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Méthode Galerkin discontinue en maillage hybride triangulaire / quadrangulaire pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires

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Academic year: 2021

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(1)

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triangulaire / quadrangulaire pour la résolution

numérique des équations de Maxwell instationnaires

Clement Durochat, Stephane Lanteri

To cite this version:

Clement Durochat, Stephane Lanteri. Méthode Galerkin discontinue en maillage hybride triangulaire

/ quadrangulaire pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires. [Rapport de

recherche] RR-7253, INRIA. 2010. �inria-00472211v2�

(2)

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

ISRN

INRIA/RR--7253--FR+ENG

Méthode Galerkin discontinue en maillage hybride

triangulaire / quadrangulaire pour la résolution

numérique des équations de Maxwell instationnaires

Clément Durochat — Stéphane Lanteri

N° 7253

(3)
(4)

instationnaires

Clément Durochat

, Stéphane Lanteri

Thème : Modélisation, simulation et analyse numérique Équipe-Projet Nachos

Rapport de recherche n° 7253 — Mars 2010 — 46 pages

Résumé : Nous présentons dans ce rapport une méthode Galerkin discontinue pour la résolution numérique des équations de Maxwell en domaine temporel sur des maillages hybrides. Nous formulons les schémas de discrétisation en trois dimensions d’espace (3D) pour des maillages hybrides alors tétraédriques / hexaédriques, en utilisant une approximation centrée pour approcher les intégrales de surface et un schéma d’intégration en temps

de type saute-mouton d’ordre deux. Toujours en 3D, nous étudions la stabilitéL2de cette méthode en montrant

qu’elle conserve une énergie discrète et en exhibant une condition suffisante de stabilité de type CFL. Nous réalisons plusieurs simulations numériques en deux dimensions (on utilise dans ce cas des maillages hybrides triangulaire / quadrangulaire) qui visent à valider et réaliser une première évaluation des possibilités de la méthode Galerkin discontinue proposée.

Mots-clés : Electromagnétisme, équations de Maxwell, domaine temporel, méthode Galerkin discontinue, maillages hybrides.

Clement.Durochat@inria.frStephane.Lanteri@inria.fr

(5)

quadrangular for the numerical resolution of the time domain Maxwell’s

equations

Abstract: We present in this report a discontinuous Galerkin method for the numerical resolution of the time domain Maxwell’s equations on hybrid meshes. We formulate the discretization schemes in three space dimen-sions (3D) for hybrid tetrahedral / hexahedral meshes, using a centered approximation for the surface integrals

and a second order leap-frog scheme for advancing in time. Still in 3D, we study theL2stability of this method

by proving the conservation of a discrete analog of the eletromagnetic energy and by exhibiting a sufficient CFL-like stability condition. We perform numerical tests in two space dimensions (in this case, we make use of hybrid triangular / quadrangular meshes) which aim at validating and giving a first assessment of the possibilities of the proposed discontinuous Galerkin method.

Key-words: Electromagnetism, Maxwell’s equations, time domain, discontinuous Galerkin method, hybrid meshes.

(6)

Table des matières

Introduction 4

1 Equations de Maxwell tridimensionnelles 5

2 Méthode Galerkin discontinue en maillage hybride 6

2.1 Méthode GD−Ppen maillage tétraédrique . . . 6

2.1.1 Formulation faible . . . 6

2.1.2 Equations semi-discrétisées . . . 9

2.2 Méthode GD−Qken maillage hexaédrique . . . 10

2.2.1 Formulation faible . . . 10

2.2.2 Equations semi-discrétisées . . . 11

2.3 Méthode hybride GD−Pp/Qk . . . 12

2.3.1 Formulation faible . . . 12

2.3.2 Equations semi-discrétisées pour les cellules tétraédriques . . . 14

2.3.3 Equations semi-discrétisées pour les cellules hexaédriques . . . 15

3 Discrétisation en temps 16 4 Etude de stabilité 17 4.1 Théorème de Poynting et déroulement de l’étude . . . 17

4.2 Résultats connus, notations et hypothèses . . . 18

4.3 Conservation d’une énergie discrète . . . 19

4.4 Condition suffisante de stabilité . . . 22

5 Etude numérique 2D 30 5.1 Préambule et quelques précisions sur l’étude . . . 30

5.2 Résultats pour un premier type de maillage hybride . . . 31

5.3 Résultats pour un second type de maillage hybride . . . 36

5.4 Comparaison avec la méthode GD−Ppet avec la méthode GD−Qk . . . 42

Conclusion 44

(7)

Introduction

L’électromagnétisme numérique est aujourd’hui une discipline en plein essor. Son champ d’application concerne un large spectre d’applications industrielles et sociétales. En dépit de nombreuses avancées méthodologiques, la résolution numérique des équations de Maxwell modélisant les problèmes de propagation d’ondes électromagné-tiques reste une tâche difficile, en particulier lorsqu’il s’agit de prendre en compte des structures géométriques complexes mutliéchelles ou/et lorsque les milieux de propagation sont hétérogènes. De nombreuses méthodes numériques ont été développées mais il semble qu’aucune ne soit prédominante, le choix étant déterminé es-sentiellement par le type d’application considéré. Les méthodes qui s’appuient sur une discrétisation du volume complet du domaine de calcul permettent à la fois de traiter le problème de la diffraction d’onde en domaine ex-térieur, mais aussi de tenir compte avec précision des hétérogénéités du milieu de propagation. On peut envisager des méthodes de discrétisation de type différences finies, éléments finis ou volumes finis, qui ont chacunes leurs avantages et limitations. Ainsi, les méthodes de différences finies basées sur des maillages structurés (cartésiens) [Yee66] sont faciles à mettre en oeuvre et performantes mais pas adaptées à la prise en compte de formes géo-métriques irrégulières. Les méthodes d’éléments finis nodales classiques sont connues pour générer des modes parasites faussant les simulations numériques. Les éléments finis d’arêtes [Ned80]-[Ned86] ont été développés notamment pour s’affranchir de ces problèmes mais sont pénalisés par la complexité de mise en oeuvre et les coûts des calculs. Les méthodes de volumes finis en maillages non-structurés [PRF02b] sont plus flexibles vis-à-vis de la prise en compte des hétérogénéités du milieu de propagation et de formes géométriques irrégulières, mais sont néanmoins de précision limitée.

Récemment, des méthodes d’éléments finis discontinus (méthodes Galerkin discontinues) en maillages simplexes ou non, sont apparues qui semblent être une alternative prometteuse aux méthodes précédentes et offrent en par-ticulier un cadre propice à la construction de méthodes de discrétisation de précision arbitraire [HW02]-[CFP06]. Ces méthodes peuvent facilement être formulées sur des maillages non-structurés, multi-éléments et éventuelle-ment non-conformes (c’est-á-dire, présentant des nœuds flottants). Dans [FLLP05] on propose une méthode de Galerkin discontinue basée sur une interpolation polynomiale d’ordre élevé et formulée sur des maillages tri-angulaires (cas à deux dimensions d’espace) ou tétraédriques (cas à trois dimensions d’espace) non-structurés conformes, pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires. Néanmoins, dans certaines situations, le recours à un maillage triangulaire ou tétraédrique pour la discrétisation de la totalité du domaine de calcul ne s’impose pas. Souvent, le domaine de propagation est essentiellement un volume d’espace libre com-portant un ou plusieurs objets de petite taille et aux formes irrégulières. Plus généralement, le domaine de calcul consiste en une zone complexe pour laquelle le recours à un maillage non-structuré localement adapté s’impose, et une zone de propagation environnante qui peut être discrétisée par un maillage struicturé. On souhaiterait donc discrétiser le domaine de calcul en combinant quadrangles et triangles en 2D, hexaèdres et tétraèdres en 3D. Dans le cas 2D, la construction d’un tel maillage ne pose pas de difficulté particulière. En revanche, dans le cas 3D, si la méthode numérique impose de préserver une discrétisation conforme, l’obtention d’un tel maillage hybride n’est pas une tâche aisée. Un avantage des méthodes de Galerkin discontinues dans ce contexte est de ne pas imposer la conformité de la discrétisation spatiale aux interfaces entre les deux types d’élément.

Plusieurs travaux ont déjà été réalisés qui visent à exploiter la possibilité de combiner discrétisations structurées et non-structurées. Ces travaux ont conduit au développement de différentes méthodes hybrides pour la résolution numérique des équations de Maxwell en domaine temporel. Dans [FPBR04], Xavier Ferrieres et al. couplent un schéma différences finies (DFDT) (Yee [Yee66]) avec un schéma volumes finis (VFDT). Il en résulte une méthode qui préserve les avantages de la méthode des volumes finis pour le traitement de géométries complexes (danc ce cas une voiture), et également la simplicité et la rapidité du schéma de Yee pour les zones de vide ou contenant des structures à géométrie simple. Ces avantages impliquent un gain en terme de mémoire et de temps de calcul. Dans le même esprit, des hybridations EFDT (méthode des éléments finis) / DFDT ont été proposées comme par exemple dans [VLGL07], [HR08] et [XHM09], mais aussi, Salvator G. Garcia et al. combinent GDDT (Galerkin discontinu en domaine temporel) et DFDT [GPdAB08].

L’objectif de la présente étude est de formuler, étudier et valider une méthode Galerkin discontinue en maillage hybride triangulaire / quadrangulaire pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires. Il

(8)

s’agit ici d’une première étape vers le développement d’une telle méthode en trois dimensions d’espace (3D) capable d’exploiter des maillages hybrides tétraédriques / hexaédriques non-conformes. Dans ce rapport nous détaillons la formulation de cette méthode en 3D et nous étudions sa stabilité. Enfin, nous présentons des résultats numériques en 2D visant à valider l’étude de stabilité et réaliser une première évaluation des possibilités de la méthode Galerkin discontinue proposée.

