Article published by EDP Sciences and available at http://www.edpsciences.org/meca or http://dx.doi.org/10.1051/meca:2007032

(1)

c AFM, EDP Sciences 2007 DOI: 10.1051/meca:2007032

M ´ ecanique

& I ndustries

Simulation num´ erique d’un tube flexible soumis ` a un ´ ecoulement interne

Fabien Huvelin

^1,a

, ´ Elisabeth Longatte

¹

et Mhamed Souli

²

1 EDF R&D, Département Mécanique des Fluides, Énergies et Environnement, 6 quai Watier, 78400 Chatou, France

2 Laboratoire de Mécanique de Lille, Université des Sciences et Technologies de Lille 1, Cité Scientifique, 1 boulevard Paul Langevin, 59655 Lille, France

Re¸cu le 1^er septembre 2006, accept´e le 23 janvier 2007

Résumé – Cet article est consacré à la simulation numérique, par couplage externe de codes, de vibrations de structures flexibles induites par écoulements. Une revue des développements réalisés sur les deux codes disciplinaires mis en œuvre est tout d’abord présentée, puis une application au cas d’un tube flexible soumis

`

a un écoulement interne pour de petits déplacements et un écoulement laminaire est proposée.

Mots clés : Interaction fluide-structure / couplage de codes externes / départ en instabilité / formulation ALE / structure flexible

Abstract – Numerical simulation of a pipe conveying fluid. The present work is devoted to numerical simulation of flow induced vibrations by means of a partitioned code coupling procedure. First, fluid and structure codes are presented. Then the computation of a pipe conveying fluid for small displacement and laminar flow is investigated.

Key words: Fluid-structure interaction / partitioned algorithm / instability departure / ALE formulation / ﬂexible structure

1 Introduction

Les méthodes numériques pour les calculs d’écou- lements monophasiques et de vibrations de structures sont arrivées à un point de maturité tel qu’il est désormais possible d’envisager des simulations couplées de ces phénomènes physiques. Pour cela, deux voies sont envisa- geables.

La première consiste à résoudre les équations fluide et structure dans un même système d’équations. Il s’agit d’algorithmes dits monolithiques [1–3] avec lesquels les propriétés de conservation sont assurées à l’interface per- mettant ainsi une stabilité inconditionnelle du schéma. Le choix du pas de temps est alors limité uniquement par la précision demandée. Mais ce type d’algorithme demande le développement complet d’un code de calcul. De plus, les méthodes numériques employées pour le fluide et la structure sont souvent différentes et il est difficile de les

a Auteur correspondant :fabien.huvelin@edf.fr

faire cohabiter au sein d’un même solveur, d’où l’utilisation répandue des algorithmes partitionnés.

Cette seconde méthode utilise des codes monodisci- plinaires. La démarche consiste à mettre à jour les codes disciplinaires basés sur des formulations classiques, tels que les volumes finis dans un référentiel fixe (ou eulérien) pour le fluide et les éléments-finis dans un référentiel mobile (ou lagrangien) pour la structure, afin de prendre en considération les couplages entre les phénomènes physiques à l’interface des deux milieux. Pour cela, les

équations sont résolues consécutivement en transférant les conditions à l’interface d’un solveur à l’autre. L’avantage est que l’on peut utiliser les codes existants et tirer parti des formulations optimisées pour chaque problème. L’in- convénient de ce type de résolution est que cela provoque un décalage en temps dans la résolution des problèmes.

Pour résoudre le problème fluide entre les instants n et n+ 1, il est nécessaire de savoir comment va se déplacer la structure entre ces deux temps. Inversement, pour résoudre le problème structure entre les instantsnetn+1, il est nécessaire de connaˆıtre les efforts appliqués par le

Article published by EDP Sciences and available at http://www.edpsciences.org/meca or http://dx.doi.org/10.1051/meca:2007032

(2)

Nomenclature

A Amplitude initiale de la structure (m.s⁻¹)

D

DDf Tenseur des vitesses de d´eformations (s⁻¹)

e Epaisseur du tube´ (m)

