Radial Basis Functions and Kriging Metamodels for Aerodynamic Optimization
44
0
0
Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Radial Basis Functions and Kriging Metamodels for Aerodynamic Optimization Praveen. C — R. Duvigneau. N° 6151 March 2007. ISSN 0249-6399. apport de recherche. ISRN INRIA/RR--6151--FR+ENG. Thème NUM.
(3)
(4)
(5) !! " #$%& '(#) * ,+-#$ .'0/0& 132(& 4)5 86 7:9<;>=?=<@$ACBEDGFHAJI0K%;%LNMO@%=P9QK R)SUTV'WXZY8[]\ ^<_<`bacTV'W`ed?fUVhgicjlk<fPW` mJibnpobWaZq5m>rZst uevxwUwynzi{a}|UW icW~SPWic~SPW
(6) dQP e\ [Hvxic~Sxz\ wvzW` 0 .pUx m nxwUfUvpajnxd v`cW|¡nxwPajlVhjl¢vacjnzd VhWaSUn<|U`(jl£xW¤xWdUWaj~¥vxlznzibjlaSPVh` vxdU|'wvxibacj~W)`b¦§vxibV
(7) nzwPajlVhjl¢vacjnzdCvxicW)¨xWib_'zWdUWicvxQvxdU|'icnxUfU`baUfPaG~vxdyW}~nz`{al_ `cjdP~WaSUW_©icWk?fUjibW'vxicxWªd?fUVªyWi nx«G«NfUdU~acjnzd¬W¨xvfvacjnzdP`ªR)SUW'~nx`ba®_«NfUdP~ajlnzd W¨vxfUvajlnzdU`~vdCyWibWwUvx~W|C_ ~SUWvw>Wi.V'n|UW`¯¦}SUjl~SvxibWGibW«NWicW|an°vx`J±²<³´³µc¶·x¸º¹ nzi»¹¸¼·Vhn<|UW` ¾½°WicW¤¦W¤~nzdP`cj|PWi0|vpavp¼¿UacacjdUÀVhn<|UWl`Á)wvibajl~fUvxic®_Âiv|Ujvx vx`cjl`e«NfPdU~acjnzdU`°vxdU|£<ibjzjldUU§ÃÀW`bafP|P_HacSUWw>Wib«NnzibVvxdP~Wnx«ÄaSPW`cWCjdaWicwynzvacjnzd Vhn<|UWl`$nzd`cnzV'W vxdvl_?ajl~vxy«NfUdU~acjnzdP`°vdU|vWicn<|P_<dvxV'j~Z|vavJŧnxaSaSPWV'n<|UWl` Sv¨zWwUvxivxV'WacWib`'¦}SUjl~SÆVªfP`bah>W`cWW~aW|Ç~vxibW«NfUll_ÈacnÉWdU`cfUibWzn<n<|Ævx~~fUicvx~_x ÊQnxi°ueÅ$ʧÁ¦WªjV'wUlWV'WdaevhlWv¨zW´ nzdUW´ nzfa°¨vxlj|vacjnzd0acW~SUdPjk?fUWvxdP|«Nnzi}£?icjxjdUUÁ aSUWËwvxicvxV'WaWic`vxibW'|PWaWicV'jdUW|À_¬VhvpÌjV'j¢jdU'aSUW'wUicnxvxUjljla _H|UWdU`cj®a _¬nx«acSUW v:¨vxjlvxPWe|vavªfP`cjdPËvªwvxibacj~WZ`{¦$vicV nxwPajlVhjl¢vacjnzd¯%R)SUW5V'WavxVhn<|UW`$vicWZacSUWd jV'wUWVhWd?acW|(jldacSUW `cSvw>W nzwPacjV'j¢vajlnzdwUvac«NnxicVÍÊr5[q^<rC ÎHÏÐOÑbÒªÓ pÔ x [HWavxVhn<|UW`ÁPivx|Ujvx¯v`cj`$«NfPdU~acjnzdU`Á£?icjxjdUUÁnzwPacjV'j¢vpajnxd ∗. ∗. ÕQÖ¼×´ØNÙbÚºÛÜ<ÙcÝ´ÞÆß àpÝáâÙãPäååæ¯çéèè´êêêëìíæ¯î ïbðñzïòyîôóñ èíæ:ò:õö ÷ Þ$ÙºÛ¼ÝÞ$×ø Ù{áùûúݧާ×:ø:Ùbá?×´üUݧާ×:ø:Ùbá. Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France) Téléphone : +33 4 92 38 77 77 — Télécopie : +33 4 92 38 77 65.