1

Equations de Maxwell tridimensionnelles

SoitΩ un ouvert, borné et régulier de R3 de frontièreΓ = Γa∪ Γm. Le système des équations de Maxwell

tridimensionnelles est donné par :        ∂E ∂t − rot(H) = −z0σE, µ∂H ∂t + rot(E) = 0, (1) où E(x, t) ≡   E1(x, t) E2(x, t) E3(x, t)   et H(x, t) ≡   H1(x, t) H2(x, t) H3(x, t)  ,

désignent respectivement les champs électrique et magnétique (avec x=t(x

1, x2, x3)) ;  ≡ (x), µ ≡ µ(x) et

σ ≡ σ(x) sont respectivement les permittivité électrique, perméabilité magnétique et conductivité électrique. Les

équations(1) ont été redimensionnées et  et µ définissent des quantités relatives (z0=pµ0/0est l’impédance

du vide). On complète ce système par les conditions aux limites suivantes où n désigne la normale sortante àΓ :

• surΓm: n × E= 0,

• surΓa: n × E+ zn × (n × H) = n × E+ zn × (n × H),

oùz =pµ/ ett(E, H) est un champ incident donné.

On réécrit le système(1) sous forme condensée (pseudo-conservative) :

Q(∂tW) + ∇ · F (W) = J, (2) avec : Q =  I3×3 03×3 03×3 µI3×3  , W =  E H  , J =  −z0σE 03  et F (W) =   F1(W) F2(W) F3(W)  , où : 03=t(0, 0, 0), F1(W) =  03×3 N1 −N1 03×3  W=t(0, H3, −H2, 0, −E3, E2) ∈ R6, F2(W) =  03×3 N2 −N2 03×3  W=t(−H3, 0, H1, E3, 0, −E1) ∈ R6, F3(W) =  03×3 N3 −N3 03×3  W=t(H2, −H1, 0, −E2, E1, 0) ∈ R6,

(9)

et où les matrices (anti-symétriques)N1,N2etN3sont données par : N1=   0 0 0 0 0 1 0 −1 0   , N2=   0 0 −1 0 0 0 1 0 0   , N3=   0 1 0 −1 0 0 0 0 0  . Enfin, ∇ ·F (W) = ∂x1(F1(W)) + ∂x2(F2(W)) + ∂x3(F3(W)) ∈ R 6.

2

Méthode Galerkin discontinue en maillage hybride

Nous allons présenter dans cette section la méthode Galerkin discontinue 3D d’ordre élevé (i.e. GD−Pp) en

maillage tétraédrique (décrite par exemple dans [PF03]), qui peut être considérée soit comme une méthode d’élé-ments finis discontinue soit comme méthode de volumes finis d’ordre élevé. Nous présenterons ensuite cette

même méthode en maillage hexaédrique (i.e. GD−Qk). Enfin, nous proposerons une adaption de ces deux

mé-thodes de manière à les coupler en une méthode hybride Galerkin discontinue en maillage

tétraédrique/hexaédri-que (i.e. GD−Pp/Qk).

2.1

Méthode GD−

P

p

en maillage tétraédrique

2.1.1 Formulation faible

Le domaineΩ est supposé discrétisé par une triangulationTh =

N

[

i=1

τi, où les τi sont des triangles en deux

dimensions d’espace (2D) et des tétraèdres en trois dimensions (3D). Nous notonsψ une fonction test scalaire.

On suppose J= 0 pour simplifier la présentation. En multipliant (2) par ψ et en intégrant sur τi, nous obtenons :

Z τi Q(∂tW)ψdx + Z τi (∇ · F (W)) ψdx = 0. En utilisant une formule d’intégration par parties (Green), nous avons :

Z τi Q(∂tW)ψdx − Z τi ∇ψ · F (W)dx + Z ∂τi (F (W) · ˘n) ψdσ = 0, ⇐⇒ Z τi Q(∂tW)ψdx − Z τi ∇ψ · F (W)dx +X j∈Vi Z aij (F (W) · ˘nij) ψdσ = 0, (3)

oùaij = τi∩ τj, est la face commune entreτietτjet Vi= {j|τi∩ τj6= ∅} est l’ensemble des éléments voisins

deτi.n˘ijest le vecteur normal unitaire sortant àaij dirigé deτiversτjetn˘ij =t(˘n1ij, ˘n2ij, ˘n3ij) ∈ R3.

SoitPp[τi] l’espace des fonctions polynomiales de degré au plus p sur τi(par exemple les polynômesP2en 2D

sont de la formeα0+ α1x1+ α2x2+ α3x1x2+ α4x21+ α5x22). Nous cherchons une solution approchée Whde

notre problème surΩ, dans l’espace d’approximation global V6

h, défini tel que :

Vh=vh∈ L2(Ω) | ∀τi∈Th, vh τi ∈ Pp[τi] .

Soit maintenantφi= (ϕi1, ϕi2, · · · , ϕidi) une base locale de Pp[τi] qui est donc l’espace vectoriel engendré par

lesϕil, 1 ≤ l ≤ di, les degrés de liberté locaux sont notés Wil∈ R6. Enfin, nous notons Wi∈ R6la projection

(10)

 Ei(x) Hi(x)  = Wi(x) = di X l=1 Wilϕil(x) =       di X l=1 Eilϕil(x) di X l=1 Hilϕil(x)       . (4)

Remarque : c’est chaque composante de Wi(x) qui est écrite dans la base φi, ici on écrit directement Wi(x)

sous forme vectorielle.diest le nombre de degrés de liberté pour le tétraèdre (triangle en 2D)τi. On ne se soucie

pas pour le moment du type de base choisi (i.e. modale ou nodale, hiérarchique ou non, orthogonale ou non, etc.).

Puisque la représentation locale de W (et donc de Wh) n’assure aucune forme de continuité d’un élément à un

autre, un traitement particulier doit être introduit pour l’évaluation des intégrales de bord sur la faceaij. Dans le

contexte des méthodes volumes finis, on parle de flux numérique. Nous utilisons ici un flux numérique basé sur un schéma centré :

Wh aij = Wi+ Wj

2 .

Par conséquent (en tenant compte de la linéarité deF ) :

X j∈Vi Z aij (F (Wh) · ˘nij) ψdσ = X j∈Vi Z aij  F Wi+ Wj 2  ·n˘ij  ψdσ = 1 2 X j∈Vi Z aij (F (Wi) · ˘nij) ψdσ + 1 2 X j∈Vi Z aij (F (Wj) · ˘nij) ψdσ = 1 2 Z ∂τi (F (Wi) · ˘nij) ψdσ + 1 2 X j∈Vi Z aij (F (Wj) · ˘nij) ψdσ ≈ X j∈Vi Z aij (F (W) · ˘nij) ψdσ.

A l’aide, une seconde fois, d’une intégration par parties appliquée à 1

2 Z ∂τi (F (Wi) · ˘nij) ψdσ, nous avons : X j∈Vi Z aij (F (W) · ˘nij) ψdσ ≈ 1 2 Z τi ((∇ · F (Wi)) ψ + ∇ψ · F (Wi)) dx + 1 2 X j∈Vi Z aij (F (Wj) · ˘nij) ψdσ. (5)

En injectant Wi et en utilisant(5), dans l’équation (3), nous obtenons (par abus de notation, nous gardons le

signe= au lieu du signe ≈) :

Qi Z τi (∂tWi)ψdx + 1 2 Z τi ((∇ · F (Wi)) ψ − ∇ψ · F (Wi)) dx + 1 2 X j∈Vi Z aij (F (Wj) · ˘nij) ψdσ = 0, avec Qi =  iI3×3 03×3 03×3 µiI3×3 

(11)

Cette dernière équation peut être réécrite comme : Qi Z τi (∂tWi)ψdx + 1 2 Z τi 3 X k=1 ∂xkFk(Wi) ! ψ − 3 X k=1 (∂xkψ)Fk(Wi) ! dx + 1 2 X j∈Vi Z aij 3 X k=1 ˘ nkijFk(Wj) ! ψdσ = 0. (6)

Maintenant, nous définissons les trois matrices suivantes :

Ok=  03×3 Nk −Nk 03×3  , ˘ Nij= 3 X k=1 ˘ nkijNk=   0 n˘3 ij −˘n2ij −˘n3 ij 0 n˘1ij ˘ n2 ij −˘n1ij 0  , Mij= 3 X k=1 ˘ nkijOk =  03×3 N˘ij − ˘Nij 03×3  ,

et enfin l’équation(6) devient :

Qi Z τi (∂tWi)ψdx +1 2 Z τi 3 X k=1 ∂xkO kW i ! ψ − 3 X k=1 (∂xkψ)O kW i ! dx + 1 2 X j∈Vi Z aij 3 X k=1 ˘ nk ijOkWj ! ψdσ = 0, ⇐⇒ Qi Z τi (∂tWi)ψdx +1 2 Z τi 3 X k=1 ∂xkO kW i ! ψ − 3 X k=1 (∂xkψ)O kW i ! dx + 1 2 X j∈Vi Z aij MijWjψdσ = 0. (7) Remarques :

• On peut aisément vérifier que ∀X ∈R3on a ˘NijX= −˘nij× X.

• Les matricesNket ˘Nijsont de taille3 × 3 et sont anti-symétriques ; les matrices Oket Mijsont de taille

6 × 6 et sont symétriques.

• n˘ij = −˘njiet donc ˘Nij= − ˘Nji.

Il nous reste maintenant à nous occuper du traitement numérique des conditions aux limites. Dans le cadre de

cette étude, nous ne considérons que des frontières métalliques. Nous notonsTdi l’ensemble des faces internes

du tétraèdreτi et parTmi l’ensemble des faces métalliques du tétraèdreτi. Siaij ∈ Tmi alors nous posons, en

considérant Wjune cellule fictive :

Wj=  −I3×3 03×3 03×3 I3×3  Wi. Ti d STi

mdésigne l’ensemble des faces deτi, on sépare alors la somme pourj ∈ Vien somme pouraij ∈Tdi

et somme pouraij ∈Tmi. Dans le calcul des flux internes (i.e. des termes de bord pouraij ∈Tdi), MijWjne

change pas. Ensuite, pouraij ∈Tmi : MijWj= Mim  −I3×3 03×3 03×3 I3×3  Wi=  03×3 N˘im ˘ Nim 03×3  Wi≡ SimWi.

