II – Accroissements finis

DÉRIVATION I – Nombre dérivé, fonction dérivée

Dans tout ce qui suit,Idésigne un intervalle deR^etx0∈I. 1^o) Dérivée en un point

Définition 1 :

Soitf une fonction définie surI.

On dit que f estdérivable enx0si la fonctionx7→ f(x)−f(x0)

x−x₀ (taux d’accroissement ou taux de varia- tion) admet une limite finie enx0. Dans ce cas, la limite est notéef⁰(x0) et appeléenombre dérivéde f enx0.

Remarque :

– Sif est dérivable enx0, on a donc lim

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0 =lim

h→0

f(x0+h)−f(x0)

h =f⁰(x0) . – Notation différentielle : on note aussi df

dx(x0) à la place def⁰(x0).

Exemple 1 : Si f est constante surI, alorsf est dérivable en toutx0∈Ietf⁰(x0)=0.

De même que pour la continuité, une fonction peut n’être dérivable qu’à droite ou qu’à gauche : Définition 2 :

Soitf une fonction définie sur un intervalleI, etx0∈I.

On dit quef estdérivable à droite enx0si la fonctionx7→ f(x)−f(x₀) x−x0

admet une limite finie à droite en

x0. Dans ce cas, la limite f_d⁰(x0)=lim

x→x0 x>x0

f(x)−f(x0)

x−x₀ est appeléenombre dérivé à droitedef enx0. On

dit quef estdérivable à gauche enx₀si la fonctionx7→ f(x)−f(x₀) x−x0

admet une limite finie à gauche en

x0. Dans ce cas, la limite f_g⁰(x0)=lim

x→x0 x<x0

f(x)−f(x0)

x−x₀ est appeléenombre dérivé à gauchedef enx0.

Remarque : f est dérivable enx₀ssif est dérivable à droite et à gauche enx₀etf_d⁰(x₀)=f_g⁰(x₀).

Propriété 1 :

Si f est dérivable en x₀, alors f est continue en x₀. Démonstration : ∀x∈I\ {x0}, en posantτ(x)= f(x)−f(x0)

x−x₀ , on écrit f(x)=f(x0)+τ(x)(x−x0), ce qui permet de passer à la limite...

Remarque : La réciproque est fausse, on le constatera plus loin... Il existe même des fonctions continues partout et dérivables nulle part, qu’il vaut mieux éviter de croiser car leur graphique a une allure plutôt étonnante.

Exemple 2 : La fonction partie entière.

Propriété 2 :

Si f est dérivable en x0et si f⁰(x0)6=0, alors f(x)−f(x0)∼

x0

f⁰(x0)(x−x0).

Remarque : On en déduit quef(x₀)+f⁰(x₀)(x−x₀) est la meilleure approximation affine def(x) au voisinage dex₀. De plus, l’équivalent précédent permet de préciser les choses : sif(x₀)6=0,f étant continue enx₀alorsf(x)∼_x

0

f(x₀).

Si f(x0)=0 etf⁰(x0)6=0, l’équivalent précédent donne f(x)∼_x

0

f⁰(x0)(x−x0). Si f(x0)=0 etf⁰(x0)=0, c’est vraiment pas de chance et il faudra attendre un chapitre ultérieur pour en savoir plus...

2^o) Interprétation graphique

On note Cf la courbe représentative de f, et M₀¡

x₀,f(x₀)¢

un point de Cf. Pour tout point M¡ x,f(x)¢

deCf, f(x)−f(x0)

x−x0

représente le coefficient directeur de la droite (M0M). Si f est dérivable enx0, alors la droite (M0M) tend vers une droite limite passant parM₀et de coefficient directeurf⁰(x₀) : la tangente àCf enx₀.

Définition 3 :

Soitf une fonction dérivable enx0.

On appelletangenteà la courbeCf au point d’abscissex0, la droite passant par le pointM0¡

x0,f(x0)¢ et de coefficient directeurf⁰(x₀).

