Lase ondeapproximation onduittoujoursàunproblèmebienposé.

Pour expli iter lase onde approximation, il reste en ore àdéterminer

∂V

0

(1, 0)

∂ω

. Pour

ela,onsupposequ'ilexisteune matri e

R ∈ M

n

telle que

V

0

peuts'é riresouslaforme

V

0

(ξ, ω) = I +

ω

ξ

R

(1.28) àl'ordre

O



|ω/ξ|

2



,desorteque

∂V

0

(1, 0)

∂ω

= R .

Lase ondeapproximationdes onditionsabsorbantess'é ritalors



∂

∂t

V

0

(1, 0) + R

∂

∂y

+ V

−1

(1, 0)



W



i









x=0

= 0

∀ i ∈ [1, k] ,

(1.29)

La matri e

R ∈ M

n

est déterminée par lapropriété (1.20) en identiant la partie en

haut à droite de lamatri e

V

0

M (1,

ω

ξ

)V

0

−1

à la matri e nulle à l'ordre

O(|ω/ξ|

2

₎

. Après

al uls,onmontreque,en hoisissant

R

delaforme

R =



0

X

0

0



,

(1.30)

X ∈ M

k,n−k

doitvérier

XA

out

− A

in

X + A

τ

12

= 0

(

en

O(|ω/ξ|)) .

(1.31)

Dansle asoù

 lesvariables ara téristiquesentrantessontplusnombreusesquelesvariablessortantes,

i.e.

k ≤ n − k

,

 lamatri e

X

est derang

n − k

,

onpeut onstruireuneapproximationpour

V

0

delaforme(1.28)en

O(|ω/ξ|

3

₎

,desorteque

les onditionsappro héessontvériéesàl'ordre

O



Lamatri e

R

telleque

V

0

M (1,

ω

ξ

)V

0

−1

soittriangulaireinférieureen

O(|ω/ξ|

3

₎

doitalors êtredelaforme

R =



Y

X

0

0



,

(1.32) où

X ∈ M

k,n−k

doitvérierl'équation(1.31)et

Y ∈ M

k

doitvérier

−A

τ

11

X + Y (−A

in

X + A

τ

12

) + A

in

Y X + XA

τ

22

= 0

en

O(|ω/ξ|

2

₎

_.

Enposant

Z = Y X ∈ M

k,n−k

,

(1.33)

elarevientàrésoudrelesystème

(

XA

out

− A

in

X + A

τ

12

= 0

(

en

O(|ω/ξ|)) ,

−ZA

out

+ A

in

Z − A

τ

11

X + XA

τ

22

= 0

en

O(|ω/ξ|

2

₎

_.

(1.34)

Ondéterminealors

Y

enrésolvantlesystème(1.33), mais ommelamatri e

X

est reuse,

onnepeutpastoujoursdéterminertoutesles olonnesde

Y

.On hoisitalorsde onstruire

lamatri e

Y

enidentiantlestermes des olonnesindéterminéesà0.

Le al ulde

Y

permetalorsdetrouver

R

d'après(1.32).

Après avoir déterminé

V

−1

d'après l'équation (1.24) , on peut exprimer les onditions

absorbantesàl'ordre

O



|ω/ξ|

3

+ |1/ξ|

2



d'après(1.29).

Passonsànotreappli ationausystème shallow-water2Dlinéarisé hyperbolique.

Casd'un ux entrant :

u

0

< 0

Les variables ara téristiquesentrantes sont

w

1

et

w

2

. Les matri es

A

in

et

A

out sont

alorsdéniespar

A

in

=



1

−u

0

+c

0

0

_−u

1

0



< 0

et

A

out

= −

_u

1

0

+ c

> 0 .

On her healorslamatri e

R

telleque

V

0

soitsouslaforme(1.28)enrésolvant

l'équa-tion(1.31) .Onobtient

X =





u

0

0

+ c

√

2



 .

I i, le nombre de variables entrantes (2) est supérieur au nombre de variables sortantes

(1) et

X

est de rang 1, don on peut her her à obtenir une approximation à l'ordre



|ω/ξ|

3

+ |1/ξ|

2



en déterminant

R

suivant (1.32). Il faut don al uler

Z

en résolvant

lesystème(1.34) .Onobtient

Z =







−

(u

0

+ c)

2

4

v

0

(u

0

+ c)

√

2





 ,

equidonne,d'après(1.33),

Y =



 0 −

√

2

4

(u

0

+ c)

0

v

0





don l'expression(1.32)s'é riti i

R =











0 −

√

2

4

(u

0

+ c)

0

0

v

0

u

0

+ c

√

2

0

0

0











.

