Comparaison de la moyenne de deux populations

Chapitre 2

Comparaison de la moyenne de deux populations

Dans ce chapitre, on examinera bri`evement le probl`eme de comparaison des moyennes de deux populations normales ind´ependantes. On formule le probl`eme comme suit:

Soient deux ´echantillons ind´ependants: {Y₁₁, Y₁₂,· · ·, Y_1n} et {Y₂₁, Y₂₂,· · ·, Y_2m} form´es respectivement de n observations ind´ependantes d’une loi normale N(µ1, σ²) et m observa- tions ind´ependantes d’une loi normale N(µ2, σ²). On suppose, implicitement, que les deux populations poss`edent la mˆeme variance th´eorique σ².

Dans ce contexte, on veut tester l’hypoth`ese nulleH<sub>0</sub> :µ<sub>1</sub> =µ<sub>2</sub>contre une des hypoth`eses alternatives H₁ :µ₁ 6=µ₂, H₁ :µ₁ > µ₂ ou H₁ :µ₁ < µ₂

Posons

Y¯_1. = 1 n

Xn

i=1

Y_1i Y¯_2. = 1

m

Xm

i=1

Y_2i S₁² = 1

n−1

Xn

i=1

(Y_1i−Y¯_1.)² S₂² = 1

m−1

Xm

i=1

(Y_2i−Y¯_2.)²

D’apr`es le chapitre pr´ec´edent, on a alors

Y¯_1. ∼ N(µ₁,σ² n ) Y¯2. ∼ N(µ2,σ²

m) n−1

σ² S₁² ∼ χ²_n−1 m−1

σ² S₂² ∼ χ²_m−1

Les quatre statistiques cit´ees ci-haut sont ind´ependantes. Comme les deux ´echantillons sont ind´ependants, on a aussi

Y¯_1.−Y¯_2.∼N(µ₁−µ₂, σ²(1 n + 1

m))

et m+n−2

σ² S_p² = 1

σ²{(n−1)S₁²+ (m−1)S₂²} ∼χ²_n+m−2

2.1 Variance connue

Dans cette section, on suppose que la variance th´eoriqueσ² commune aux deux populations est connue. Sous ces hypoth`eses, on a

Y¯_1.−Y¯_2.∼N(µ₁−µ₂, σ²(1 n + 1

m)) Donc sous l’hypoth`ese nulle H₀, on a:

Y¯1.−Y¯2.∼N(0, σ²(1 n + 1

m)) qu’on peut encore ´ecrire

Z = Y¯_1.−Y¯_2.

qσ²(¹_n+ _m¹) ∼N(0,1) On rejette H₀ contre H₁ :µ₁ 6=µ₂ au seuil 1−α si |Z|> Z_α/2

On rejette H0 contre H1 :µ1 < µ2 au seuil 1−α si Z < Zα

Ceci nous permet aussi de construire un intervalle de confiance au niveau 1 −α pour µ₁−µ₂. Ce dernier est ´egal `a:

[( ¯Y1.−Y¯2.)−Z_α/2

s

σ²(1 n + 1

m),( ¯Y1.−Y¯2.) +Z_α/2

s

σ²(1 n + 1

m)]

2.2 Variance inconnue

En pratique, dans la plus part des cas, on ignore la variance th´eorique. Dans ce cas, on doit l’estimer. La statistique S_p² (p pour pooled) est une estimateur de σ², tout comme S₁² etS₂². En effet on a,

E[S₁²] =E[S₂²] =E[S_p²].

Intuitivement, S_p² est un meilleurs estimateur que S₁² ou S₂² car il utilise toute l’information disponible dans les deux ´echantillons, ce qui n’est pas le cas pour les deux autres estimateurs.

V´erifions que S_p² est le meilleur estimateur non biais´e deσ² parmi les combinaisons lin´eaires deS₁² et S₂². Une telle combinaison lin´eaire s’´ecrit sous la forme

˜

σ² =aS₁²+bS₂².

Un tel estimateur est non biais´e donc E[ ˜σ²] =aE[S₁²] +bE[S₂²] = σ² donc on a a+b= 1 ou b= 1−a D’autre part, on a

Var[˜σ²] = a²Var[S₁²] +b²Var[S₂²]

= a² 2σ⁴

n−1 + (1−a)² 2σ⁴ m−1

= 2σ⁴{ a²

n−1 +(1−a)² m−1 }

Il est facile de voir que la quantit´e a²/(n−1) + (1−a)²/(m−1) est minimis´ee pour a = (n−1)/(n+m−2), ce qui correspond `a b = (m−1)/(n+m−2). Le ˜σ<sup>2</sup> optimal est donc ´egal `a S_p².

