ARTheque - STEF - ENS Cachan | Le développement de la notion de nombre.

Le développement de la notion de Nombre'

1

'

III. - N ombres irra tionnels

- N ombres

arithmétiques

49. Nous avons vu (§ 44) qu'à tout nombre

V _un

rationnel — on pouvait faire correspondre Q

point A d'une demi-droite ox, le point A étant tel

V

que le segment OA ait pour mesure - - avec une unité de longueur u choisie à l'avance, les deux

V

ensembles de nombres — et de points A étant en

a

correspondance biunivoque.

Mais nous n'avons pas établi que l'ensemble des points A épuisait tous les points de la demi-droite

ox, autrement dit, nous ne sommes pas sûrs que

tout point M de la demi-droite ox ait pour abscisse un nombre rationnel m.

On pourrait penser qu'il en est bien ainsi, puisque l'ensemble des nombres rationnels est dense en tout point et que, par conséquent, dans le voisinage du point M, il existe une infinité de points d'abscisse rationnelle.

o B< Bt m ct c, x

Fig. 1 - Une infinité de points d'abscisse rationnelle

Nous allons montrer que cette intuition est erronée.

50. — La règle déchiquetée d'Emile Borel. Imaginons qu'un segment de droite OU repré-sente une règle dont la longueur soit choisie pour unité de longueur. Nous allons montrer que l'on peut enlever de cette règle a u t a n t de petits mor-ceaux que l'on peut marquer de points d'abscisse rationnelle, sans enlever au total une quantité appré-ciable de la matière de la règle.

La longueur u du segment OU étant choisie pour unité de longueur, les points de la règle dont l'abscisse est rationnelle ont pour abscisse des f r a c -tions inférieures à 1.

Convenons d'ordonner ces f r a c t i o ns comme suit : les fraction s irréductibles de même dénominateur sont rangées dans l'ordre des numérateur s crois-sants, et les ensembles de fraction s ainsi formés sont r a n g és dans l'ordre des dénominateurs croissants ; les premiers termes de la suite sont :

( 1 )

1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7 7 7 ~7 8 8 8 8 " "

Il est clair que toutes les f r a c t i o ns irréductibles inférieures à 1 figurent dans cette suite et n'y figurent qu'une fois.

"A % 'A *A 'A 3_{A V» V'}

T~T! - 1 — a a o K S

Fig. 2

Fig. 3

Marquons sur le segment OU les points a y a n t pour abscisse les nombres de la suite (1), puis, nous donnant une longueurs , inférieure à u, imaginons que nous enlevons autour du premier point marqué une portion de la règle de longueur 0,1e, autour du second point marqu é une portion de la règle de longueur 0,01c, autour du troisième point une por-tion de la règle de longueur 0,001s, et ainsi de suite. Nous avons enlevé une infinité de morceaux de la règle, qui est ainsi extraordinairement déchi-quetée. Nous n'avons enlevé cependant, au total, qu'une longueur de règle égale à

s X (0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + . . . . ) c'est-à-dire à s X 0,11111 . . . . , longueur visi-blement inférieure à 0,2 s . Si la règle a, par exemple, une longueur de un mètre, et si nous avons choisi pour s une longueur de un millimètre, l'infi-nité de segments enlevés de la règle a une longueur totale de moins de deux dixièmes de millimètres. En termes moins concrets, tous les points du segment OU a y a n t pour abscisses les nombres de la suite (1) peuvent être couverts par des segments

dont la somme a une longueur inférieure à 0,2;. Comme, d'une part, tous les nombres rationnels figurent dans la suite (1) — en ne distinguant pas l'une de l'autre deux f r a c t i o n s égales — et que, d ' a u t re part, la longueur e peut être choisie aussi petite qu'on le veut, on peut dire que tous les points

d'un segment dont la longueur est choisie pour unité qui ont pour abscisses des nombres rationnels peuvent être couverts par des segments dont la somme a une longueur aussi petite qu'on le veut.

51. — Cas d'une demi-droite.

Nous pouvons couvrir une demi-droite Ox par une infinité dénombrable de segments OU, UV, VS..., égaux, et de longueur égale à l'unité u, juxtaposés en une suite sans lacune ni superposition.