(12)

On notera que Simest une matrice6 × 6 anti-symétrique. On en deduit une première équation essentielle, à savoir

la formulation faible et l’équation(7) devient :

2Qi Z τi (∂tWi)ψdx + Z τi 3 X k=1 ∂xkO kW i ! ψ − 3 X k=1 (∂xkψ)O kW i ! dx + X aij∈Tdi Z aij MijWjψdσ + X aij∈Tmi Z aij SimWiψdσ = 0. (8) 2.1.2 Equations semi-discrétisées

On introduit maintenant les notations suivantes :

Φi= Z τi tφ iφidx, Φxik = Z τi tφ i(∂xkφi) − t(∂ xkφi) φi dx et Φij = Z aij tφ iφjdσ, où :

• tφiun vecteur colonne ∈Rdietφiest un vecteur ligne ∈Rdi.

• Φiest une matricedi× disymétrique définie positive.

• Φxk

i est une matricedi× dianti-symétrique.

• Φij est a priori une matrice rectangulaire quelconque sidi 6= dj (Φij est une matricedi× disymétrique

positive sidi= dj).

Pour conclure cette sous-section, proposons une expression du système d’équations semi-discrétisées associé à

la formulation GD−Pp. Posons Eiet Hi qui désignent les vecteurs ∈R3di des degrés de liberté locaux Eilet

Hilpourl = 1, · · · , di, (les Eil(∈ R3) sont les premières composantes des Wil(∈ R6) et les Hil(∈ R3) les

dernières composantes) associés au tétraèdre (triangle en 2D)τi:

Ei =      Ei1 Ei2 .. . Eidi      et Hi=      Hi1 Hi2 .. . Hidi      . (9)

Dans(8), on remplace Wipar :

      di X l=1 Eilϕil di X l=1 Hilϕil      

(et on fait de même pour Wj) etψ par ϕilpour1 ≤ l ≤ di. On obtient un système de6diéquations :

∀τi∈Th :                2X,idEi dt + 3 X k=1 Xxk i Hi+ X aij∈Tdi XijHj+ X aij∈Tmi XimHi = 0, 2Xµ,idHi dt − 3 X k=1 Xxk i Ei− X aij∈Tdi XijEj+ X aij∈Tmi XimEi = 0, (10)

(13)

avec :                                                                                              X,i =      (Φi)11(iI3×3) (Φi)12(iI3×3) · · · (Φi)1di(iI3×3) (Φi)21(iI3×3) (Φi)22(iI3×3) · · · (Φi)2di(iI3×3) .. . ... ... (Φi)di1(iI3×3) (Φi)di2(iI3×3) · · · (Φi)didi(iI3×3)      , Xµ,i =      (Φi)11(µiI3×3) (Φi)12(µiI3×3) · · · (Φi)1di(µiI3×3) (Φi)21(µiI3×3) (Φi)22(µiI3×3) · · · (Φi)2di(µiI3×3) .. . ... ... (Φi)di1(µiI3×3) (Φi)di2(µiI3×3) · · · (Φi)didi(µiI3×3)      , Xxk i =      (Φxk i )11Nk (Φxik)12Nk · · · (Φxik)1diNk (Φxk i )21Nk (Φxik)22Nk · · · (Φxik)2diNk .. . ... ... (Φxk i )di1Nk (Φ xk i )di2Nk · · · (Φ xk i )didiNk      , Xij =      (Φij)11N˘ij (Φij)12N˘ij · · · (Φij)1djN˘ij (Φij)21N˘ij (Φij)22N˘ij · · · (Φij)2djN˘ij .. . ... ... (Φij)di1N˘ij (Φij)di2N˘ij · · · (Φij)didjN˘ij      , Xim =      (Φij)11N˘im (Φij)12N˘im · · · (Φij)1diN˘im (Φij)21N˘im (Φij)22N˘im · · · (Φij)2diN˘im .. . ... ... (Φij)di1N˘im (Φij)di2N˘im · · · (Φij)didiN˘im      .

A partir de maintenant, on supposediidentique pour tous les tétraèdresτi. Alors toutes les matrices précédentes

sont de taille3di×3di. De plus, X,iet Xµ,isont des matrices symétriques définies positives, Xixkest une matrice

symétrique, Xijet Ximsont des matrices anti-symétriques.

2.2

Méthode GD−

Q

k

en maillage hexaédrique

2.2.1 Formulation faible

On reprend ici la démarche de la section précedente mais pour un maillage hexaédrique. Le domaineΩ est

supposé discrétisé par une quadrangulationQh =

N

[

i=1

qi, où lesqisont des quadrangles en 2D et des hexaèdres

en 3D. On noteψ une fonction test scalaire.

SoitQk[qi] l’espace des fonctions polynomiales de degrés au plus k par rapport à chaque variable séparément sur

qi(par exemple les polynômesQ2en 2D sont de la formeγ0+ γ1x1+ γ2x2+ γ3x1x2+ γ4x21+ γ5x22+ γ6x21x2+

γ7x1x22). Nous cherchons une solution approchée Whdans l’espace d’approximation globalVh6, défini dans ce

cas tel que :

Vh=vh∈ L2(Ω) | ∀qi ∈Qh, vh qi∈ Qk[qi] .

Soitθi = (ϑi1, ϑi2, · · · , ϑibi) une base locale de Qk[qi] qui est donc l’espace vectoriel engendré par les ϑil,

1 ≤ l ≤ bi, les degrés de liberté locaux sont ici aussi notés Wil∈ R6. Wi∈ R6est la projectionL2-orthogonale

(14)

 Ei(x) Hi(x)  = Wi(x) = bi X l=1 Wilϑil(x) =       bi X l=1 Eilϑil(x) bi X l=1 Hilϑil(x)       . (11)

Remarque :biest le nombre de degrés de liberté pour l’hexaèdreqi.

Désignons parQdi l’ensemble des faces de l’hexaèdreqi qui sont internes au maillage et parQmi l’ensemble

des faces frontières métalliques deqi (et donc Qid

SQi

m est l’ensemble des faces de qi). Pour tout le reste,

nous reprenons les mêmes notations, les mêmes définitions de matrices, les mêmes étapes, le même flux centré, le même traitement numérique des conditons aux limites et le même calcul des intégrales de bord que dans la

méthode GD−Pp. On peut donc réutiliser la formule(8) mais adaptée au maillage hexaédrique, ce qui donne la

formulation faible pour cette méthode GD−Qk:

2Qi Z qi (∂tWi)ψdx + Z qi 3 X k=1 ∂xkO kW i ! ψ − 3 X k=1 (∂xkψ)O kW i ! dx + X aij∈Qid Z aij MijWjψdσ + X aij∈Qim Z aij SimWiψdσ = 0. (12) 2.2.2 Equations semi-discrétisées

On introduit les notations suivantes :

Θi= Z qi tθ iθidx, Θxik = Z qi tθ i(∂xkθi) − t(∂ xkθi) θi dx et Θij = Z aij tθ iθjdσ, où :

• tθiun vecteur colonne ∈Rbietθiest un vecteur ligne ∈Rbi.

• Θiest une matricebi× bisymétrique définie positive,Θxikest une matricebi× bianti-symétrique.

• Θijest a priori une matrice rectangulaire sibi6= bj (oubi× bisymétrique positive sibi= bj).

On formule maintenant le système d’équations semi-discrétisée associé à la formulation GD−Qk. Posons eEi

et eHi qui désignent les vecteurs ∈ R3bi des degrés de liberté locaux Eil et Hil pourl = 1, · · · , bi, associés

à l’hexaèdre (quadrangle en 2D)qi. Nous prennons volontairement une notation différente entre Ei (resp. Hi)

spécifiques aux tetraèdres et eEi (resp. eHi) spécifiques aux hexaèdres, ce qui nous sera utile plus tard pour les

schémas en maillage hybride :

e Ei=    Ei1 .. . Eibi    et eHi=    Hi1 .. . Hibi   . (13)

Comme pour la méthode GD−Pp, dans (12), on remplace Wi par son expression dans la formule(11) (de

même pour Wj) etψ par ϑilpour1 ≤ l ≤ bi. On obtient un système de6biéquations :

∀qi∈Qh :                2W,i deEi dt + 3 X k=1 Wxk i Hei+ X aij∈Qid WijHej+ X aij∈Qim WimHei = 0, 2Wµ,i d eHi dt − 3 X k=1 Wxk i Eei− X aij∈Qid WijEej+ X aij∈Qim WimEei = 0. (14)

(15)

avec :                                                                                              W,i =      (Θi)11(iI3×3) (Θi)12(iI3×3) · · · (Θi)1bi(iI3×3) (Θi)21(iI3×3) (Θi)22(iI3×3) · · · (Θi)2bi(iI3×3) .. . ... ... (Θi)bi1(iI3×3) (Θi)bi2(iI3×3) · · · (Θi)bibi(iI3×3)      , Wµ,i =      (Θi)11(µiI3×3) (Θi)12(µiI3×3) · · · (Θi)1bi(µiI3×3) (Θi)21(µiI3×3) (Θi)22(µiI3×3) · · · (Θi)2bi(µiI3×3) .. . ... ... (Θi)bi1(µiI3×3) (Θi)bi2(µiI3×3) · · · (Θi)bibi(µiI3×3)      , Wxk i =      (Θxk i )11Nk (Θxik)12Nk · · · (Θxik)1biNk (Θxk i )21Nk (Θxik)22Nk · · · (Θxik)2biNk .. . ... ... (Θxk i )bi1Nk (Θ xk i )bi2Nk · · · (Θ xk i )bibiNk      , Wij =      (Θij)11N˘ij (Θij)12N˘ij · · · (Θij)1bjN˘ij (Θij)21N˘ij (Θij)22N˘ij · · · (Θij)2bjN˘ij .. . ... ... (Θij)bi1N˘ij (Θij)bi2N˘ij · · · (Θij)bibjN˘ij      , Wim =      (Θij)11N˘im (Θij)12N˘im · · · (Θij)1biN˘im (Θij)21N˘im (Θij)22N˘im · · · (Θij)2biN˘im .. . ... ... (Θij)bi1N˘im (Θij)bi2N˘im · · · (Θij)bibiN˘im      .

