La transition primaire/secondaire : étude des programmes mathématiques

Texte intégral

(1)La transition primaire/secondaire : Étude des programmes de mathématiques. Mémoire. Jérôme Bouchard. Maîtrise en didactique Maître ès arts (M.A.). Québec, Canada © Jérôme Bouchard, 2016 i.

(2) La transition primaire/secondaire : Étude des programmes de mathématiques. Mémoire. Jérôme Bouchard. Sous la direction de :. Helena Boublil, directrice de recherche Clermont Gauthier, codirecteur de recherche.

(3) RÉSUMÉ Le projet de recherche s’intéresse à la période de la transition entre l’école primaire et l’école secondaire. Parmi plusieurs facteurs nommés dans les recherches menées dans ce domaine et qui peuvent être à la source des difficultés des élèves, nous nous intéressons plus particulièrement à la correspondance entre les structures curriculaires de deux programmes pour l’enseignement de la géométrie. Nous nous sommes référés aux différents cadres théoriques et méthodologiques (Van Hiele, 1959/1984; Vergnaud, 1991; Boublil-Ekimova, 2010) afin d’analyser leur pertinence mathématique et didactique. Cette analyse nous a permis de constater que certains savoirs sont absents des programmes alors que d’autres ne sont pas présentés dans un ordre logique qui respecte la progression dans la construction des concepts mathématiques. À la suite de ces constats, et en nous appuyant sur les éléments ressortis du cadre théorique, nous proposons une description qui correspond à notre vision de la progression des apprentissages des savoirs essentiels visés aux quatre cycles de l’enseignement (trois cycles de l’enseignement primaire et le premier cycle de l’enseignement secondaire).. iii.

(4) TABLE DES MATIÈRES Résumé .................................................................................................................................. iii Table des matières……………………………………………………………………….....iv Liste des tableaux……………………………………………………………………….....vii Remerciements ...................................................................................................................... ix Introduction ........................................................................................................................... 1 1. Problématique .................................................................................................................... 4 1.1. Transition primaire/secondaire ............................................................................................ 4 1.1.1. Point de vue de l’élève .................................................................................................................... 4 1.1.2. Point de vue de l’école .................................................................................................................... 7 1.1.2.1. L’importance consacrée à certaines matières et les compétences des enseignants.................. 7 1.1.2.2. L’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques du primaire et du secondaire ........ 8 1.1.2.3. La présence de grandes différences entre les structures curriculaires ................................... 11. 1.2. Effets de la transition sur la réussite scolaire .................................................................... 12 1.2.1. Difficultés en mathématiques au début du secondaire .................................................................. 12 1.2.1.1. Difficultés en algèbre ............................................................................................................ 13 1.2.1.2. Difficultés en apprentissage des nombres rationnels ............................................................. 14 1.2.1.3. Difficultés en probabilités et statistiques ............................................................................... 16 1.2.1.4. Difficultés géométriques ....................................................................................................... 16. 1.3. Intérêt et objectifs de recherche ......................................................................................... 18. 2. Cadre théorique ............................................................................................................... 20 2.1 Enseignement de la géométrie : objectifs visés ................................................................... 20 2.1.1. Géométrie au primaire .................................................................................................................. 20 2.1.2. Géométrie au début du secondaire ................................................................................................ 21. 2.2. Théories développementales ............................................................................................... 22 2.2.1. Stades de développement (Piaget) ................................................................................................ 23 2.2.2. Niveaux de développement de la pensée géométrique (van Hiele 1959/1884) ............................. 26 2.2.3. Éléments ressortis de ces théories ................................................................................................. 28. 2.3. Théorie des champs conceptuels (Gérard Vergnaud)....................................................... 29 2.4. Critères d’analyse des programmes d’études .................................................................... 31. iv.

(5) 2.5. Projection sur l’emploi des théories étudiées .................................................................... 32. 3. Démarche méthodologique.............................................................................................. 33 3.1. Rendre la description des savoirs visés au primaire compatible à celle du secondaire . 34 3.1.1. Solides ........................................................................................................................................... 35 3.1.2. Figures planes ............................................................................................................................... 36 3.1.3. Transformations géométriques ...................................................................................................... 39 3.1.4. Mesure .......................................................................................................................................... 40. 3.2. Description des concepts selon le modèle de Vergnaud (1991) ........................................ 42 3.3. Description de la progression des savoirs selon les niveaux de la pensée géométrique (van Hiele, 1959/1984)................................................................................................................. 44 3.3.1. Solides ........................................................................................................................................... 44 3.3.2. Figures planes ............................................................................................................................... 45 3.3.3. Transformation géométriques ....................................................................................................... 48 3.3.4. Mesure .......................................................................................................................................... 50. 3.4. Analyse de la description des savoirs essentiels visés au primaire .................................. 52 3.4.1. Solides ........................................................................................................................................... 53 3.4.2. Figures planes ............................................................................................................................... 56 3.4.3. Transformations géométriques ...................................................................................................... 61 3.4.4. Mesure .......................................................................................................................................... 64. 3.5. Analyse de la description des savoirs essentiels visés au secondaire ............................... 67 3.5.1. Solides ........................................................................................................................................... 68 3.5.2. Figures planes ............................................................................................................................... 69 3.5.3. Transformations géométriques ...................................................................................................... 70 3.5.4. Mesure .......................................................................................................................................... 71. 3.6. Comparaison des deux programmes (MELS, 2002 et MELS, 2003). .............................. 74 3.6.1. Solides ........................................................................................................................................... 75 3.6.2. Figures planes ............................................................................................................................... 76 3.6.3. Transformations géométriques ...................................................................................................... 78 3.6.4. Mesure .......................................................................................................................................... 79. 3.7. Conception d’une nouvelle description .............................................................................. 81. 4. Conclusion ....................................................................................................................... 93 4.1. Objectifs et résultats de la recherche ................................................................................. 93. v.

(6) 4.2. Limites de la recherche ........................................................................................................ 95 4.3. Apports et perspectives de la recherche............................................................................. 96. Références ............................................................................................................................ 97 Annexe 1 ............................................................................................................................ 102 Annexe 2 ............................................................................................................................ 104 Annexe 3 ............................................................................................................................ 106. vi.