Ai At As A,

Fig. 4

A chaque point A, d'abscisse rationnelle du

pre-— >

mier segment OU, la translation de vecteur OU f a i t correspondre un point A,, d'abscisse rationnelle du 2e _{segment UV. Au point Â}

2 la même translation

f a i t correspondre un point A:J d'abscisse rationnelle

du 3e _{segment VS, et ainsi de suite.}

Réciproquement, tout point An d'abscisse

ration-nelle du segment de r a n g n, peut être déduit de cette manière d'un point A, d'abscisse rationnelle du premier segment OU. Il est donc possible de répéter p o u r ' c h a c u n des segments OU, UV, VS, le raisonnement du p a r a g r a p h e précédent. On peut donc couvrir les points d'abscisse rationnelle du seg-ment de r a n g 1 par des segseg-ments dont la somme soit inférieure à 0,1;, les points d'abscisse ration-nelle du segment de r a n g 2 par des segments dont la somme soit inférieure à 0,01= et ainsi de suite. Comme précédemment, on voit que la somme de tous ces segments est inférieure à 0,2s, c'est-à-dire aussi petite qu'on le veut. Les points d'abscisse entière n'ont pas été recouverts par ce procédé, mais il est clair que l'on peut opérer leur recouvrement d'une manière analogue.

Donc : Les points d'abscisse rationnelle d'une

demi-droite Oa; peuvent être couverts par des seg-ments dont la somme est aussi petite qu'on le veut.

52. — Notions de continu, de nombres irrationnels,

de nombres arithmétiques.

Revenant à la question posée au § 49, nous devons dire : non seulement tous les points d'une

demi-droite n'ont pas pour abscisse des nombres rationnels, mais même, dans l'ensemble des points d'une demi-droite, l'ensemble des points d'abscisse rationnelle est négligeable, si on le compare à l'en-semble des autres points.

Ce résultat met d'abord en évidence que l'en-semble des points d'une demi-droite constitue un ensemble d'objets d'autre espèce que les ensembles

d'objets que nous avons considérés jusqu'à présent et dont les éléments peuvent être mis en correspon-dance biunivoque avec les éléments de la suite des entiers. On m a r q u e cette différence dans la termi-nologie en disant que l'ensemble des points d'une demi-droite est continu.

Aucune correspondance biunivoque ne peut être établie entre l'ensemble des points d'une demi-droite et l'ensemble des nombres rationnels ; ce dernier n'est pas assez riche.

Pour établir une correspondance biunivoque entre l'ensemble des points d'une demi-droite et un ensemble de symboles, nous devrons imaginer des symboles nouveaux attachés à chacun des points d'une demi-droite dont l'abscisse n'est pas un nombre rationnel. Nous appellerons ces symboles des nombres irrationnels, sans préjuger aucunement de leur structure ou de leurs propriétés.

Les nombres rationnels et les nombres irra-tionnels forment la catégorie des nombres

arithmé-tiques.

Propriétés des nombres irrationnels. Opérations sur ces nombres.

53. — Les nombres irrationnels n'ont d'intérêt que s'ils peuvent jouer, pour les points d'une demi-droite dont l'abscisse n'est pas un nombre rationnel, le rôle que jouent les nombres rationnels pour les points dont ils sont l'abscisse.

54. — Le rôle des nombres rationnels est défini par les propositions suivantes :

Le segment unité OU étant choisi,

v a) Si A est un point d'abscisse rationnelle _

Q ' V

le segment OA a pour mesure _ : Q oa-JL.OU O 0 7 . * OA-JSOU ^ 4 Fig. 5

b) Si deux segments AB, A'B', ont pour mesures

V v'

des nombres rationnels — . _ , le segment CD,

q ' q'

somme (au sens de la géométrie) de AB et A'B', a pour mesure la somme (au sens de l'arithmétique)

V V' des nombres _ et _ .

q

q'

c) Le produit (au sens de la géométrie) d'un segment AB dont la mesure est un nombre rationnel

ci p

— par un nombre rationnel est le segment CD

p

dont la mesure est le nombre — q u a n d on prend le segment AB pour unité ; quand on prend le segment OU pour unité, le segment CD a pour mesure un nombre rationnel J l appelé produit (au _d

a p

sens de l'arithmétique) de _ par _

o' w c

0'ù'= AB CD Ob'- (A-xZ)OU

a p

Fie. 7. - Produit r X - •

b q

d) Si un segment CD a pour mesure un nombre rationnel — et si un segment AB a pour mesure

d

un nombre rationnel — , la mesure du*segment CD b

quand on prend pour unité le segment AB est le

p c a

nombre _ , quotient de par — .

q a o ou ou o' u' tu) OVs AB Fig. 8 . - Quotient c a d ' b

55. — Pour que les énoncés précédents restent vrais lorsque les nombres rationnels sont remplacés par des nombres irrationnels, il f a u t que les

opé-rations sur ces derniers nombres soient définies comme suit :

Le segment unité OU é t a n t choisi,

a) L'abscisse d'un point A qui n'est pas un point d'abscisse rationnelle est, par définition, un nombre irrationnel m ;