Es Module d’Young (kg.m.s⁻²)

ffff Forces extérieures appliquées au fluide (kg.m.s⁻²) fffs Forces extérieures appliquées à la structure (kg.m.s⁻²) FFFⁿs Efforts appliqués sur la structure à l’interface fluide-structure (kg.m.s⁻²) FFFⁿ_f Efforts appliqués par le fluide sur l’interface fluide-structure (kg.m.s⁻²)

III Tenseur identit´e (−)

J Jacobien entre les référentiels eulérien et ALE (−)

L Longueur du tube (m)

p Pression (kg.m⁻².s⁻²)

Ri Rayon interne du tube (m)

t Temps (s)

uuus D´eplacement de la structure (m)

u˙˙

uu˙s Vitesse de la structure (m.s⁻¹)

vvvale Vitesse de maillage (m.s⁻¹)

vvvf Vitesse du ﬂuide (m.s⁻¹)

uuuifs D´eplacement de l’interface ﬂuide-structure (m)

¯vred Vitesse r´eduite adimensionn´ee (−)

xxx Coordonnées dans le référentiel eulérien (m) α0 Constante du schéma de couplage explicite synchrone (−) α1 Constante du schéma de couplage explicite synchrone (−)

∆t Pas de temps (s)

Tenseur des d´eformations (−)

Γfⁿ Interface ﬂuide au tempsn (−)

Γsⁿ Interface structure au tempsn (−)

Γ_s/fⁿ Interface ﬂuide-structure au tempsn (−)

λl Coeﬃcient de Lam´e (kg.m⁻¹.s⁻²)

µ Viscosit´e dynamique (kg.m⁻¹.s⁻¹)

µl Coeﬃcient de Lam´e (kg.m⁻¹.s⁻²)

νs Coeﬃcient de Poisson (−)

Ωⁿ Domaine de calcul au tempsn (−)

Ωfⁿ Domaine ﬂuide au tempsn (−)

Ωsⁿ Domaine structure au tempsn (−)

ρf Masse volumique ﬂuide (kg.m⁻³)

ρs Masse volumique structure (kg.m⁻³)

σσσs Tenseur des contraintes structures (kg.s⁻²)

σσσf Tenseur des contraintes ﬂuides (kg.s⁻²)

θ Trace du tenseur des d´eformations (−)

ξξξ Coordonnées dans le référentiel ALE (m) fluide sur la structure pendant cette période. Afin de pal-

lier à ce problème, des schémas de couplage optimisés ont été mis en œuvre [4–6]. Les données transférées entre les deux codes sont les efforts du fluide vers la structure et les déplacements et les vitesses de la structure vers le fluide. Généralement les maillages des deux milieux ont des raffinements différents, il est donc nécessaire d’in- terpoler les données lors du transfert [7–9]. De plus, le maillage structure étant mobile, il est nécessaire d’adap- ter le code fluide afin de pouvoir correctement appliquer les déplacements structure sur le maillage fluide. Une

possibilité est de modifier les équations fluide afin de pouvoir déformer la grille de calcul fluide grâce à une formulation Arbitraire Euler Lagrange (ALE) [10, 11].

Un couplage fluide-structure par algorithme parti- tionné demande donc le développement des trois points suivants :

– la définition d’un schéma de couplage, ou prédicteur, entre les deux codes,

– le traitement des conditions aux limites structure à l’interface du problème fluide (par la mise en œuvre

(3)

d’une d´eformation de maillage du domaine ﬂuide, par exemple),

– l’interpolation des données fluide et structure à l’interface afin de transférer les données d’un code à l’autre.

2 M´ ethodologie de couplage

2.1 Formulation du probl`eme fluide-structure

Considérons une structure qui, un instantt =n, oc- cupe un domaineΩ_sⁿ⊂Ωⁿet un fluide occupant au même instant un domaineΩⁿ_f =Ωⁿ−Ω_sⁿ. On définit au même instant les bords des domaines fluide et structure par, res- pectivement,Γ_fⁿetΓsⁿet l’interface entre les deux milieux parΓ_f/sⁿ =Γ_sⁿ∩Γ_fⁿ.