(7) LISTE DES TABLEAUX Tableau 1. Savoirs essentiels : Solides (MELS, enseignement primaire, 2002). ................. 35 Tableau 2. Description réorganisée (Solides). ...................................................................... 36 Tableau 3. Savoirs essentiels : Figures planes (MELS, enseignement primaire, 2002). ...... 37 Tableau 4. Description réorganisée (Figures planes). .......................................................... 38 Tableau 5. Savoirs essentiels : Frises et dallages (MELS, enseignement primaire, 2002). . 39 Tableau 6. Description réorganisée (Frises et dallages) ....................................................... 40 Tableau 7. Savoirs essentiels : Mesure (MELS, enseignement primaire, 2002). ................. 41 Tableau 8. Description réorganisée (Mesure)....................................................................... 42 Tableau 9. Extrait de la description du concept des solides (section « polyèdres »). .......... 43 Tableau 10. Savoirs essentiels (MELS, enseignement secondaire, 2003)............................ 67 Tableau 11. Savoirs essentiels : Mesure (MELS, enseignement secondaire, 2003). ........... 71 Tableau 12. Comparaison de descriptions (Solides) ............................................................ 75 Tableau 13. Comparaison de descriptions (Figures planes) ................................................. 76 Tableau 14 Comparaison de descriptions (Transformations géométriques) ........................ 78 Tableau 15. Comparaison de descriptions (Mesure) ............................................................ 79 Tableau 16. Proposition de la section : Solides .................................................................... 82 Tableau 17. Proposition de la section : Figure planes .......................................................... 83 Tableau 18. Proposition de la section : Transformation géométriques ................................ 87 Tableau 19. Proposition de la section : Mesure .................................................................... 90 Tableau 20. Description du concept des solides ................................................................. 106 Tableau 21. Description du concept des figures planes ..................................................... 111 Tableau 22. Description du concept de translation ............................................................ 122 Tableau 23. Description du concept de réflexion ............................................................... 124 vii.

(8) Tableau 24. Description du concept de rotation ................................................................. 127 Tableau 25. Description du concept de l’homothétie ......................................................... 129 Tableau 26. Description du concept de mesure .................................................................. 131. viii.

(9) REMERCIEMENTS J’utilise les quelques lignes suivantes pour remercier certaines personnes qui m’ont permis de réaliser ce mémoire. Dans un premier temps, je souhaite adresser mes plus sincères remerciements à ma directrice de recherche, Mme Helena Boublil-Ekimova, professeure en didactique des mathématiques à l’Université Laval. En plus d’avoir été une grande source de motivation, elle a fait preuve d’une grande générosité en me consacrant énormément de temps et en me guidant tout au long de ma recherche. Je veux également remercier M. Clermont Gauthier pour ses commentaires constructifs tout au long de mon parcours, ainsi qu’à la lecture du projet. Merci à Elena Polotskaia, professeure de l’Université du Québec en Outaouais, d’avoir accepté d’évaluer mon projet et d’avoir apporté ses commentaires. J’exprime également ma gratitude aux professeurs de l’Université Laval qui m’ont initié au monde de la recherche et qui m’ont donné tous les outils nécessaires pour rédiger ce document. Enfin, je souhaite remercier spécialement mes proches qui m’ont soutenu tout au long de ce parcours. Tout d’abord mes parents : Martin et Johanne. Merci pour le support financier, mais aussi de m’avoir encouragé et de vous être intéressés à mon projet. J’ai toujours pu compter sur vous dans les moments les plus difficiles. Ensuite, ma sœur, Valérie. Merci pour le temps que tu m’as accordé. Je sais que tu as parfois mis ton propre travail de recherche de côté pour m’aider avec le mien. Tu as été un modèle à suivre tout au long de cette aventure. Finalement, ma copine, Marie-Josée. Merci de m’avoir épaulé dans cette épopée. Tu as été l’oreille attentive qui a su m’écouter quand j’en avais le plus besoin.. ix.

(10) INTRODUCTION Le passage du primaire au secondaire présente de nombreux défis pour les élèves. Durant cette transition, l’élève fait face à plusieurs changements d’ordre environnemental, physique, psychologique et social. La façon dont ces difficultés sont vécues, et surtout les faibles performances qu’elles engendrent chez certains élèves ont incité plusieurs chercheurs à s’intéresser à la transition primaire/secondaire pour essayer de mieux comprendre ce phénomène (De Kessel, Dufays et Meurant, 2012; Larose et al., 2006; Carter et al., 2005; Stevens, Wineburg, Herrenkohl et Bell, 2005; Otis et al., 2005; Toping, 2003; Zeedyk et al., 2003; Mizelle et Irvin, 2000 ; etc.). Les recherches effectuées sur ce sujet ont montré que plusieurs variables peuvent jouer un rôle dans le succès de la transition ou être à la source des difficultés que vivent les jeunes lors de cette période : la relation avec les pairs, l’intimidation, la relation avec les futurs enseignants, le soutien parental, l’importance consacrée à certaines matières, l’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques des deux niveaux et la présence de différences entre les structures curriculaires des deux programmes. Malgré les moyens mis en place par les écoles, les enseignants, les parents, le ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport (MELS) et tous autres intervenants afin de diminuer l’effet négatif de ces variables sur le vécu et les résultats scolaires des élèves et pour faciliter la transition entre les deux ordres d’enseignements, l’analyse de recherches montre que les élèves éprouvent des difficultés importantes dans leurs apprentissages (Barber et Olsen, 2004; Roderick et Camburn, 1999). L’analyse de recherches effectuées sur la transition primaire/secondaire nous a permis de constater qu’il y a très peu de travaux portant sur les effets de la transition sur le rendement scolaire dans le domaine mathématique. Il y en a encore moins qui soulèvent la question des liens entre les programmes d’études correspondant à ces deux niveaux d’enseignement et il n’y en a aucune qui étudie cette correspondance. Notre travail est donc une contribution à ce domaine de recherche. Elle s’intéresse aux différences curriculaires présentées par certains auteurs comme un aspect susceptible d’être à la source du problème de la transition entre l’école primaire et l’école secondaire. 1.