Par onstru tion,

V

0

(1, 0) = I

.Ilnerestedon plusqu'àdéterminer

V

−1

(1, 0)

.D'après(1.24),

V

₋₁

(1, 0) = KV

0

(1, 0) = K

,où

K

,dénipar(1.21),estobtenuenrésolvantlesystème(1.23).

Onobtient

e

K =





(u

0

+ c)f

0

c

√

2





don

K =









0 0

0

0 0

(u

0

+ c)f

c

√

2

0 0

0







 .

Par onséquent,ladeuxièmeapproximationdes onditionsabsorbantesàl'ordre

O



|ω/ξ|

3

+ |1/ξ|

2



s'é rit



















∂w

1

∂t

−

√

2(u

0

+ c)

4

∂w

2

∂y











x=0

= 0

∂w

2

∂t

+

v

0

∂w

2

∂y

+

(u

0

+ c)

√

2

∂w

3

∂y

+

(u

0

+ c)f

c

√

2

w

3









x=0

= 0

.

(1.35)

Casd'un ux sortant:

u

0

> 0

La seule variable ara téristiqueentrante est

w

1

. Les matri es

A

in et

A

out sont alors déniespar

A

in

=

1

−u

0

+ c

< 0

et

A

out

=



1

−u

0

0

0

−

1

u

0

+c



> 0 .

Après al uls,onobtient

X =



−u

0

√

2

0



.

Lenombredevariablesentrantes(1)estinférieuraunombredevariablessortantes(2),

X

est

derang1,don onva her heruneapproximationàl'ordre



|ω/ξ|

2

+ |1/ξ|

2



endéterminant

R

suivant(1.30)

R =







0

−u

√

0

2

0

0

0

0

0

0

0







et

K

suivant(1.21)et(1.23)

e

K =



−u

0

f

c

√

2

0



don

K =









0

−u

0

f

c

√

2

0

0

0

0

0

0

0







 .

Comme

V

0

(1, 0) = I

et

V

−1

(1, 0) = K

, on peut alors é rire les onditions absorbantes

appro héesàl'ordre

O



|ω/ξ|

2

+ |1/ξ|

2



:

∂w

1

∂t

−

u

0

√

2

∂w

2

∂y

−

u

0

f

c

√

2

w

2









x=0

= 0 .

(1.36)

1.4 Frontière Ouest

Dans ette se tion, on étudiera les onditions aux limites absorbantes à la frontière

Γ

W

= {(x, y) ∈ R

2

/ x = 0}

duproblèmerestreintaudomaine

Ω

W

= {(x, y) ∈ R

2

/ x ≤ 0}

.

Unepremièreétape onsisteàdiagonaliserlamatri e

A = A

1

n

x

+A

2

n

y

,où

~n =



n

x

n

y



estleve teursortantnormalàlafrontière onsidérée.I i,

~n

W

=



−1

0



,don

A

W

= −A

1

.

Rappelonsqu'i i, lesvaleurspropresde

A

1

sont

u

0

,

u

0

− c ,

u

0

+ c .

Lesvaleurspropresde

A

W

sontalors

−u

0

,

−u

0

+ c ,

−u

0

− c ,

et lesve teurspropres

L

i

àgau he de

A

W

asso iés auxvaleurspropres

λ

i

sontlesmêmes

que euxde

A

1

:

L

T

i

A

W

= λ

i

L

T

i

.

Laméthodedes ara téristiques onsisteàappliquerle hangementdevariable

W = P

W

−1

_U

:

∂W

∂t

− P

W

−1

_A

W

P

W

∂

∂x

W + P

W

−1

_A

2

P

W

∂

∂y

W + P

W

−1

_BP

W

W = 0

(1.37)

I i, àlafrontièreOuest dudomaine

Ω

W ,

 lavaleurproprede

A

W

(−u

0

−c)

esttoujoursnégative,don lavariable ara téristique

asso iéevaversl'Est, 'est-à-direversl'intérieurdudomaine;

 lavaleurproprede

A

W

(−u

0

+ c)

esttoujourspositive,don lavariable ara téristique

asso iéevaversl'Ouest, 'est-à-direversl'extérieurdudomaine.