Définition de m OA . m Ou

Fig. 9

[}) Si deux segments AB, A ' B ' ont pour mesure des nombres m, m', dont l'un au moins est irra-tionnel, le segment CD, somme (au sens de la géométrie) des segments AB, A ' B ' a pour mesure un nombre s, rationnel ou irrationnel, qui est, par définition, la somme (au sens de l'arithmétique) des nombres m et m ' ; AB (Al m OU A'B'. m'OU fcn fe) " TbW CD . s OU

Fig. 10. - Définition de la somme s de m et m' y) Si deux segments AB et CD ont pour mesures des nombres m et p, si, de plus, le segment CD a pour mesure le nombre n quand on prend pour unité le segment AB, l'un au moins des nombres m et n étant irrationnel, le nombre p est, par définition, le produit du nombre m par le nombre n ;

- 1 CD s p OU 1 — 0 u A S X AB = m OU o w 1 lll 1

£

Fig. 1 1 . - Définition du produit p de m par n

D ) Si deux segments CD et AB ont pour mesure les nombres m et n, l'un au moins de ces nombres étant irrationnel, la mesure du segment CD quand on prend pour unité le segment AB est, par défi-nition, le quotient g de m par n :

u 4 -AB „ m OU C H— -1-D ("J OU ' = U' =1-AB (A) -4-I OU D H CD - y OU s

Fig. 1 2. - Définition du quotient q de m par n 56. — Les définitions précédentes établissent une correspondance biunivoque entre, d'une part, les défi-nitions des nombres arithmétiques (rationnels ou irrationnels) et des opérations (arithmétiques) sur ces nombres et, d'autre p a r t, les segments d'une demi-droite et les opérations (géométriques) de même nom sur ces segments.

N o m b r e s Segments

Opérations arithmétiques sur les nombres

Opérations géométriques sur les segments

Fig. 13

Lorsque les nombres sont tous rationnels, les opérations géométriques sur les segments correspon-d a n t s ont les mêmes propriétés (correspon-de symétrie, transi-tivité, commutatransi-tivité, associatransi-tivité, etc...) que les opérations arithmétiques sur les mesures de ces segments, et se démontrent par les mêmes suites de mots. Ces démonstrations (géométriques) ne sup-posent p a s que les segments auxquels s'appliquent les opérations aient des mesures rationnelles. Elles

sont donc encore vraies quand les segments ont des mesures irrationnelles. Elles peuvent donc être répétées mot pour mot pour les nombres irration-nels : donc, les opérations sur les nombres

irra-tionnels ont les mêmes propriétés que les opérations, sur les nombres rationnels (2).

57. Remarque.

Les raisonnements des § 54 à 56 ne constituent pas une théorie déductive des propriétés des nom-bres irrationnels, et les définitions des § 54 et 55 ne visent pa s au minimum de postulats. Le dessein de cet exposé est de mettre en relief les caractères essentiels des nombres irrationnels. Cela suffit à l'ingénieur.

Représentation graphique de l'ensemble des nombres arithmétiques

58. — Les règles de la numération décimale permettent d'attribuer un nom à chacun des nom-bres rationnels, c'est-à-dire d'établir une correspon-dance biunivoque entre l'ensemble des nombres rationnels et un ensemble de mots de prononciation et d'écriture différentes.

Ces « mots » peuvent être constitués par des combinaisons déterminées de symboles plus nom-breux que les lettres de l'alphabet romain, qui nous est familier ; la langue russe, dont l'alphabet com-prend 36 lettres, ou la langue chinoise, en offrent des exemples.

Or, quel que soit le système de signes de formes différentes dont soient constitués les symboles que l'on peut construire, le nombre de ces signes est fini ou infini dénombrable : en effet, puisque l'on peut les distinguer l'un de l'autre, on peut les numéroter. Il en est de même des règles de combi-naisons, différentes par leur effet sur un même ensemble de signes, que l'on peut leur appliquer. On peut montrer simplement que l'application d'une infinité dénombrable de règles à une infinité dénombrable de signes, ne peut donner qu'une infi-nité dénombrable de combinaisons.

Chaque règle, appliquée en combinaison avec d'autres règles, peut donner, pour chaque signe, un nombre fini ou infini

dénom-brable de symboles. La ques-tion revient donc à montrer q ' u n ensemble dénombra-ble d'ensemdénombra-bles dénombradénombra-bles d'objets contient une infinité

dénombrable d'objets. Il suffit pi g

de disposer les objets de chaque ensemble en suites ordonnées sur des demi-droites parallèles, comme la figure 14 en donne un exemple, et d'attribuer les entiers de la suite naturelle successivement aux éléments situés dans la bande marquée I, puis dans la bande marqué e II, puis dans la bande m a r -quée III, et ainsi de suite (3).