A partir de maintenant, on supposebiidentique pour tous les hexaèdresqi. Alors toutes ces matrices précédentes

sont de taille3bi× 3bi. Enfin, W,iet Wµ,isont des matrices symétriques définies positives, Wixkest symétrique,

Wij et Wimsont anti-symétriques.

2.3

Méthode hybride GD−

P

p

/Q

k

Les sous-sections précédentes 2.1 et 2.2 vont maintenant nous servir à établir un schéma sous forme d’un système

d’équations semi-discrétisées pour un maillage hybride en appliquant donc la méthode GD−Ppsur les tétraèdres

(triangles en 2D) et la méthode GD−Qksur les hexaèdres (quadrangles en 2D). Commençons par la formulation

faible.

2.3.1 Formulation faible

Le domaineΩ est maintenant discrétisé parCh =

N

[

i=1

ci, où lescidésignent des cellules qui sont des triangles

ou des quadrangles en 2D, des tétraèdres ou des hexaèdres en 3D. Sauf mention spécifique, nous garderons ici les mêmes notations que précédemment (les espace de fonctions polynomiales et leurs fonctions de base

associées, les discrétisations, les normales, les ensembles des faces, etc.). On noteψ une fonction test scalaire.

Nous cherchons une solution approchée Wh dans l’espace d’approximation globalVh6, défini dans ce cas tel

que : Vh= ( vh∈ L2(Ω) ∀ci∈Th, vh ci∈ Pp[ci] ∀ci∈Qh, vh ci∈ Qk[ci] ) .

(16)

Les faces frontières métalliques sont soit des faces frontières métalliques de tétraèdres (aij∈Tmi), soit des faces

frontières métalliques d’hexaèdres (aij ∈Qim). Les faces internes sont soit des faces communes à deux tétraèdres

(aij ∈Tdi), soit des faces communes à deux héxaèdres (aij ∈Qdi), soit enfin des faces communes à un tétraèdre

et un hexaèdre ; dans ce dernier cas, on désigne parHdil’ensemble de ces faces hybrides, et doncaij ∈Hdi.

Le principal problème auquel nous sommes confrontés concerne le calcul des intégrales sur les faces deHdi.

Dans le cas 2D, on obtient une discrétisation spatiale conforme (les faces des triangles et des quadrangles étant toutes deux des segments) ce qui n’est en revanche pas le cas en 3D car les faces des tétraèdres sont des triangles alors que celles des hexaèdres sont des quadrangles. Pour obtenir un maillage hybride conforme, il faut dont faire appel à des éléments intermédiaires (prismes et pyramides) ce qui complique notablement le processus de construction du maillage. Dans le cadre d’une méthode de discrétisation de type Galerkin discontinu, il n’est pas nécessaire d’imposer une telle conformité. Dans la présente étude, nous nous limitons à un certain type de non-conformité schématisée sur la figure 1 (voir aussi la figure 2 pour une coupe 2D de la face hybride entre q2 et, t1 et t2). Autrement dit, on se limitera au cas où, sur une face hybride, l’ensemble des faces triangulaires (issues des tétraèdres) coïncident avec la face quadrangulaire de l’hexaèdre voisin.

q1 q2

t1

t2

FIGURE1 – Type non-conformité considéré en 3D, entre un hexaèdre et deux tétraèdres

t1

q2

t2

(17)

Nous distinguons deux cas différents :

• Cas (A),ci ∈Th. Pourj ∈ Vion acj ∈Ch=ThSQh, donc pourj ∈ Vion aaij ∈Hdi

STi

d

STi

m.

En d’autres termes,ciest un tétraèdre et les cellules voisines àcisont des tétraèdres ou des hexaèdres, donc

aij est une face deci soit sur la frontière métallique, soit commune à un tétraèdre voisin, soit commune

à un hexaèdre voisin (donc une face hybride). Dans ce cas, reprenons la méthode GD−Pp en maillage

tétraédrique (la formulation faible étant donnée par l’équation(8)) : la somme des intégrales sur les faces

est séparée entre les faces internes (∈Tdi dans cette méthode) et les faces frontières métalliques (∈Tmi).

Or, dans ce premier cas de la méthode hybride, les faces internes ∈HdiSTi

d (et le traitement des faces

frontières métalliques reste le même). Il suffit donc de séparer dans(8) la somme des intégrales sur les

faces internes entre les faces internes ∈Tdi et celles ∈ Hdi(nous expliciterons le dernier terme dans la

sous-section 2.3.2) : 2Qi Z ci (∂tWi)ψdx + Z ci 3 X k=1 ∂xkO kW i ! ψ − 3 X k=1 (∂xkψ)O kW i ! dx + X aij∈Tdi Z aij MijWjψdσ + X aij∈Tmi Z aij SimWiψdσ + X aij∈Hdi Z aij MijWjψdσ = 0. (15)

• Cas (B),ci ∈Qh. Pourj ∈ Vion acj ∈Ch =ThSQh, donc pourj ∈ Vion aaij ∈Hdi

SQi

d

SQi

m.

En d’autres termes,ci est un hexaèdre et les cellules voisines àci sont des tétraèdres ou des hexaèdres,

doncaij est une face deci soit frontière métallique, soit commune à un hexaèdre voisin, soit commune

à un tétraèdre voisin (donc une face hybride). Dans ce cas, reprenons la méthode GD−Qk en maillage

hexaédrique (la formulation faible étant donnée par l’équation(12)) : la somme des intégrales sur les faces

est là aussi séparée entre les faces internes (∈Qiddans cette méthode) et les faces frontières métalliques

(∈Qmi ). Or, dans ce second cas de la méthode hybride, les faces internes ∈HdiSQi

d(et le traitement des

faces frontières métalliques reste le même). Il suffit donc de séparer dans(12) la somme des intégrales sur

les faces internes entre les faces internes ∈Qidet celles ∈Hdi(nous expliciterons le dernier terme dans la

sous-section 2.3.3) : 2Qi Z ci (∂tWi)ψdx + Z ci 3 X k=1 ∂xkO kW i ! ψ − 3 X k=1 (∂xkψ)O kW i ! dx + X aij∈Qid Z aij MijWjψdσ + X aij∈Qim Z aij SimWiψdσ + X aij∈Hdi Z aij MijWjψdσ = 0. (16)

Remarque : les deux formulations faibles(15) et (16) sont proches mais il y a tout de même des différences à

souligner. Win’est pas la même projection dans l’une que dans l’autre,ciest un tétraèdre dans(15), un hexaèdre

dans(16). Les sommes sur les faces sont aussi différentes entre les deux formulations.

2.3.2 Equations semi-discrétisées pour les cellules tétraédriques

Nous sommes donc dans le cas (A), intéressons nous au terme X

aij∈Hdi

Z

aij

MijWjψdσ dans (15).

Pour tous les autres termes nous effectuons exactement les mêmes remplacements que dans la méthode GD−Pp,

rappelons que dans ces termes, Wi (resp. Wj) est la projection de W surPp[ci] (resp. Pp[cj]) avec ci (resp.

cj) un tétraèdre. Il est important de préciser qu’en revanche dans le terme

X

aij∈Hdi

Z

aij

MijWjψdσ, Wj est la

(18)

On va donc, dans ce terme, remplacer Wjpar       bj X l=1 Ejlϑjl bj X l=1 Hjlϑjl       etψ par ϕilpour1 ≤ l ≤ di.

On introduit la notation suivante :

Υij= Z aij tφ iθjdσ, où :

• tφiun vecteur colonne ∈Rdietθjest un vecteur ligne ∈Rbj,

• Υijest une matrice rectangulaire de tailledi× bj. L’ordre des indices (i puis j) est important.

Proposons ainsi une expression du système de6diéquations associé à la formulation hybride dans le cas (A) que

l’on vient de présenter :

∀ci∈Th:                2X,idEi dt + 3 X k=1 Xxk i Hi+ X aij∈Tdi XijHj+ X aij∈Tmi XimHi+ X aij∈Hdi AijHej = 0, 2Xµ,idHi dt − 3 X k=1 Xxk i Ei− X aij∈Tdi XijEj+ X aij∈Tmi XimEi− X aij∈Hdi AijEej = 0, (17) avec : Aij=      (Υij)11N˘ij (Υij)12N˘ij · · · (Υij)1bjN˘ij (Υij)21N˘ij (Υij)22N˘ij · · · (Υij)2bjN˘ij .. . ... ... (Υij)di1N˘ij (Υij)di2N˘ij · · · (Υij)dibjN˘ij      .

Aij est une matrice3di× 3bj, eHj et eEjsont des vecteurs deR3bj, donc AijHejet AijEejsont des vecteurs de

R3dice qui correspond bien au nombre d’équations du système. Pour les autres matrices et vecteurs, on peut se

reporter à la méthode GD−Ppde la section 2.1 dont on a repris les notations.

2.3.3 Equations semi-discrétisées pour les cellules hexaédriques

Nous sommes donc dans le cas (B), intéressons nous au terme X

aij∈Hdi

Z

aij

MijWjψdσ dans (16).