(8) # Ä( # #$ !#}!# 2©( 2(& $ .'0/0& '(#
(9) sW`JVhgaSUn<|UW`|ânxwPajlVhjl`vacjnzdvx`cgW`G`cfUi|PW`Gw>nzwPfUvacjnzdP`.~nxVhV'W$W` vxznxicjlacSUV'W`yzgdUgajlk<fPW`Wa% nzwPacjV'j`cvajlnzd}wvxiW`b`vxjlV |UWwvibajl~fUlW`¯`bnzdaaicT`zgdUg´ ivxlW`Wa%ibnzUfU`{aW`ÁxVhvxj`O`cnzfP¨xWdaÄ~nPacWfU`bW`%~vxiWlW`dUg~W`c`bjlacWdaÄfUddUnzVCUicWjlVhwynzi{ avxdae| g¨vxfUvajlnzdU`)|UW vª«NnzdP~ajlnzdUdUWlWx§W`eg¨vxlfvacjnzdU`§~nPacWfU`bW`°w>WfP¨zWd?aacicW icWV'wUvx~gW`}wvxi)|UW`°V'n<|UTlW`)wUlfU`}g~nxdUnzV'jk?fUW`}~nzdUd?fU`e`cnzfU`}lW5dUnzV |UWV'n|UTW` vxwUwUibn~SUg`ªnzfÈV'WavxV'n|UTW` ¬q8dÈ~nzdU`bj|UTicW0jl~jG|UW`ªV'n<|UTlW`C| vxwPwUicnÌjVhvajlnzd¯Á wUfU`wPicg~j`bgV'WVCa|UW`%«NnxdU~acjnzdU`ev`cWJivx|PjvxlW éueÅ$Ê OWa%|UW`V'n|UTWÄ|PW 5ibjzWvxzWx q5dHgacfU|UjWv'w>Wib«NnzibVvxdP~W|UWC~W`8V'n|PTW`}w>nzfPiZ|UW`°«NnzdU~ajlnzdU`8vdvxl_?acjk?fUW`ewUfUjl` `cfUi|UW`|UnxdUdUgW`vxgicn<|P_<dvxV'jk?fUW`¤sW`C|UWfÌÉV'n|UTW`Cnzdaª|PW`ªwvivxV'TacicW`k?fUj |Unzjl¨xWdaaibW~SPnzj`bj`wUicfP|UWV'VhWda wynzfUi%vx`b`cfUibWi fUdUWG>nzdPdUWwPicg~j`bjnzd¯ m nxfUiWJVhnp |UTlWCueÅ$ʧÁQnzd¤jlVhwPgV'WdacWfPdUWacW~SUdUjlk?fUWª|UW¨xvj|Uvajlnzd!âlWv¨zW´ nzdPW nxfPa QWaZw>nxfUi W" 5icjlzWvzWªW`5wvxicvxVhgaibW`5`cnxd?a|UgaWicV'jdUg`5Wd¥VvpÌjlVhjl`vxda°v0|UWdU`cj®agË|UWwUibn vxUjljlacgZwynzfUi)lW`}|UnzdUdPgW`e|Ujl`cwynzdUjPW`§WdfPajlj`cvxda)fUdUW nzwajV'j`cvajlnzdwUvxi)W`b`vxjlV |UWwvxi{aj~fUW`sW` VhgavxV'n<|UTlW`Z`bnzda WdU`bfUjlacWjV'wUgVhWdag`Z|vxdU`5vwUvpaW«NnxicV'W Êr5[q^<rC # Ó Ñ $ [HgavxVhn<|UTW`ÁP«NnzdU~ajlnzdU`%Ëvx`cW icvx|UjvWxÁ& 5icjxWvxzWÁPnzwajV'j`cvajlnzd †. †. ')( Þ+*ºÛ Ý´Þ$×:ø-,{á ÙÄÙbú Û). ( Þ§×:ø-,báâÙø:ÙÞ$×:ø-,báâÙ.