Ainsi, en appliquant de toutes les façons pos-sibles des règles de combinaisons différentes à des signes différents, on ne peut former qu'une infinité dénombrable de symboles.

P a r conséquent, il est impossible de construire

un symbolisme permettant d'attribuer à chacun des nombres irrationnels un nom qui lui soit propre.

On ne peut donc pas étendre a u x nombres arith-métiques les règles de la numération.

59. — Mais la proposition précédente vise un système de symboles différents les uns des autres. Elle ne s'applique pas à des symboles identiques, mais distincts. Or, la demi-droite Ox, dont chaque point correspond biunivoquement, par définition même, à un nombre arithmétique, offre un exemple d'un tel système de symboles.

Une représentation graphique naturelle de l'en-semble des nombres arithmétiques est donc une demi-di'oite Oa;, dont chaque point correspond biuni-voquement à un nombre arithmétique, pour une unité de longueur définie.

L'ensemble des points d'une demi-droite constitue, pour l'ensemble des nombres arithmétiques, un ensemble type, propre à jouer pour ces nombres le rôle que joue pour les nombres rationnels l'ensemble type constitué par la suite des entiers et les noms des fractions.

Remarquons toutefois que la représentation des nombres arithmétiques par les points d'une demi-droite Ox est strictement une représentation

gra-phique, et ne se prête en aucune manière à une représentation orale.

Le continu ordinal

60. — Comme l'ensemble des entiers, l'ensemble des points d'une demi-droite est ordonné ; en effet :

a) Deux points A et B étant donnés sur cette

demi-droite, on sait dire lequel des deux est a v a n t l'autre ; en outre,

b) Si le point A est avant le point B, et le point B a v a n t le point C, le point A est avant le point C.

( 2 ) N o u s attirons l'attention sur le mode de raisonnement de ce paragraphe. C e mode de raisonnement revient à considérer une démonstra-tion comme une opéradémonstra-tion faisant correspondre à un ensemble de mots sensés constituant l'hypothèse un autre ensemble de mots sensés constituant la conclusion, de telle sorte que la vérité de l'hypothèse autorise à affirmer la vérité de la conclusion. Cette concep-tion d ' u n e opéraconcep-tion logique établit la relaconcep-tion " d ' h y p o t h è s e " à "conclusion d é m o n t r é e " entre deux ensembles de symboles, l'hypo-thèse et la conclusion. Si la démonstration ne fait appel qu'à des règles formelles de combinaison des symboles constituant l'hypol'hypo-thèse, à l'exclusion de tout ensemble d'objets particuliers représentés par ces symboles, cette démonstration peut s'appliquer à tous les ensembles d'objets que l 'hypothèse peut représenter biunivoquement.

Nous rencontrons ici, sous l'une de ses formes les plus abstraites, l'un des moyens qui font la puissance du formalisme mathématique.

O A B C 1 1 1 A est ayant _B

1

Les points d'une demi-droite f o r m e n t donc un ensemble ordonné, analogue à la suite des entiers. Conformément à la terminologie déjà adoptée, nous l'appellerons souvent la suite continue Ox.

On appelle de même ensemble continu ordonné un ensemble- B d'éléments e que l'on peut mettre en correspondance biunivoque avec les points d'une demi-droite. Cette correspondance a évidemment pour effet d'ordonner l'ensemble E.

Elle f a i t correspondre un nombre arithmétique n à chaque élément e de cet ensemble.

L'opération que nous venons de définir constitue, dans le domaine du continu, l'analogue de l'opération de numérotage, exposée au § 14, mais seulement applicable dans le domaine des nombres entiers.

Elle f a i t a p p a r a î t r e le rôle ordinal de la suite continue Oa;.

61. — Il arrive f r é q u e m m e n t que l'ensemble E corresponde seulement à un segment oA de la demi-droite Ox.

Aux différentes manières d'établir la correspon-dance entre éléments de l'ensemble et points d'un certain segment de droite correspondent différentes manières d'ordonner l'ensemble E. Un mode d'ordi-nation é t a n t choisi, il sera possible de ranger les éléments de l'ensemble toujours dans le même ordre. Cette propriété est l'analogue de celle qui est rappelée au § 14.

62. — Mais, à tout point M du segment OA, d'abscisse m, on peut f a i r e correspondre biunivo-quement un a u t r e point de Oa;, de telle manière que l'ordre des points du segment OA soit conservé. P a r exemple, on peut faire correspondre au point M le point N, d'abscisse 7cm, Te étant un nombre arith-métique constant (4).