Il est alors immédiat de déterminer une équation de la tangente : Propriété 3 :

Soit f une fonction dérivable en x0.

La tangente àCf en x0admet pour équation cartésienne y=f⁰(x0)(x−x0)+f(x0). Remarque :

– Sif n’est pas dérivable enx0parce que lim

x→x0

f(x)−f(x0)

x−x0 = +∞ou−∞, alorsCf admet une tangente verticale au point d’abscissex0.

– Sif n’est dérivable qu’à droite ou à gauche, on parle de demi-tangentes.

3^o) Fonction dérivée Définition 4 :

On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout x₀ ∈ I. Dans ce cas, la fonction f⁰ :

¯

¯

¯

¯

I −→ R

x 7−→ f⁰(x) est appeléefonction dérivéedef. On note D¹(I) l’ensemble des fonctions dérivables surI.

Exemple 3 : Dérivabilité dex7→ |x|,x7→p x.

Remarque :

– Sif est dérivable surI, alorsf est continue surI.

– Sif est dérivable surI, sa courbe représentative admet en tout point une tangente non verticale.

Les opérations sur les fonctions dérivables permettent de prouver rapidement la dérivabilité : Propriété 4 :

Soient f et g deux fonctions numériques définies et dérivables sur I . Alors : 1^o) ∀λ∈R,λf est dérivable sur I et(λf)⁰=λf⁰.

2^o) f+g est dérivable sur I et(f+g)⁰=f⁰+g⁰. 3^o) f g est dérivable sur I et(f g)⁰=f⁰g+f g⁰. 4^o) Si g ne s’annule pas sur I , 1

g est dérivable sur I et µ1

g

¶

= −g⁰ g². 5^o) Si g ne s’annule pas sur I , f

g est dérivable sur I et µf

g

¶

= f⁰g−f g⁰ g² .

Exemple 4 : Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques, puissances, exponentielles, logarithmes sont toutes dérivables sur leur ensemble de définition.

Théorème 1 :

Soit f une fonction définie sur I et à valeurs dans un intervalle J , et g une fonction définie sur J . On suppose que f est dérivable en un réel a∈I et que g est dérivable en f(a).

Alors g◦f est dérivable en a et (g◦f)⁰(a)=(g⁰◦f)(a)×f⁰(a).

Démonstration : En définissant la fonction taux d’accroissementτdegenb, on exprime le taux d’accroissement de g◦f enaen fonction deτ¡

f(x)¢

et du taux d’accroissement def ena.

Remarque :

– La formule (g◦f)⁰=f⁰×(g⁰◦f) peut se retrouver à partir de l’écriture différentielle : dy =g⁰(u)duet siu= f(x), alors du=f⁰(x)dx, d’où dy=g⁰(f(x))f⁰(x)dx.

– Attention : pas de rédaction du type « f est dérivable surIcomme composée de fonctions dérivables surI », ce n’est pas cohérent du point de vue des intervalles.

4^o) Dérivée d’une fonction réciproque

Graphiquement, il semble qu’une bijection réciproque soit dérivable là où la bijection est dérivable et sa dérivée est non nulle.

Théorème 2 :

Soit f une fonction définie et dérivable en x₀. On suppose que f est bijective sur I . Si f⁰(x0)6=0, alors f⁻¹est dérivable en y0=f(x0)et ¡

f⁻¹¢0

(y0)= 1

f⁰(x0) . Si f⁰(x0)=0, alors f⁻¹n’est pas dérivable en y0.

Démonstration : On écrit le taux d’accroissement de f⁻¹ eny₀ en fonction de la variablex=f⁻¹(y) uniquement.

Une composition de limites (où la continuité de f⁻¹en y₀ intervient) et un inverse de limites plus tard, le résultat s’affiche sous nos yeux incrédules.

Remarque : Attention : sif n’est pas dérivable enx0, il n’est pas exclu quef⁻¹soit dérivable eny0=f(x0).

