UTILITÉ DES JEUX COMBINATOIRES POUR
L’ENSEIGNEMENT DE QUELQUES NOTIONS
MATHÉMATIQUES
Lisa ROUGETET
Doctorante en histoire des sciences, LIFL (Laboratoire d’Informatique Fondamentale de Lille) et SCité (Sciences, Sociétés, Cultures dans leurs évolutions) – Université Lille 1
MOTS-CLÉS : JEU DE NIM – RAISONNEMENT RÉTROGRADE – SYSTÈME BINAIRE – JEU DE WYTHOFF – RÉCURSIVITÉ – NOMBRE D’OR – MORPION – DÉNOMBREMENT – ARBRE DE JEU – THÉORIE DES GRAPHES
RÉSUMÉ : Après une brève présentation des jeux combinatoires et en quoi consiste leur théorie, l’atelier a été découpé en trois séances d’environ 20 minutes chacune. La première permettait d’aborder le système binaire et le raisonnement rétrograde via le jeu de Nim de Bouton. La deuxième introduisait la récursivité et l’utilisation du nombre d’or via le jeu du Wythoff’s Queen. Et enfin, la troisième travaillait le dénombrement, la représentation par un arbre et par un graphe des jeux tels le Morpion, les Échecs ou le jeu des bâtonnets.
ABSTRACT: After a short introduction to combinatorial games and their theory, the worshop was divided into three sessions of 20 minutes each. The first one was centered on Bouton’s Nim game and its resolution based on backward induction and binary sytem. The second introduced recursive pattern and the Golden Ratio use through the Wythoff’s Queen game. Finally, the third one worked on counting possibilities, representation with a tree or a graph of games such that Tic-Tac-Toe, Chess or the sticks game.
Sont ici présentés les protocoles des trois parties de l’atelier tels qu’ils ont été proposés aux participants.
LE JEU DE NIM DE CHARLES L. BOUTON
A) Le jeu
1) Disposez les allumettes comme sur la Figure 1 :
2) Désignez un joueur A et un joueur B qui à tour de rôle choisiront de retirer une, deux,… ou toutes les allumettes mais dans un seul paquet. (A et B ne sont pas obligés de prendre dans le même paquet).
3) Le jeu se déroule jusqu’à ce que tous les tas soient vides.
4) Le joueur qui prend la (ou les) dernière(s) allumette(s) remporte la partie.
à A vous de jouer ! (Au moins 4-5 parties)
Figure 1
B) Déductions
1) Repérez au fil des parties les configurations d’allumettes qui, une fois que vous avez joué, vous ont mis dans une situation avantageuse et vous ont permis de gagner. Avez-vous trouvé les Figures 2 et 3 ? Pensez-vous que c’est encore valable pour la Figure 4 ?
Figure 2 Figure 3 Figure 4
Et pour la configuration (n-n) ? (n étant un nombre quelconque d’allumettes)
Remarque : Les positions précédentes sont appelées par Charles L. Bouton des safe combinations. Nous les noteront SC.
2) Remarquez que si à chaque coup je laisse une SC à mon adversaire, il est impossible pour lui de remporter la partie. Remarquez également que si je laisse une SC à mon adversaire, il ne peut, lui, m’en laisser une. Bouton énonce ces propriétés sous la forme de deux théorèmes :
Théorème I : Si le joueur A laisse une safe combination sur la table, B ne peut laisser une safe combination après avoir joué.
Théorème II : Si A laisse une safe combination sur la table, et que B diminue une des piles, A pourra toujours diminuer une des deux autres piles et laisser une safe combination.
C) Résolution complète
Donnée par Bouton, elle permet de déterminer la nature de toutes les positions de jeu : SC ou non. 1) Ecrire chacun des tas dans le système binaire (une annexe : qu’est-ce-que le système binaire ? était fournie). On obtient : 7 = 1 1 1 5 = 1 0 1 3 = 0 1 1
2) On somme chaque colonne sans tenir compte des retenues, et en utilisant le fait que 1+1=0. On dit qu’on fait la Nim-somme. 7 = 1 1 1
5 = 1 0 1 3 = 0 1 1 0 0 1
3) Si les sommes de toutes les colonnes sont égales à 0, la position est une SC. Sinon, ce n’en est pas une. On constate ici que (7-5-3) n’est pas une SC. Question : Que faire pour transformer (7-5-3) en une SC ?