Probl`eme structure

La formulation locale de l’équation de la quantité de mouvement dans le référentiel lagrangien s’écrit :









 ρs

d²uuus

dt² =fffs+∇(σσσs) surΩs

σ σ

σsnnn=σσσfnnn surΓs,f

σ σ

σsnnn= 0 surΓs/Γs,f

uu

us=uuuf surΓs,f

uu

us= 0 surΓs/Γs,f

(1)

A cette ´` equation s’ajoute une loi de comportement du matériau étudié. Dans le domaine élastique linéaire, le tenseur des contraintes est défini par la loi de Lamé :

σ

σσs=λlθIII+ 2µlεεεs (2) avecεεεs= ¹₂(∇u∇u∇us+^t∇u∇u∇us) le tenseur de déformation,θla trace deεεε,III le tenseur unité etλl etµl les coefficients de Lamé.

Probl`eme fluide et formulation ALE

Le fluide est considéré incompressible. La formulation locale des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement dans le référentiel eulérien s’écrit :











∇ ·(vvvf) = 0 surΩf

∂ρfvvvf

∂t +∇ ·(ρfvvvf⊗vvvf) =ffff+∇(σσσf) surΩf

σ σ

σfnnn=σσσsnnn surΓs,f

σσ

σfnnn= 0 surΓf/Γs,f

u u

uf =uuus surΓs,f

u u

uf = 0 surΓf/Γs,f

(3)

t

Description Lagrangienne

vvv_f

t

Description Eul´erienne

vvv_f vvv_ale

t

Description ALE

Particule mat´erielle Nœud

Fig. 1. Référentiel lagrangien, eulérien et ALE.

A ces ´` equations s’ajoute une loi de comportement du fluide modélisé. Pour un fluide newtonien en écoulement laminaire, le tenseur des contraintes s’écrit :

σσσf=−pIII+ 2µDDDf (4) avec DDDf = ¹₂(∇v∇v∇vf +^t∇v∇v∇vf) le tenseur des vitesses de d´eformation.

Afin de suivre l’interface structure, la méthode Arbi- traire Lagrange-Euler est utilisée. Elle consiste à définir un référentiel arbitraire dans lequel vont être calculées les variables physiques fluide. Dans ce référentiel, les nœuds du maillage se déplacent d’une valeur arbitraire comprise entre celles des descriptions lagrangienne et eulérienne (Fig. 1).

Il apparait une vitesse arbitraire, dite vitesse de maillage vvvale, qui permet de se rapprocher d’une formulation lagrangienne lorsque cette vitesse est égale à la vitesse du fluide, ce qui est intéressant lorsque l’on est proche de l’interface fluide-structure afin de pouvoir suivre la description lagrangienne de la structure, et de se rapprocher d’une formulation eulérienne lorsque cette vitesse s’approche de zéro, ce qui est intéressant loin de l’interface fluide-structure où le maillage n’a pas besoin d’être déplacé. Le calcul dans un tel domaine implique une reformulation des équations du fluide dans ce repère.

La relation fondamentale entre le référentiel eulérien et le référentiel ALE est :

J∂fff

∂t|xxx= ∂Jfff

∂t |ζζζ−J∇_xxx·(vvvale⊗fff) (5)

(4)

En appliquant la formule (5) à (3), on obtient une formulation ALE des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement pour le fluide :











∇_xxx·(vvvf−vvvale) = 0

∂Jρfvvvf

∂t +J ∇xxx·

ρf(vvvf−vvvale)⊗vvvf

=

J

ffff+∇_xxx(σf)

(6)

Lorsque la discrétisation est effectuée à l’ordre 1, les simplifications suivantes sont possibles :J =Id,∇_ζζζ=∇xxx

et vvvâ_f(ζζζ, t) = vvvê_f(xxx, t). De plus, [12] a montré que pour un fluide incompressible on peut négliger la vitesse de maillagevvvaledans l’équation de conservation de la masse.