On déduit alors la dérivabilité def⁻¹sur un intervalle : Corollaire 1 :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I , f bijective sur I .

Alors f⁻¹est dérivable sur J=f(I)en l’image par f de tout réel où f⁰ne s’annule pas : f⁻¹est dérivable en y=f(x)∈J ssi f⁰(x)6=0.

En notant A=©

x∈I, f⁰(x)=0ª

, on a ¡ f⁻¹¢0

= 1

f⁰◦f⁻¹ sur J\f(A).

Exemple 5 : Observons comment marche la formule et la condition de dérivabilité sur un cas bien connu : expo- nentielle et ln, puis fonction carré et racine carrée.

Application : dérivée des fonctions réciproques du chapitre précédent : Propriété 5 :

La fonctionpⁿ

est dérivable surR⁺_∗si n est pair, et surR^∗si n est impair. De plus, pour tout x appartenant à l’ensemble de dérivabilité on a ¡pn

x¢0

= pn

x nx . Démonstration : Application du corollaire précédent.

Remarque : SurR⁺_∗, rappelons que pⁿ

x=x¹ⁿ : on vient donc de montrer que³ xⁿ¹´0

= 1

nx¹ⁿ⁻¹, ce qui n’est pas très surprenant.

Propriété 6 :

arctanest dérivable surR^et∀x∈R^{, arctan0(x)}= 1 1+x² . Démonstration : Application du corollaire précédent.

Remarque :

– On est en mesure de compléter le tableau des dérivées usuelles avec la fonction arctan.

– la dérivation d’une fonction composée entraîne que pour toute fonctionudéfinie et dérivable surI, arctan(u) est dérivable surI et ¡

arctan(u)¢0

= u⁰ 1+u² .

II – Accroissements finis

1^o) Extremum et dérivée

Un extremum local se traduit graphiquement par une tangente horizontale : Propriété 7 :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I . Si f admet un extremum en x0∈I , alors f⁰(x0)=0.

Démonstration : On montre (pour un maximum local) quef_g⁰(x₀)≥0 etf_d⁰(x₀)≤0.

Remarque :

– Six0est une extrémité d’un intervalle fermé,f peut admettre un extremum enx0sans que la dérivée s’annule.

Contre-exemple facile à trouver (Id,...).

– On rappelle que la réciproque est fausse, comme le prouve le cas de la fonction cube. Pour la détermination pratique des extremums, on privilégie le tableau de variation.

2^o) Théorème de Rolle

Pour une fonction dérivable passant deux fois par la même valeur, on se convainc graphiquement du résultat suivant :

Théorème 3 :

Théorème de Rolle :

Soit f une fonction définie et continue sur[a,b], dérivable sur]a,b[(a<b). On suppose que f(a)=f(b).

Alors il existe c∈]a,b[tel que f⁰(c)=0.

Démonstration : f étant continue sur [a,b], elle est bornée sur ce segment et atteint ses bornes : on note mson minimum etMson maximum sur [a,b]. Soitm=Mauquel cas la démonstration est terminée, soit on applique la propriété 7.

Remarque : Le théorème de Rolle peut s’étendre au cas oùf est définie et continue sur [a,+∞[, dérivable sur ]a,+∞[, etf admet pour limitef(a) en+∞.

3^o) Théorème des accroissements finis

Théorème 4 :

Théorème des accroissements finis (TAF) :

Soit f une fonction définie et continue sur[a,b], dérivable sur]a,b[(a<b).

Alors il existe c∈]a,b[tel que f⁰(c)= f(b)−f(a) b−a .

Démonstration : On applique Rolle àgdéfinie parg(x)= f(b)−f(a)

b−a x−f(x).

Remarque :

– Le TAF possède une traduction graphique.

– Le TAF permet de relier une fonction et sa dérivée. Ainsi si l’on possède des renseignements sur la dérivée d’une fonction, il peut permettre de déterminer des propriétés de cette fonction.