(10) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ Ë 'G q5wajV'j¢vajlnzdÉV'WacSUn<|U`Ëj£W(zWdPWajl~vxznxicjlacSUV'`Áwvxi{ajl~W(`{¦$vicV nzwPacjV'j¢vajlnzd¯Á Wa~ Sv¨zW¤yWWd «NnzfUdP|ÆanÀ>Wj|UWvx)«Nnzi'`cnz®¨jldU¥vxibzW`c~vWwUicnzPWV'`¡r°VhnxdU aSUWji§Vhvxd_hvx|P¨vxdavzW`)vicW°acSUWjli$vxPjj®a _ªanCSvxdU|UlWZdUnxd `bVhn<nxaS'«NfUdU~ajnxdU` `bjdU~W zivx|PjWdaGjd«NnzicVhvajlnzdj`JdUna§ibWk?fUjibW| JvxdU|'aSUWewynz`c`bjUjljla _Cnx«O¿UdU|UjdPCzlnzvxUnxwPaj Vvx`bnzfajnxdU`Gr |Pj`bacjdUxfUj`bSUjdUª«NWvafPicWnx«.acSUW`bWCV'WaSPn|U`ej`)acSva}aSUW_nzw>WivacW ¦}jlaSªv µ y² ®·x¸ ¼µ ± G·x³´»ÁjéâWlÁpaSUW_CVhvx£W§fU`bW)nx«VªfU®ajlwUWJ~vdU|Uj|UvaW`cnzlfPajlnzdU` va Wvx~S¤`{aWw¤nx«ÄacSUWjliej®aWivacjnzd¯R)SUj`°icWk<fPjicW`eacSUWC~nzV'wUfPavpajnxdHnx« aSUW µ:±¸ J¸ O¹±± «NfUdU~acjnzd(«Nnzi}Wvx~S~vxdU|Ujl|vaW jldW¨zWib_nzwPacjV'j¢vpajnxd0jlacWivpajnxd¯R)SUWvxUjljla _'anËnp ~vacW8aSUW5zlnzvx>nzwPacjVªfUV3|UWw>WdU|U`enzd(`cf h~jWd?aeW´ÌPwPnzicvajlnzd0nx«%aSUW5|PW`cjlzd`cwv~W ¦}SUj~S¡ibWk?fUjibW`0fP`cjdP vÉ`cf '~jWdacl_ÇvxicxWHwynzwUfUvajlnzdÆ`bj¢Wx¾R)SUjl`0j`hW`cwyW~jvxll_ aicfPW'¦}SUWdÈaSUWh~nz`{a«NfPdU~acjnzdÀj`VªfUlacj® Vhn<|vx vxdU|ÉacSUW'|UjV'WdU`bjnzd¥nx«$acSUW|PW`cjlzd ¨xvicjvUWh`cwvx~W(j`ªSPjzS¯¬Ã jlacSÈaSUW(jldU~ibWvx`bjdU©fP`cWnx«eSUjxSÈ¿|UWljla _ÀVhn<|UW`ÁWâP XZv¨<jWiº{^<acnz£xW`ªWk?fvpajnxdU`«Nnzi n:¦Ívxdvx®_`bj`Á aSPW~nxVhwUfavacjnzdÀnx«)aSUWh~nz`{aª«NfUdU~´ ajnxdh«Nnzi§v`cjldUzlW°|UW`cjlzd(~vxd>W°~nz`{al_hjd'aWicV'`§nx«acjV'WZvxdP|0icW`cnzfUib~W8fajlj¢vajlnzd¯ R)SUW}~nzVªPjdvacjnzdn«O`bfU~SSUjlzS¼¿|UWljla _Cvxdvx®_<`cj`Äacnnx`.¦}j®aS'w>nzwPfUvacjnzd< vx`bW|ªnxw ajV'j¢vajlnzdªaW~SUdUjlk<fPW`)~vd(icWdP|UWi§acSUWV3jlVhwUicvx~acj~vxnzi§`bW¨xWicWl_jV'jla.aSUW8`bj¢WZnx« aSUW wynzwUfUvajlnzdaSUva}~vxdyWfP`cW|O R nn ¨xWib~nzV'WZaSPj`GvxicibjWiÁ<`cW¨xWicvxOibW`cWvxic~SPWic`)SUv:¨xW8fU`bW|0`bfUicibnzvacWZV'n|UW` âÁ Á PÁ:PÁ: Jjd¥wUvx~WËnx«§acSUWh~nz`bacl_¬W¨xvfvacjnzd¤acnnx¼'R)SUW`bW`cfPicicnxvaW'V'n|UW` vxibW jdUW´ÌPwyWdP`cjl¨xWC~nzVhwUvxicW|an'aSUWWÌPvx~aZVhn<|UW¼)R)SUWicWªvicWC`bW¨xWiv ¦§v:_<`8jldH¦}SUjl~S©v `cfUibicnzvpaW5V'n|UW¯~vdHyW |UW¨xWnxw>W|¯ . . .
