ECE1 Année 2018-2019
Fiche d’exercices : ETUDE ASYMPTOTIQUE DES SUITES
Exercice 1 : (∗)
Calculer si elle existe la limite de la suite(un)n∈N∗ : 1. un= 3n2+ 4n− 1
n 2. un= 3− 5
n 3. un= 2 +n1
n3 4. un=
−2 +√1
n
4−e−n
5. un= 12n+ 1
1
2n −1 6. un= 7n 4n+1 − 1
n2 7. n+ (−1)n
(0.5)n+ 1 8. un= 2n−1 3n+ 1
9. un= ln(1 n − 1
n2 10. un= 5 n√
n 11. un= n+ 1
(0,1)n+ 3 12. un= 7n 22n
Exercice 2 : (∗∗)
Calculer si elle existe la limite de la suite(un)n∈N∗ : 1. un= ln(3n)
n 2. un= e2n
n 3. un= en+n
n 4. un= 2n+ 1 n
5. un= n! + 3n+1
2n 6. un=
√en
n 7. un= en+1
n2 8. un= ln(n) +en n3 Exercice 3 : (∗)
Soit un=
n
X
k=0
1 2k+k.
1. En remarquant que pour tout entier n,2n+n>2n, montrer queu est bornée.
2. En déduire que u converge et que sa limite vérifie16l62.
Exercice 4 : (∗∗)
On pose pour tout entiern>1, un=
n
X
k=1
(−1)k
k , vn=u2n etwn=u2n−1. 1. Montrer que les suites v etwsont adjacentes.
2. Qu’en déduisez-vous quant à la limite de u? Exercice 5 : (∗∗)
Soient (un)n∈N et(vn)n∈N les suites définies par u0 = 1, v0= 2 et :
∀n∈N, un+1 = un+vn
2 etvn+1= un+1+vn
2 1. Montrer par récurrence que :∀n∈N, vn>un>0.
2. Montrer que : ∀n∈N, vn+1−un+1 = 14(vn−un).
En déduire que pour tout entiern,vn−un6 41n. 3. Vérifier que u etvsont adjacentes.
4. Ecrire un programme informatique qui calcule une valeur approchée à 10−6 près de sa limite.
1
Exercice 6 : (∗ ∗ ∗)
Soit (un)n∈N∗ la suite de terme général : un= 1 n2
n
X
k=1
bkπc.
1. Etablir en utilisant la définition de la partie entière un encadrement de bxc, pour tout entier k non nul.
2. En déduire que pour tout n∈N∗, n+ 1 2n π− 1
n2 6un6 n+ 1 2n π.
3. Montrer que la suite (un)n∈N∗ est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 7 : (∗)
Soit (un)n∈N la suite définie par u0 = 0 et :
∀n∈N, un+1=√ un+ 6 1. Montrer que : ∀n∈N,06un63.
2. Montrer que la suite (un) est croissante.
3. Que peut-on en déduire ?
4. Montrer que : ∀n∈N |un+1−3|6 1
3|un−3|
5. En déduire que : ∀n∈N |un−3|6 Å1
3 ãn−1
6. Conclure Exercice 8 : (∗)
On considère la suite (un)n∈N définie par son premier termeu0 = 1 et par la relation :
∀n∈N, un+1= 2un 3un+ 1 1. Montrer que : ∀n∈N un> 1
3. 2. Montrer que : ∀x∈
ï1 3,+∞
ï 2x 3x+ 1 6 x
2 +1 6. 3. Montrer que : ∀n∈N un+16 u2n +16.
4. En déduire que : ∀n∈N, un6 13 +3×21n−1.
5. Déduire des questions précédentes que la suite(un)converge et donner sa limite.
2
Exercice 9 : (∗∗)
On considère la suite (un)n∈N définie par son premier termeu0 = 3 et par la relation :
∀n∈N, un+1 =
4 +u2n 2 1. Montrer par récurrence que pour tout entier n,un>2.