4) Appliquez cette règle pour déterminer la nature des configurations suivantes :
a) (8-4-5-2) b) (9-8-1)
LE JEU DU WYTHOFF’S QUEEN A) Le jeu
1) Disposez la reine (représentée par le jeton) sur une case quelconque du plateau quadrillé.
2) Désignez un joueur X et un joueur Y qui, à tour de rôle, déplaceront la reine d’autant de cases voulues mais seulement vers la gauche ou vers le bas ou en diagonal, comme le montre la Figure 5.
3) Le but est d’amener la reine sur la case (0,0) tout en bas à gauche du plateau. Le joueur qui y parvient remporte la partie.
à A vous de jouer ! (Au moins 4-5 parties)
B) Déductions
1) Repérez au fil des parties les coordonnées des positions qu’il faut absolument éviter si vous ne voulez pas laisser votre adversaire gagner. (On prendra en 1re coordonnée A, la position à l’horizontale et en 2e coordonnée B, la position à la verticale).
Avez-vous trouvé la Figure 6 ? (représentées en bleu, en rouge est représentée la position finale)
Figure 6
Que pouvez-vous déduire concernant les deux nouvelles positions rouges sur la Figure 7 ?
Figure 7
2) Les deux nouvelles positions rouges sur la Figure 7 sont donc celles qui vous mettent en sûreté, on les appelle des safe combinations, notées SC. Quoi que joue votre adversaire, elles vous permettent d’atteindre la case finale et de gagner la partie.
3) Réitérez le procédé et tentez de trouver d’autres SC afin de remplir le tableau de la Figure 8.
(n désigne le rang de la SC par rapport à la position finale (0,0). On remplira le tableau de sorte que A soit inférieur à B. Par symétrie, on considère les positions (1,2) et (2,1) comme identiques, donc n’apparaît que (1,2) dans le tableau.)
Figure 8
C) La résolution
Vous devez obtenir le tableau suivant (Figure 9) grâce au raisonnement mené sur la Figure 10 :
Figure 9 Figure 10
On remarque les choses suivantes :
- la coordonnée B se trouve en additionnant à la coordonnée A la valeur du rang. Ex : au rang 3, la coordonnée B vaut 7 = 4 + 3.
- la coordonnée A d’un rang correspond au plus petit nombre qui n’apparaît pas dans les coordonnées des rangs précédents. Ex : la coordonnée A au rang 3 est égale à 4, et 4 est le plus petit entier qui n’apparaît pas dans la liste {0,1,2,3,5}.
à On peut alors définir les prochaines coordonnées des SC grâce aux précédentes par récursivité. Déterminez de cette façon les coordonnées de la SC au rang 10.
**D) Pour aller plus loin : résolution avec le nombre d’or Le nombre d’or est Φ =1+ 5
2 , un nombre irrationnel, solution positive parmi les deux solutions de l’équation
€
Φ2− Φ −1 = 0. Approximativement, Φ ≈ 1, 61803.
La fonction partie entière est = max n : n ≤ xx
{
}
. Ex : 3, 7 = 3 , 0, 5 = 0 et€
−2,7
⎣ ⎦ = −3. Wythoff (mathématicien hollandais) a montré que les coordonnées des SC au rang n se généraient grâce aux formules suivantes : Φ ⋅ n pour la coordonnée A et Φ ⋅ n+ n pour la coordonnée B.
On retrouve à la Figure 11 le tableau de la Figure 9 mais on peut déterminer cette fois-ci les coordonnées d’un SC sans avoir à calculer les précédentes. Il suffit de remplacer n par sa valeur. C’est tout l’intérêt des formules !!
Retrouvez alors les coordonnées de la SC au rang 10.
