UniversitØ A.Mira BØjaia FacultØ des Sciences Exactes DØpartement de Physique BELHADI Zahir MECANIQUE DU POINT

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Texte intégral

(1)

Université A.Mira Béjaia Faculté des Sciences Exactes

Département de Physique

BELHADI Zahir

MECANIQUE DU POINT

Rappels de Cours et Exercices Corrigés

Année Universitaire 2016/2017

(2)

Table des matières

Introduction 2

1 Outils Mathématiques et Calcul d’Incertitudes 3

1.1 Analyse vectorielle . . . 3

1.2 Incertitudes dans la mesure physique . . . 9

1.3 Exercices du chapitre 1 . . . 12

2 Cinématique d’un Point Matériel 21 2.1 Mouvement en coordonnées cartésiennes . . . 21

2.2 Abscisse curviligne . . . 22

2.3 Mouvement en coordonnées polaires et cylindriques . . . 23

2.4 Composition des mouvements . . . 25

2.5 Exercices du chapitre 2 . . . 27

3 Dynamique d’un Point Matériel 34 3.1 Les lois de Newton . . . 34

3.2 Quelques forces de la nature . . . 35

3.3 La conservation de la quantité de mouvement . . . 38

3.4 Exercices du chapitre 3 . . . 40

4 Travail et Energie d’un Point Matériel 50 4.1 Travail d’une force . . . 50

4.2 Energies cinétique et potentielle . . . 52

4.3 Energie mécanique . . . 54

4.4 Exercices du chapitre 4 . . . 54

Bibliographie 63

(3)

Introduction

Le module de la mécanique classique du point est le module fondamental enseigné en physique, cela revient au fait qu’il sert de base aux autres modules. Son champ d’intérêt est l’étude des mouvements des di¤érents objets ainsi que les causes qui les provoquent.

Ce document est un rappel de cours de mécanique avec des exercices corrigés, structuré en quatre chapitres. Le premier est consacré à l’analyse vectorielle et au calcul d’incertitudes dues à la mesure des grandeurs physiques. L’objet du deuxième chapitre est la cinématique du point matériel en s’intéressant au mouvement par rapport à un référentiel sans se soucier des causes. Dans le troisième chapitre, nous présentons le principe fondamental de la dynamique qui renferme le lien étroit entre la force et le déplacement. Pour terminer, le quatrième chapitre introduit les notions du travail et d’énergie a…n de montrer comment la conservation d’énergie permet de résoudre des problèmes de mécanique du point.

Tous les chapitres se terminent avec des exercices et des problèmes de mécanique bien choisis, suivis de corrigés détaillés a…n de permettre aux utilisateurs de ce document de bien cerner les notions introduites dans la partie contenant les rappels de cours.

Ce document est un support pédagogique destiné aux étudiants de la première année de la licence en physique générale.

(4)

CHAPITRE

1 Outils Mathématiques et Calcul d’Incertitudes

Dans ce chapitre introductif, nous allons d’abord rappeler brièvement les outils mathématiques indispensables pour aborder les problèmes de la mécanique classique.

Par la suite, nous nous intéresserons à la méthode d’analyse des incertitudes liées aux erreurs de mesure des grandeurs physiques.

1.1 Analyse vectorielle

Dans cette section, nous allons rappeler quelque notions d’analyse vectorielle auxquelles on fait souvent appel en mécanique classique, en raison du fait que dans la version newtonienne de la mécanique, les grandeurs vectorielles jouent un rôle fondamental dans la formulation des lois de la physique.

Scalaires et vecteurs

En physique, certaines grandeurs sont des scalaires, tandis que certaines d’autres sont des vecteurs. Une grandeur scalaire est représentée par un nombre réel comme dans le cas de la température, la chaleur, l’énergie, la pression,... Une grandeur vectorielle est caractérisée par une direction, un sens, un point d’application et un module qui mesure son intensité. A titre d’exemple, la force, le moment cinétique et la quantité de mouvement sont des grandeurs vectorielles.

(5)

Le vecteur unitaire ~uA porté par le vecteur A:~

Le vecteur unitaire ~uA porté par un vecteur A~ est le vecteur ayant les mêmes caractéristiques que A~ mais avec un module égal à un (j~uAj = 1). Autrement dit,

~uA= AA~;où A=jA~jest le module de A.~ Produits scalaire et vectoriel

Le produit scalaire de deux vecteurs A~ et B~ est un scalaire noté A~ B~ qui se calcule à l’aide de la formule

A ~~ B =ABcos( ) = (A; ~~ B) (rd) (1.1.1) où A et B sont respectivement les modules des vecteurs A~ et B;~ et est l’angle formé par ces derniers.

L’angle = (A; ~~ B) formé par les vecteurs A~ et B:~ Ce produit véri…e les propriétés suivantes :

1.A ~~ B =B~ A~ ;

2. A ~~ B = A~ B~ =A~ B~ avec 2R; 3.A~ B~ +C~ =A ~~ B +A ~~ C;

4.A ~~ A=A2;

5.A~ ?B~ ) A ~~ B = 0.

(6)

Le produit vectoriel des deux vecteursA~ etB~ est un vecteur notéA~^B;~ qui est donné par la relation

A~^B~ =ABsin ~n = (A; ~~ B) (rd) (1.1.2) oùA etB sont respectivement les modules des vecteursA~ etB;~ est l’angle orienté (A; ~~ B)et~n est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé parA~ etB~ dont le sens est tel que les trois vecteurs (A; ~~ B; ~n) forment un trièdre direct (voir la …gure ci-dessous).

Le produit vectoriel des deux vecteurs A~ et B:~ Il est clair que

jA~^B~j=ABsin = (A; ~~ B) (rd) (1.1.3) Le produit vectoriel véri…e ces propriétés :

1.A~^B~ = B~ ^A~;

2. A~^B~ = A~ ^B~ =A~^ B~ avec 2R; 3.A~^ B~ +C~ =A~^B~ +A~^C~;

4.A== ~~ B ) A~^B~ =~0.