(11) Compte tenu de l’ampleur du travail d’analyse et de manière à proposer une réflexion plus approfondie, notre démarche se restreindra à l’analyse d’un des domaines mathématiques, la géométrie. Il s’agit du domaine le moins étudié dans les recherches didactiques, mais qui occupe à peu près le tiers de l’enseignement des mathématiques. Ce travail de recherche est composé de quatre chapitres. Le premier correspond à la problématique. Dans ce chapitre, en référant aux recherches menées dans le domaine de la transition scolaire, nous décrivons les différents facteurs qui entrent en jeu lors du passage entre l’école primaire et l’école secondaire. Ensuite, parmi les facteurs exposés, nous étudions ceux qui peuvent être à la source des difficultés que vivent les jeunes pendant cette période. Enfin, nous étudions les difficultés éprouvées par les élèves dans le domaine mathématique. Cette démarche nous permet de décrire les problèmes qui ont été soulevés dans les recherches menées dans ce domaine et de préciser les orientations principales de notre recherche. Le chapitre 2 présente le cadre théorique. Dans ce chapitre, à l’aide de deux programmes de mathématique (primaire et secondaire), nous étudions les objectifs d’apprentissage visés pour chacun des deux ordres d’enseignement. Nous exposons aussi la recherche de BoublilEkimova (2010b), qui nous fournit des critères pour analyser la description des savoirs essentiels des deux programmes d’enseignement. Finalement, nous présentons les théories développementales (Piaget, 1955; Piaget et Inhelder, 1963; van Hiele, 1959/1984) et la théorie des champs conceptuels (Vergnaud, 1991) qui nous guideront pour décrire l’évolution de la pensée dans la construction de concepts géométriques selon l’âge (ou les niveaux) et selon les activités qui permettent cette évolution. Le troisième chapitre, Méthodologie, est consacré à la description de la démarche de la recherche, qui se compose de sept étapes. En nous appuyant sur notre cadre théorique, nous élaborons une description progressive des activités d’apprentissage mettant en jeu les attributs des différents concepts, leurs différentes représentations et les processus nécessaires à leur construction et à leur développement. Ensuite, en nous référant à cette description, nous ferons une analyse didactique et mathématique de deux programmes de mathématique (primaire et premier cycle du secondaire). Nous comparons les données d’analyse afin d’identifier les liens ou les ruptures entre les descriptions des savoirs visées 2.

(12) par ces deux ordres d’enseignement. À la dernière étape, nous proposons une description des savoirs essentiels telle que nous la concevons. Nous échelonnons la progression des savoirs du premier cycle du primaire jusqu’au premier cycle du secondaire. Finalement, dans une conclusion générale, nous montrons dans un premier temps les apports d’une telle recherche ainsi que les limites qui s’y rattachent. Dans un deuxième temps, nous proposons différentes avenues permettant de poursuivre notre réflexion.. 3.

(13) 1. PROBLÉMATIQUE Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux principales raisons des difficultés des élèves dues à la transition entre deux ordres d’enseignement (primaire et secondaire). D’abord, nous décrirons les facteurs qui entrent en jeu dans la transition entre l’école primaire et l’école secondaire. Ensuite, parmi les facteurs exposés, nous porterons une attention particulière aux éléments qui peuvent provoquer des difficultés chez les élèves. Enfin, nous regarderons les difficultés éprouvées par les élèves dans les différents domaines mathématiques. Cette démarche nous permet de décrire les problèmes qui ont été relevés dans les recherches menées dans ce domaine et de préciser les orientations principales de notre travail.. 1.1. Transition primaire/secondaire Les recherches menées dans ce domaine montrent que plusieurs aspects de la vie socioaffective de l’enfant et de l’environnement de l’école peuvent être déterminants quant au succès de la transition que vivent les élèves entre l’école primaire et l’école secondaire. Nous traçons d’abord le portrait de cette transition scolaire en l’examinant sous deux angles différents : du point de vue de l’élève et du point de vue de l’école. Ensuite, nous décrivons les difficultés rencontrées par les élèves dans l’apprentissage des mathématiques qui ressortent des recherches portant sur cette période de transition. 1.1.1. Point de vue de l’élève Même si plusieurs enfants sont optimistes et ont hâte d’entrer à l’école secondaire puisqu’ils attendent avec impatience la possibilité de pouvoir faire plus de choix et de se faire de nouveaux amis (Lucey et Reay, 2000; Mizelle, 1999), on remarque qu’ils peuvent aussi être anxieux (Zeedyk et al., 2003). En effet, il ressort de plusieurs recherches (Otis et al, 2005; Seidman et al, 1994; Wigfield et al., 1991) que pour de nombreux enfants la transition est une période d'inquiétude lors de laquelle on observe chez eux un déclin substantiel dans l'estime de soi, dans la motivation scolaire et, par conséquent, dans la réussite scolaire. 4.

(14) Il est reconnu depuis longtemps, disent Hertzog et al. (1996), que les relations avec les pairs jouent un rôle important dans la transition scolaire. Carter et al. (2005) affirment aussi que le maintien des relations entre les amis de l’école primaire jusqu’au secondaire contribue à favoriser une meilleure transition. Par contre, on remarque que le passage à l’école secondaire vient souvent modifier, perturber ou rompre les liens d’amitié tissés à l’école primaire (Mizelle et Irvin, 2000). Selon Elias et al. (1985), avant de rentrer au secondaire, les élèves sont inquiets à l’idée de s’ennuyer de leurs amis du primaire, d’avoir de la difficulté à se faire de nouveaux amis et de ne pas faire partie d’un groupe. Étant donné que les relations entre les pairs sont si importantes, les recherches de Lindsay (1998), Thurston et al. (2010) et Parsons et al. (2008) proposent des interventions afin de favoriser les relations entre les pairs. Lindsay (1998) a montré qu’en début d’année, en ouvrant les portes de l’école seulement aux nouveaux élèves, on facilitait la création de relations positives entre eux et on réduisait ainsi leur niveau d’anxiété. Selon Thurston et al. (2010), dans les écoles secondaires où l’on pratique l’apprentissage coopératif, il y a d’évidents gains sociaux chez les élèves, ce qui entraîne des relations plus positives avec leurs pairs. Le mentorat par les pairs est un autre moyen qui peut être mis en place pour faciliter les liens sociaux entre les élèves. En nous référant à l’étude de Parsons et al. (2008), nous pouvons voir que la majorité des élèves ont apprécié avoir un mentor. Selon ces élèves, le mentorat leur avait été utile pour améliorer leur confiance en eux et leur attitude envers l’école. De même, 87 % des mentors affirment que d’avoir participé au programme de mentorat leur a permis d’avoir une meilleure confiance en eux et de parler aux autres élèves plus facilement. En lien à la relation avec les pairs, il est important de mentionner les travaux d’Ashton (2008), de Zeedyk et al. (2003) et d’Evangelou et al. (2008), qui soulignent que si les élèves ont peur de se retrouver seuls à l’école, ils craignent également d’être victimes d’intimidation. On apprend dans l’étude d’Evangelou et al. (2008) qu’environ 3 élèves sur 10 sont victimes d’intimidation. La recherche de Zeedyk et al. (2003) démontre aussi que l’intimidation peut être très préoccupante tant pour les élèves du primaire et du secondaire 5.

