Dérivation – Exercices

(1)

DAEU-B – Maths Dérivation – Exercices UGA 2020-2021

Dérivation – Exercices

1 Définitions

Exercice n^o 1

En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que la fonctionf(x) =x²+x−1 est dérivable en1 et calculerf⁰(1).

Exercice n^o 2

En utilisant la définition de la dérivée, trouver la formule de la fonction dérivée de la fonctionf(x) = _x¹ surR\{0}, puis déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative def au point d’abscisse 3.

Exercice n^o 3

Soitf la fonction définie surR\ {−1} parf(x) = x²

x+ 1. En utilisant la définition de la dérivée, montrer que la fonctionfest dérivable en1, puis déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative def au point d’abscisse 1.

Exercice n^o 4

En utilisant la définition de la dérivée, montrer que la fonctionf(x) = _3x2¹−3 est dérivable en0.

2 Calculs de Dérivées

Exercice n^o 5

On considère la fonctionf définie sur Rparf(x) = 3x²−5x.

a. Calculer la dérivéef⁰ de f. b. Etudier le signe def⁰.

c. En déduire le tableau de variation de la fonction f et montrer que f admet un minimum sur R, que l’on précisera.

Exercice n^o 6

On considère la fonctionf définie surRparf(x) =x³−3x−3. On noteC_f sa représentation graphique.

a. Calculer la dérivéef⁰ de f, et étudier son signe.

b. Donner le tableau de variation de la fonction f.

c. Déterminer une équation de la tangente àC_f au point d’abscisse 0.

d. Démontrer que l’équationf(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [2; 3].

Exercice n^o 7

Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, donner l’ensemble de définition, l’ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est dérivable, puis la formule de la fonction dérivée :

f(x) = 3x⁴−2x³+ 5x−4 ; g(x) =x²+ 3x− 1 x² h(x) =√

x

1− 1 x

; l(x) = x+ 5 x²+ 1 m(x) = (2x+ 3)(3x−7) ; n(x) = 2x+ 4

3x−1 r(x) = x²−1

x ; s(x) = x²−1 x+ 2

-1-

(2)

Exercice n^o 8

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a. f(x) = 6−3x⁵+√ x+1

x; b. f(x) =x²sin(x);

c. f(x) = 1 x²+ 2; d. f(x) = (2x+ 1)⁷;

Exercice n^o 9 (CC2 2016-2017) Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a. f(x) = 3x⁴−7x³+ 10; b. f(x) =

√x+ 1 2x+ 1 ; c. f(x) = sin(_x¹);

Exercice n^o 10 (CC2 2016-2017)

On considère une fonctionf de la forme f(x) = _x^a2 +x, où aest un réel fixé. Déterminera pour que la courbe représentative def ait une tangente horizontale en x= 2.

Exercice n^o 11 (Examen 2016-2017) Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a. f(x) = 2x⁵−7x²+ 13; b. f(x) = cosx

x²+ 1; c. f(x) =√

x²+ 1;

Exercice n^o 12 (Examen 2e session 2016-2017) Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a. f(x) = sin(x)√ x; b. f(x) = (x²+¹_x)⁷; Exercice n^o 13

Mêmes questions que dans l’Exercice7:

f(x) = (x²−5)⁴ ; g(x) = tan(2x) h(x) =p

x²+ 5x−6 ; l(x) = 1

√ 1 +x² m(x) = cos(x²) ; n(x) = cos²x r(x) = sin(3x).cos(2x) ; s(x) =p

3 + cos²x a(x) = sin(3x)

x ; b(x) = 1

(3x+ 6)²

-2-

(3)

3 Etude de fonction

Exercice n^o 14

SoitC la représentation graphique de la fonction f définie sur R\ {2} par :

f(x) = x²+ax+b x−2 , oùaetb sont deux réels.

a. Déterminerf⁰(x).

b. Déterminer la valeur des réelsaetbtels que la droite d’équation y= 8 soit tangente à C au point d’abscisse 3. Dans la suite, on travaillera avec ces valeurs de aetb.

c. Déterminer les limites de f lorsque x tend vers +∞, vers −∞, et vers 2 (limites à droite et à gauche).

d. Déduire de la question précédente queC admet une asymptote dont on précisera une équation.

e. Déterminer l’abscisse de l’autre point deC où la tangente est horizontale.

Exercice n^o 15 (Test 2, 2016-2017)

SoitC la courbe représentative de la fonctionf(x) = 2x³−2x²−2x+ 1.

a. Calculer la dérivéef⁰ de f.

b. En étudiant le signe def⁰, dresser le tableau de variations def. On indiquera les limites éventuelles de f aux bornes de chaque intervalle où f est monotone.

c. Montrer que f admet un minimum sur l’intervalle [0; +∞[, donner sa valeur et l’endroit où il est atteint.

d. Donner l’équation de la droiteD tangente àC au point d’abscisse −1.

Exercice n^o 16 (Examen 2016-2017)

Soit f la fonction définie par f(x) = _x+1¹ et C_f sa courbe représentative. Soit D la droite d’équation y= 4−x.

a. Quel est l’ensemble de définition def?

b. Faire un dessin à main levée représentantCf etD dans un repère orthonormé.

c. Déterminer les coordonnées des points d’intersections de Cf et de la droite D.

d. Déterminer une équation de la tangente àCf en 2.

e. On note h(x) = _x+1¹ −4 +x. Déterminer le tableau de variations de la fonctionh. Pensez à faire apparaître les valeurs ou limites de h aux bornes des intervalles où elle est monotone et à justifier tous les calculs.

f. La fonctionh admet-elle un minimum sur[0,+∞[? Un maximum ? Exercice n^o 17 (Examen 2ème session, 2016-2017)

On notef la fonction définie parf(x) = 6−5x−x².

a. Résoudre l’équationf(x) = 0.

b. Factoriserf(x).

c. Résoudre l’inéquationf(x)≤0.

d. Calculer la dérivée de f.

e. Donner le tableau de variations defen précisant ses limites et ses extrema s’ils existent.

f. Dessiner la courbe représentative de f.

-3-

(4)

Exercice n^o 18 (Examen 2015-2016) Soitf la fonction définie par

f(x) = 3

2x²−2x−4 + 4 (x+ 1)² Une partie de la courbe représentativeC_f de f est représentée ci-dessous :

−3 −2 −1 1 2 3 4

−5 5 10 15 20

x y

a. Déterminer le domaine de définitionD_f def. b. Etudier les limites def en +∞ et−∞.

c. Etudier la limite def en−1.

d. Calculer la dérivéef⁰ de f.

e. Déterminer l’équation de la tangente à la courbeC_f enx= 0.

Pour la suite, on pourra utiliser sans justifier que la dérivée f⁰ de f vérifie f⁰(x) = 1

(x+ 1)³(x²+x−2)(3x²+ 4x+ 5) f. Etudier le signe dex²+x−2et de 3x²+ 4x+ 5suivant les valeurs dex.

g. Etudier le signe def⁰(x), et dresser le tableau de variations de f.

h. Montrer quef admet un unique minimum sur]−1,+∞[, qu’onprécisera.

i. Déterminer le nombre de solutions de l’équationf(x) =−3.

-4-