2. Montrer que la suite u est décroissante. En déduire qu’elle converge.
3. En passant à la limite dans la relation un+1=
q4+u2n
2 , déterminer la limite de(un).
Exercice 10 : (∗∗)
On considère la suite (un)n∈N définie paru0 = 2 etun+1 = 1 +u2n 2un
. 1. Etablir que : ∀n∈N, un>1.
2. Montrer que (un) converge et déterminer sa limite.
3. On suppose à présent que u0 = 12. Montrer que dans ce cas,∀n>1, un>1.
Conclure.
Exercice 11 : (∗∗)
On définit une suite (un) paru0 = 1 et :∀n∈N, un+1 = 1 + un
n+ 1. 1. Etablir que : ∀n∈N, 16un62.
2. Montrer que (un) converge vers 1.
Exercice 12 : (EDHEC)
On désigne parn un entier supérieur ou égal à 3.
On note fnla fonction définie sur R∗+ par : ∀x >0, fn(x) =x−nln(x).
1. Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet exactement deux solutions. En notant un la plus petite et vn la plus grande de ces deux solutions, on vérifiera que :∀n>0< un< n < vn 2. Quelle est la nature de la suite (vn)n>3?.
3. (a) Montrer que ∀n>3, 1< un< e.
(b) Montrer que∀n>3, fn(un+1) = ln(un+1). En déduire le sens de variation de (un)n>3. (c) Montrer que(un)n>3 est convergente, puis en encadrant ln(un), établir que lim
n→+∞un= 1.
Exercice 13 : (HEC)
Soit f la fonction définie sur ]0,+∞[parf(x) =x+ ln(x).
1. Prouver que f est une bijection strictement croissante de ]0,+∞[surR.
2. (a) Pour toutn∈N∗, montrer que l’équation x+ ln(x) =n possède une unique solution, que l’on noteraxn.
(b) Calculerx1. Etudier la monotonie et la convergence de la suite (xn).
3. (a) Pour toutn deN∗, comparer f(n)etn. En déduire que xn6n.
(b) En déduire que :∀n∈N∗, n−ln(n)6xn. (c) Déterminer lim
n→+∞
xn
n
3
Exercice 14 : (ESSEC) On pose :
(u0 = 2, u1= 0, u2= 7
∀n∈N, un+3 = 3un+1−2un On pose M =
Ö 0 1 0 0 0 1
−2 3 0 è
et on pose, pour tout entier natureln:Xn=
Ö un un+1
un+2
è
.
1. Pour tout entier naturel n, que vaut le produit M Xn? En déduire Xn en fonction de M et X0.
2. Montrer que quel que soit l’entier natureln, la première ligne de Mn est : Å1
9((−2)n−6n+ 8) 1
9((−2)n+1+ 3n+ 2) 1
9((−2)n+ 3n−1) ã
3. En déduire, pour tout entier natureln, l’expression deun en fonction den.
Exercice 15 : (HEC)
On note E l’ensemble des fonctions continues surR vérifiant :
∀t∈R, f(t) =f(1 + t 2)
1. Soit xun réel donné. On définit la suite (xn) parx0 =x et∀n∈N,2xn+1−xn−2 = 0 (a) Montrer que :∀n∈N, xn= 2 + x−22n
(b) En déduire que la suite(xn)converge et déterminer sa limite.
2. On considère une fonction f de E. Montrer que la suite (f(xn)n∈Nest constante. En déduire quef est constante.
3. Quel est l’ensemble E ? Exercice 16 : (EDHEC)
Pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 3, on pose :
∀x∈[e,+∞[, fn(x) = exp Åx
n ã
−x
1. Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet une unique solution, notée bn sur[e,+∞[.
2. Montrer que, pour tout n>3, bn>nlnn, puis en déduire la limite de la suite (bn).
3. (a) Etudier sur ]0,+∞[la fonction g définie par :∀x >0, g(x) =x−2 lnx.
(b) En déduire le signe de fn(2nlnn), puis donner un encadrement debn, puis de ln(bn).
(c) En déduire alors lim
n→+∞
bn nlnn
4