Coordonnées cartésiennes

Soient ~i;~j; ~k trois vecteurs unitaires et orthogonaux entre eux, centrés en O de telle sorte que~i^~j = ~k: On dit que (x; y; z) sont les coordonnées cartésiennes d’un pointM si

OM!=x~i+y~j +z~k: (1.1.4)

(7)

Représentation des coordonnées cartésiennes du point M:

D’une façon plus générale, tous les vecteurs de l’espace peuvent être décomposés dans la base orthonormée directe ~i;~j; ~k d’une façon unique comme suit :

A~ =Ax~i+Ay~j+Az~k:

LesAx; Ay etAz sont les trois composantes de A~ sur les trois axes OX; OY etOZ dans cet ordre.

En coordonnées cartésiennes, les produits scalaire et vectoriel des deux vecteurs A~ =Ax~i+Ay~j+Az~k et B~ =Bx~i+By~j+Bz~k ont les expressions suivantes :

A ~~ B =AxBx+AyBy +AzBz (1.1.5)

A~^B~ =

~i ~j ~k Ax Ay Az Bx By Bz

A~^B~ = (AyBz AzBy)~i+ (AzBx AxBz)~j+ (AxBy AyBx)~k (1.1.6) Il est possible de se servir de ces relations pour véri…er que

A~ B~ ^C~ =C~ A~^B~ =B~ C~ ^A~ (1.1.7) A~^ B~ ^C~ = A ~~ C B~ A ~~ B C~ (1.1.8)

(8)

Champs scalaire et vectoriel

Lorsque dans une région de l’espace, on a attaché à chaque point de coordonnées (x; y; z) une grandeur scalaire f(x; y; z); on dit qu’on a dé…ni un champ scalaire. Si cette grandeur est vectorielle A~ =Ax(x; y; z)~i+Ay(x; y; z)~j+Az(x; y; z)~k;on parle d’un champ vectoriel. Par exemple, la température et la pression sont deux champs scalaires, tandis que le champ électromagnétique et le champ de la pesanteur sont des champs vectoriels.

A…n de faire des opérations sur les deux types de champs, dé…nissons d’abord l’opérateur di¤érentiel "N abla" par son expression

r~ = @

@x~i+ @

@y~j+ @

@z~k (1.1.9)

Le gradient d’un champ scalaire f est un champ vectoriel dé…ni par la relation gradf! =r~f = @f

@x~i+@f

@y~j+ @f

@z~k: (1.1.10)

L’élément de longueur in…nitésimal en coordonnées cartésiennes est

!dl =dx~i+dy~j+dz~k (1.1.11)

On en déduit que

gradf! ! dl = @f

@xdx+ @f

@ydy+@f

@zdz =df (1.1.12)

où on reconnait bien la di¤érentielle exacte def notée df:

La divergence d’un champ vectorielA~ est un champ scalaire donné par divA~ =r~ A~ = @Ax

@x +@Ay

@y +@Az

@z : (1.1.13)

Le rotationnel d’un champ vectorielA~ est un champ vectoriel qui se calcule comme suit :

rot! A~ =r ^~ A~ =

~i ~j ~k

@

@x

@

@y

@

@z

Ax Ay Az rot! A~ = @Az

@y

@Ay

@z ~i+ @Ax

@z

@Az

@x ~j+ @Ay

@x

@Ax

@y ~k (1.1.14) En utilisant ces dé…nitions, on démontre facilement que

rot! !

gradf =~0 et div rot!A~ = 0: (1.1.15)

(9)

En particulier, pour démontrer qu’un champ est un champ gradient (obtenu en calculant le gradient d’un champ scalaire), il faut véri…er que son rotationnel est nul. On dit aussi qu’il s’agit d’un champ conservatif.

Circulation d’un champ vectoriel sur un chemin

Soit A~ =Ax(x; y; z)~i+Ay(x; y; z)~j+Az(x; y; z)~k un champ vectoriel et soit (C) un chemin ABy qui mène du point A vers le point B: Si on découpe ce chemin en éléments in…nitésimaux!dl ;on peut dé…nir la circulation du champA~ entre les points A etB par l’intégrale curviligne

C= lim

n!1

Xn i=1

A~i ! dli =

Z

ABy

A~ !

dl (1.1.16)

avec la condition A~1 =A(A)~ et A~n=A(B):~

Circulation du champ A~ entre les points A et B:

En coordonnées cartésiennes, A~ = Ax~i+Ay~j +Az~k et !

dl = dx~i+dy~j+dz~k;

donc la circulation deA~ aura la forme C =

Z

ABy

Axdx+Aydy+Azdz: (1.1.17) Si le champ A~ est un champ gradient (A~ = !

gradf), alors C =

Z

ABy

gradf! ! dl =

Z

ABy

df = Z B

A

df =f(B) f(A): (1.1.18) ce qui montre que la circulation ne dépend pas du chemin choisi ; elle dépend juste des points du départ et d’arrivée.

(10)

1.2 Incertitudes dans la mesure physique

La mesure est le moyen de quanti…er les phénomènes physiques en leurs attri- buant des valeurs numériques. Mesurer une grandeur physique revient à la comparer à une autre grandeur prise pour unité, a…n de déterminer le rapport entre elles, ce qui constitue le résultat de la mesure. Ce résultat dépend étroitement de la pré- cision des instruments de mesure employés, ce qui fait qu’une mesure parfaite ne peut qu’être impossible. En d’autres termes, il y a toujours une incertitude lors de la mesure d’une grandeur physique.

Chi¤res signi…catifs

Le nombre de chi¤res signi…catifs indique la précision d’une mesure physique.

Il s’agit des chi¤res connus avec certitude plus le premier chi¤re incertain. Donc, quand on fait une mesure, le nombre de chi¤res employés pour écrire le résultat obtenu est extrêmement important.

D’une façon générale, il faut respecter les règles suivantes :

* Tout chi¤re di¤érent de zéro est signi…catiff1;2;3;4;5;6;7;8;9g;

* Les zéros placés entre deux chi¤res signi…catifs sont signi…catifs (5;04) ;

* Les zéros placés à gauche du premier chi¤re di¤érent de zéro ne sont pas signi…catifs (0;015) ;

* Les zéros placés à droite sont signi…catifs (2;0) (sauf s’ils sont obtenus suite à une conversion).