(11)
(12) . . . . . . . . !. #". $ !%. &. ')(*'. +-,/.)01012/3546.872/9):;9=<>0?@!@!9)A=.87BDCE9GFHBI,*0. vavp ¿UabajldU¡Vhn<|UW` ¾r°d vxwPwUicnÌjVhvajlnzd acn acSUW ~nz`ba¬«NfUdP~ajlnzd j`©~nxd `bacicfU~aW|fU`bjdUËv¨vxjlvxUlW}|vavR)SUj`$|UvavªVhv_hyW5Wj®aSUWi$zWdUWicvaW|(`cwyW~j®« j~vx®_«Nnzi~nzdU`{aibfU~acjdUacSUWV'n<|UWJnziVv_¬yWhav£xWdÈ«NibnzV aSUWhjdUj®ajvx.«NW¦ jlacWivpajnxdU`}nx«ÄaSPWªnzwPacjV'j¢vpajnxd(VhWaSUn<|¯°tÄÌPvxV'wUlW`Zn«|vavp ¿UabajldUhV'n<|UWl` vxicW)wynz®_dPnzVhjvx`+ fU`bfvxll_ªk?fv|Uivacj~Á?vx`bn£?dUn:¦}dvx`JicW`bw>nxdU`cWe`cfUi{« vx~W}V'n|< Wl` Á vxi{ajl¿U~jvÄdUWfPivxJdUWa ¦§nzib£?` lj£xWËVªfPlaj v:_xWi5wyWib~Wwaicnxd¯Á.icvx|Ujvvx`cjl` «NfUdU~ajnxdHdUWa ¦§nxic£?` ZvdU| vxfU`b`cjvdHwUibn~W`b`ZV'n|UW` £?ibjzjldU R)SUW`bWCV'n|< Wl`~vxd¥>W'Wj®aSUWixnzv¼ÁO¦}SUjl~SÉVhvx£xWËfU`bWhn«)vxlv¨xvjvUWª|UvavPÁnzi ln~vx¼Á. JLK. M. ON. PQP. (. RTS UWVXU.
(13) . ³c·x¹¹ ² ®¶ O¹c·x² . X . ¦}SUj~S©Vhvx£WªfU`cWCnx«JnzdU®_¤v`bVv`cWa nx«J|vav0vxicnxfUdU|¤aSPWªw>nxjdaZ¦}SUWicWCacSUW «NfUdU~ajnxd'jl`Äan>WevxwPwUicnÌjVhvaW|¯ 5nxvxUV'n|PW`.Sv¨zWe>WWdfP`cW|vx`Gv~nzV wUWaWibWwUvx~WVhWd?anx«GaSPWnzicjlzjdv.~nx`ba «NfUdU~ajnxd¬¦}j®aS¬nzwPacjV'j¢vajlnzdyWjldU ~vxibicjlW|ÉnxfPaªnzdÀaSUW0`bfUicibnzvacWV'n|PW¼Hsn~vxGVhn<|UWl`SUv:¨xW0yWWdÈa _<wUjl~vxll_ fU`cW|0vx`GwUibW~nxdU|UjlacjnzdPWic`acnCvx~~WWicvaW}aSPWeW´ÌwUnzicvajlnzdËnx«OacSUWe`cWvic~S0`bwvx~W vxicjvxUlW8~nzd¨xWicxWdU~WªVhn<|UW` JR)SUW~nx`bae«NfUdU~acjnzdfU`bfvx®_0|UWw>WdU|U`°nzdacSUW d?fUVhWicjl~vxJ`cnxfPacjnzd¥nx«}v¤m t)Ä[Hnz`baCd?fUVhWicjl~vxJV'WaSPn|U`CvxicWhjlacWivpajl¨xWhjld dvacfUicWvxdU|É~nzdavxjldÂvH`{anzwPwUjdUH~ibjlaWicjlnzd¥¦}SPj~SÂj`V'Wvx`bfUicW|Èjd¥aWibVh`nx« vÀ`bnzfPacjnzd icW`cj|Pfvx¼ R%nÈzWa0vxd¡vx~~fUicvaW`cnzlfPajlnzdÇvÉ`bVv$¨vxfPWnx«8acSUW icW`cj|PfvxÄjl`fP`cfvxll_fU`cW|¯0^<fU~SÈvxdÀvx~~fUicvaWË`cnxfPacjnzd©Vhv_yWËfUdUdUW~W`c`vib_ ¦}SUWdv¦§W8¦§vxda)jl`$vxd0W`bacjVhvaWenx«%vC~nz`ba$«NfPdU~acjnzd¦}SPj~S(j`GfU`bfvx®_'`cnzV'W jdaWziv$aSva'~nzd¨zWibzW`VªfU~S « v`baWi dÆ`cfP~S¡v¥`bjlacfvajlnzdÂaSUW`bacnzwUwUjldU ~ibjlaWicjlnzd~vxdh>W}ibWv ÌPW|'acSUWibW_'~nzdP`cj|PWivUl_ibW|UfP~jdPacSUW)ajV'W$av£xWdh_ v`cjdPzW8~nzV'wUfPavpajnxd¯ vxicjvxUlW°ibW`cnxfPacjnzd(V'n|PW`