2.2 Sch´ema de couplage

La seconde difficulté à surmonter dans l’utilisation d’un algorithme partionné est la résolution consécutive des deux problèmes. Supposons qu’à un instant tⁿ⁺¹ le déplacement de l’interface soit donnéuuuⁿ⁺¹_ifs . Il est alors possible de résoudre les équations fluides entre un instant tⁿ et tⁿ⁺¹ et d’en déduire les efforts qui s’appliquent à la paroi fluide-structure : FFFⁿ⁺¹_f =F(uuuⁿ⁺¹_ifs ). Supposons, maintenant, que les efforts exercés par le fluide sur l’interface sont donnés au tempstⁿ⁺¹. Il est alors possible de calculer le déplacement de la structure et donc de l’interface entre les instants tⁿ et tⁿ⁺¹ : uuuⁿ⁺¹_ifs = U(FFFⁿ⁺¹_f ). Le problème du déplacement de l’interface fluide-structure peut alors s’écrire sous la forme :uuuⁿ⁺¹_ifs =U◦F(uuuⁿ⁺¹_ifs ). Afin de pouvoir résoudre ce problème, deux types de résolution sont envisagés : une méthode explicite et une méthode im- plicite. Afin de minimiser au mieux la création d’énergie

`

a l’interface, des schémas explicites et des schémas par sous-cyclages ont été proposés. Une comparaison des per- formances des schémas présentés ci-après pourra être trouvée dans [13].

Algorithme explicite

Le principe de l’algorithme explicite est de prédire la position du domaine de calcul à l’instanttⁿ⁺¹en fonction des variables calculées aux tempstⁿ ettⁿ⁻¹ :

uu

uⁿ⁺¹_ifs =uuuⁿ_s +α0∆tuuu˙˙˙ⁿ_s +α1∆t( ˙uuu˙˙ⁿ_s −uuu˙˙˙ⁿ⁻¹_s ) (7) où α0 et α1 sont des constantes. Le schéma de couplage est du second ordre si l’on choisitα0= 1 etα1= 0,5 et si l’on assure que les forces que l’on applique sur la structure FFFs sont interpolées en fonction des efforts calculés sur l’interface fluideFFFf de la manière suivante :

F F

Fⁿ_f =FFFⁿ⁺¹_s +FFFⁿ_s

2 (8)

Ce schéma de couplage a été proposé par [14] et utilisé avec succès pour des problèmes d’aéroélasticité [15]. Nous pouvons citer le cas particulier où α0 = ¹₂ et α1 = 0, dit

schéma asynchrone, qui prédit la position du domaine de calcul et résoud le problème fluide à l’instant t^n+1/2 en fonction des variables structures calculées au temps tⁿ. Cette prédiction a l’avantage de conserver la géométrie sans violer la continuité des champs de vitesses à l’interface entre les deux milieux [16].

Algorithme par sous-cyclages

Le principe de l’algorithme par sous-cyclages consiste

`

a sous-itérer un pas de temps jusqu’à ce que la précision de la prédiction de l’interface soit jugée suffisante. Soient un état fluide et un état structure donnés au temps tⁿ. Les sous-itérationskdu pas de tempsn+1 sont effectuées de la manière suivante :

– Pr´ediction du d´eplacement de l’interface uuu^n+1,k_ifs =uuuifs

uuu^n+1,k−1_s ,uuu˙˙˙^n+1,k−1_s – Résolution des équations fluide

p^n+1,k =p

pⁿ, vvvⁿ_f, uuu^n+1,k_ifs vvv^n+1,k_f =vvv

pⁿ, vvvⁿ_f, uuu^n+1,k_ifs

– Calcul des efforts fluide à appliquer à la structure FFF^n+1,k_f =FFF

p^n+1,k, vvv^n+1,k_f ) – R´esolution des ´equations structure

uuu^n+1,k_s =uuu u u

uⁿ_s,uuu˙˙˙ⁿ_s,u¨uu¨¨ⁿ_s, FFF^n+1,k_f – Test de convergence sur le d´eplacement

uuu^n+1,k_s −uuu^n+1,k−1_s u

u u^n+1,0s

≤ε

– Passage au prochain pas de temps ou `a la prochaine sous-it´eration.

Cet algorithme de point fixe converge si la première estimation est proche de la solution recherchée. [6] pro- pose une méthode de Newton-Raphson sur le calcul du déplacement de structures rigides afin d’améliorer la vitesse de convergence de l’algorithme.

