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Calculer si elle existe la limite de la suite(un)n∈N

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Academic year: 2022

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(1)

ECE1 Année 2018-2019

Fiche d’exercices : ETUDE ASYMPTOTIQUE DES SUITES

Exercice 1 : (∗)

Calculer si elle existe la limite de la suite(un)n∈N : 1. un= 3n2+ 4n− 1

n 2. un= 3− 5

n 3. un= 2 +n1

n3 4. un=

−2 +1

n

4−e−n

5. un= 12n+ 1

1

2n −1 6. un= 7n 4n+1 − 1

n2 7. n+ (−1)n

(0.5)n+ 1 8. un= 2n−1 3n+ 1

9. un= ln(1 n − 1

n2 10. un= 5 n√

n 11. un= n+ 1

(0,1)n+ 3 12. un= 7n 22n

Exercice 2 : (∗∗)

Calculer si elle existe la limite de la suite(un)n∈N : 1. un= ln(3n)

n 2. un= e2n

n 3. un= en+n

n 4. un= 2n+ 1 n

5. un= n! + 3n+1

2n 6. un=

√en

n 7. un= en+1

n2 8. un= ln(n) +en n3 Exercice 3 : (∗)

Soit un=

n

X

k=0

1 2k+k.

1. En remarquant que pour tout entier n,2n+n>2n, montrer queu est bornée.

2. En déduire que u converge et que sa limite vérifie16l62.

Exercice 4 : (∗∗)

On pose pour tout entiern>1, un=

n

X

k=1

(−1)k

k , vn=u2n etwn=u2n−1. 1. Montrer que les suites v etwsont adjacentes.

2. Qu’en déduisez-vous quant à la limite de u? Exercice 5 : (∗∗)

Soient (un)n∈N et(vn)n∈N les suites définies par u0 = 1, v0= 2 et :

∀n∈N, un+1 = un+vn

2 etvn+1= un+1+vn

2 1. Montrer par récurrence que :∀n∈N, vn>un>0.

2. Montrer que : ∀n∈N, vn+1−un+1 = 14(vn−un).

En déduire que pour tout entiern,vn−un6 41n. 3. Vérifier que u etvsont adjacentes.

4. Ecrire un programme informatique qui calcule une valeur approchée à 10−6 près de sa limite.

1

(2)

Exercice 6 : (∗ ∗ ∗)

Soit (un)n∈N la suite de terme général : un= 1 n2

n

X

k=1

bkπc.

1. Etablir en utilisant la définition de la partie entière un encadrement de bxc, pour tout entier k non nul.

2. En déduire que pour tout n∈N, n+ 1 2n π− 1

n2 6un6 n+ 1 2n π.

3. Montrer que la suite (un)n∈N est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 7 : (∗)

Soit (un)n∈N la suite définie par u0 = 0 et :

∀n∈N, un+1=√ un+ 6 1. Montrer que : ∀n∈N,06un63.

2. Montrer que la suite (un) est croissante.

3. Que peut-on en déduire ?

4. Montrer que : ∀n∈N |un+1−3|6 1

3|un−3|

5. En déduire que : ∀n∈N |un−3|6 Å1

3 ãn−1

6. Conclure Exercice 8 : (∗)

On considère la suite (un)n∈N définie par son premier termeu0 = 1 et par la relation :

∀n∈N, un+1= 2un 3un+ 1 1. Montrer que : ∀n∈N un> 1

3. 2. Montrer que : ∀x∈

ï1 3,+∞

ï 2x 3x+ 1 6 x

2 +1 6. 3. Montrer que : ∀n∈N un+16 u2n +16.

4. En déduire que : ∀n∈N, un6 13 +3×21n−1.

5. Déduire des questions précédentes que la suite(un)converge et donner sa limite.

2

(3)

Exercice 9 : (∗∗)

On considère la suite (un)n∈N définie par son premier termeu0 = 3 et par la relation :

∀n∈N, un+1 =

 4 +u2n 2 1. Montrer par récurrence que pour tout entier n,un>2.