– Un petit détour vers la résolution approchée d’équations s’impose : supposons qu’une fonction, qui est con- tinue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, s’annule en un réelα, et que l’on cherche à déterminer une valeur ap- prochée deαpar un algorithme. Les algorithmes usuels conduisent à la construction d’une suitexnà valeurs dans [a,b] censée s’approcher deα: tout le problème est de trouver un test d’arrêt, permettant de garantir une précisionεminimale. On peut envisager de s’arrêter soit lorsque|x_n+1−x_n| <ε, soit lorsque¯

¯f(x_n)¯

¯<ε, mais il faut avoir conscience qu’on n’est pas du tout certain qu’alorsxn est une valeur approchée deαà la précisionε. Dans le premier cas, tout dépend de la suite définie, il faut une étude au cas par cas. Dans le 2^ième cas, l’application du TAF sur l’intervalle de bornesxnetαdonne l’existence d’une constantecn∈]a,b[ telle que

f⁰(c_n)= f(xn)−f(α)

xn−α . Ceci donne|x_n−α| =

¯

¯f(xn)¯

¯

¯¯f⁰(c_n)¯

¯

< ε

¯

¯f⁰(c_n)¯

¯

. Il vaut donc mieux être sur un intervalle où la dérivée n’est pas trop petite (et notamment si¯

¯f⁰¯

¯est minorée parm, alors on a une majoration de l’erreur commise).

Exemple 6 : Montrer que∀x∈]0,+∞[\{1}, x−1

x <ln(x)<x−1.

Application : le TAF permet de prouver ce que l’on a admis depuis longtemps concernant le sens de variation d’une fonction :

Théorème 5 :

Soit f une fonction définie et continue sur[a,b], dérivable sur]a,b[.

– f est croissante sur[a,b]ssi f⁰(x)≥0pour tout x∈]a,b[.

– f est décroissante sur[a,b]ssi f⁰(x)≤0pour tout x∈]a,b[.

– f est constante sur[a,b]ssi f⁰(x)=0pour tout x∈]a,b[.

Démonstration : Le TAF prouve toute son efficacité sur ce théorème.

Remarque : Le théorème est vrai si l’on remplace [a,b] par n’importe quel type d’intervalle (la continuité sur l’intervalle et la dérivabilité sauf aux bornes suffisent). De plus, pour obtenir la stricte monotonie il suffit d’avoir des inégalités strictes dans le signe de la dérivée.

Exemple 7 : Où l’on s’intéresse de près à la fonctionx 7→arctan(x)+arctan µ1

x

¶

(par 2 méthodes, dérivée etx= tan(θ)).

Une condition nécessaire pour la stricte monotonie est que la dérivée reste strictement positive ou strictement négative :

Propriété 8 :

Soit f définie et dérivable sur un intervalle I .

Si f⁰est positive sur I et ne s’annule qu’un nombre fini de fois, alors f est strictement croissante sur I . Si f⁰ est négative sur I et ne s’annule qu’un nombre fini de fois, alors f est strictement décroissante sur I .

III – Dérivées d’ordre supérieur

Dans tout ce qui suit, on considère une fonctionf définie sur un intervalleIdeR. 1^o) Dérivées successives

Définition 5 :

On appelledérivéen^ièmedef la fonction – notéef⁽ⁿ⁾– définie (lorsque cela est possible) surIpar récur- rence : f⁽⁰⁾=f et∀k∈££

0,n−1¤¤

, sif^(k)est dérivable surI, f^(k+1)=³ f^(k)´₀

. Lorsqu’une telle définition est possible, on dit quef estnfois dérivable surI.