3 Transfert de donn´ ees

Lors de la simulation d’un phénomène en interaction fluide structure par un algorithme partitionné entre un code de mécanique des fluides et un code de mécanique des structures, un transfert de données doit être effectué

`

a l’interface commune aux deux milieux :

– les efforts exercés par le fluide sur la structure, cal- culés aux points de discrétisation de l’interface du milieu fluide, doivent être transmis aux points de discrétisation de l’interface structure,

(5)

Fig. 2. Maillages des interfaces ﬂuide et structures non conformes.

Fig. 3.Description du mod`ele.

– les déplacements de la structure, calculés aux points de discrétisation de son interface, doivent être transmis aux points de discrétisation de l’interface fluide.

On entend par points de discrétisation, les entités géométriques où est résolu chaque solveur. Typiquement, le modèle structure est formulé en éléments-finis et est résolu aux nœuds du maillage, tandis que le modèle fluide est formulé en volumes finis et est résolu aux centres des mailles. [8] et [9] proposent une méthode de pro- jection basée sur les méthodes d’interpolation, assurant l’équilibre entre les efforts calculés sur l’interface du milieu fluide et ceux calculés sur l’interface du milieu structure. Il est supposé qu’il n’y a pas de condition de glis- sement entre les deux maillages. Chacun des points de discrétisation du milieu le plus raffiné peut donc être lié

`

a un élément du maillage de l’autre milieu et ainsi être repéré durant l’ensemble de la simulation. Grâce à cette table de connectivité et à l’aide des fonctions d’interpolation (telles que les fonctions de forme), les données peuvent être transmises entre les deux maillages. Si l’on suppose le maillage fluide plus raffiné que le maillage structure (Fig. 2), alors :

– grâce à une fonction d’interpolation, la force définie en un point de discrétisation fluide est répartie sur les points de discrétisation de l’élément structure qui lui est associé,

– grâce à une fonction d’interpolation, le déplacement au point de discrétisation fluide est calculé en fonction des points de discrétisation de l’élément structure qui lui est associé.

4 Application

Afin de tester la procédure de couplage pour une structure flexible, le cas d’un tuyau soumis à un écoulement laminaire interne et des petits déplacements a été choisi (Fig. 3). L’intérêt est de mettre en évidence l’appari- tion d’une instabilité dynamique à partir d’une certaine vitesse d’écoulement. Des modèles analytiques ont été développés afin de comprendre les raisons de cette insta- bilité [17, 18]. Pour un tube encastré en amont et libre en aval de l’écoulement, il a été démontré que le départ en instabilité porte sur le deuxième mode propre de la structure qui voit son amortissement devenir négatif à partir d’une certaine vitesse d’écoulement. Des comparaisons à des simulations numériques sont possibles. On peut citer celles de [19, 20] qui se basent sur des méthodes de transpiration.

4.1 Mod´elisation

La modélisation effectuée est 2D, puisque le modèle analytique ne présuppose pas une géométrie axi- symétrique de la structure. L’écoulement correspond donc

`

a un écoulement dans un canal. Un profil parabolique est imposé en entrée. Les parois supérieures et inférieures et la sortie du domaine fluide sont considérées mobiles. Les efforts fluide sont calculés sur les parois supérieures et inférieures du domaine fluide et sont envoyés à la structure. La structure est modélisée par sa fibre moyenne via des éléments poutres à section circulaire et est encastrée

`

a une extrémité. Les forces fluides des parois supérieures et inférieures sont donc confondues sur le maillage structure. Après la mise en régime de l’écoulement sur la structure au repos, alignée sur l’axe x1, une vitesse initiale selon x2 est donnée à la structure afin de dis- symétriser l’écoulement. La fonction utilisée a la forme de la déformée modale du 2ê mode propre de la structure en air afin d’accélerer le départ en instabilité qui est dû à ce mode :

vs,1=A

cos k2x1

L

−cosh k2x1

L

+R2

sin

k2x1

L

−sinh k2x1

L

(9) avec







k2 la 2^e solution positive de cos (k) cosh (k) =−1 R2= sin (k2)−sinh (k2)

cos (k2)−cosh (k2)

(6)

Longueur du tube L = 1 (m),

Rayon interne du tube Ri = 2×10⁻² (m),

Epaisseur du tube´ e = 4×10⁻⁴ (m),

Module d’Young Es = 1,5×10⁹ (Pa),

Coeﬃcient de Poisson νs = 0,3 (-),

Masse volumique de la structure ρs = 3,2×10⁶ (kg.m⁻³), Masse volumique du fluide ρf = 1×10³ (kg.m⁻³), Viscosité dynamique µ = 5×10⁻² (kg.m⁻¹.s⁻¹), Vitesse de fluide en entrée vf = (0,614¯vred; 0; 0) (m.s⁻¹), Vitesse réduite adimensionnée ¯vred ∈ [0,7] (–), Amplitude initiale de la structure A = 1,84×10⁻⁶ (m.s⁻¹).