Quand on fait un calcul sur la calculatrice, on obtient un grand nombre de chi¤res qui ne sont pas tous signi…catifs et il convient de l’arrondir avec le bon nombre de chi¤res signi…catifs. La méthode la plus courante consiste à

* Choisir le dernier chi¤re (à la droite) à conserver ;

* Augmenter ce chi¤re d’une unité, si le chi¤re qui vient après est supérieur ou égal à5;

* Conserver ce chi¤re si le suivant est strictement inférieur à5.

Par exemple, le nombre12;7285 arrondi à deux chi¤res signi…catifs après la virgule vaut 12;73 (car 8 > 5). Par contre, si on veut écrire le nombre 189;6237 avec un seul chi¤re signi…catif après la virgule, il devient189;6 (car 2<5).

Après avoir compris comment arrondir les nombres, la question qui se pose est de savoir combien de chi¤res signi…catifs faut-il garder après une opération de calcul mathématique.

En e¤et, Le résultat d’une multiplication ou d’une division à autant de chi¤res signi…catifs qu’en a la mesure qui en comporte le moins. Par exemple,14;7 0;15 = 2;205 '2;2 et23;9=2;04 = 11;715686'11;7:

(11)

Le résultat d’une addition ou d’une soustraction a autant de décimales (chi¤res après la virgule) qu’en a la mesure la moins précise utilisée dans le calcul. Par exemple,14;7 + 0;15 = 14;85'14;8 et23;9 2;04 = 21;86'21;9:

Incertitudes absolue et relative

Les erreurs de mesure peuvent être classées en deux catégories : les erreurs sys- tématiques causées par l’utilisation d’instruments imparfaits et les erreurs aléatoires dues à l’imperfection des sens de l’opérateur et aux ‡uctuations des paramètres physiques de l’environnement. Dans le premier cas, la véri…cation soigneuse des ap- pareils et l’utilisation de méthodes di¤érentes aident à réduire les erreurs commises.

Dans le deuxième cas, on diminue les erreurs de mesure en utilisant des appareils perfectionnés a…n de minimiser l’importance des sens de l’opérateur et en s’exerçant à la pratique de la mesure.

L’erreur absolue Ade la mesure de la grandeurAest inconnue car elle suppose la connaissance de la valeur exacteAede cette grandeur. Autrement dit, A=jA0 Aej oùA0 est le résultat de la mesure (qui est une valeur approchée): Pour cette raison, on parle d’incertitude absolue A;qui est une valeur maximale que l’erreur Apeut atteindre dans le cas le plus défavorable. En e¤et,

0< A A < A0:

Si une grandeur A peut être mesurée plusieurs fois, ce qui va donner une suite de résultatsA1; A2;...; AN, la valeur approchéeA0de la grandeur Apeut être prise comme étant la moyenne de ces résultats

A0 = A1 +A+:::+AN

N (1.2.1)

Dans ce cas, l’incertitude absolue peut-être estimée par trois méthodes A = max

n=1;N jAn A0j (L’écart maximal)

A = 1 N

XN n=1

jAn A0j (L’écart absolu) (1.2.2)

A = 1 N

vu utXN

n=1

(An A0)2 (L’écart-type)

Parfois, une étude critique de la mesure en tenant compte des di¤érents facteurs qui y interviennent, comme la qualité des appareils utilisés et l’habileté de l’opéra- teur, permet d’estimer l’incertitude absolue. Par exemple, il est possible de prendre

(12)

l = 1mm quand on mesure une longueur l0 ' 20cm avec une règle graduée en millimètres.

La représentation du résultat de la mesure se fait comme suit :

A=A0 A(unité de mesure) (1.2.3) ce qui signi…e queA2[A0 A; A0+ A]: Dans cette expression, il faut respecter ces deux règles :

* limiter le nombre de chi¤res signi…catifs de l’incertitude à un seul chi¤re signi-

…catif sauf si le premier chi¤re signi…catif est 1 ou 2, dans ce cas, le résultat sera arrondi à la décimale suivante (incertitude à 2 chi¤res signi…catifs) ;

* le dernier chi¤re signi…catif de tout résultat doit être de même ordre de grandeur (à la même position décimale) que l’incertitude (le premier chi¤re signi…catif de l’incertitude).

Par exemple,L= 8;147956 0;03278cm doit être arrondi à L= 8;15 0:03cm etS = 425;185 0;162m2 àS = 425;2 0;16m2:

La précision d’une mesure s’obtient suite à la comparaison de l’erreur exacte A avec la valeur exacte Ae; ce qui est bien exprimé par le rapport jAA

ej appelé erreur relative: Pour des raisons pratiques, on se contente d’une limite supérieure

A

jA0j appelée incertitude relative qui est un nombre sans dimension qu’on exprime souvent en pourcentage (%) ou par mille (0=00). Dans le cas de l’exemple précédent, l’incertitude absolue est ll

0 = 0:001m0:2m = 0:005 = 50=00:

Il est possible aussi d’écrire le résultat de la mesure sous la forme A=A0(unité de mesure) A

jAej(%):

Calculs d’incertitudes

Souvent, on fait appel à des méthodes indirectes pour mesurer une grandeur physique A en utilisant les valeurs approchées d’autres grandeurs. La question qui se pose alors, est de déterminer les incertitudes A et jAA

0j:En d’autres termes, siA s’obtient par la relationA=f(B; C); oùB =B0 B et C =C0 C; sa valeur approchée sera

A0 =f(B0; C0): (1.2.4)

La di¤érentielle exacte deA est

dA= @f

@BdB+ @f

@CdC

(13)

ce qui va nous permettre d’en déduire l’incertitude absolue surA A= @f

@B B

0;C0

B+ @f

@C B

0;C0

C: (1.2.5)

En particulier,

A=B C )

( A0 =B0 C0

A= B+ C (1.2.6)

Cela veut dire que l’incertitude absolue d’une somme ou d’une di¤érence est égale à la somme des incertitudes absolues.

Pour obtenir l’incertitude relative, il su¢ t de diviser surjA0j A

jA0j = 1 jf(B0; C0)j

@f

@B B

0C0

B+ @f

@C B

0C0

C

!

: (1.2.7)

Dans le cas d’un produit ou d’un quotient, nous avons A=BC ) A0 =B0C0 et A

jA0j = B

jB0j + C

jC0j (1.2.8) A= B

C ) A0 = B0

C0 et A

jA0j = B

jB0j + C

jC0j (1.2.9) Cela traduit bien le fait que l’incertitude relative d’un produit ou d’un quotient est égale à la somme des incertitudes relatives.