Pour tous les autres termes nous effectuons exactement les mêmes remplacements que dans la méthode GD−Qk,

rappelons que dans ces termes, Wi (resp. Wj) est la projection de W surQk[ci] (resp. Qk[cj]) avec ci (resp.

cj) un hexaèdre. Il est important de préciser qu’en revanche dans le terme

X

aij∈Hdi

Z

aij

MijWjψdσ, Wj est la

projection de W surPp[cj] car cjest un tétraèdre.

On va donc, dans ce terme, remplacer Wjpar

      dj X l=1 Ejlϕjl dj X l=1 Hjlϕjl       etψ par ϑilpour1 ≤ l ≤ bi.

(19)

Remarquons quetΥji=

Z

aij

tθ

iφjdσ (tθien colonne,φjen ligne) est une matrice rectangulairebi× dj.

Proposons ainsi une expression du système de6biéquations associé à la formulation hybride dans le cas (B) que

l’on vient de présenter :

∀ci∈Qh:                2W,id e Ei dt + 3 X k=1 Wxk i Hei+ X aij∈Qid WijHej+ X aij∈Qim WimHei+ X aij∈Hdi BijHj= 0, 2Wµ,id e Hi dt − 3 X k=1 Wxk i Eei− X aij∈Qid WijEej+ X aij∈Qim WimEei− X aij∈Hdi BijEj = 0. (18) avec : Bij=      (tΥ ji)11N˘ij (tΥji)12N˘ij · · · (tΥji)1djN˘ij (tΥ ji)21N˘ij (tΥji)22N˘ij · · · (tΥji)2djN˘ij .. . ... ... (tΥ ji)bi1N˘ij ( t ji)bi2N˘ij · · · ( tΥ ji)bidjN˘ij      .

Bij est une matrice3bi× 3dj, Hjet Ej sont des vecteurs deR3dj, donc BijHj et BijEj sont des vecteurs de

R3bice qui correspond bien au nombre d’équations du système. Pour les autres matrices et vecteurs, on peut se

reporter à la méthode GD−Qkdont on a repris les notations.

Remarques :

• Dans ces deux systèmes d’équations semi-discrétisées, attention à bien distinguer Ei(resp. Ej, Hiet Hj)

de eEi(resp. eEj, eHiet eHj) dont les définitions sont donnés dans(9) et (13).

• La structure des matrices Aijet Bij, plus précisément l’ordre dans lequel les indicesi et j sont placés, est

important.

3

Discrétisation en temps

Le choix de la discrétisation en temps est une étape clé pour l’efficacité globale de la méthode numérique. Nous allons utiliser ici des schémas explicites, dont le principal avantage est la facilité de mise en œuvre. En général, il est aussi relativement aisé de construire des schémas explicites d’ordre élevé. En revanche, la stabilité de ces schémas est contrainte par une condition de stabilité qui peut s’avérer parfois très restrictive lorsque le maillage sous-maillage est non-uniforme ou localement raffiné. Parmi ces schémas, les plus utilisés pour la résolution numérique des équations de Maxwell sont les schémas de type Runge-Kutta et le schéma saute-mouton utilisé dans la méthode DFDT.

Des systèmes(17) et (18) de la méthode hybride qui sont désormais des systèmes d’équations différentielles

ordinaires (EDO) locaux, on en déduit les deux schémas saute-mouton du second ordre (sur lesquels nous allons nous appuyer pour la suite), où le champ électrique et et le champ magnétique sont évalués sur une grille en temps décalée :

(20)

• Cas (A) :        Hn+ 1 2 i = H n−1 2 i + ∆t 2 [Xµ,i] −1 AnE,i, En+1i = Eni +∆t 2 [X,i] −1 An+12 H,i , (19) avec :                AnE,i = 3 X k=1 Xxk i E n i + X aij∈Tdi XijE n j − X aij∈Tmi XimE n i + X aij∈Hdi AijEenj, An+ 1 2 H,i = − 3 X k=1 Xxk i H n+1 2 i − X aij∈Tdi XijH n+1 2 j − X aij∈Tmi XimH n+1 2 i − X aij∈Hdi AijHe n+1 2 j . • Cas (B) :        e Hn+12 i = He n−1 2 i + ∆t 2 [Wµ,i] −1 Bn E,i, e En+1i = Eeni + ∆t 2 [W,i] −1 Bn+ 1 2 H,i , (20) avec :                Bn E,i = 3 X k=1 Wxk i Eeni + X aij∈Qid WijEenj − X aij∈Qim WimEeni + X aij∈Hdi BijE n j, Bn+12 H,i = − 3 X k=1 Wxk i He n+1 2 i − X aij∈Qid WijHe n+1 2 j − X aij∈Qim WimHe n+1 2 i − X aij∈Hdi BijH n+1 2 j .

4

Etude de stabilité

4.1

Théorème de Poynting et déroulement de l’étude

Pour notre type de problème, l’étude de stabilité se basera sur un théorème physique, le théorème de Poynting. Ce théorème stipule que l’énergie électromagnétique, dans le vide, en absence de charge et de courant, vérifie la relation : Z V (∂tE)dx + Z ∂V P.˘ndσ = 0,

pour tout volumeV fermé de frontière ∂V régulière, où E est l’énergie électromagnétique et P est le vecteur de

Poynting définis par :

E= 1

2 

tEE+ µtHH

et P= E × H.

Pour des conditions aux limites de type métallique E ×n˘= 0, le théorème de Poynting montre que l’énergie est

exactement conservée.

L’étude est alors divisée en deux parties :

• Nous proposons une formulation d’énergie électromagnétique discrète En, et nous vérifions, de façon à

(21)

• Nous cherchons ensuite à exhiber une condition suffisante de stabilité en démontrant que l’énergie discrète

est une forme quadratique définie positive sous une condition de type CFL sur∆t. Nous pouvons alors

conclure que notre schéma hybride est conditionnellement stable.

Dans un premier temps, nous présentons les résultats connexes déjà connus à ce jour.

4.2

Résultats connus, notations et hypothèses

Nous nous baserons sur l’étude de stabilité de la méthode GD−Pp proposée dans [FLR06]-[PF03], ou encore

celle de la méthode GD−P0 proposée dans [PRF02a], qui nous seront utiles pour faire l’étude de stabilité de

notre méthode GD−Pp/Qk. Nous allons donc exposer les résultats déjà connus, mais commençons tout d’abord

par rappeler/présenter certains points, que nous utiliserons pour l’étude et qui vont nous permettre de comprendre ces résultats :

• Concernant les vecteurs normaux,n˘ijest le vecteur normal unitaire sortant àaijdirigé deτiversτj. On

désigne alors par nij =

Z

aij

˘

nijdσ (et nij = t(n1ij, n2ij, n3ij)) le vecteur normal à aij dirigé deτi vers

τj mais ici non unitaire. Le vecteur nijest normalisé enn˘ij c’est-à-dire que l’on an˘ij =

nij

knijk

(k.k la

norme euclidienne). Ceci implique que knijk =

Z

aij

1dσ, cette valeur correspond ainsi à la longueur de

l’arêteaijen 2D ou à l’aire de la faceaijen 3D.

• On note par |τi| =

Z

τi

1dx le volume du tétraèdre (l’aire du triangle en 2D) τi et par |qi| =

Z

qi

1dx le

volume de l’hexaèdre (l’aire du quadrangle en 2D)qi. Enfin, on posepi=

X

j∈Vi

knijk, qui correspond à la

valeur de l’aire totale (la somme de l’aire des faces) de l’élémenti (tétraèdre ou hexaèdre) en 3D (et donc

du périmètre en 2D).

• ∀X ∈(Pp[τi])3, on note par kXkτila normeL

2du champ X surτ

i, i.e. kXk2τi=

Z

τi

kXk2dx. On utilise

la même notation pour définir la normeL2 du champ X sur la facea

ij. On admet alors les hypothèses

suivantes.

Hypothèses 1 : On suppose que pour tout tétraèdreτi, il existe des constantesατi etβijτ (j ∈ Vi), telles

que : ∀X ∈ (Pp[τi])3, krot(X)kτi ≤ ατ ipi |τi| kXkτi, ∀X ∈ (Pp[τi])3, kXk2aij ≤ βτ ijknijk |τi| kXk2τi. (21)

• ∀X ∈(Qk[qi])3, on note par kXkqi la normeL

2du champ X surq

i, i.e. kXk2qi=

Z

qi

kXk2dx. On utilise

la même notation pour définir la normeL2 du champ X sur la facea

ij. On admet alors les hypothèses

suivantes.

Hypothèses 2 : On suppose que pour tout hexaèdreqi, il existe des constantesαqi etβ

q ij (j ∈ Vi), telles que : ∀X ∈ (Qk[qi])3, krot(X)kqi≤ αiqpi |qi| kXkqi, ∀X ∈ (Qk[qi])3, kXk2aij ≤ βijqknijk |qi| kXk2qi. (22)

(22)

Remarque : pour présenter la méthode hybride, nous avons appelé toutes les cellulesci. Pour l’étude de stabilité

il sera plus clair de garder la notationτi pour les tétraèdres etqi pour les hexaèdres ; évidemment ces derniers

restent tout de même des cellulescifaisant partie d’un seul et même maillage Ch.

Nous pouvons à présent énoncer le résultat de l’étude de stabilité de la méthode GD−Pp. Premièrement, il va

de soi qu’il a bien été démontré que l’énergie discrète Enest exactement conservée (∆E = En+1− En= 0). La

condition suffisante de stabilité sur∆t que nous appelons alors ∆tτest alors définie par :

∀i, ∀j ∈ Vi: ∆tτ  2ατi + βijτ max r i j , rµ i µj  < 4|τi| √ iµi pi . (23)

Sous cette condition (qui comprend également le traitement des faces frontières métalliques en remplaçantj par

i), Enest une forme quadratique définie positive.