0 1 2 3 4 5

temps (s) -2e-06

-1e-06 0 1e-06 2e-06 3e-06

déplacement (m)

vitesse réduite 4.0 vitesse réduite 4.5 Fig. 4. Déplacement de l’extrémité libre de la structure pour des vitesses réduites de 4,0 et 4,5.

Un schéma de couplage par sous-itération est utilisé afin d’assurer la convergence des interfaces fluide et structure à chaque itération. La simulation est réalisée afin d’obtenir plusieurs périodes d’oscillations pour permettre le post-traitement et l’obtention de la fréquence et de l’amortissement du deuxième mode propre en eau de la structure. La configuration choisie est celle traitée dans [20] :

voir le tableau ci-dessus.

4.2 R´esultats

Des simulations ont été réalisées pour des vitesses réduites allant de 1 à 7. Le tracé du déplacement de l’extrémité libre de la structure pour des vitesses réduites de 4 et 4,5 (Fig. 4) montre que dans le cas où ¯vred = 4 la structure revient vers une position d’équilibre, tandis que pour ¯vred= 4,5, le mouvement de la structure s’am- plifie au cours du temps. Le départ en instabilité est donc compris entre ces deux valeurs. La figure 5 montre que la méthode ALE et la méthode de transpiration captent le départ en instabilité (annulation de l’amortissement)

0 1 2 3 4 5 6 7

Vitesse réduite (-)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Amortissement (s-1 )

Méthode ALE

Méthode de Transpiration de Fernandez-Varela Fig. 5. Tracé de l’amortissement pour différentes vitesses réduites en entrée du fluide.

dans une même plage de vitesses réduites. Une comparaison plus précise des fréquences et des amortissements fait apparaitre une différence entre les modèles. Tant que la structure reste stable, les amortissements calculés sont du même ordre (Fig. 5). Pour des vitesses supérieures à la vitesse critique les différences s’accentuent entre les deux méthodes. À l’inverse, le calcul de la fréquence (Fig. 6) pour la méthode ALE et la méthode par transpiration de [20] sont semblables pour des valeurs éloignées de la vitesse réduite de départ en instabilité et diffèrent dans la zone de départ en instabilité.

5 Conclusions

Un outil de couplage externe de codes (Cosmethyc), appliqué à des structures flexibles, a été développé pour assurer la communication entre un code de mécanique des fluides (Code Saturne) et un code de mécanique des structures (Code Aster). L’utilisation de cette chaine de calcul au cas d’un tube soumis à un écoulement interne a permis de valider la méthodologie sur des configurations de petits déplacements et des écoulements laminaires. Les com- portements stable et instable de la structure ont pu être mis en évidence. Une extension, d’une part, à des grands

(7)

0 1 2 3 4 5 6 7

Vitesse réduite (-)

0 5 10 15

Fréquence (s

-1

)

Méthode ALE

Méthode de Transpiration de Fernandez-Varela Méthode de Transpiration de Renou

Fig. 6.Tracé de la fréquence de la structure pour différentes vitesses réduites en entrée du fluide.

déplacements structure, faisant intervenir des modèles mécaniques non-linéaires et des méthodes ALE de grandes déformations de maillage, et, d’autre part, à l’intégration de modèles de turbulences à des méthodes ALE sont envi- sagées pour la suite de l’élaboration de l’outil de couplage.