1.3 Exercices du chapitre 1

Exercice 1

Soient les trois vecteurs

A~ = 2~i 3~j+~k ; B~ = 3~i+~j+ 4~k ; C~ = ~i+ 5~j 2~k où (~i;~j; ~k) est une base orthonormée directe.

1. Représenter les trois vecteurs, ensuite calculer A~+B;~ 3C~ et2A~ C:~ 2. Donner les vecteurs unitaires portés parB~ et C:~

3. Calculer A ~~ B; ~B^C~ etA~ B~ ^C :~ 4. En déduire les angles A; ~~ B et B; ~~ C :

5. Montrer queC~ n’appartient pas au plan formé par A~ et B:~ Solution

1. Représentation des trois vecteurs :

(14)

Représentation graphique de A; ~~ B et C:~ Nous avons

A~+B~ = (2 3)~i+ ( 3 + 1)~j+ (1 + 4)~k= ~i 2~j+ 5~k 3C~ = 3( ~i+ 5~j 2~k) = 3~i 15~j+ 6~k

2A~ C~ = 4~i 6~j+ 2~k ( ~i+ 5~j 2~k) = 5~i 11~j+ 4~k:

2.~uB = B~

jB~j = p9+1+161 ( 3~i+~j+ 4~k) = p326~i+p126~j+ p426~k

~ uC = C~

jC~j = p 1

1+25+4( ~i+ 5~j 2~k) = p1

30~i+ p5

30~j p230~k:

3.A ~~ B = (2~i 3~j+~k) ( 3~i+~j+ 4~k) = 2 ( 3) + ( 3) 1 + 1 4 = 5:

B~ ^C~ =

~i ~j ~k 3 1 4 1 5 2

= 22~i 10~j 14~k:

A~ B~ ^C~ =

2 3 1

3 1 4

1 5 2

= 28:

4. Nous avons

A ~~ B =ABcos(A; ~~ B))cos(A; ~~ B) = A ~AB~B = p14p526 ' 0;26

)(A; ~~ B)'arccos( 0;26) = 1;83rd'104;8 : jB~ ^C~j=BCsin(B; ~~ C))sin(B; ~~ C) = jB~BC^C~j = p2p195

26p 30 = 1

)(B; ~~ C) = arcsin(1) = 2rd= 90 (B~?C):~ 5. Si C~ appartient au plan formé parA~ etB;~ il va véri…er la propriété C~ ? A~^B ;~ ce qui revient à s’assurer que C~ A~^B~ = 0;or C~ A~^B~ =

1 5 2

2 3 1

3 1 4

= 286= 0:

DoncC~ n’appartient pas au plan formé par A~ et B:~

(15)

Exercice 2

Soient les trois vecteurs A; ~~ B et C:~ En décomposant ces vecteurs dans la base orthonormée directe ~i;~j; ~k ; véri…er les propriétés suivantes

1.A~^ B~ +C~ =A~^B~ +A~^C:~ 2.A~ B~ ^C~ =C~ A~^B :~

3.A~^ B~ ^C~ = A ~~ C B~ A ~~ B C:~

4. Dans le cas oùA~ =A(t)~ et B~ =B(t);~ alors dtd(A ~~ B) = d ~dtA B~ +A~ d ~dtB: Solution

1. Nous avons

A~^ B~ +C~ =

~i ~j ~k

Ax Ay Az

Bx+Cx By +Cy Bz+Cz

= (AyBz AzBy+AyCz AzCy)~i+ ( AxBz+AzBx AxCz+AzCx)~j + (AxBy AyBx+AxCy AyCx)~k

= (AyBz AzBy)~i+ ( AxBz+AzBx)~j+ (AxBy AyBx)~k + (AyCz AzCy)~i+ ( AxCz+AzCx)~j+ (AxCy AyCx)~k

=A~^B~ +A~^C:~ 2.

A~ B~ ^C~ = Ax~i+Ay~j+Az~k

(ByCz BzCy)~i+ ( BxCz+BzCx)~j+ (BxCy ByCx)~k

=AxByCz AxBzCy AyBxCz+AyBzCx+AzBxCy AzByCx

=Cx(AyBz AzBy) +Cy( AxBz +AzBx) +Cz(AxBy AyBx)

=C~ A~^B~

(16)

3.

A~^ B~ ^C~ =A~^ (ByCz BzCy)~i+ ( BxCz+BzCx)~j+ (BxCy ByCx)~k

=

~i ~j ~k

Ax Ay Az

ByCz BzCy BxCz+BzCx BxCy ByCx)

= (AyBxCy AyByCx+AzBxCz AzBzCx)~i + ( AxBxCy+AxByCx+AzByCz AzBzCy)~j + ( AxBxCz+AxBzCx AyByCz+AyBzCy)~k

= (AxCx+AyCy +AzCz)Bx~i (AxBx+AyBy +AzBz)Cx~i + (AxCx+AyCy +AzCz)By~j (AxBx+AyCy +AzBz)Cy~j + (AxCx+AyCy +AzCz))Bz~k (AxBx+AyBy+AzCz)Cz~k

= (AxCx+AyCy +AzCz)B~ (AxBx+AyBy +AzCz))C~

= A ~~ C B~ A ~~ B C:~ 4.

d

dt A(t)~ B(t) =~ d

dt (Ax(t)Bx(t) +Ay(t)By(t) +Az(t)Bz(t))

= dAx(t)

dt Bx(t) +Ax(t)dBx(t)

dt + dAy(t)

dt By(t) +Ay(t)dBy(t) dt +dAz(t)

dt Bz(t) +Az(t)dBz(t) dt

= dAx(t)

dt Bx(t) + dAy(t)

dt By(t) + dAz(t) dt Bz(t) +Ax(t)dBx(t)

dt +Ay(t)dBy(t)

dt +Az(t)dBz(t) dt

= d ~A(t) dt

B~(t) +A(t)~ d ~B dt (t):

De la même manière, on démontre que dtd(A(t)~ ^B(t)) =~ d ~A(t)dt ^B(t)+~ A(t)~ ^d ~B(t)dt : Exercice 3

