3.18 Théorème de Hadamard-Lévy
Référence :H. Queffélec, C. Zuily, Éléments d’Analyse, Dunod, 2002. Leçons concernées : 203, 204, 214, 215, 220.
Théorème 1. Soit f : RnÑ Rn de classe C2. On a équivalence entre :
(i) f est une C1-difféomorphisme de Rn dans Rn
(ii) f est propre et pour tout x P Rn, dfpxq est inversible.
Démonstration. Le sens direct (i) ñ (ii) est facile puisque la continuité de f´1 nous donne
le caractère propre de f et la différentiation des fonctions composées appliquée à f´1˝f “ id
implique l’inversibilité de dfpxq en tout point.
Pour le sens réciproque, on remarque que grâce au théorème d’inversion globale, il nous suffit de montrer que f est bijective. Pour cela, on montre que S “ f´1pt0uq est un singleton,
ce qui, en l’appliquant à x fiÑ fpxq ´ y pour tout y P Rn conclura la preuve.
Pour x P Rnon considère le problème de Cauchy
p1q : "
u1 “ ´dfpuq´1pfpuqq up0q “ x
et le flot associé 'px, tq défini surîxPRntxu ˆ Ix, où Ix maximal pour la condition initiale
xpar théorème de Cauchy-Lipschitz local puisque z fiÑ ´dfpzq´1pfpzqq est de classe C1.
Étape 1 : soit x P Rn, alors si I
x “sT˚, T˚r, on a T˚ “ `8. En effet, on considère la
fonction
g : sT˚, T˚r Ñ R
n
t fiÑ f ˝ 'px, tq dérivable sur Ix de dérivée : g1ptq “ dfp'px, tqq
´
B' Btpx, tq
¯
“ ´fp'px, tqq “ ´gptq et donc gptq “ gp0qe´t “ fpxqe´t. Ainsi, pour tout t • 0,
'px, tq P f´1`gpr0, T˚rq˘Ä f´1´B`0,||fpxq||˘¯
or ce dernier ensemble est compact puisque f est propre. On conclut par le lemme de sortie de tout compact.
Étape 2 : tout y P S est un équilibre asymptotiquement stable. Il est clair que y est une équilibre. D’autre part, par le théorème d’inversion locale, quitte à restreindre, il existe Uy
un voisinage de y et "y ° 0 tels que f induise un difféomorphisme de Uy sur Bp0, "yq. Soit
maintenant t0 • 0, x P Rn tel que 'px, t0q P Uy. Puisque
e´t0fpxq “ f ˝ 'px, t
0q P fpUyq “ Bp0, "yq,
pour tout t • t0, e´tfpxq “ f ˝ 'px, tq P Bp0, "yq et donc pour tout t • t0, 'px, tq “ f|U´1 y ` f ˝ 'px, tq˘“ f|U´1 y ` e´tfpxq˘ ›Ñ tÑ`8f ´1 |Uyp0q “ y.
On pose maintenant, pour y P S, Wy “
! xP Rn, 'px, tq ›Ñ tÑ`8y ) . Étape 3 : on a Rn “ î
yPSWy. En effet, soit x P Rn. Pour tout k • 0, 'px, kq P
f´1´B`0,||fpxq||˘¯ qui est compact, donc, quitte à extraire, 'px, kq ›Ñ
kÑ`8yP R n. Or, par continuité, fpyq “ lim k f˝ 'px, kq “ limk e ´kfpxq “ 0
et donc y P S. Ainsi il existe k0 • 0 tel que 'px, k0q P Uy et l’étape 2 nous donne
'px, tq ›Ñ tÑ`8y et donc x P Wy. Étape 4 : pour y P S, Wy “ ! xP Rn, 'px, tq ›Ñ tÑ`8y )
est un ouvert non vide. En effet, uptq “ y est solution de (1) puisque fpyq “ 0, et donc y “ 'py, tq et y P Wy. D’autre part,
Wy “
§
t•0
'p . , tq´1pUyq.
En effet, si x P Wy, il existe t0 ° 0 tel que 'px, t0q P Uy. Réciproquement, si il existe t0 ° 0
tel que 'px, t0q P Uy, par l’étape 2, 'px, tq ›Ñ tÑ`8y.
Étape 5 : on a écrit Rn comme une union d’ouverts disjoints (par unicité de la limite)
non vides : Rn“î
yPSWy et donc, par connexité de Rn, |S| “ 1.
Application 2. L’application f : R 2 Ñ R2 px, yq fiÑ ´x exppx1` x22` y` y22q, y exppx2` y2q 1` x2` y2 ¯ est un C1-difféomorphisme global.
Démonstration. Il est facile de voir que f est propre et de classe C2 et un logiciel de calcul
formel nous permet de montrer que la différentielle est en tout point inversible.
Commentaire : dans la référence, il est d’abord montré que S est fini et non vide, mais il semblerait que ce n’est pas nécessaire.