2. Montrer que la suite u est décroissante. En déduire qu’elle converge.

3. En passant à la limite dans la relation un+1=

q4+u2n

2 , déterminer la limite de(un).

Exercice 10 : (∗∗)

On considère la suite (un)n∈N définie paru0 = 2 etun+1 = 1 +u2n 2un

. 1. Etablir que : ∀n∈N, un>1.

2. Montrer que (un) converge et déterminer sa limite.

3. On suppose à présent que u0 = 12. Montrer que dans ce cas,∀n>1, un>1.

Conclure.

Exercice 11 : (∗∗)

On définit une suite (un) paru0 = 1 et :∀n∈N, un+1 = 1 + un

n+ 1. 1. Etablir que : ∀n∈N, 16un62.

2. Montrer que (un) converge vers 1.

Exercice 12 : (EDHEC)

On désigne parn un entier supérieur ou égal à 3.

On note fnla fonction définie sur R+ par : ∀x >0, fn(x) =x−nln(x).

1. Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet exactement deux solutions. En notant un la plus petite et vn la plus grande de ces deux solutions, on vérifiera que :∀n>0< un< n < vn 2. Quelle est la nature de la suite (vn)n>3?.

3. (a) Montrer que ∀n>3, 1< un< e.

(b) Montrer que∀n>3, fn(un+1) = ln(un+1). En déduire le sens de variation de (un)n>3. (c) Montrer que(un)n>3 est convergente, puis en encadrant ln(un), établir que lim

n→+∞un= 1.

Exercice 13 : (HEC)

Soit f la fonction définie sur ]0,+∞[parf(x) =x+ ln(x).

1. Prouver que f est une bijection strictement croissante de ]0,+∞[surR.

2. (a) Pour toutn∈N, montrer que l’équation x+ ln(x) =n possède une unique solution, que l’on noteraxn.

(b) Calculerx1. Etudier la monotonie et la convergence de la suite (xn).

3. (a) Pour toutn deN, comparer f(n)etn. En déduire que xn6n.

(b) En déduire que :∀n∈N, n−ln(n)6xn. (c) Déterminer lim

n→+∞

xn

n

3

(4)

Exercice 14 : (ESSEC) On pose :

(u0 = 2, u1= 0, u2= 7

∀n∈N, un+3 = 3un+1−2un On pose M =

Ö 0 1 0 0 0 1

−2 3 0 è

et on pose, pour tout entier natureln:Xn=

Ö un un+1

un+2

è

.

1. Pour tout entier naturel n, que vaut le produit M Xn? En déduire Xn en fonction de M et X0.

2. Montrer que quel que soit l’entier natureln, la première ligne de Mn est : Å1

9((−2)n−6n+ 8) 1

9((−2)n+1+ 3n+ 2) 1

9((−2)n+ 3n−1) ã

3. En déduire, pour tout entier natureln, l’expression deun en fonction den.

Exercice 15 : (HEC)

On note E l’ensemble des fonctions continues surR vérifiant :

∀t∈R, f(t) =f(1 + t 2)

1. Soit xun réel donné. On définit la suite (xn) parx0 =x et∀n∈N,2xn+1−xn−2 = 0 (a) Montrer que :∀n∈N, xn= 2 + x−22n

(b) En déduire que la suite(xn)converge et déterminer sa limite.

2. On considère une fonction f de E. Montrer que la suite (f(xn)n∈Nest constante. En déduire quef est constante.

3. Quel est l’ensemble E ? Exercice 16 : (EDHEC)

Pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 3, on pose :

∀x∈[e,+∞[, fn(x) = exp Åx

n ã

−x

1. Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet une unique solution, notée bn sur[e,+∞[.

2. Montrer que, pour tout n>3, bn>nlnn, puis en déduire la limite de la suite (bn).

3. (a) Etudier sur ]0,+∞[la fonction g définie par :∀x >0, g(x) =x−2 lnx.

(b) En déduire le signe de fn(2nlnn), puis donner un encadrement debn, puis de ln(bn).

(c) En déduire alors lim

n→+∞

bn nlnn

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