Soient le champ scalaire f(x; y; z) et le champ vectoriel R~ = Rx(x; y; z)~i + Ry(x; y; z)~j+Rz(x; y; z)~k:Démontrer que rot! !

gradf =~0 etdiv rot!R~ =~0:

En coordonnées cartésiennes, un champ vectoriel A~ = 2xy~i + (x2+ 1)~j: On souhaite calculer la circulation de ce champ le long d’un chemin (C) décrit par l’équationy= x93 avec0 x 3:

1. Montrer que le champ A~ est conservatif.

2. Trouver un champ scalaireU(x; y) tel que !

gradU =A:~

(17)

3. Calculer la circulation deA~ sur (C) à l’aide de trois méthodes di¤érentes.

4. Calculer la circulation de A~ le long de segment de droite partant du point A(0;0) vers le pointB(3;3):Conclure.

Solution

Nous avons !

gradf = @f@x~i+ @f@y~j+@f@z~k;donc

rot! gradf! =

~i ~j ~k

@

@x

@

@y

@

@z

@f

@x

@f

@y

@f

@z

= @2f

@y@z

@2f

@z@y ~i+ @2f

@z@x

@2fz

@x@z ~j+ @2Ay

@x@y

@2f

@y@x ~k =~0:

Nous avons aussi rot! R~ = @R@yz @R@zy ~i+ @R@zx @R@xz ~j+ @R@xy @R@yx ~k, d’où

div rot!R~ = @

@x

@Rz

@y

@Ry

@z + @

@y

@Rx

@z

@Rz

@x +@

@z

@Ry

@x

@Rx

@y

= @2Rz

@x@y

@2Ry

@x@z+@2Rx

@y@z

@2Rz

@y@x+ @Ry

@z@x

@2Rx

@z@y = 0:

1. Pour que le champA~ soit conservatif, il faut s’assurer querot!A~ =~0:En e¤et,

rot!A~=

~i ~j ~k

@

@x

@

@y

@

@z

Ax Ay Az

=

~i ~j ~k

@

@x

@

@y

@

@z

2xy x2+ 1 0

= (2x 2x)~k =~0

ce qui montre queA~ est un champ conservatif.

2. D’après le résultat précédent, le champ U existe et il véri…e l’équation gradU! =A~ , @U

@x~i+ @U

@y~j+@U

@z~k = 2xy~i+x2~j , 8>

<

>:

@U

@x = 2xy

@U

@y =x2+ 1

@U

@z = 0 Nous avons ainsi

@U

@x = 2xy ) U = Z

2xydx ) U =x2y+f(y; z)

oùf(y; z)est une fonction qui ne dépend que dey etz:Remplaçons dans l’équation

@U

@y =x2+ 1 pour avoir la relation x2+@f

@y =x2+1 ) f = Z

1dy ) f(y; z) = y+g(z) ) U =x2y+y+g(z)

(18)

oùg(z)est une fonction qui ne dépend que de z: Injectons dans l’équation @U@z = 0

@g

@z = 0 ) g(z) =Cst: Finalement,

U(x; y) =x2y+y+Cst: 3. Circulation deA~ sur(C)

1ere méthode : Le champA~ est conservatif, donc sa circulation dépend juste des points de départ et d’arrivée. Dans notre cas, l’équation du chemin est y= x93 avec 0 x 3; ce qui fait que le point du départ est A(0;0) et le point d’arrivée est B(3;3):

Représentation du chemin y= x93 avec 0 x 3:

La circulation deA~ est alors CA~ =

Z

ABy

A~ !dl = Z

ABy

gradU! !dl = Z (3;3)

(0;0)

dU =U(3;3) U(0;0) = 30:

2eme méthode : l’équation du chemin esty = x93 avec0 x 3;ce qui implique quedy = x32dx: On en déduit que

A~ !dl =Axdx+Aydy= 2xydx+ x2 + 1 dy= 5x4 9 +x2

3 dx Alors

CA~ = Z

ABy

A~ ! dl =

Z 3 0

5x4 9 + x2

3 dx= 1

9x3 x2+ 1 j30 = 30:

(19)

3eme méthode : il est possible de paramétriser l’équation du chemin y= x93 avec 0 x 3; comme suit :

8>

<

>:

x= 3t

y = 19(3t)3 = 3t3 0 t 1

)

( dx= 3dt dy= 9t2dt

Maintenant, CA~ =

Z

ABy

2xydx+ x2+ 1 dy= Z 1

0

135t4 + 9t2 dt= 27t5+ 3t3j10 = 30:

4. L’équation du segment de droite en question est

y=x avec 0 x 3 ) dy=dx:

La circulation deA~ sur ce chemin est CA~ =

Z

ABy

2xydx+ x2+ 1 dy= Z 3

0

3x2+ 1 dx = 30:

Nous avons obtenu le même résultat car la circulation d’un champ conservatif ne dépend pas du chemin suivi et les deux chemins ont les mêmes points de départ et d’arrivée.

Exercice 4

1. A…n de calculer le périmètre et l’aire d’un rectangle, nous avons répété les mesures de sa longueurL et de sa largeurl cinq fois. Nous avons obtenu les valeurs suivantes :

L(cm) 9 9;1 8;9 9 8;8 l(cm) 6;1 5;9 6 6;2 6;1 a. Donner des valeurs approchées deL et l:

b. Déterminer les incertitudes sur les mesures de L et l en prenant les écarts absolus.

c. Donner les valeurs approchées du périmètre P et de l’aire A du rectangle en question:

d. Calculer les incertitudes absolues et relatives sur les mesures de P et A:

2. Nous avons mesuré la longueurL et la périodeT d’un pendule et nous avons obtenu L = 0;997 0;005m et T = 2;03 0;01s. A…n de calculer l’accélération terrestre nous allons utiliser la relationT = 2 q

L

g:Donner les incertitudes absolue et relative de la mesure deg:

(20)

3. La position d’un mobile est donnée par l’équation horaire x = x0e t: A…n de déterminer la constante ;nous avons mesuré sa position initiale ce qui a donné la valeur x0 = 5;1 0;2cm; ensuite nous avons mesuré sa position à l’instant t = 1;3 0;1s et nous avons trouvé x= 6;5 0;2cm:

a. Déterminer la valeur de ainsi que les incertitudes absolue et relative.