(15) que pour leurs parents et leurs enseignants. Cependant, cet aspect de la transition n’était pas si significatif dans l’étude qu’Ashton (2008) a menée sur un échantillon de 1673 élèves qui terminaient leurs études primaires. Seulement 17 % d’entre eux ont mentionné avoir peur d’être intimidés ou étaient simplement curieux de savoir s’il y avait de l’intimidation. Dans le but de prévenir et de combattre l’intimidation et la violence à l’école au Québec, la loi 56 est mise en vigueur depuis le 12 juin 2012 (MELS, 2014). Ashton (2008) évoque une autre crainte éprouvée par les élèves lors de la transition primaire/secondaire. Celle-ci réside dans le fait que les élèves sont curieux de voir leurs futurs enseignants. Ils espèrent aussi qu’ils feront une bonne impression et qu’ils seront appréciés de leurs enseignants. Les résultats de cette recherche révèlent un impact positif sur les élèves qui ont eu la chance de rencontrer leurs enseignants du secondaire avant la rentrée des classes et suggèrent que les journées portes ouvertes peuvent être propices à ce genre de rencontres. Le soutien des parents représente aussi un élément primordial quant à la réussite de la transition. En effet, McGee et al. (2004) affirment qu’une forme de soutien extérieure à celui de l’école favorise une meilleure transition. Dans le même sens, Osborn et al. (2006) mentionnent que le soutien des parents contribue à la réussite de la transition vers l’école secondaire. On retrouve aussi dans les documents du MELS (2012) les facteurs de protection liés à l’environnement familial qui permet de favoriser la transition scolaire : -. Soutenir leur enfant. -. Être engagés dans la réussite scolaire de leur enfant. -. Créer un climat familial positif. -. Adopter un style parental démocratique et encourager l’autonomie. -. Permettre à leur enfant d’avoir des relations de qualité avec un adulte significatif. -. Rapprocher la famille et l’école. -. Valoriser l’éducation auprès de leur enfant. Ces recommandations destinées aux parents visent à offrir un meilleur soutien aux enfants lors de la transition primaire/secondaire.. 6.

(16) 1.1.2. Point de vue de l’école Pour mieux comprendre les différentes variables de la transition primaire/secondaire liées à l’environnement scolaire, nous nous sommes référés au rapport de recherche produit en 2006 par Larose et al. Les recherches menées dans ce domaine leur a permis d’identifier les facteurs de risques du milieu scolaire associés à la transition entre deux niveaux d’enseignement. En référant à la recherche de Stevens, Wineburg, Herrenkohl et Bell (2005), Larose et al. (2006) stipulent que les variables les plus fréquemment associées aux facteurs de risques scolaires sont : l’importance consacrée à certaines matières (on peut y inclure les compétences des enseignants), l’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques du primaire et du secondaire ainsi que la présence de grandes différences entre les structures curriculaires des deux niveaux. Dans les trois sous-sections suivantes, nous précisons chacun de ces éléments. 1.1.2.1. L’importance consacrée à certaines matières et les compétences des enseignants La recension des recherches menées dans le domaine de l’enseignement des mathématiques et portant sur les compétences professionnelles des enseignants nous a permis de faire ressortir quelques raisons expliquant pourquoi l’importance consacrée à certaines matières (ou domaines disciplinaires) et à certains contenus du même domaine peut varier. Ce choix peut être influencé par les connaissances que les enseignants possèdent à propos de cette matière, l’intérêt qu’ils portent envers ce champ disciplinaire, le temps mis à leur disposition, etc. Certaines études montrent que les enseignants du primaire ne possèdent pas les compétences disciplinaires nécessaires pour l’enseignement des mathématiques. Cette lacune a entre autres été rapportée par l’étude de Brown, Cooney et Jones (1990). De plus, selon Fennema et Franke (1992), les lacunes disciplinaires des enseignants peuvent être associées aux erreurs que font les élèves. Dans sa recherche de 2005, Boublil-Ekimova signale aussi que les connaissances mathématiques des enseignants influent considérablement sur l’enseignement de cette 7.

(17) discipline, ce qui peut être observé dans le choix du contenu de l’enseignement, dans les évaluations des apprentissages et, surtout, dans la manière d’enseigner. Quelles sont les raisons permettant d’expliquer ces constats ? Par exemple, pour l’enseignement de la géométrie, selon Porter (1989), les futurs maîtres mentionnent que la couverture de cette matière a été faite de façon plutôt brève lorsqu’ils étaient eux-mêmes au primaire et au secondaire. De plus, selon cet auteur, les enseignants n’enseignent pas toujours tous les éléments prescrits par le programme. Pour ajouter aux raisons qui expliquent pourquoi les enseignants au primaire ne sont pas bien formés pour enseigner les mathématiques, Ekimova (2005) mentionne que certains futurs enseignants n’ont pas suivi de cours de mathématiques en cinquième secondaire et que d’autres n’ont pas eu de formation mathématique au collégial. Pourtant, pour s’assurer de la compétence des futurs enseignants, notamment en mathématiques, l’Université Laval intègre au programme de formation des futurs maîtres destinés à l’éducation préscolaire et à l’enseignement primaire un cours d’arithmétique et un cours de géométrie. Ces cours visent à ce que les étudiants acquièrent les compétences disciplinaires nécessaires à l’enseignement des mathématiques au primaire. De plus, selon l’article 22 du régime pédagogique de l'éducation préscolaire, de l'enseignement primaire et de l'enseignement secondaire, on informe les enseignants, à titre indicatif, du nombre d’heures qu’ils devraient consacrer à chacune des matières obligatoires. 1.1.2.2. L’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques du primaire et du secondaire Un rapport de recherche publié en 2002 sur le site de la Fédération Wallonie-Bruxelles souligne que plusieurs enseignants du secondaire déplorent le fait qu’une grande partie d'élèves arrivent au secondaire sans maîtriser certaines notions du primaire pourtant préalables au cours de mathématiques en secondaire 1 : « Les mathématiques, cela se suit. Si on n’a pas les prérequis, on n’avance pas. Par exemple, celui qui a des problèmes en tables de multiplication aura encore plus de problèmes en division, en fraction. Souvent, il manque des prérequis importants du primaire pour pouvoir faire les opérations du secondaire. » (p. 4) 8.