Au point A correspond un point B. Les éléments de l'ensemble (E) peuvent donc être mis en corres-pondance avec les points du segment OB aussi bien qu'avec les points du segment OA.

h - g—(E) - i 3 M A H e i 1 M 1 — m n » Wm b . Ha Fig. 16

Ils sont alors ordonnés au moyen d'un autre système de nombres arithmétiques. Mais le pro-blème de l'ordination des éléments de l'ensemble E est aussi aisément résolu d'une ou d'autre façon.

De même, on peut ordonner un ensemble dénom-brable aussi bien au moyen, par exemple, des noms des dizaines successives que des noms des entiers consécutifs.

Toutefois, il est inaccoutumé d'ordonner un ensemble dénombrable autrement qu'au moyen de la suite des entiers. Il est normal, au contraire d'utiliser un segment quelconque de la suite conti-nue Oa;. Cela tient à ce que sur Oa;, l'unité n'est pas définie « a priori ».

Le continu cardinal

63. — La suite des entiers sert non seulement au numérotage (rôle ordinal de cette suite), m a i s encore au dénombrement (rôle cardinal). D a n s cette dernière fonction, l'analogie entre suite dénombrable et suite continue disparaît.

En effet, pour évaluer la grandeur d'un ensemble dénombrable, on ordonne les éléments de cet en-semble au moyen de la suite des entiers : le dernier entier utilisé est la mesure de la grandeur de l'en-semble considéré.

Si, de façon analogue, on met en correspondance biunivoque les éléments d'un ensemble continu ( E ) avec les éléments d'un segment OA de la suite continue Oa;, le raisonnement du p a r a g r a p h e 62 montre que ce segment est indéterminé. On ne peut donc caractériser la grandeur de l'ensemble E par la position du dernier point de ce segment.

P a r suite, la notion de la grandeur d'un ensemble continu ne peut être l'analogue de la notion du nombre des éléments d'un ensemble dénombrable. 64. — Or, rappelons-nous qu'un nombre irra-tionnel m est défini comme mesure d'un segment OM. de Oa; avec une unité u, longueur d'un segment OU, les propriétés exposées au § 55 é t a n t vérifiées. Ce nombre représente alors la grandeur du segment OM. Pour qu'il joue le même rôle pour une autre espèce de grandeur, il f a u t que les grandeurs de cette espèce se prêtent aux opérations définies au § 55. Comme les nombres irrationnels sont naturelle-ment représentés par la suite continue Ox, on est conduit à donner la f o r m e suivante à cette condition et aux définitions correspondantes :

Si un ensemble continu E est tel :

a) Que l'on puisse f a i r e correspondre un sous-ensemble Eu de E au segment OU de Oa: choisi pour

unité, et des segments S, , S5, . . . de Oa; aux

sous-ensembles E , , E de E que l'on considère et b) Que l'on puisse définir des opérations qui f a s s e n t correspondre au résultat Er obtenu en

appli-quant ces opérations aux sous-ensembles E , , E2, . . .,

de E le segment S,, obtenu en appliquant ces mêmes opérations aux segments S , , S2, • •-, de Oa;,

les nombres arithmétiques mesurant les segments S ,, S2, . . ., sont appelés mesures des grandeurs E , ,

E.,, . . ., avec l'unité Eu.

U n . exemple éclairera la portée de cette défi-nition, que nous avons abordée par son côté abstrait.

Une manipulation classique permet de faire passer la charge électrique portée par un conducteur isolé C sur un plateau d'un condensateur. Un appareil de mesure électrique, tel qu'un électromètre, permet de f a i r e correspondre à une charge électrique portée par les conducteurs C ou par le plateau, un segment de la demi-droite sur laquelle est tracée la gra-duation de l'appareil (règle de Poggendorf, par exemple). On sait que la répétition de la manipu-lation consistant à faire passer successivement sur le plateau du condensateur les charges de conduc-teurs tel que C, ces charges correspondant à des segments de longueurs a, b, c, . . ., de la graduation, met le plateau dans un état électrique tel qu'il manifeste une charge correspondant à un segment de la graduation de longueur a + b + c + On connaît donc une opération matérielle applicab:e aux charges électriques, et qui correspond à l'opé-ration d'addition des segments, de la manière pré-cisée dans l'énoncé du p a r a g r a p h e précédent. On peut, dans ce cas, s'assurer que cet énoncé est vrai non seulement pour l'addition, mais encore pour toutes les opérations sur les segments que nous avons définies : les mesures de longueur de seg-ments lues sur la graduation de l'appareil peuvent donc être prises pour mesures des charges élec-triques manipulées. Le rôle joué par les nombres arithmétiques dans les cas que nous venons de pré-ciser est analogue au rôle de nombre cardinal que peuvent jouer les segment s de la suite des entiers (§ 1 1 ) .