Figure 11
JEUX DES BÂTONNETS, MORPION, ÉCHECS Partie 1 : Morpion, Echecs (7 minutes)
1) Essayez de représenter les diverses positions d’une partie de Morpion. La grille vide de la Figure 12 représente la position de jeu initiale. La 1re rangée de flèches représente les diverses possibilités pour le premier joueur pour placer sa croix, la 2e celles pour le deuxième joueur pour placer son rond. Voici le début :
Figure 12
Combien y a-t-il de possibilités pour le premier joueur A pour placer sa croix ? Combien y a-t-il de possibilités pour le second joueur B pour placer son rond ?
Puis à nouveau, combien y a-t-il de possibilités pour le joueur A pour placer sa seconde croix ? Puis à nouveau, combien y a-t-il de possibilités pour le joueur B pour placer son second rond ? Donc combien y a-t-il de possibilités de jeu en tout ?
Remarque :
9×8×7×6×5×4×3×2×1 s’écrit aussi 9! et se lit « neuf factorielle ». Par convention, 0! = 1.
La représentation ci-dessus est sous la forme d’un arbre. Chaque position est un nœud, et les nœuds sont reliés entre eux par des branches. D’un nœud père émanent plusieurs possibilités qui sont les nœuds fils. Cette représentation est très courante dans la théorie des jeux combinatoires car très visuelle.
2) Essayez de faire la même chose pour le jeu d’échecs (arbre + nombre de configurations).
Constatez rapidement que l’arbre est immense (et même impossible à réaliser sur une feuille de papier) et que les calculs deviennent astronomiques !!
Partie 2 : Le jeu des bâtonnets (13 minutes) A) Le jeu
On dispose de 12 bâtonnets alignés sur une table. Deux joueurs, à tour de rôle, peuvent retirer un, deux ou trois bâtonnets. Celui qui prend le dernier bâtonnet perd.
On dit que c’est la version misère du jeu. (La version normale c’est quand celui qui joue le dernier coup gagne.)
B) Représentation
On peut représenter ce jeu – et beaucoup d’autres – par un graphe. Les positions sont réprésentées par les sommets du graphe. Les relations entre les positions sont représentées par les arêtes du graphe. Comme dans le jeu on ne peut pas revenir en arrière, les arêtes ont un sens (elles sont fléchées), on dit que le graphe est orienté.
1) Essayez de représenter le jeu des bâtonnets sous la forme d’un graphe comme sur la Figure 13.
2) Quelles sont les positions qui vous permettent de gagner ? Ces positions sont appelées des safe combinations, notées SC. Coloriez-les comme sur la Figure 14.
Que remarquez-vous ?
Ces sommets ont pour propriétés absorbance (n’importe quel autre sommet est relié à l’un d’eux) et stabilité (ce sont les seuls sommets qui ne sont pas reliés entre eux). Ces propriétés sont caractéristiques des éléments du noyau d’un graphe. Le noyau représente ainsi les positions SC qu’il faut atteindre pour gagner.
Figure 13
Figure 14
RÉFÉRENCES
BOUTON, CHARLES LEONARD, « Nim, A Game with a Complete Mathematical Theory », The Annals of
Mathematics, 2nd Ser., Vol. 3, No. 1/4, (1901-1902), pp 35-39.
HIRSCHFELD-COTTON, KIMBERLY, « Wythoff’s Game », article du MAT Exam Expository Papers pour Math in the Middle Institut Partnership, University of Nebraska-Lincoln, juillet 2008.
ROUGETET, LISA, « Les multiples ancêtres du jeu de Nim », Pour la Science, No. 420, octobre 2012, pp 80-83.
ROUGETET, LISA, « Nim, le jeu d’allumettes qui met le feu aux poudres ! », Les Nouvelles d’Archimède, rubrique Mémoires de Sciences, No. 62, janvier à avril 2013, pp 18-19.
WYTHOFF, WILLEM ABRAHAM, « A Modification of the Game of Nim », Nieuw Archief voor