(18) Bien que les enseignants du secondaire remarquent un manque de prérequis chez certains élèves, les auteurs du rapport mentionnent que l’enseignement des mathématiques aux deux niveaux (primaire et secondaire) relève de deux réalités différentes : le premier niveau est basé sur la manipulation et le second est plus abstrait et conceptuel. Dans le même sens, Midgley et al. (1989) soulignent que les pratiques enseignantes du primaire et du secondaire ne sont pas les mêmes. Les élèves passent d’un enseignement centré sur l’enfant à un enseignement visant le développement des contenus. Les études publiées montrent aussi que dans plusieurs cas les enseignants ne connaissent ni les méthodes et les outils d’enseignement, ni le programme de l’autre niveau d’enseignement (De Kessel, Dufays et Meurant, 2012). Par conséquent, les enseignants du primaire ne font pas de liens entre ce qu’ils enseignent et les contenus visés pour le secondaire. Les enseignants du secondaire ne connaissent pas exactement ce qui se passe au primaire quant aux savoirs et aux démarches d’apprentissage. Par exemple, les auteurs membres de la Fédération Wallonie-Bruxelles mentionnent qu’aucun enseignant du secondaire qui a participé à leur recherche et qui a soulevé le manque de communication entre les deux niveaux n’a proposé de méthodes didactiques pour remédier à cette situation. D’ailleurs, en analysant les propos des enseignants sur ce sujet, on remarque que certains déplorent plutôt le manque de contacts entre les enseignants du primaire et ceux du secondaire pour assurer une continuité entre les deux ordres d’enseignement : « Il faudrait que l’on ait des contacts avec les enseignants du primaire pour essayer de continuer ce qu’ils font ou pour se mettre d’accord sur les acquis à atteindre… Il n’y a pas de lien alors chacun fait ce qu’il peut de son côté… » (p. 13) D’après Evangelou et al. (2008), les enseignants du secondaire ne font pas confiance aux enseignants du primaire dans l’évaluation qu’ils font des élèves et ils préfèrent juger eux-mêmes de leurs compétences. Plusieurs chercheurs (Larose et al., 2006 ; Hargreaves et Galton, 2002 ; Bru, Stornes, Munthe et Thuen, 2010) se sont intéressés à certaines interventions susceptibles de favoriser la transition primaire/secondaire avec une meilleure collaboration entre les deux niveaux d’enseignement pour que les élèves se sentent mieux soutenus. La recherche effectuée par des professeurs de Sherbrooke (Larose et al., 2006) a montré que la collaboration entre les enseignants du 3e cycle du primaire et ceux du 1er cycle du 9.

(19) secondaire peut favoriser une meilleure transition entre les deux ordres d’enseignement. Les résultats de cette recherche permettent de voir qu’une collaboration de ce genre participe à la mise à niveau des savoirs et à une exploration plus active des contenus disciplinaires. Elle permet de réduire la perception des écarts entre les compétences des élèves du 3e cycle du primaire et du 1er cycle du secondaire et de renforcer le sentiment de compétence des élèves en difficulté. Par conséquent, on peut offrir un meilleur soutien aux élèves dans le développement des compétences transversales et leur permettre de voir les différences pédagogiques de l’enseignement primaire et de l’enseignement secondaire. Dans le même but, plusieurs écoles en Angleterre ont mis l’accent sur l’échange d’informations entre les enseignants de 6e année et de secondaire 1 (Hargreaves et Galton, 2002). D’un autre côté, bien que le soutien, notamment de la part des enseignants, soit un élément crucial de l’environnement d’apprentissage des élèves et que les écoles mettent en place des mesures pour mieux soutenir les élèves lors de la transition primaire/secondaire, la recherche de Bru, Stornes, Munthe et Thuen (2010) montre que ceux-ci se sentent de moins en moins soutenus. Ils remarquent une baisse linéaire de la perception de soutien lorsque les élèves vieillissent sans remarquer de changement brusque lors du passage au secondaire. Selon De Kessel, Dufays et Meurant (2012), le soutien des élèves est important et représente l’une des raisons pour lesquelles la transition entre l’école primaire et l’école secondaire est défaillante. Cependant, il ne s’agit pas, pour ces auteurs, de la solution miracle pour favoriser une meilleure transition. En effet, ils affirment que le fait de réunir l’école préscolaire et l’école primaire dans le même édifice afin de favoriser une meilleure continuité et un meilleur suivi entre les deux niveaux n’a pas eu les résultats escomptés. En effet, bien que la structure des deux niveaux se ressemble énormément, cela n’a pas éliminé toutes les difficultés de transitions vécues par les élèves.. 10.

(20) 1.1.2.3. La présence de grandes différences entre les structures curriculaires Bien que l’idée de soutien aux élèves élaborée dans la section précédente soit importante, il serait utopique de penser qu’elle pourrait régler à elle seule le problème de la transition de l’école primaire à l’école secondaire. Selon De Kessel, Dufays et Meurant (2012), l’une des raisons de la défaillance de la transition primaire/secondaire réside dans les programmes scolaires. Selon eux, les programmes de formation des deux niveaux ne sont pas assez précis en termes de savoirs à apprendre. Toutefois, aucune explication supplémentaire sur les disciplines particulières analysées n’est fournie par ces auteurs. Dans le même ordre d’idées, une équipe dirigée par Nadine Bednarz en collaboration avec Josée Lafontaine, Mélanie Auclair, Carole Morelli et Chantal Leroux (2009) a mené un projet afin de favoriser la transition des élèves entre deux ordres d’enseignement, primaire et secondaire, dans le domaine des mathématiques. Grâce à une analyse des contenus mathématiques portant sur l’emploi des opérations arithmétiques dans la résolution de problèmes de deux programmes, elles ont remarqué qu’aux deux niveaux, on poursuivait les mêmes objectifs, mais que ce type d’activité mathématique n’était pas abordé de la même façon. Elles ont donc décidé de travailler sur les habiletés de calcul des élèves en élaborant un référentiel commun dans ce domaine mathématique afin d’assurer un meilleur soutien aux élèves du primaire et de faciliter leur entrée au secondaire. Elles ont cherché à produire un outil d’analyse de problèmes et à développer des interventions qui aideraient à développer les habiletés de résolution de problèmes chez les élèves. Après l’analyse des résultats obtenus, les chercheuses remarquent que la différence entre les élèves de la fin du primaire et ceux du début du secondaire n’est pas très grande et même que certains élèves du primaire réussissaient mieux que ceux du secondaire. Les résultats de cette recherche montrent, selon elles, que le travail de chercheurs didacticiens est nécessaire afin d’arrimer les programmes de mathématique des deux niveaux. D’autres auteurs semblent partager l’idée que l’absence de liens entre les deux programmes peut être à la source des difficultés des élèves. Toutefois, aucune explication plus étoffée et aucune référence à d’autres auteurs ne sont proposées. C’est notamment le cas des chercheurs de l’université de Sherbrooke (Larose et al., 2006) et de Toping (2003) dans 11.