Solution

1.a. La valeur approchée deL estL0 = 9+9;1+8;9+9+8;8

5 = 8;96cm:

La valeur approchée de l estl0 = 6;2+5;9+6+6;2+6;1

5 = 6;08cm:

1.b. L’incertitude absolue surL est

L= j9 8;96j+j9;1 8;96j+j8;9 8;965 j+j9 8;96j+j8;8 8;96j = 0;088cm:

L’incertitude absolue sur l est

l= j6;1 6;08j+j5;9 6;08j+j6 6;085 j+j6;2 6;08j+j6;1 6;08j = 0;104cm:

Maintenant, il faut arrondir ces résultats comme suit

L'8;96 0;088'8;96 0;09cm l '6;08 0;104 '6;1 0;10cm:

1.c. La valeur approchée de P est P0 = 2 (L0+l0) = 2 (8;96 + 6;08) = 30;08cm:

La valeur approchée de A est A0 =L0l0 = 8;96 6;08 = 54;477cm2: 1.d. Nous avons P = 2 (L+l); donc

dP = 2dL+ 2dl ) P = 2 L+ 2 l = 0;38cm) P

P0 = 0;38

30;08 = 0;012633:

A ce stade, il faut arrondir les chi¤res :

P '30;08 0;38'30;1 0;4cm'30;1cm 1;3%:

De la même manière, nous avons A=Ll; d’où dA=ldL+Ldl ) dA

A = dL L +dl

l ) A

A0 = L L0 + l

l0 = 0;026492:

On en déduit que A= 0;026492 A0 = 1;4432: Finalement,

A'54;477 1;4432cm2 '54 1;4cm2 '54cm2 2;6%:

2.aT = 2 q

L

g )g = 4 2TL2 )g0 = 4 2TL02

0 )g0 = 4(3;1415)2 02;03;9972

)g0 = 9;80996m=s2:

(21)

La di¤érentielle deg est dg = @g

@LdL+ @g

@TdT ) dg= 4 2

T2 dL 8 2 L T3dT d’où l’incertitude absolue

g = 4 2

T02 L+ 8 2L0

T03 T ) g = 4 2

T02 L+ 8 2L0 T03 T:

A.N.

g=4(3;1415)2

2;032 0;005 + 8(3;1415)20;997

2;0330;01 = 0;141993m=s2: Donc

g '9;80996 0;141993m=s2 '9;8 0;14m=s2 '9;8m=s2 1;5%:

3.a. Nous avons

x=x0e t ) lnx= lnx0 t

) = t

lnx0 lnx ) = 10;386s 1: La di¤érentielle exacte de est

d = @

@tdt+ @

@xdx+ @

@x0

dx0 = dt

lnx0 lnx + tdx x(lnx lnx0)2

tdx0

x0(lnx lnx0)2: On en déduit que

= t

lnx0 lnx + t x

x(lnx lnx0)2 + t x0

x0(lnx lnx0)2: A.N :

= 0;01

ln 5;14 ln 4;53+ 1;38 0;02

4;53 (ln 4;53 ln 5;14)2+ 1;38 0;02

5;14 (ln 4;53 ln 5;14)2= 0;755 73s 1: Finalement,

'10;386 0;755 73s 1'10;4 0;8s 1'10;4s 1 7;7%:

(22)

CHAPITRE

2 Cinématique d’un Point Matériel

L’objectif de la cinématique est bien l’étude des mouvements dans leur rapport avec le temps, sans se préoccuper des causes qui les produisent. Un mouvement se dé…nit toujours par rapport à un repère auquel est associée une horloge pour indiquer le temps, ce qui va former un référentiel. Le point matériel, qui est par dé…nition un corps de dimensions assez petites pour être négligeables, constitue une notion fondamentale en mécanique classique. C’est le cas par exemple d’une bille de rayon très faible.

2.1 Mouvement en coordonnées cartésiennes

Soit un repère cartésien(OXY Z)dont la base est constituée par les trois vecteurs (~i,~j,~k). Autrement dit, ils sont orthonormés et forment un trièdre direct, en plus du fait qu’ils restent …xes dans le temps. La position d’un point matériel M à un instanttest bien dé…nie en connaissant ses coordonnéesx(t); y(t)etz(t):Le vecteur

~r=OM! est appelé le vecteur-position du point M :

OM!=~r(t) = x(t)~i+y(t)~j+z(t)~k: (2.1.1)

Par dé…nition, le vecteur-vitesse~v(t)mesure la variation du vecteur-position dans le temps, conformément à la relation

~v(t) = d~r(t)

dt = dx(t)

dt ~i+dy(t)

dt ~j+ dz(t)

dt ~k: (2.1.2)

On en déduit facilement ses composantes : vx = dxdt; vy = dydt et vz = dzdt: C’est un vecteur tangent à la trajectoire:

(23)

Les vecteurs de position, de vitesse et d’accélération du point M:

Le vecteur-accélération~a(t)quant à lui, caractérise la variation du vecteur-vitesse à un instant t: Il est donné par

~a(t) = d~v(t)

dt = d2~r(t)

dt2 = d2x(t)

dt2 ~i+ d2y(t)

dt2 ~j+ d2z(t)

dt2 ~k: (2.1.3) Il est clair que les composantes de ~a sont ax = dvdtx = ddt2x2; ay = dvdty = ddt22y et az = dvdtz = ddt2z2:

2.2 Abscisse curviligne

La trajectoire d’un point matériel est l’ensemble des lieux géométriques parcourus successivement tout au long de la durée du mouvement. Il est possible d’orienter cette trajectoire et d’en choisir une origineA; a…n de dé…nir l’abscisse curviligne par

s=AM:y (2.2.1)

La relation s=s(t) est l’équation horaire deM sur sa trajectoire.

La variation dans le temps de l’abscisse curviligne est liée au module de vecteur- vitessev =j~v(t)j par

ds

dt =v = q

vx2+vy2+vz2: (2.2.2) Dans le cas où le mouvement se fait dans le sens d’orientation de la trajectoire,

ds dt =v:

(24)

Abscisse curviligne avec les accélérations tangentielle et normale.