Enfin, pour réaliser notre étude de stabilité de la méthode GD−Pp/Qk, nous devons tout d’abord dégager un pas

de temps, que l’on appelle∆tq, pour le schéma GD−Qken maillage hexaédrique. Compte tenu des similitudes

de ce schéma avec le schéma GD−Pp, nous pouvons aisément conclure que l’énergie En(définie différemment

mais de forme identique à celle du schéma GD−Pp) est exactement conservée. Et, nous déduisons aussi très

facilement la condition suffisante de stabilité sur ce pas de temps∆tq :

∀i, ∀j ∈ Vi: ∆tq  2αqi + βqijmaxr i j , rµ i µj  < 4|qi| √ iµi pi . (24)

Sous cette condition (qui comprend également le traitement des faces frontières métalliques en remplaçantj par

i), Enest une forme quadratique définie positive.

Le résultat souhaité pour le pas de temps global∆t, du schéma hybride, est donc ∆t = min(∆tτ, ∆tq).

4.3

Conservation d’une énergie discrète

Nous introduisons l’énergie discrète Enpour le schéma hybride. SoitNτ le nombre de tétraèdres du maillage et

Nqle nombre d’hexaèdres, le bilan d’énergie globale est donné par :

En= 1 2   Nτ X i=1  tEn iX,iE n i +tH n−1 2 i Xµ,iH n+1 2 i  + Nq X i=1  t e EniW,iEeni +tHe n−1 2 i Wµ,iHe n+1 2 i   . (25)

Nous évaluons la variation d’énergie au cours d’un pas de temps :

∆E = En+1− En = 1 2 "Nτ X i=1  tEn+1 i X,iE n+1 i +tH n+1 2 i Xµ,iH n+3 2 i  −tEniX,iE n i +tH n−1 2 i Xµ,iH n+1 2 i  + Nq X i=1  t e En+1i W,iEen+1i +tHe n+1 2 i Wµ,iHe n+3 2 i  −t e EniW,iEeni +tHe n−1 2 i Wµ,iHe n+1 2 i   .

En utilisant les propriétés (basiques) suivantes :

• SoientA une matrice n × m et B une matrice m × p (n, m, p ∈ N), on at(AB) =tBtA,

(23)

ainsi que la symétrie de X,iet Xµ,i, nous pouvons remarquer que : • tEn+1i X,iE n+1 i − tE n iX,iE n i = t En+1i + Eni  X,i  En+1i − Eni, • tHn+ 1 2 i Xµ,iH n+3 2 i − tH n−1 2 i Xµ,iH n+1 2 i = tH n+1 2 i Xµ,i  Hn+ 3 2 i − H n+1 2 i + H n+1 2 i − H n−1 2 i  .

Par un raisonnement similaire avec les termes dans la somme pouri = 1, .., Nq, nous obtenons :

∆E = 1 2 "Nτ X i=1 t  En+1i + EniX,i  En+1i − Eni+tHn+12 i Xµ,i  Hn+ 3 2 i − H n+1 2 i + H n+1 2 i − H n−1 2 i  + Nq X i=1 t  e En+1i + eEniW,i  e En+1i − eEni+tHe n+1 2 i Wµ,i  e Hn+ 3 2 i − eH n+1 2 i + eH n+1 2 i − eH n−1 2 i   , puis : ∆E = ∆t 4 "Nτ X i=1 t En+1i + Eni  An+12 H,i + tHn+12 i  An+1 E,i + A n E,i  + Nq X i=1 t  e En+1i + eEniBn+12 H,i + t e Hn+ 1 2 i  Bn+1E,i + BnE,i   .

Nous allons maintenant remplacer les termes de flux par leurs expressions explicitées dans(19) et (20). Toujours

en utilisant les propriétés précédentes et la symétrie des matrices Xxk

i , on remarque que les termes de gradient

s’annulent dans la somme pouri = 1, .., Nτ. De la même manière, ceux dans la somme pour i = 1, .., Nq

s’annulent également. Il reste donc seulement les termes de sommes sur les ensembles de faces, et nous pouvons réécrire la variation d’énergie sous la forme :

∆E = ∆t 4  Rτ int+ Rτmet+ R q int+ R q met+ Rτhyb+ R q hyb  , avec : Rτ int = Nτ X i=1 X aij∈Tdi  −tEn+1i + Eni  XijH n+1 2 j +tH n+1 2 i Xij  En+1j + Enj  , Rτ met = Nτ X i=1 X aij∈Tmi  −tEn+1i + Eni  XimH n+1 2 i −tH n+1 2 i Xim  En+1i + Eni  , Rqint = Nq X i=1 X aij∈Qid  −tEen+1i + eEni  WijHe n+1 2 j + t e Hn+ 1 2 i Wij  e En+1j + eEnj  , Rqmet = Nq X i=1 X aij∈Qim  − t e En+1i + eEniWimHe n+1 2 i −tHe n+1 2 i Wim  e En+1i + eEni  , Rτ hyb = Nτ X i=1 X aij∈Hdi  −tEn+1i + Eni  AijHe n+1 2 j +tH n+1 2 i Aij  e En+1j + eEnj  , Rqhyb = Nq X i=1 X aij∈Hdi  −tEen+1i + eEni  BijH n+1 2 j +tHe n+1 2 i Bij  En+1j + Enj  .

(24)

Nous introduisons maintenant de nouvelles notations :Td désigne l’ensemble de toutes les faces internes

com-munes à deux tétraèdres, du maillage Ch, etTml’ensemble de toutes les faces métalliques issues des tétraèdres du

maillage. Pareillement,Qddésigne l’ensemble de toutes les faces internes du maillage communes à deux

hexa-èdres, etQml’ensemble de toutes les faces métalliques issues des hexaèdres du maillage. Enfin, nous notons par

Hdl’ensemble de toutes les faces hybrides (communes à un tétraèdre et un hexaèdre) du maillage Ch.

Compte tenu de leurs formes, nous pouvons exprimerRτ

int comme une somme surTd(en faisant attention de

prendre en considération, pour chaqueaij, le tétraèdreτiet le tétraèdreτj),Rqintcomme une somme surQd(en

prenant en considération, pour chaqueaij, l’hexaèdreqi et l’hexaèdreqj),Rmetτ comme une somme surTmet

Rqmetcomme une somme surQm:

Rτ int = X aij∈Td t  En+1i + Eni  (−Xij) H n+1 2 j +tH n+1 2 i Xij  En+1j + Enj  + t En+1j + Enj  (−Xji) H n+1 2 i +tH n+1 2 j Xji  En+1i + Eni  , Rqint = X aij∈Qd t  e En+1i + eEni(−Wij) eH n+1 2 j +tHe n+1 2 i Wij  e En+1j + eEnj+ t e En+1j + eEnj(−Wji) eH n+1 2 i +tHe n+1 2 j Wji  e En+1i + eEni  , Rτ met = X aij∈Tm t  En+1i + Eni  (−Xim) H n+1 2 i −tH n+1 2 i Xim  En+1i + Eni  , Rqmet = X aij∈Qm t  e En+1i + eEni(−Wim) eH n+1 2 i −tHe n+1 2 i Wim  e En+1i + eEni  .

Nous utilisons encore une fois les mêmes propriétés basiques, l’antisymétrie de Xij, Xim, Wijet Wimainsi que

les propriétés Xij = −Xjiet Wij = −Wji, ce qui nous donne :

Rτ int = X aij∈Td h tHn+12 j Xij  En+1i + Eni+tHn+12 i Xij  En+1j + Enj + tHn+12 i (−Xij)  En+1j + Enj  +tHn+12 j (−Xij)  En+1i + Eni i = 0, Rqint = X aij∈Qd h t e Hn+ 1 2 j Wij  e En+1i + eEni+tHe n+1 2 i Wij  e En+1j + eEnj + t e Hn+12 i (−Wij)  e En+1j + eEnj+t e Hn+12 j (−Wij)  e En+1i + eEnii = 0, Rτ met = X aij∈Tm h tHn+12 i Xim  En+1i + Eni  −tHn+ 1 2 i Xim  En+1i + Eni i = 0, Rqmet = X aij∈Qm h t e Hn+ 1 2 i Wim  e En+1i + eEni−tHe n+1 2 i Wim  e En+1i + eEnii = 0.

(25)

Il ne nous reste donc maintenant plus qu’à considérer les termesRτ hybetR

q

hyb. Compte tenu de leurs formes,

nous pouvons exprimerRτ

hybetR q

hybcomme une somme surHden posantRhyb= Rτhyb+ R

q

hybet en prenant

en considération, pour chaqueaij, le tetraèdreτiet l’hexaèdreqj(ce choix est arbitraire, prendre le l’hexaèdreqi

et le tétraèdreτjne changerait rien) :

Rτ hyb+ R q hyb = Rhyb = X aij∈Hd  −tEn+1i + Eni  AijHe n+1 2 j +tH n+1 2 i Aij  e En+1j + eEnj − t e En+1j + eEnjBjiH n+1 2 i +tHe n+1 2 j Bji  En+1i + Eni  . En effectuant le même type de manipulation que précédemment, nous avons :

Rhyb = X aij∈Hd  −tEn+1i + Eni  AijHe n+1 2 j +tH n+1 2 i Aij  e En+1j + eEnj − tHn+12 i (tBji)  e En+1j + eEnj+tEn+1i + Eni  (tB ji) eH n+1 2 j  .