Calcul graphique et ses divers modes de réalisation

65. — La représentation des nombres arith-métiques par les points d'une demi-droite Ox ou par des segments de cette demi-droite f a i t corres-pondre aux opérations arithmétiques des opérations géométriques. La réalisation graphique de ces opé-rations, par application des propositions établies en géométrie, constitue donc un mode de calcul naturel. II porte le nom de calcul graphique. La statique

graphique en constitue un cas particulier

d'impor-tance capitale dans l'art de l'ingénieur.

66. — Suivant les modalités d'exécution des constructions géométriques, le calcul graphique a donné naissance à plusieurs familles de modes d'exécution des calculs sur les nombres arithmé-tiques.

Lorsque les constructions graphiques font corres-pondre entre eux non des segments dont on évalue la longueur avec une unité donnée, mais des points sur des courbes où, pour faciliter la lecture, on a marqué certains points de cote rationnelle (échelle logarithmique par exemple), le calcul graphique prend le nom de nomographie.

Si des déplacements mécaniques de graphiques ou de nomogrammes sont utilisés, le calcul est dit

graphomécanique ou nomomécanique. La règle à calcul est un exemple connu d'instrument de calcul

nomomécanique.

67. — Le secours de la mécanique et des sciences physiques a même doté ces modes de calcul de qualités précieuses d'automatisme, donnant nais-sance au calcul analogique, où la représentation graphique d'un nombre arithmétique par la longueur d'un segment de droite ou d'un arc de courbe est remplacée par la représentation physique de ce nombre par une grandeur d'autre nature, potentiel électrique, charge électrique, etc...

68. — Nous étudierons ultérieurement avec plus de détails ces divers modes de réalisation des calculs sur les nombres arithmétiques, considérés comme mesures de g r a n d e u r s continues.

Valeur approchée

69. — Mais l'impossibilité de traduire dans le langage ordinaire les résultat s de ces calculs reste-rait une gêne qui rendreste-rait les nombres arithmé-tiques pratiquement inutilisables, si la propriété de l'ensemble des nombres rationnels d'être dense en tout point ne permettait d'y apporter remède de façon suffisante.

m-o( m _{î a}

l ' b

Fig. 17

Un point M étant donné, d'abscisse m, on peut déterminer un nombre rationnel — tel que la

dif-b

férence entre m et ° soit inférieure à un nombre

b

rationnel x donné à l'avance. E n effet, entre les nombres m — a et m + a , il y a une infinité dénom-brable de nombres rationnels. Il existe donc une infinité dénombrable de nombres satisfaisant à la condition imposée.

Dans l'impossibilité où l'on est de représenter par récriture la valeur d'un nombre irrationnel, on sait du moins écrire des nombres rationnels qui en diffèrent extrêmement peu.

Si un nombre rationnel — diffère de moins

b

de a d'un nombre arithmétique m, on dit que est une valeur approchée de m à a près.

69. — La notion de valeur approchée garde un sens si le nombre qui approche un nombre donné est irrationnel. Mais elle perd tout intérêt, car la valeur approchée est aussi difficile à énoncer ou à écrire que la valeur exacte.

70. — P a r contre, il est t r è s f r é q u e n t qu'un nombre rationnel soit remplacé par une valeur approchée d'écriture plus simple ou plus aisée pour la pratique des opérations. Il est de règle usuelle, en effet, d'effectuer les opérations arithmétiques 41

sur des nombres écrits dans le système décimal. Or, il n'existe pas de fraction décimale égale à une f r a c t i o n ordinaire dont le dénominateur contient des f a c t e u r s premiers autre s que 2 et 5 : on doit donc remplacer une telle fraction par une valeur appro-chée qui soit une fraction décimale.

Même, l'impossibilité d'écrire ou d'énoncer des nombres décimaux de beaucoup de chiffres oblige à remplacer la plupart des nombres décimaux par des valeurs approchées.

P a r exemple, — dont les valeurs approchées à 7

0.1, 0.01, 0.001 . . . , près sont les nombres obtenus en limitant à 1, 2, 3, . . . chiffres après la virgule la suite 0,142857 142857 142857 142857 doit nécessairement être remplacé par une f r a c t i o n déci-male approchée. Mais la fraction —— qui est égale ₄₀₉₆ à 0,000212765625 sera remplacée, elle aussi, par une fraction décimale approchée, par exemple 0,0002128 ou même 0,0002.