R´ ef´ erences

[1] J. Blom, A monolithical ﬂuid-structure interaction algorithm applied to the piston problem, Computer methods in applied mechanics and engineering 167 (1998) 369–391 [2] S. Etienne, D. Pelletier, A general approach to sensi- tivity analysis of ﬂuid-structure interactions, J. Fluids Structures 21 (2005) 169–186

[3] B. Hübner, E. Walhorn, D. Dinkler, A monolithic approach to fluid-structure interaction using space-time fi- nite elements, Computer methods in applied mechanics and engineering 193 (2004) 2087–2104

[4] S. Piperno, Explicit/implicit ﬂuid/structure staggered procedures with a structural predictor and ﬂuid sub- cycling for 2d inviscid aeroelastic simulations, Int. J.

Numerical Methods in Fluids 25 (1997) 1207–1226 [5] C. Farhat, M. Lesoinne, P. Stern, S. Lant´eri, High per-

formance solution of three-dimensional nonlinear aeroelastic problems via parallel partitioned algorithms: me- thodology and preliminary results, Adv. Eng. Software 28 (1997) 43–61

[6] D. Abouri, A. Parry, A. Hamdouni, Fluid-rigid body dy- namic interaction in complex industrial ﬂow, Adv. ﬂuid Mechanics: Fluid structure interaction II, Wit Press (2003) 295–305

[7] A. de Boer, A.H. van Zuijlen, H. Bijl, Review of coupling methods for non-matching meshes, Computer methods in applied mechanics and engineering, 2006 doi :10.1016/j.cma.2006.03.01

[8] C. Farhat, M. Lesoinne, P. LeTallec, Load and motion transfer algorithms for ﬂuid/structure interaction problems with non-matching discrete interfaces : Momentum and energy conservation, optimal discretization and application to aeroelasticity, Computer methods in applied mechanics and engineering 157 (1998) 95–114

[9] N. Maman, C. Farhat, Matching ﬂuid and structure meshes for aeroelastic computations: a parallel approach, Computers & Structures 54-4 (1995) 779–785

[10] J. Donea, A. Huerta, J.-Ph. Ponthot, A. Rodriguez- Ferran, Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol. 1: Fundamentals, chapter Chapter 14: Arbitrary Lagrangian-Eulerian Methods, John Wiley & Sons, Ltd, 2004

[11] M. Souli, J.P. Zolesio, ALE formulation for ﬂuid-structure interaction problems, Computer methods in applied mechanics and engineering 191 (2000) 451–466

[12] V. Guimet, Analyse numérique et simulation de problèmes d’intéraction fluide-structure en régime incompressible, thèse de doctorat, Université Paris VI, 1998 [13] L. Longatte, V. Verreman, Z. Bendjeddou, M. Souli,

Comparison of strong and partitioned ﬂuid structure code coupling methods, in Proceeding of Insert Conference Abbreviation: 2005 ASME Pressure Vessels & Piping, Division Conference, Denver, Colorado, USA, July 17–

21, 2005

[14] C. Farhat, M. Lesoinne, N. Maman, Mixed explicit/implicit time integration of coupled aeroelastic problems: three ﬁeld formulation, geometric conservation and distribution solution, Int. J. Numerical Methods in Fluids 21 (1995) 807–835

[15] S. Piperno, C. Farhat, B. Larrouturou, Partitioned procedures for the transient solution of coupled aeroelastic problems – part I: Model problem, theory and two- dimensional application, Computer methods in applied mechanics and engineering 124 (1995) 79–112

[16] P.D. Thomas, C.K. Lombard, Geometric conservation law and its application to ﬂow computations on moving grids, AIAA J. 17 (1979) 1030–1037

[17] M.P. Pa¨ıdoussis, Dynamics of ﬂexible slender cylinders in axial ﬂox, Part 1, theory, J. Fluid Mech. 26-4 (1966) 717–736

[18] J.L. Lopes, M.P. Pa¨ıdoussis, C. Semler, Linear and nonlinear dynamics of cantilevered cylinders in axial ﬂow, Part 2: the equations of motion, J. Fluids and Structures, 16-6 (2002) 715–737

[19] M.A. Fernandez Varela, Modèles simplifiés d’intéraction fluide-structure, thèse de doctorat, Université Paris IX Dauphine, 2001

[20] J.Y. Renou, Une méthode eulérienne pour le calcul numérique de forces fluides-élastiques, thèse de doctorat, Université Paris VI, 1998