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Fiche d’approfondissement 04 :
Equation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants avec second membre dépendant du temps
Lorsqu’un système linéaire est soumis à une excitation sinusoïdale de pulsation ω, le signal de sortie est décrit par une équation différentielle de la forme :
𝑑!𝑠 𝑑𝑡! +𝜔!
𝑄 𝑑𝑠
𝑑𝑡+𝜔!!𝑠= 𝜔!!×𝑒(𝑡)
Equation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficient constant avec second membre dépendant du temps, correspondant à un régime forcé.
Régime transitoire et régime permanent :
La solution de l’équation différentielle est la somme de deux termes : 𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 +𝑠! 𝑡
• 𝑠! 𝑡 : solution générale de l’équation homogène associée !!"!!!+!!!!"!"+𝜔!!𝑠 =0
Cette solution correspond à un régime libre qui tend vers zéro donc qui devient négligeable au bout d’un certain temps : 𝜎!~!!
!
• 𝑠! 𝑡 : solution particulière de l’équation complète. Pour une excitation sinusoidale, on a une
solution sinusoidale de même pulsation que le signal excitateur, correspondant à un régime forcé : 𝑠! 𝑡 = 𝑈!cos(𝜔𝑡+𝜑)
Avec 𝑈! : amplitude ; 𝜔𝑡+𝜑 : phase ; φ : phase à l’instant d’origine de l’excitation.
On distingue deux régimes :
• Régime transitoire : t < τr, 𝑠 𝑡 =𝑠! 𝑡 + 𝑠!(𝑡)
• Régime permanent (forcé) : t > τr, 𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝑠!(𝑡) ≈𝑠! 𝑡 =𝑈!cos(𝜔𝑡+𝜑)
Après une courte durée, la solution s(t) obéissant à l’équation différentielle est donc : 𝑠 𝑡 =𝑈!cos(𝜔𝑡+𝜑)
L’expérience montre que 𝑈! et 𝜑 dépendent de la fréquence (ou de la pulsation) du signal d’entrée. On cherche donc à connaître leur évolution en fonction de 𝜔.
Détermination de la réponse forcée 𝑠! 𝑡 : résolution par la méthode des complexes
La méthode complexe vue dans la fiche d’approfondissement 03 s’applique toujours. En général, on se contente d’obtenir les fonctions 𝑈! 𝜔 et 𝜑 𝜔 . On étudie lors comportement en fonction de la pulsation, pour mettre en évidence un éventuel phénomène de résonance.