On a alors:

T = Y¯1.−Y¯2.

qS_p²(_n¹ +_m¹) ∼t_n+m−2

On rejette H₀ contre H₁ :µ₁ 6=µ₂ au seuil 1−α si |T|> t_n+m−2,α/2 On rejette H₀ contre H₁ :µ₁ > µ₂ au seuil 1−α si T > T_n+m−2α On rejette H₀ contre H₁ :µ₁ < µ₂ au seuil 1−α si T < T_n+m−2α

Ceci nous permet aussi de construire un intervalle de confiance au niveau 1 −α pour µ₁−µ₂. Ce dernier est ´egal `a:

[( ¯Y_1.−Y¯_2.)−t_n+m−2,α/2

s

σ²(1 n + 1

m),( ¯Y_1.−Y¯_2.) +t_n+m−2,α/2

s

σ²(1 n + 1

m)]

2.3 Calcul de puissance

Consid´erons la statistique du test lorsque l’hypoth`ese nulle est fausse. Si µ₁ 6=µ₂, Y¯_1.−Y¯_2.

q

σ²(1/n+ 1/m) ∼N



 µ₁−µ₂

q

σ²(1/n+ 1/m),1





Ainsi T² suit une loi F non centr´ee avec 1 et n+m−2 degr´es de libert´e et param`etre de noncentralit´e

δ= (µ₁−µ₂)² σ²(1/n+ 1/m).

On dit que T suit une distribution t non centr´ee `a m+n−2 degr´es de libert´e et avec param`etre de non centralit´e ´egal `a

ν= µ₁−µ₂

qσ²(1/n+ 1/m).

Pour la t le param`etre de non centralit´e diff`ere de celui de la F et de la Khi-deux; il peut ˆetre n´egatif. En faitδ =ν². La distribution tnon centr´ee est utilis´ee pour calculer des puissances.

Exemple 2.1 Vingt souris de laboratoire ont ´et´e divis´ees en deux groupes de 10 souris au

de poids des 20 souris apr`es 3 semaines. On veut tester l’ypoth`ese nulle que le gain de poids est le mˆeme dans les deux groupes.

Apr`es une transformation logarithmique pour rendre les donn´ees normales, on obtient un test non significatif (pvalue=19%), avec une diff´erence de moyenne ´egale `a 0.32 et une variance estim´ee de 0.27. Quelle taille doit avoir chaque groupe pour faire en sorte que le test d’´egalit´e de moyennes bilat´eral au seuil 5% ait une puissance de 90%?

Soit n =m la taille des deux groupes. On va estimer µ₁ −µ₂ par -0.32 et σ² par 0.27.

Pour un n quelconque, le param`etre de non-centralit´e vaut ν = −0.44×√

n. La puissance du test est donc

π(n) = P(T_2(n−1)(ν)<−t2(n−1),0.975) +P(T_2(n−1)(ν)> t2(n−1),0.975),

o`u T<sub>n</sub>(ν)repr´esente une variable al´eatoire avec une distributiont non centr´ee avec param`etre de non-centralit´e ν et n degr´e de libert´e

Commande R pour lire les donn´ees, faire des tests et calculer faire un graphique de puissance.

grp1<-c(4,14,7,9,11,7,13,14,12,8) grp2<-c(5,21,16,23,4,16,13,19,9,21)

#Cacul de statistiques descriptives

c(mean(grp1),mean(grp2),var(grp1),var(grp2))

c(mean(log(grp1)),mean(log(grp2)),var(log(grp1)),var(log(grp2)))

#Representation graphique

boxplot(as.data.frame(cbind(grp1,grp2)))

boxplot(as.data.frame(cbind(log(grp1),log(grp2))))

#Test t sur l’echelle logarithmique

t.test(log(grp1),log(grp2),var.equal = TRUE)

10 20 30 40 50 60

0.30.40.50.60.70.80.9

n

pui

Figure 2.1: Graphique de la puissance en fonction de n

#calcul de l’estimation de variance combinee (var(log(grp1))+var(log(grp2)))/2

#Code pour calculer la puissance pui<-rep(0,51) for (i in (1:51)){n<-9+i nu<--0.44*sqrt(n)

pui[i]<-pt(qt(.025,df=2*(n-1)),df=2*(n-1),ncp=nu)+

1-pt(qt(.975,df=2*(n-1)),df=2*(n-1),ncp=nu) } n<-10:60 plot(n,pui)

#Code equivalent avec la distribution f non centree pui2<-rep(0,51) for (i in (1:51)){n<-9+i delta<-(0.44*sqrt(n))^2

pui2[i]<-1-pf(qf(.95,df1=1, df2=2*(n-1)),df1=1, df2=2*(n-1),ncp=delta) }

Le graphique de la puissance en fonction de n montre qu’une taille d’´echantillon n = 56 est n´ecessaire pour obtenir une puissance de 90% sous les sp´ecifications propos´ees. Etant donn´e une violation possible de l’hypoth`ese de normalit´e, il serait int´eressant d’utiliser un test non param´etrique comme celui de Wilcoxon.