Par onséquent,

 si

u

0

< 0

,

(−u

0

)

et

(−u

0

+c)

sontpositives,don lesvariables ara téristiquesasso iées

vontversl'Ouest, 'est-à-direversl'extérieur du domaine

Ω

W

, tandisque

(−u

0

− c)

est négative, don la variable ara téristiqueasso iée va vers l'Est, 'est-à-dire vers

l'intérieur dudomaine:

k = 1

;

 si

u

0

> 0

, seule

(−u

0

+ c)

est positive, don lavariable ara téristiqueasso iée sort

du domaine

Ω

W

, tandis que

(−u

0

)

et

(−u

0

− c)

sont négatives, don les variables

ara téristiquesasso iéesentrentdansledomaine:

k = 2

.

Lesvaleurspropresde

A

W

sontdon lassées omme e i:

λ

1

= −u

0

− c ,

λ

2

= −u

0

,

λ

3

= −u

0

+ c ,

etlesve teurspropresasso iéssont

L

1

= α





1

0

1



 , L

2

= β





0

1

0





et

L

3

= γ





1

0

−1



 , ∀ α, β, γ ∈ R

∗

_.

On hoisitles oe ients

α

,

β

,

γ

desortequelamatri e

P

W

−1

, dontleslignessontles

ve teursproprestransposés

L

T

i

,soitunitaire:

α =

1

√

2

,

β = 1

,

γ = −

1

√

2

, 'est-à-dire

P

W

−1

₌





1

√

2

0

1

√

2

0

1

0

−

_√

1

2

0

1

√

2





ouen ore

P

W

=





1

√

2

0

−

1

√

2

0

1

0

1

√

2

0

1

√

2



 .

Lesvariables ara téristiques

w

i

= L

T

i

U

sontdon















w

1

=

√

1

₂

(u + φ) =

√

1

₂



u +

q

_h

g

₀

h



w

2

= v

w

3

=

√

1

₂

(−u + φ) =

√

1

₂



−u +

q

h

g

0

h



Ré apitulatif :I i,

 si

u

0

< 0

,laseulevariable ara téristiqueentrantedansledomaine

Ω

W

est don

w

1

;

 si

u

0

> 0

,lesvariables ara téristiquesentrantes sont

w

1

et

w

2

.

Lesystème(1.37)seréé rit ommelesystèmeEst(1.4) ,ave

A

x

= −P

W

−1

_A

W

P

W

= P

W

−1

_A

1

P

W

=





u

0

0

+ c

u

0

0

0

0

0

0

u

0

− c



 ,

A

y

= P

W

−1

_A

2

P

W

=







v

0

√

c

₂

0

c

√

2

v

0

c

√

2

0

√

c

2

v

0







et

B

′

_{= P}

W

−1

_BP

W

=







0

−

√

f

2

0

f

√

2

0

−

f

√

2

0

√

f

2

0





 .

On peut alors multiplier à gau hele système (1.37) par

(−A

x

−1

₎

pour obtenir le

sys-tème(1.6),ave i i

A

time

=





−

1

u

0

+c

0

0

0

−

1

u

0

0

0

0

1

−u

0

+c



 , A

τ

₌







−v

0

u

0

+c

−

c

(u

0

+c)

√

2

0

−

c

u

0

√

2

−

v

0

u

0

−

c

u

0

√

2

0

c

(−u

0

+c)

√

2

v

0

−u

0

+c







et

B

′′

₌







0

_(u

f

0

+c)

√

2

0

−

_u

f

0

√

2

0

f

u

0

√

2

0

f

(−u

0

+c)

√

2

0





 .

En faisant les mêmes al uls qu'à la frontière Est, on obtient les mêmes onditions

absorbantes en première approximation. En deuxième approximation, les onditions

ab-sorbantesdeviennent

 as d'un ux entrant:

u

0

> 0



















∂w

1

∂t

+

√

2(−u

0

+ c)

4

∂w

2

∂y











x=0

= 0

∂w

2

∂t

+ v

0

∂w

2

∂y

+

(−u

0

+ c)

√

2

∂w

3

∂y

+

(u

0

− c)f

c

√

2

w

3









x=0

= 0

(1.38)

 as d'un ux sortant :

u

0

< 0

∂w

1

∂t

−

u

0

√

2

∂w

2

∂y

+

u

0

f

c

√

2

w

2









x=0

= 0

(1.39)