Le vecteur-accélération peut être écrit comme étant la somme d’une accélération tangentielle~aT plus une accélération normale~aN. On démontre que

aT = dv

dt = d2s

dt2 et aN = v2

% = 1

% ds dt

2

(2.2.3) où % est le rayon de courbure de la trajectoire au point M occupé à l’instant t:

Si~aT et ~v ont le même sens, le mouvement est accéléré ; dans le cas contraire, le mouvement est dit retardé.

2.3 Mouvement en coordonnées polaires et cylin- driques

Au lieu de repérer un point M par ses coordonnées cartésiennes (x; y,z); il est commode parfois de passer aux coordonnées cylindriques ( ; ; z) pour des raisons pratiques. Ce changement de coordonnées est possible grâce à la transformation

( x= cos

y = sin )

( =p

x2+y2

cos = x; sin = y )

( 0 <1 0 <2

(2.3.1) tandis que la coordonnéez reste inchangée. Autrement dit, =j~jet = (~i; ~)avec

~=x~i+y~j:

En utilisant la relation~r=x~i+y~j+z~k;il est facile de constater que le vecteur- position va s’écrire

~r= ~e +z~k (2.3.2)

~e = cos ~i+ sin ~j: (2.3.3)

(25)

Le vecteur-vitesse s’obtient en dérivant le vecteur ~r; ce qui va se traduire par l’expression

~v =v ~e +v ~e +vz~k = _~e + _~e + _z~k (2.3.4) où le point sur les symboles indique la dérivée par rapport au temps et le vecteur~e est dé…ni par

~e = sin ~i+ cos ~j: (2.3.5)

Coordonnées cylindriques.

Le vecteur-accélération en coordonnées cylindriques aura l’expression suivante :

~a=a ~e +a ~e +az~k = • _2 ~e + • + 2 _ _ ~e + •z~k: (2.3.6) Un calcul trivial montre que les vecteurs (~e ; ~e ; ~k) forment une base orthonormée directe. Cette base est dite locale, car elle dépend de l’angle : Il est utile aussi de constater que

r=p

2+z2 et v =

q

_2+ 2_2 + _z2:

Dans le cas où le mouvement se fait dans le plan XY (z = 0); il su¢ t d’utiliser seulement les coordonnées ( ; ) qui seront appelées alors les coordonnées polaires.

(26)

Coordonnées polaires

2.4 Composition des mouvements

Dans la pratique, on est souvent amené à travailler avec des référentiels di¤érents, d’où la nécessité d’établir des lois cinématiques qui vont permettre de relier les accélérations, les vitesses et les positions observées dans ces référentiels distincts.

Considérons un repèreR(OXY Z)dont la base est formée par les vecteurs (~i;~j; ~k) qui constituent un trièdre direct. Ce repère sera appeléle repère absolu. SoitR0(O0X0Y0Z0) un autre repère ayant la base (~i0;~j0; ~k0) qu’on va désigner par le repère relatif car il est en mouvement par rapport àR(OXY Z):

Si on désigne les vecteurs-positions d’un point matériel M par rapport aux deux repères par~r et~r0 respectivement (~r=x~i+y~j +z~k et~r0 =x0~i0+y0~j0 +z0~k0); nous aurons la relation vectorielle

~r=~r0+ !

OO0: (2.4.1)

Les vecteurs-positions de M par rapport aux repères R et R0:

(27)

Après une dérivation directe par rapport au temps t; on obtient la loi de la composition des vitesses

~va =~vr+~ve (2.4.2)

où~va= _x~i+ _y~j+ _z~k est le vecteur-vitesse absolue vu dans le repère R et~vr = _x0~i0+ _

y0~j0+ _z0~k0 est le vecteur-vitesse relative par rapport àR0: La vitesse d’entraînement

~ve du point M a l’expression

~ve= d ! OO0

dt +x0d~i0

dt +y0d~j0

dt +z0d~k0

dt : (2.4.3)

Maintenant, en dérivant la loi de composition des vitesses ci-dessus, nous allons avoir la règle de composition des accélérations suivantes

~aa =~ar+~ae+~ac (2.4.4) où~aa= •x~i+ •y~j+ •z~kest l’accélération absolue par rapport àR et~ar = •x0~i0+ •y0~j0+ •z0~k0 est l’accélération relative par rapport àR0:L’accélération d’entraînement~aedu point M est donnée par

~ae= d2 ! OO0

dt2 +x0d2~i0

dt2 +y0d2~j0

dt2 +z0d2~k0

dt2 : (2.4.5)

L’accélération~ac est appelée l’accélération de Coriolis dont la dé…nition est

~ac = 2 x_0d~i0

dt + _y0d~j0

dt + _z0d~k0 dt

!

: (2.4.6)

A présent, il est intéressant de considérer le cas où les repèresRetR0sont choisis de telle sorte que leurs origines O et O0 coïncident à l’instant t = 0, et que leurs trois axes soient colinéaires, sauf que R0 se déplace le long de la direction OX à la vitesse d’entrainement constanteve.

Transformation de Galilée.

(28)

La transformation de Galilée qui décrit bien cette situation est 8>

<

>:

x=x0+vet y =y0 z =z0

) 8>

<

>:

vx =vx0 +ve vy =v0y vy =v0y

) 8>

<

>:

ax =a0x ay =a0y ay =a0y:

(2.4.7)

Il est clair que cette transformation n’a¤ecte pas les accélérations. Maintenant, si la translation se fait avec la vitesse~ve de direction arbitraire, la transformation de Galilée se généralise facilement à la forme

~r=~r0+~vet: (2.4.8)

2.5 Exercices du chapitre 2

Exercice 1

La position d’un point matérielM est donnée par ses coordonnées cartésiennes x(t) =Rcos(1

2 t2) et y(t) = Rsin(1

2 t2) R; 2R+ 1. Déterminer le vecteur-vitesse~v et le vecteur-accélération~a.

2. Déterminer le module de l’accélération tangentielle aT. 3. Déterminer l’équation de la trajectoire ainsi que sa nature.

4. En déduire le rayon de courbure et le module de l’accélération normaleaN. 5. Déterminer les coordonnées polaires ( ; ) du point M.

6. Déterminer les composantes des vecteurs~vet~aen coordonnées polaires. Conclure.

7. Sachant que la trajectoire est orientée dans le sens trigonométrique (anti-horaire) et que le pointA(0; R)est choisi comme origine des abscisses curvilignes, déterminer l’équation horaire du point M sur sa trajectoire.