Or, du fait quetN˘ji= − ˘Nji= ˘Nij, nous pouvons remarquer que :

tB ji =         (tΥ ij)11  tN˘ ji  (tΥ ij)21  tN˘ ji  · · · (tΥ ij)bj1  tN˘ ji  (tΥ ij)12  tN˘ ji  (tΥ ij)22  tN˘ ji  · · · (tΥ ij)bj2  tN˘ ji  .. . ... ... (tΥ ij)1di  tN˘ ji  (tΥ ij)2di  tN˘ ji  · · · (tΥ ij)bjdi  tN˘ ji          , =      (Υij)11N˘ij (Υij)12N˘ij · · · (Υij)1bjN˘ij (Υij)21N˘ij (Υij)22N˘ij · · · (Υij)2bjN˘ij .. . ... ... (Υij)di1N˘ij (Υij)di2N˘ij · · · (Υij)dibjN˘ij      = Aij, et donc : Rhyb = X aij∈Hd  −tEn+1i + EniAijHe n+1 2 j +tH n+1 2 i Aij  e En+1j + eEnj − tHn+12 i Aij  e En+1j + eEn j  + t En+1i + Eni  AijHe n+1 2 j  = 0. Ainsi,Rτ int = Rτmet= R q int = R q

met = Rhyb = Rτhyb+ R q

hyb= 0 et nous avons bien ∆E = 0, donc pour des

conditons aux limites de type métallique seulement, l’énergie est exactement conservée, ce qui est cohérent avec le théorème de Poynting.

4.4

Condition suffisante de stabilité

Nous allons donc maintenant chercher à minorer l’énergie électromagnétique. Réécrivons tout d’abord En sous

(26)

En = 1 2   Nτ X i=1  tEn iX,iE n i +tH n−1 2 i Xµ,iH n+1 2 i  + Nq X i=1  t e EniW,iEeni +tHe n−1 2 i Wµ,iHe n+1 2 i    = 1 2 "Nτ X i=1  ikEnik2τi+ µikH n−1 2 i k2τi+ ∆t 2 tHn−12 i AnE,i  + Nq X i=1  ikEnik2qi+ µikH n−1 2 i k 2 qi+ ∆t 2 t e Hn− 1 2 i B n E,i   , car : tHn−12 i Xµ,iH n+1 2 i =tH n−1 2 i Xµ,i  Hn− 1 2 i + ∆t 2 [Xµ,i] −1 An E,i  = µikH n−1 2 i k2τi+ ∆t 2  tHn−12 i  An E,i, et : t e Hn− 1 2 i Wµ,iHe n+1 2 i =tHe n−1 2 i Xµ,i  e Hn− 1 2 i + ∆t 2 [Xµ,i] −1 BnE,i  = µikH n−1 2 i k2qi+ ∆t 2  t e Hn− 1 2 i  BnE,i.

Remarque : il ne faut pas confondre Eni dans kEnikτi(resp. H

n−1 2

i dans kH

n−1 2

i kτi) qui est la projection de E

au tempsn (resp. de H au temps n − 1

2) surPp[τi] (donc un vecteur ∈ R

3) avec En i dans kEnikqi(resp. H n−1 2 i dans kHn−12

i kqi) qui est la projection de E au tempsn (resp. de H au temps n −

1

2) surQk[qi] (et donc aussi un

vecteur ∈R3). Bien distinger également ces derniers de Eni (resp. Hn−

1 2

i ) qui est le vecteur ∈ R3dides degrés

de liberté locaux associés à la celluleτiet de eEni (resp. H

n−1 2

i ) qui est le vecteur ∈R3bi des degrés de liberté

locaux associés à la celluleqi. Nous devrons bien faire attention à cette différence dans toute la suite de cette

démonstration. Or : tHn−12 i AnE,i = tHn−12 i   3 X k=1 Xxk i E n i + X aij∈Tdi XijE n j − X aij∈Tmi XimE n i + X aij∈Hdi AijEenj   = 3 X k=1 tHn−12 i X xk i E n i + X aij∈Tdi STi m tHn−12 i XijE n j + X aij∈Hdi tHn−12 i AijEenj, et : t e Hn− 1 2 i BnE,i = t e Hn− 1 2 i   3 X k=1 Wxk i Eeni + X aij∈Qid WijEenj − X aij∈Qim WimEeni + X aij∈Hdi BijE n j   = 3 X k=1 t e Hn−12 i W xk i Eeni + X aij∈QidSQim t e Hn−12 i WijEenj + X aij∈Hdi t e Hn−12 i BijE n j.

Nous pouvons maintenant vérifier que (démonstration longue, non détaillée ici) :

3 X k=1 tHn−12 i XixkE n i = − Z τi t  rotHn− 1 2 i  Eni +t(rotEni) H n−1 2 i  dx, Z Z t

(27)

Ainsi, en utilisant principalement les hypothèses(21), l’inégalité triangulaire, celle de Cauchy-Schwarz et : kHn−12 i kkE n jk ≤ 1 2 r µi j kHn−12 i k 2+rj µi kEnjk2  , (26)

(quels que soient i, j et la norme que l’on utilise), nous pouvons obtenir la minoration suivante de ξτ =

3 X k=1 tHn−12 i X xk i E n i + X aij∈Tdi STi m tHn−12 i XijE n j : ξτ ≥ − |ξτ| ≥ − Z τi t rotHn−12 i  Enidx − Z τi t (rotEn i) H n−1 2 i dx − X aij∈Tdi STi m Z aij H n−1 2 i × Enj kn˘ijkdσ ≥ −krotHn−12 i kτikE n ikτi− krotE n ikτikH n−1 2 i kτi− 1 2   X aij∈Tdi STi m r µi j kHn−12 i k2aij + r j µi kEnjk2aij   , et enfin : ξτ ≥ −2α τ ipi |τi| kHn−12 i kτikE n ikτi− 1 2   X aij∈Tdi S Ti m kn ijkβijτ √ µi |τi|√j kHn−12 i k 2 τi+ knijkβτji √ j |τj| √ µi kEnjk2τj   .

Remarque : nous pourrions décomposer la somme surTdi[ Tmi en une somme sur les faces internes (les

termes dans la somme ne changeraient pas) et une somme sur les faces frontières métalliques dans laquelle nous

poserions (par convention) : kHn−

1 2 j kτj ≡ kH n−1 2 i kτi, kE n jkτj ≡ kE n ikτi, |τj| ≡ |τi|, βji ≡ βij,j ≡ i et µj≡ µi.

Maintenant, en vérifiant que (là aussi démonstration longue, non détaillée ici) :

3 X k=1 t e Hn−12 i W xk i Eeni = − Z qi t rotHn− 1 2 i  Eni +t(rotEn i) H n−1 2 i  dx, t e Hn− 1 2 i WijEenj = Z aij tHn−1 2 i N˘ijEnjdσ = Z aij t Hn− 1 2 i × E n j  ˘ nijdσ.

Par le même raisonnement, en utilisant les hypothèses(22), nous pouvons arriver à la minoration de ξq =

3 X k=1 t e Hn− 1 2 i W xk i Eeni + X aij∈Qid SQi m t e Hn− 1 2 i WijEenj : ξq ≥ −2α q ipi |qi| kHn−12 i kqikE n ikqi− 1 2   X aij∈Qid SQi m knijkβijq √ µi |qi|√j kHn−12 i k2qi+ knijkβqji √ j |qj| √ µi kEn jk2qj ! .

Remarque : nous pourrions ici aussi décomposer la somme surQid[ Qmi en une somme surQdi et somme sur

Qi

mdans laquelle nous poserions par convention : kH

n−1 2 j kqj ≡ kH n−1 2 i kqi, kE n jkqj ≡ kE n ikqi, |qj| ≡ |qi|, βjiq ≡ βijq,j≡ ietµj ≡ µi.

(28)

On en déduit donc la minoration suivante de l’énergie : En ≥ 1 2 Nτ X i=1   i pi   X j∈Vi knijk  kE n ik2τi+ µi pi   X j∈Vi knijk  kH n−1 2 i k 2 τi + ∆t 2  −2α τ i |τi|   X j∈Vi knijk  kH n−1 2 i kτikE n ikτi − X aij∈Tdi S Ti m knijk βτ ij √ µi 2|τi|√j k_in−12k2 τi+ βjiτ √ j 2|τj| √ µi kEnjk2τj   + ∆t 2   X aij∈Hdi tHn−12 i AijEenj    + 1 2 Nq X i=1   i pi   X j∈Vi knijk  kEnik2qi+ µi pi   X j∈Vi knijk  kH n−1 2 i k2qi + ∆t 2  −2α q i |qi|   X j∈Vi knijk  kH n−1 2 i kqikE n ikqi − X aij∈Qdi SQi m knijk βq ij √ µi 2|qi| √ j kHn−12 i k2qi+ βqji √ j 2|qj| √ µi kEnjk2qj ! + ∆t 2   X aij∈Hdi t e Hn− 1 2 i BijE n j    . (27) Remarques :

• Dans la somme pouri = 1, .., Nτqui concerne les tétraèdres,

pi = X j∈Vi knijk = X aij∈Tdi knijk + X aij∈Tmi knijk + X aij∈Hdi knijk,

• Dans la somme pouri = 1, .., Nqqui concerne les hexaèdres,

pi = X j∈Vi knijk = X aij∈Qid knijk + X aij∈Qim knijk + X aij∈Hdi knijk.