(21) leur revue de littérature couvrant la question de la transition primaire/secondaire.. 1.2. Effets de la transition sur la réussite scolaire Malgré tous les moyens mis en place par les écoles, les enseignants, les parents, le MELS et les autres intervenants pour faciliter la transition entre les deux ordres d’enseignements, la recension des recherches effectuées sur la transition primaire/secondaire montre que les élèves qui arrivent au secondaire ont des difficultés. Dans la recherche menée sur un échantillon de 933 élèves, Barber et Olsen (2004) ont observé une baisse dans les résultats scolaires et dans la motivation des élèves lors de la transition. Boyd (2005) arrive aux mêmes conclusions. Quant à Roderick et Camburn (1999), ils affirment, en s’appuyant sur un échantillon de 25 795 élèves, que le quart des élèves qui avaient de bons résultats scolaires au primaire échouent dans au moins une matière lors de la première étape à l’école secondaire. Deux de ces élèves sur cinq ne réussiront pas à remonter la pente lors de l’année suivant l’entrée à l’école secondaire. Dans la section suivante, nous nous intéressons aux difficultés en mathématique rencontrées par les élèves de secondaire 1. 1.2.1. Difficultés en mathématiques au début du secondaire Les recherches portant sur les difficultés mathématiques observées au début du secondaire (Vlassis et Demonty, 1997; Green, 1983 et 1991; Lecoutre et Durand, 1988; Konold, 1989; Boublil-Ekimova, 2010a) montrent que ces dernières peuvent présenter un caractère général, peu importe le contenu mathématique étudié, ou spécifique propres aux domaines mathématiques particuliers. L’analyse du rapport des Facultés Universitaires Notre Dame de la Paix (2002) permet de décrire les difficultés générales liées à l’apprentissage des mathématiques. On peut noter que les élèves ont du mal à : -. maîtriser le vocabulaire mathématique ;. -. traduire un énoncé par un dessin ;. -. passer du langage mathématique au langage naturel et inversement ;. -. maîtriser la priorité des opérations ; 12.

(22) -. se représenter dans l’espace ;. -. concevoir le signe d’égalité comme un signe d’équilibre ;. -. maîtriser les produits remarquables ;. -. maîtriser la règle des signes ;. -. être précis et rigoureux ;. -. intégrer plusieurs apprentissages mathématiques dans une tâche.. De même, on peut observer chez les élèves des difficultés spécifiques propres aux domaines mathématiques particuliers. Au secondaire, le programme du MELS segmente les mathématiques selon ces différents domaines particuliers : l’arithmétique et l’algèbre, les probabilités et les statistiques, et la géométrie. Dans les trois sections suivantes, nous regroupons les difficultés mathématiques observées au début du secondaire selon le domaine d’étude. 1.2.1.1. Difficultés en algèbre Dans le but de mieux connaître les problèmes liés à la transition entre l’arithmétique de l’école primaire et l’algèbre du début du secondaire, les chercheuses Vlassis et Demonty (1997) ont décidé de décrire les difficultés algébriques en analysant les productions des élèves. Premièrement, constatent ces chercheuses, la difficulté peut trouver sa source dans l’interprétation du sens des lettres. Par exemple, au primaire on peut utiliser les lettres pour les données abstraites dans le calcul de l’aire du rectangle A = L x l (où A renvoie à Aire, L à longueur et l à largeur). Les lettres donc sont associées à un mot et non à une valeur numérique. Ainsi, certains élèves au début du secondaire, lorsqu’ils voient le nombre 3p, peuvent penser que cela signifie 3 pommes au lieu de trois fois le nombre p. Deuxièmement, les difficultés peuvent être associées à la réduction des termes non semblables. Par exemple, lorsqu’on demande aux élèves de résoudre l’équation 2a + 5a + 3b, ils répondent souvent 10ab. Pourtant, la réponse attendue serait plutôt 7a + 3b. La réponse fournie par la plupart des élèves s’explique par le fait qu’ils ne sont pas habitués à fournir une réponse dans laquelle un signe opératoire est visible. Durant leur parcours à l’école primaire, la réponse d’une opération a toujours été constituée d’un seul nombre. De 13.

(23) plus, le symbole « + » laisse penser deux choses : d’une part, ce symbole évoque pour les élèves une procédure plutôt qu’une réponse, d’autre part, ce symbole réfère à une réunion physique des éléments. De là l’idée de réunir les a et les b pour obtenir 10ab. Les auteures de la recherche citée mentionnent également que les élèves ne voient pas l’algèbre comme une continuité de l’arithmétique. Ils perçoivent ces deux domaines comme deux mondes à part. Pour remédier à ces difficultés, elles proposent, dans leur recherche, une démarche didactique pour rendre accessible l’algèbre aux élèves de secondaire. 1.2.1.2. Difficultés en apprentissage des nombres rationnels Plusieurs recherches effectuées depuis les dernières décennies montrent que les élèves rencontrent beaucoup de difficultés en apprentissage des nombres rationnels (Blouin, 2002; Stegen, Géron et Daro, 2007; Carrette, Content, Rey, Coché et Gabriel, 2009; Lessard, 2010). Il s’agit de difficultés reliées à la lecture et à l’écriture des nombres fractionnaires et des nombres à virgule, et aux opérations avec ces nouveaux nombres. L’élève doit utiliser des symboles, des techniques et des règles déjà employés pour désigner, comparer et calculer les nombres entiers mais dans un nouveau cadre où certaines de ces règles restent valables alors que d’autres ne le sont plus. Les erreurs des élèves peuvent, dans un premier temps, découler de la complexité de la notation des nombres rationnels (écriture fractionnaire et décimale). Certains distinguent mal la signification de la barre « / » dans l’écriture fractionnaire du nombre rationnel. Il n’est donc pas rare de remarquer que certaines jeunes se représentent 3/5 comme étant équivalent à 3,5 (Lessard, 2010). Le fait que la valeur de la fraction puisse être supérieure à l’unité peut donc être difficilement accepté par les apprenants (Carette, Content, Rey, Coché et Gabriel, 2009). Près de 50 % des élèves de première secondaire ne sont pas capables de représenter correctement 5/4 en nombre à virgule. Cette erreur pourrait provenir du fait que les jeunes n’ont pas pris en considération que la barre « / » signifie d’emblée une opération de division. Cela s’explique par le fait que, lors de leurs apprentissages, les élèves ont été plus souvent confrontés à des fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur.. 14.