Solution :

1. Nous avons~v(t) = dx(t)dt ~i+dy(t)dt ~j et~a(t) = d2dtx(t)2 ~i+d2dty(t)2 ~j , donc ( vx = Rtsin(12 t2)

vy = Rtcos(12 t2) et

( ax = R sin(12 t2) + t2cos(12 t2) ay = R cos(12 t2) t2sin(12 t2) : 2. L’accélération tangentielle :

aT = dv dt = d

dt q

v2x+v2y = d

dt( Rt) ) aT = R:

(29)

3. Nous avons

x2+y2 =R2 cos2(1

2 t2) + sin2(1

2 t2) ) x2+y2 =R2:

La trajectoire est un cercle de centre O(0;0) et de rayon R qui est égal à son rayon de courbure (%=R=Cst).

4. L’accélération normale :

%=R ) aN = v2

R ) aN =R 2t2 5. En coordonnées polaires :

8>

<

>:

=p

x2+y2 =R ( cos = Rx = cos(12 t2)

sin = Ry = sin(12 t2)

)

( =R

= 12 t2: 6. Toujours en coordonnées polaires :

~v = _~e + _~e = Rt~e avec = 1 2 t2:

~a= • _2 ~e + • 2 _ _ ~e = R 2t2~e + R~e avec = 1 2 t2: On voit que aN = ja j et aT = a : Nous sommes en présence d’un mouvement circulaire uniformément accéléré.

7. Abscisse curviligne : ds

dt =v = Rt ) s= 1

2 Rt2+s0:

A t = 0; M se trouve au point B(x(0); y(0)) B(R;0) et l’origine des abscisses curviligne est le pointA(0; R), doncs0 = R2 :

Représentation graphique de s0 = R2 :

(30)

Finalement,

s= R

2 t2 =R

2 : Exercice 2

Dans le plan (OXY) d’un repère (OXY Z), le mouvement d’un point M est décrit par la variation de ses coordonnées cartésiennes en fonction du temps t :

x(t) = be ktcos(kt) ; y(t) =be ktsin(kt) b; k 2R+ 1- Déterminer en fonction det les coordonnées polaires et du point M:

2- En déduire l’équation polaire de la trajectoire deM:

3- Déterminer en fonction det les composantes polaires du vecteur-vitesse~v:

4- En déduire l’angle (OM ; ~v).!

5- Déterminer en fonction det les composantes polaires de l’accélération~a:

6- Indiquer la nature du mouvement (uniforme, accéléré ou retardé).

7- Déterminer en fonction det les composantes tangentielle et normale de~a:

8- En déduire la valeur du rayon de courbure de la trajectoire.

Solution

1. En coordonnées polaires : 8>

<

>:

=p

x2+y2 =be kt ( cos = x = cos(kt) sin = y = sin(kt)

)

( =be kt

=kt:

2. On en déduit facilement que =be :

3. La vitesse est~v = _~e + _~e =bke kt( ~e +~e ), où =kt:

4.cos( !

OM ; ~v)=OM ~!v

jOM!jv = ( ~e )(_~e + _~e )

p_2+ 2_2 = p _

_2+ 2_2 = p1

2;Alors ( !

OM ; ~v) = 34 : 5. L’accélération est~a = • _2 ~e + • + 2 _ _ ~e = 2bk2e kt~e :où =kt:

6. Nous avons~v ~a= 2b2k3e 2kt<0ce qui fait que le mouvement est retardé.

7. La composante tangentielle aT = dvdt = dtd q

_2+ 2_2 = dtd p

2bke kt = p2bk2e kt

8. La composante normale aN =p

a2 a2T =p

2bk2e kt: 9. Le rayon de courbure %= av2

N =p

2be kt:

(31)

Exercices 3

Un train démarre avec une accélération horizontale constante~ae =a0~ià l’instant t= 0. A un moment t= t0 >0; un enfant debout sur le quai lance sa balle vers le bas avec une vitesse~u0 = u0~k;à partir d’une hauteur z0 par rapport au sol:

1. Sachant que la balle est soumise seulement à l’accélération de la pesanteur

~g = g~k; déterminer sa vitesse ~va et sa position ~r = !

OM par rapport au repère terrestre dont l’origine coïncide avec les pieds de l’enfant (repère absolu).

2. Caractériser le mouvement du repère lié au train (repère relatif), en prenant comme son origine un observateur assis dans ce train, qui se trouvait en face de l’enfant à l’instantt = 0.

3. Déterminer la position ~r0 = !

O0M et la vitesse ~vr relatives de la balle par rapport au train.

4. Déterminer la trajectoire de la balle par rapport à cet observateur.

Solution

1. Position de la balle : nous avons

~a = g~k ,

( ax = 0

az = g )

( vx =C1 vz = gt+C2

)

( vx = 0

vz = g(t t0) u0

où nous avons utilisé les conditionsvx(t0) = 0etvz(t0) = u0 a…n de …xerC1 etC2: Après intégration, et en utilisant les conditions x(t0) = 0 et z(t0) = z0; on aboutit aux coordonnées de la balle

( x=C3

z = g2t2+ (gt0 u0)t+C4 )

( x= 0

z= g2(t t0)2 u0(t t0) +z0: 2. Les vecteurs des bases des deux repères sont les mêmes (~i=~i0 et~k =~k0)car le train est en translation: Par contre l’origineO0 du repère relatif (le train) démarre à partir de O avec une accélération a0~i par rapport au repère absolu (la terre), et cela depuis l’instantt = 0. En e¤et,

d2 ! OO0

dt2 =a0~i ) ~ve =a0t ~i ) !

OO0 = a20t2~i:

3. La position relative de la balle par rapport au repère relatif

~r0 = !

O0M = OM! !

OO0 = g2(t t0)2 u0(t t0) +z0 ~k a20t2~i:

La vitesse relative est~vr=~va ~ve = ( g(t t0) u0)~k a0t~i:

4. Nous avons z0 = g2(t t0)2 u0(t t0) +z0 et x0 = a20t2 ) t =q

2x0 a0: Finalement,

z0 = g2

q 2x0 a0 t0

2

u0

q 2x0

a0 t0 +z0:

Figure

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Références

Sujets connexes :