Nous réécrivons cette minoration(27) de Ensous la forme :

En ≥ 1 2  Sintτ + Smetτ + S q int+ S q met+ Shybτ + S q hyb  , avec :

(29)

Sτ int = Nτ X i=1 X aij∈Tdi knijk  i pi kEnik2τi+ µi pi −β τ ij∆t √ µi 4|τi|√j  kHn−12 i k 2 τi− ατ i∆t |τi| kHn−12 i kτikE n ikτi− βτ ji∆t √ j 4|τj| √ µi kEnjk2τj  , Smetτ = Nτ X i=1 X aij∈Tmi knijk  i pi kEnik2τi+ µi pi −β τ ij∆t √ µi 4|τi| √ i  kHn−12 i k2τi− ατ i∆t |τi| kHn−12 i kτikE n ikτi− βτ ij∆t √ i 4|τi| √ µi kEnik2τi  , Sintq = Nq X i=1 X aij∈Qid knijk " i pi kEnik2qi+ µi pi −β q ij∆t √ µi 4|qi|√j ! kHn−12 i k2qi− αqi∆t |qi| kHn−12 i kqikE n ikqi− βjiq∆t √ j 4|qj| √ µi kEnjk2qj # , Smetq = Nq X i=1 X aij∈Qim knijk " i pi kEnik2qi+ µi pi −β q ij∆t √ µi 4|qi| √ i ! kHn−12 i k2qi− αqi∆t |qi| kHn−12 i kqikE n ikqi− βijq∆t √ i 4|qi| √ µi kEnik2qi # , Shybτ = Nτ X i=1 X aij∈Hdi knijk  i pi kEnik2τi+µi pi kHn−12 i k2τi− ατ i∆t |τi| kHn−12 i kτikE n ikτi  +∆t 2 tHn−12 i AijEenj, Shybq = Nq X i=1 X aij∈Hdi knijk  i pi kEnik2qi+µi pi kHn−12 i k2qi− αqi∆t |qi| kHn−12 i kqikE n ikqi  +∆t 2 t e Hn− 1 2 i BijE n j. Maintenant, en appliquant(26) à kHn−12 i kτikE n ikτi dans S τ

int etSmetτ , et en sommant sur Td et Tm, nous

obtenons : Sintτ ≥ X aij∈Td knijkTintτ , Smetτ ≥ X aij∈Tm knijkTmetτ , avec :

(30)

Tτ int=  i pi −β τ ij∆t √ i 4|τi| √ µj −α τ i∆t √ i 2|τi| √ µi  kEnik2τi+ µi pi −β τ ij∆t √ µi 4|τi| √ j −α τ i∆t √ µi 2|τi| √ i  kHn−12 i k2τi+  j pj −β τ ji∆t √ j 4|τj| √ µi −α τ j∆t √ j 2|τj|√µj  kEnjk2τj + µj pj −β τ ji∆t √ µj 4|τj| √ i −α τ j∆t √ µj 2|τj|√j  kHn−12 j k2τj, Tτ met=  i pi −β τ ij∆t √ i 4|τi| √ µi −α τ i∆t √ i 2|τi| √ µi  kEnik2τi+ µi pi −β τ ij∆t √ µi 4|τi| √ i −α τ i∆t √ µi 2|τi| √ i  kHn−12 i k2τi.

Et en appliquant encore(26) mais à kHn−12

i kqikE n ikqi dansS q intetS q

met, et en sommant surQdetQm, nous

obtenons : Sintq ≥ X aij∈Qd knijkTintq , Smetq ≥ X aij∈Qm knijkTmetq , avec : Tintq = i pi −β q ij∆t √ i 4|qi|√µj −α q i∆t √ i 2|qi| √ µi ! kEn ik2qi+ µi pi −β q ij∆t √ µi 4|qi|√j −α q i∆t √ µi 2|qi| √ i ! kHn−12 i k2qi+ j pj −β q ji∆t √ j 4|qj| √ µi −α q j∆t √ j 2|qj|√µj ! kEnjk2qj + µj pj −β q ji∆t √ µj 4|qj| √ i −α q j∆t √ µj 2|qj|√j ! kHn−12 j k 2 qj, Tmetq = i pi −β q ij∆t √ i 4|qi| √ µi −α q i∆t √ i 2|qi| √ µi ! kEnik2qi+ µi pi −β q ij∆t √ µi 4|qi| √ i −α q i∆t √ µi 2|qi| √ i ! kHn−12 i k 2 qi.

Enfin, compte tenu de leurs formes, nous pouvons exprimerSτ

hyb etS q

hybcomme une somme sur Hd en les

additionnant et en prenant en considération par choix arbitraire, pour chaqueaij, le tetraèdreτiet l’hexaèdreqj

(prendre le l’hexaèdreqiet le tétraèdreτjne changerait rien) :

Shybτ + S q hyb = X aij∈Hd  knijk  i pi kEnik2τi+µi pi kHn−12 i k2τi− ατ i∆t |τi| kHn−12 i kτikE n ikτi  + ∆t 2 tHn−12 i AijEenj + knijk j pj kEnjk2qj +µj pj kHn−12 j k2qj − αqj∆t |qj| kHn−12 j kqjkE n jkqj ! + ∆t 2 t e Hn−12 j BjiE n i  . (28)

Ensuite, en remarquant que :

tHn−12 i AijEenj = Z aij tHn−1 2 i N˘ijEnjdσ = Z aij t Hn−12 i × E n j  ˘ nijdσ.

(31)

où Hn−

1 2

i est ici bien la projection de H au tempsn −12surPp[τi] alors que Enj est la projection de E au temps

n sur Qk[qj]), et en se servant principalement de l’inégalité triangulaire, de celle de Cauchy-Schwarz, de (26), et

de(21) et (22), nous avons : tHn−12 i AijEenj ≥ − Z aij t Hn− 1 2 i × E n j  ˘ nijdσ ≥ − Z aij H n−1 2 i × E n j k˘nijkdσ ≥ − Z aij kHn−12 i kkE n jkdσ ≥ −1 2 r µi j kHn−12 i k2aij + r j µi kEn jk2aij  ≥ −1 2knijk βτ ij √ µi |τi|√j kHn−12 i k 2 τi+ βqji√j |qj| √ µi kEnjk2qj ! . En remarquant également que :

t e Hn−12 j BjiE n i = t BjiE n i  e Hn−12 j = tEn iAijHe n−1 2 j = Z aij t Eni × Hn−12 j  ˘ nijdσ,

où Eni est ici la projection de E au tempsn sur Pp[τi] alors que H

n−1 2

j est la projection de H au tempsn −12sur

Qk[qj]), nous avons aussi par un raisonnement similaire :

t e Hn− 1 2 j BjiE n i ≥ − 1 2 r i µj kEnik2aij+r µj i kHn−12 j k 2 aij  ≥ −1 2knijk βτ ij √ i |τi|√µj kEnik2τi+β q ji √ µj |qj| √ i kHn−12 j k2qj ! .

On utilise alors ces deux minorations dans(28) ainsi que l’inégalité (26) que nous appliquons à kHn−12

i kτikE n ikτi et kHn− 1 2 j kqjkE n

jkqj, ce qui nous donne ainsi :

Shybτ + S q hyb ≥ X aij∈Hd knijkThyb, avec : Thyb =  i pi −β τ ij∆t √ i 4|τi|√µj −α τ i∆t √ i 2|τi| √ µi  kEnik2τi +  µi pi −β τ ij∆t √ µi 4|τi|√j −α τ i∆t √ µi 2|τi| √ i  kHn−12 i k2τi + j pj −β q ji∆t √ j 4|qj| √ µi −α q j∆t √ j 2|qj|√µj ! kEn jk2qj + µj pj −β q ji∆t √ µj 4|qj| √ i −α q j∆t √ µj 2|qj|√j ! kHn−12 j k2qj

(32)

En ≥ 1 2   X aij∈Td knijkTintτ + X aij∈Tm knijkTmetτ + X aij∈Qd knijkTintq + X aij∈Qm knijkTmetq + X aij∈Hd knijkThyb  .

Pour avoir En > 0, il suffit que Tτ

int,Tmetτ ,T q int,T

q

metetThybsoient strictement positifs (en supposant E

n i et

Hn−

1 2

i non tous nuls pouri = 1, 2, .., Nτet eEni et eH

n−1 2

i non tous nuls pouri = 1, 2, .., Nq) :

• PourTτ

intetTmetτ , il suffit que∆t soit tel que :

∀i, ∀j ∈ Vi :          i pi −β τ ij∆t √ i 4|τi|√µj −α τ i∆t √ i 2|τi| √ µi > 0, µi pi −β τ ij∆t √ µi 4|τi|√j −α τ i∆t √ µi 2|τi| √ i > 0, ⇐⇒ ∀i, ∀j ∈ Vi :          4|τi| pi > √∆t iµi  βτ ij rµ i µj + 2ατ i  , 4|τi| pi > √∆t iµi  βτ ij r i j + 2ατ i  ,

et enfin, nous appelons∆tτ le∆t recherché, qui est défini de la façon suivante :

∀i, ∀j ∈ Vi : ∆tτ  2ατi + βijτ max r i j , rµ i µj  < 4|τi| √ iµi pi .

Remarque : cette condition comprend également le traitement des faces frontières métalliques (Tτ

met> 0)

avec la convention quej est remplacé par i.

Donc si nous prenons un tel∆tτ, alors nous auronsTintτ > 0 et Tmetτ > 0. Nous pouvons remarquer que ce

∆tτcorrespond exactement à celui de l’étude de stabilité de la méthode GD−Ppen maillage tétraédrique

défini par(23).

• De la même manière pourTintq etT

q

met, il suffit que∆t, que nous appelons ∆tq, soit tel que :

∀i, ∀j ∈ Vi: ∆tq  2αqi + βijq maxr i j , rµ i µj  < 4|qi| √ iµi pi .

Remarque : cette condition comprend également le traitement des faces frontières métalliques (Tmetq > 0)

avec la convention quej est remplacé par i.

Donc si nous prenons un tel∆tq, alors nous auronsTintq > 0 et T

q

met > 0. Nous pouvons remarquer que

ce∆tqcorrespond exactement à celui de la méthode GD−Qk en maillage hexaédrique défini par(24).

• PourThybil suffit de trouver un∆t tel que les expressions :

 i pi −β τ ij∆t √ i 4|τi| √ µj −α τ i∆t √ i 2|τi| √ µi  ,  µi pi −β τ ij∆t √ µi 4|τi| √ j −α τ i∆t √ µi 2|τi| √ i  , j pj −β q ji∆t √ j 4|qj|√µi −α q j∆t √ j 2|qj|√µj ! , µj pj −β q ji∆t √ µj 4|qj| √ i −α q j∆t √ µj 2|qj|√j ! ,

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