(24) D’autres erreurs peuvent provenir d’une confusion dans l’utilisation de la virgule dans la notation décimale. Par exemple, lorsqu’on leur demande de présenter le nombre « 24 centièmes », près de 20 % des élèves de première secondaire échouent encore et écrivent le nombre « 0,024 », car avec les nombres entiers, trois chiffres sont nécessaires pour écrire les centaines (Stegen, Géron et Daro, 2007). On retrouve aussi chez les élèves une confusion dans l’emploi de termes tels que « dixième » vs. « dizaine » ou «centième » vs. « centaine ». Certains élèves disent que dans 12,534 il y a 5 centaines car « on dit douze virgule cinq cent trente-quatre ». Cette erreur peut être associée à la ressemblance phonétique des mots, mais aussi à la lecture orale « négligée » (12 virgule 5-3-4) utilisée largement dans la classe. Cette lecture des nombres décimaux et la prégnance des règles établies sur les nombres entiers pourront engendrer des erreurs lors des opérations sur les nombres (comparaison, addition, soustraction, etc.) où les élèves ignorent des valeurs positionnelles de la partie décimale. Par exemple, lorsque les parties décimales sont de longueurs distinctes, certains élèves, pour comparer deux nombres décimaux, se fient au nombre de chiffres qui constituent la partie décimale sans prendre en considération leur valeur et affirment que 0,23 < 0,224 étant donné que 23 < 224 (Sacré, Stegen et Daro, 2007; Lessard, 2010). On constate aussi des difficultés des élèves dans la réalisation des tâches qui demandent de trouver un nombre qui succède ou précède le nombre rationnel donné. À la question « Quel est le successeur de 2,74 ? », une grande partie des élèves répond « 2,75 » ou « 2,741 ». Cependant, cette idée de succession est dépourvue de sens dans l’ensemble des rationnels en raison de sa densité (Sacré, Stegen et Daro, 2007). La conception erronée du décimal comme deux entiers séparés par une virgule provoque des erreurs dans le calcul posé dans quatre opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division), surtout lorsque les parties décimales sont de longueurs distinctes. Les erreurs observées portent sur l’alignement des nombres (selon le dernier chiffre du premier nombre) et sur le placement de la virgule au résultat. Ces erreurs présentent diverses variantes : pas de virgule ou bien virgule placée comme dans le nombre d’en haut ou comme dans le nombre d’en bas (Blouin, 2002; Carrette, Content, Rey, Coché et Gabriel 2009; Lessard, 2010). 15.

(25) 1.2.1.3. Difficultés en probabilités et statistiques Pour ce qui est des probabilités et des statistiques, Green (1983), après avoir distribué auprès des milliers d’élèves du secondaire un questionnaire portant sur les phénomènes aléatoires, relève qu’un nombre important d’élèves ne sont pas capables de voir si une distribution est aléatoire ou non. Plus tard, ce chercheur découvre que certains, dans une séquence aléatoire, ont tendance à prendre en compte les derniers résultats obtenus pour prédire les résultats suivants (Green, 1991). Pourtant, dans une séquence aléatoire, chaque résultat est indépendant des autres. À la suite d’une série de recherches portant sur les phénomènes aléatoires, Lecoutre et Durand (1988) ont réussi à démontrer que certains élèves pensent que des évènements peuvent être équiprobants alors qu’ils ne le sont pas. De son côté, Konold (1989), avec sa recherche sur les conceptions probabilistes informelles des élèves, remarque que certains d’entre eux ont tendance à prédire les résultats d’un phénomène aléatoire au lieu de prédire les probabilités d’obtenir un certain résultat. 1.2.1.4. Difficultés géométriques Dans son ouvrage portant sur les difficultés que les élèves rencontrent dans l’apprentissage de la géométrie, Ekimova (2005) les a distinguées en quatre catégories en décrivant les difficultés spécifiques à chacune. La première catégorie correspond aux difficultés visuelles, qui sont liées soit à la construction de l’image de la figure (tous les éléments qui permettent de réfléchir aux informations visuelles et de décrire les propriétés de la figure) ou à son emploi (processus de reconnaissance, d’identification, d’évocation des figures et des relations entre les éléments des figures à partir de l’observation des figures ou de la description de leurs propriétés). Par exemple, des élèves ont de la difficulté à effectuer les opérations mentales de mouvements dans le plan et dans l’espace afin de reconnaître une figure ou résoudre un problème, d’évoquer les propriétés que la figure possède et qui ne sont pas représentées sur le dessin, d’ajouter des éléments sur le dessin nécessaires pour résoudre un problème, etc.. 16.

(26) La deuxième catégorie de difficultés qu’on peut observer est associée aux difficultés langagières. Il s’agit de la non-connaissance de certains termes géométriques. Certains élèves ne sont pas non plus en mesure de décrire les figures observées en faisant appel à la recherche du maximum de ses caractéristiques, alors que d’autres utilisent des termes imprécis lorsqu’ils identifient, décrivent ou définissent des figures ou décrivent la démarche de résolution. Dans la troisième catégorie se trouvent les difficultés liées à l’emploi du raisonnement. Ces difficultés sont en lien avec les « processus mentaux qui favorisent la formation des idées et des jugements destinés à construire la connaissance, à mettre de l'ordre dans la connaissance, à choisir et à appliquer les concepts et les processus appropriés à la tâche, à justifier, à convaincre, à prouver ou à réfuter et à développer des relations de dépendance entre des propositions pour aboutir à une conclusion. » (Boublil-Ekimova, 2010a, p. 104) Par exemple, certains élèves ont de la difficulté à identifier une figure à partir de la description de ses caractéristiques et surtout, s’il s’agit des propriétés « non-visuelles marquantes », de justifier l’énoncé, le résultat ou la démarche, etc. Finalement, la quatrième catégorie est celle des difficultés de résolution de problèmes. Les élèves ont de la difficulté à reconnaître et identifier les éléments de la consigne qui sont nécessaires à la résolution du problème, à visualiser les éléments que la figure possède, mais qui ne sont pas tracés sur le dessin (ex : visualiser la hauteur d’un triangle isocèle), à ajouter des éléments sur le dessin nécessaires pour résoudre un problème, à déterminer des conséquences logiques de certaines données (ex : pour inscrire un carré dans un cercle, l’élève doit savoir que les diagonales du carré vont correspondre à deux diamètres perpendiculaires du cercle). Il s’agit de difficultés ou d’un ensemble de difficultés qui peuvent être associées aux trois catégories précédentes : visualisation, langage et raisonnement et à la difficulté de la coordination entre ces éléments. La recherche de Boublil-Ekimova (2010a) montre que les difficultés que les étudiants, futurs maîtres, rencontrent lors de tests et d’examens peuvent être associées à celles éprouvées par des élèves et que nous avons décrites ci-dessus.. 17.