71. — Ainsi, les valeurs approchées, qui se pré-sentent d'abord comme une ressource p e r m e t t a n t d'exprimer par la parole et l'écriture la valeur

pra-tique d'un nombre irrationnel, sont d'emploi

inévi-table pour tous les nombres arithmétiques, sauf un petit nombre d'exceptions.

Dans l'utilisation des mathématiques dans les sciences de la nature ou dans les diverses tech-niques, les notions de nombre rationnel et de nombre irrationnel s'effacent devant la notion, primordiale, de valeur approchée. C'est seulement dans les

rai-sonnements formels des mathématiques que les

nombres interviennent avec leur valeur exacte, mais c'est leur fonction et non leur valeur elle-même qui entre en considération et il suffit dans ce cas qu'ils soient représentés par un symbole défini seulement pour la question étudiée.

Ce symbole est une lettre arbitraire, sauf pour quelques nombres très fréquemmen t considérés qui ont reçu un nom particulier tc, e, M, etc... Bien qu'il soit impossible d'établir une numération qui englobe l'ensemble des nombres irrationnels, on peut cepen-d a n t en établir une pour une infinité cepen-dénombrable de ces nombres. Tels sont • y '3_"

-Calculs approchés

72. —- Une valeur approchée a' d'un nombre arithmétique a est représentée dans un système de numération, généralement, de nos jours, le système décimal.

Il est naturel de représenter dans le même sys-tème le nombre a que l'on sait être supérieur à la différence entre les nombres a et a'.

Quand le nombre irrationnel considéré est connu par la donnée des nombres a' et a, on appelle ces nombres respectivement la moyenne et la marge de a.

Notation : à = a' ± a

Exemple : - = 3,1416 ± 0,00005

Cette notation est équivalente à la suivante :

(1) a — a < a' < a + «

On appelle calculs approchés les calculs effectués au moyen de valeurs approchées.

73. — On vérifie aisément à partir des relations de la forme (1) que a — a' =b a • b = t' ± |J entraînent : a + b = a' + 4' ± (a + |3) a — b = a — b1 _{± (a + (3)}

ab — a'b' ± (a'8 + b'a + a(3) a a' t'a -(- a'j3

b~V ~ t ( V + ~ p j

On voit se dessiner cette loi que : une moyenne du résultat d'une opération effectuée sur des nom-bres connus de façon approchée s'obtient en appli-quant cette opération aux moyennes connues de ces nombres.

Cette loi est générale. Elle sera établie plus t a r d ; m a i s il y a lieu de l'énoncer sous forme précise, bien qu'elle soit mise en œuvre de façon empirique dans tous les calculs usuels.

P a r contre, les m a r g e s se présentent sous des formes assez compliquées.

Une étude méthodique des marges et, plus géné-ralement, des conditions d'exécution des calculs approchés a p p a r a î t donc nécessaire. Elle porte le nom de théorie des erreurs.

74. — Une valeur approchée d'un nombre se présente, au point de vue graphique, comme une suite d'un petit nombre de chiffres (moins de 10, dans la plupart des cas), séparés en deux groupes par un point décimal. Ex. : 43.2538.

Les opérations sur ces symboles s'effectuent au moyen des règles d'arithmétique ou de tables où sont consignés les résultats correspondant à des valeurs connues des données.

75. — Les chiffres d'un nombre peuvent être représentés matériellement, par exemple, par la posi-tion de boules sur une tige.

On conçoit que des dispositifs mécaniques aient pu être imaginés qui permettent de simplifier et d'accélérer l'exécution des calculs. Les bouliers, les

bâtons de Neper, les réglettes de Genaille en sont

des exemples.

Enfin, les mouvements mécaniques nécessaires pour f a i r e a p p a r a î t re les résultats peuvent être automatiques : l'appareil constitue alors une

ma-chine à calculer.

L'apprentissage des règles du calcul arithmé-tique est chose banale. Nous étudierons plus tard, en détail, la théorie des erreurs, ainsi que l'usage des tables et les principes des machines à calculer.

Domaine du continu

76. — D'après les définitions données aux § 60 et 64 le domaine des nombres arithmétiques com-prend tous les ensembles d'objets dont on peut mettre les éléments en correspondance biunivoque avec les points d'une demi-droits Ox.

Nous avons vu que la catégorie de ces ensembles a reçu le nom de continu.