Remarque :

– attention à la rigueur dans les notations : f⁽ⁿ⁾6=fⁿ. – f⁽²⁾=(f⁰)⁰=f⁰⁰. On note aussif⁰⁰=d²f

dx², et plus généralementf⁽ⁿ⁾=dⁿf dxⁿ. – Sif estnfois dérivable surI, alorsf estkfois dérivable surIpour toutk∈££

0,n¤¤ . Exemple 8 : Dérivéen^ièmed’exponentielle, sinus (on montre que sin⁽ⁿ⁾(x)=sin³

x+nπ 2

´

), cosinus (on montre que cos⁽ⁿ⁾(x) = cos³

x+nπ 2

´), fonction puissance à exposant entier, inverse (on montrera en TD que µ1

x

¶(n)

=(−1)ⁿn!

xⁿ⁺¹ ).

La dérivéen^ièmeest linéaire (comme la dérivée première) : Propriété 9 :

Soient f et g deux fonctions définies et n fois dérivables sur I , où I est un intervalle I et n∈N^.

∀(λ,µ)∈R^2,λf +µg est n fois dérivable sur I et (λf +µg)⁽ⁿ⁾=λf⁽ⁿ⁾+µg⁽ⁿ⁾ .

2^o) Fonctions de classeCⁿ Définition 6 :

On dit que la fonction f estde classeCⁿ surI (oun fois continûment dérivable sur I) si f estn fois dérivable surI, et sif⁽ⁿ⁾est continue surI. On note Cⁿ(I) l’ensemble des fonctions définies surI, de classe CⁿsurI.

Remarque :

– C⁰(I) désigne donc l’ensemble des fonctions continues surI. C¹(I) désigne l’ensemble des fonctions dériv- ables surI dont la dérivée est continue surI.

– Sif ∈Cⁿ(I), alors ses dérivéesk^ièmessont toutes continues, pourk∈££ 0,n¤¤

: C⁰(I)⊃C¹(I)⊃C²(I)⊃. . .⊃Cⁿ(I).

– Sif ∈Cⁿ(I), alors∀k∈££ 0,n¤¤

,f^(k)∈C^n−k(I).

Exemple 9 : f définie surR^parf(x)=x²sin µ1

x

¶

six6=0 etf(0)=0 : f est-elle de classe C¹en 0 ? Et que se passe-t-il donc six³est préféré àx²?

Opérations sur les fonctions de classe Cⁿ: Propriété 10 :

Soit(f,g)∈(Cⁿ(I))²où n∈N^. 1^o) ∀(λ,µ)∈R^2,λf+µg∈Cⁿ(I).

2^o) f g∈Cⁿ(I).

3^o) Si g ne s’annule pas sur I , alors1

g ∈Cⁿ(I)et f

g ∈Cⁿ(I).

Propriété 11 :

Soit f : I−→R^{et g : J}−→Rdeux fonctions telles que f(I)⊂J . Si f ∈Cⁿ(I)et g∈Cⁿ(J), alors g◦f ∈Cⁿ(I).

Définition 7 :

On dit que la fonctionf estde classeC^∞surI (ou indéfiniment dérivable surI) si f admet une dérivée n^ièmesurI pour toutn∈N^{. On note} C^∞(I) l’ensemble des fonctions définies surI, de classe C^∞surI.

Remarque : f ∈C^∞(I) ⇐⇒¡

∀n∈N^{, f} ∈Cⁿ(I)´

mais pour montrer qu’une fonction est de classe C^∞on se contente de montrer que pour toutn∈N^,f est dérivablenfois. De plus, sif ∈C^∞(I) alors pour toutn∈N^,f(n)∈C^∞(I).

Opérations sur les fonctions de classe C^∞: Propriété 12 :

Soit(f,g)∈(C^∞(I))²où n∈N^. 1^o) ∀(λ,µ)∈R^2,λf+µg∈C^∞(I).

2^o) f g∈C^∞(I).

3^o) Si g ne s’annule pas sur I , alors1

g ∈C^∞(I)et f

g ∈C^∞(I).

Propriété 13 :

Soit f : I−→R^{et g : J}−→Rdeux fonctions telles que f(I)⊂J . Si f ∈C^∞(I)et g∈C^∞(J), alors g◦f ∈C^∞(I).

Exemple 10 : Fonctions polynômes, circulaires, exponentielle, inverse, logarithme.