(27) 1.3. Intérêt et objectifs de recherche La recension des écrits effectuée dans ce chapitre montre que plusieurs aspects de la vie socioaffective de l’enfant et de l’environnement de l’école peuvent avoir des influences sur la transition des élèves entre l’école primaire et l’école secondaire. La peur quant à la nouveauté de la situation : changement du lieu, rupture avec les ami(e)s et inquiétude quant à la possibilité d’en avoir de nouveaux, nouveaux enseignants, etc. représente le principal facteur socioaffectif qui entre en jeu lors de la transition. Parmi les variables les plus fréquemment associées aux facteurs de risques scolaires, on retrouve l’absence de continuité entre les pratiques pédagogiques du primaire et celles du secondaire ainsi que la présence de grandes différences entre les structures curriculaires des deux niveaux. Cependant, nous n’avons trouvé aucune recherche qui présente des résultats concrets afin de confirmer ces dernières affirmations. Même si la recherche menée par Nadine Bednarz et al. (2009) étudie cette période de transition et décrit certaines difficultés que les élèves rencontrent en mathématiques au début du secondaire et les interventions proposées afin de les surmonter, les données concrètes quant à la différence de pratiques et à l’absence de liens entre les descriptions des contenus de deux niveaux d’enseignement sont absentes. Ces résultats nous amènent à constater que l’influence des différences curriculaires ne semble pas vraiment étudiée et approfondie dans les recherches portant sur la transition. Pour ces raisons, nous nous intéresserons, dans le cadre de ce projet en didactique des mathématiques, à l’analyse de la correspondance entre les exigences mathématiques qui sont visées à la fin du 3e cycle du primaire et celles visées au début du secondaire dans les programmes respectifs de ces niveaux. Nos objectifs sont les suivants : -. faire l’analyse didactique et mathématique de deux programmes de la géométrie (primaire et 1er cycle du secondaire),. -. comparer les deux programmes afin d’identifier les liens ou les ruptures entre les descriptions des savoirs visées par ces deux ordres d’enseignement. 18.

(28) Compte tenu de l’ampleur du travail d’analyse et de manière à proposer une réflexion plus approfondie, notre démarche se restreindra à l’analyse d’un des domaines mathématiques, la géométrie. Différentes raisons peuvent d’ailleurs justifier ce choix. Entre autres, il s’agit du domaine le moins étudié dans les recherches, mais qui occupe pourtant à peu près le tiers de l’enseignement des mathématiques. Selon Boublil (2013, p.61), la géométrie représente un domaine privilégié pour développer chez l’enfant des capacités de visualisation, de langage et de raisonnement qui occupent de multiples fonctions dans le travail de la pensée. En faisant appel à plusieurs systèmes d’expression et de représentation, la géométrie permet de travailler sur des représentations d’objets réels en agissant, en observant, en anticipant et en expliquant ce qui se passe dans cet espace sensible. C’est d’ailleurs à travers la construction d’un système mental de référents à partir de différentes expériences vécues dans l’espace physique qu’il devient possible d’enrichir et de structurer l’expérience spatiale des élèves. Cette décision a influencé le choix des théories qui nous permettront d’analyser les liens entre les programmes d’études.. 19.

(29) 2. CADRE THÉORIQUE Ce chapitre présente le cadre théorique qui guidera la démarche méthodologique de notre recherche. La section 2.1 sera consacrée à l’étude des objectifs visés pour les apprentissages mathématiques de deux programmes, celui du primaire et celui du secondaire, en ce qui a trait à l’apprentissage de la géométrie au primaire et au secondaire. Ensuite, dans les sections 2.2 et 2.3, nous décrivons les théories développementales (Piaget, 1955; Piaget et Inhelder, 1963; van Hiele, 1959/1984) et la théorie des champs conceptuels (Vergnaud, 1991), sur lesquelles nous allons nous appuyer afin de décrire l’évolution de la pensée dans la construction de concepts géométriques selon l’âge (ou les niveaux) et selon les activités nécessaires permettant cette évolution. Enfin, nous présentons, dans la section 2.4, la recherche de Boublil-Ekimova (2010b) et les critères qu’elle a élaborés afin d’analyser les descriptions des savoirs essentiels de programmes mathématiques. Ce cadre théorique servira à l’analyse didactique et mathématique de deux programmes de la géométrie (primaire et 1er cycle du secondaire) et à leur comparaison afin d’identifier quels sont les liens ou les ruptures dans cette évolution de l’enseignement.. 2.1 Enseignement de la géométrie : objectifs visés L’enseignement de la géométrie évolue au fur et à mesure de l’avancement dans la scolarité et des connaissances des élèves. Cependant, la pratique de la géométrie à l’école primaire est bien différente de celle qui prévaut au secondaire. Dans les deux sections suivantes, nous décrirons les objectifs visés à ces deux niveaux d’enseignement en précisant la continuité entre les deux programmes, leurs éléments communs et les différences. 2.1.1. Géométrie au primaire Une sensibilisation à la géométrie par les objets de l’espace intervient dès les premières années de la scolarité, à l’école maternelle à travers l’étude des formes et des grandeurs. En effet, le programme de formation de l’école québécoise prescrit, au préscolaire, certaines connaissances liées au développement cognitif en mathématique. En lien avec la géométrie, 20.

(30) on peut voir que le programme recommande les jeux d’association (par exemple : associer un objet à une forme géométrique) (PFEQ p. 68). Au premier cycle du primaire, les élèves se familiarisent avec les objets spatiaux de la géométrie afin de reconnaître leurs formes. Les élèves peuvent ainsi se construire les premiers liens de dépendance entre les formes. Cette initiation à la géométrie s’appuie sur l’observation lors de jeux de découverte, des situations de communication et de manipulations. Les activités ont pour but une évolution de la réflexion des élèves sur la mise en évidence de caractéristiques des objets spatiaux (PFEQ p. 136-137). L’introduction de la géométrie, en tant que discipline des mathématiques explicites, commence au primaire au cours des cycles 2 et 3. L’enseignement de la géométrie à ces cycles a pour but la mise en évidence des caractéristiques des objets spatiaux de la géométrie, leur identification, leur description et l’établissement des relations entre les caractéristiques. Il s’agit donc d’une pratique de la géométrie à travers le travail sur les caractéristiques (PFEQ p. 136-137). 2.1.2. Géométrie au début du secondaire L’enseignement de la géométrie au début du secondaire s’appuie sur les pratiques de l’école primaire pour évoluer vers un apprentissage de la démonstration. En effet, selon le programme de l’école québécoise, l’élève, en géométrie, passe, entre le primaire et le secondaire, de l’observation au raisonnement (PFEQ p. 240). La géométrie introduite à l’école primaire doit être reprise au secondaire et être utilisée comme point de départ pour les élèves. Le raisonnement géométrique à ce niveau s’appuie largement sur la perception, et ensuite sur les données de l’énoncé, les propriétés connues et une appréhension opératoire du dessin. Cependant, la géométrie pratiquée au début du secondaire poursuit aussi de nouveaux objectifs. On vise l’initiation des élèves à la déduction, c’est-à-dire à une géométrie qui se centre sur une validation théorique. On comprend par la déduction le raisonnement déductif, outil de démonstration articulant les données et la conclusion à l’aide de propriétés de figures. (PFEQ p.243) Ce type de raisonnement est largement utilisé en géométrie au 2e cycle du secondaire, où toute la problématique liée à la validation des énoncés, à la nécessité et à la suffisance de propriétés 21.