L'existence de deux catégories d'ensembles aussi différents que les ensembles dénombrables e t les ensembles continus met à nouveau l'accent sur le soin qu'il f a u t apporter à préciser de quelle ma-nière et dans quelle mesure, dans une question technique traitée par les mathématiques, les sym-boles représentant les êtres et les faits. (Voir § 45.) 77. — Le domaine du continu prête comme celui du dénombrable à la r e m a r q u e du § 32 : le domaine du continu ne préexiste pas à la définition des nombres arithmétiques, c'est-à-dire à la notion de la suite continue Ox ; chaque fois que l'on utilise la suite continue Ox pour représenter une grandeur, ou bien l'on vérifie tacitement que cette grandeur a déjà été incluse dans le domaine du continu, ou bien, si elle est nouvelle, on la f a i t rentrer dans la catégorie des grandeurs continues. (Par exemple, par un raisonnement tel que celui du § 63, relatif aux charges électriques).

78. — Les éléments de cette grandeur (ou de cet ensemble) peuvent certainement être mis en correspondance biunivoque avec les éléments d'un segment de Ox (sinon l'ensemble ne serait pas continu), mais les conditions du § 63 peuvent n'être pas satisfaites. Il f a u t donc distinguer deux caté-gories de grandeurs (ou d'ensembles) continues :

1° Les grandeurs continues mesurables, qui sa-tisfont aux conditions du § 63 ;

2° Les grandeurs continues comparables, qui n'y satisfont pas.

Les longueurs, les masses, les quantités d'élec-tricité sont des exemples des premières ; les tem-pératures, les potentiels électriques des exemples des secondes.

Nous avons ainsi précisé le domaine de l'opé-ration de mesure.

Nous aurons à revenir sur ces notions dans le chapitre V. On peut de même déterminer le domaine de chacune des opérations sur les nombres arithmé-tiques que nous avons définies.

On notera que ces opérations ne sont pas toutes les opérations que l'on peut définir sur des ensem-bles continus. (Voir § 33.)

79. — Nous avons constaté des analogies étroites entre la suite des entiers et la suite continue Oa;. Il y a lieu de revenir sur la remarque du § 46 pour préciser le domaine des nombres rationnels.

80. — L'ensemble R des nombres rationnels peut être ordonné par la valeur croissante de ses élé-ments puisque l'on sait dire si une f r a c t i on est supérieure à une autre, et que les relations

a a' a' a" a a"

— > — et — > — entraînent — > — . Toutefois

b b' b' b" b b"

cet ensemble R ainsi ordonné ne forme pas une suite pouvant servir à ordonner un ensemble E. En effet, si cet ensemble E est continu, l'ensemble R n'est pas assez riche (§ 52), et s'il est dénom-brable, l'ensemble R, bien que dénombrable lui-même (§ 48, note 1), ne peut servir à le numéroter ; on trouve en effet une infinité dénombrable de points d'abscisse rationnelle sur un segment OE de longueur aussi petite qu'on le veut, et ce segment, aussi insaisissable pratiquement que l'infinité de points d'abscisse rationnelle qu'il contient, n'est d'aucun secours pour une opération matérielle, quelle qu'elle soit.

Cette propriété est à rapprocher de la démons-tration du § 50, qui ne peut être établie que si l'on ordonne les nombres rationnels d'autre façon que par valeurs croissantes. Nous trouvons là un exemple simple et typique de l'influence de l'ordre des éléments d'un ensemble infini de points. Ce phé-nomène se retrouve dans la plupart des théories où interviennent de tels ensembles : séries, calcul intégral, etc... Nous aurons l'occasion d'y revenir. 81. — L'emploi de l'ensemble des nombres ra-tionnels est donc borné au rôle cardinal de cet ensemble. Or, à un ensemble dénombrable de n unités, on ne peut appliquer qu'un fractionnement en parties aliquotes de n. C'est donc en réalité pour représenter des opérations sur les ensembles continus qu'a été créé l'ensemble des nombres rationnels. En particulier, c'est à l'ensemble continu constitué par un segment de droite que s'applique le postulat d'Archimède (§ 44), qui sert à démontrer que l'en-semble des nombres rationnels est dense en tous points : et c'est aussi à des opérations matérielles sur un ensemble continu que l'on s'adresse en général pour présenter la notion de f r a c t i o n (§ 34). 82. — Il apparaî t ainsi que les ensembles d'êtres de la n a t u r e appartiennent à l'une ou l'autre de deux catégories fondamentales :

a) Le dénombrable, normalement représenté, de

façon parfaite, par la suite des entiers ;

b) Le continu, normalement représenté, de façon parfaite, par la suite continue Ox et, de façon approchée, par l'ensemble des nombres rationnels.

C'est dans l'une ou l'autre de ces deux formes que se moule la représentation abstraite des êtres et des f a i t s auxquels le savant et l'ingénieur veulent appliquer le raisonnement.

J. LOZE,

Professeur E.N.I.A.M., Lille.

L. COUPFIGNAL,

Inspecteur général de l'Instruction publique.