(14) d(aSPW`cW V'n|PW`ÁUvªSUjlWicvxic~S_0n«.zibj|U`§j`$fU`bW| vxdU|acSUWª`bfUicibnzvacWªVhn<|UW jl`JobfU`{a8aSUWC~nz`{al_HW¨vxlfvacjnzdan<nz PfPa5icfPd©nzd©v ~nvic`cW zibj|¯ vxicjvxUlW¿|UWj®a _V'n|PW` d©aSPW`cWËV'n|PW`Áv(SUjWivxib~S_¤nx«wUS_<`cj~vxÄV'n|< Wl`ZvxibWCfU`bW|¯Á>«Nnzi°W´ÌPvxVhwPWªtfUlWi°Wk?fvacjnzdU` `bfUicibnzvacWCV'n|UW )vxdU|¤uerZX8^ Wk?fvacjnzdP` NWÌPvx~a°V'n<|UW JtĨzWdH¦}SUWd¤vËSUjzS(¿|PWj®a _0V'n|PW¯lj£xW u}r8XZ^jl` fU`cW|¯ÁnzdUWh~vxdÉfU`cW(v¦$vxlG«NfPdU~acjnzdÉvxwUwUibn:ÌjlVvacjnzdÀvx`CvH`cfPicicnxvaWhVhn<|UW vxdU|vafUibUfUWdU~W V'n|PWvxwPwUjlW|(fUwPacn'acnaSUW5¦§vxv`}acSUW WÌPvx~a°V'n<|UWé. d¬acSUj`5ibWwynziba5¦WË~nzdP`cj|PWi |vavp ¿UabajldU0V'n|UW`Áwvxibacj~fUvxibl_iv|Ujvx vx`bj`8«NfUdU~´ ajnxdU`$vxdP|(vxfU`b`cjvd(ivxdU|PnzVÍwPicn<~W`b`)Vhn<|UW`ÁPvx`bnª£?dUn:¦}dvx`$£?icjlzjdUPŧnxacS0aSUW`cW VhWaSUn<|U`ZSUv:¨xW>WWd¤«NnzfPdU|an>WªW OW~acjl¨zWCjd¤jld?acWibw>nzvajlnzdnx«JSUjlzS|UjlVhWdU`cjlnzdvx |vave¦}jlaSC`cVhvx<d?fUVªyWiÄnx«Q|Uvav8wynzjdac`Ävx`Ä~nzV'wvxicW|Can5wynz®_dPnzVhjvxvx`bW|ËV'WaS< n|U` N. M. J. K. M. J. J. ')(. M. : 7B @ 9=,/.87!2/9=:H@T9 ,/B C. j®¨zWdv`cWaZn« N |Ujl`bacjdU~a}w>nzjlda` N. QP. ÷.
(15) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ X°vxVhW m.vxicvxV'WaWic` ^Vhn<nxacSUdUW`b` φ(r) vxfU`b`cjvd exp (−r /a ) − C. d¨zWic`cWVªfU®ajk?fv|Uicjl~ (r + a ) s<0 C ^<nz>nxW¨`cwUljdUW r K (r) s>0 C R vxUlW JY°dU~nzdU|Uj®ajlnzdvxll_'w>nx`cjlacjl¨xW5|UW¿dPjlaW5«NfUdP~ajlnzdU` . .
(16)
(17) . . N. 2. 2. s. 2. ∞. 2 s/2. ∞. . bsc. s. M. XN = {x1 , x2 , . . . , xN } ⊂ Rd. vxdU|(aSUW5¨vxlfUW`}nx«%aSUW5«NfUdP~ajlnzdva)aSPW`cWn<~vpajnxdU`. FN = [f1 , f2 , . . . , fN ]>. ¦§W Sv¨zW anËjldP«NWi$acSUW5¨xvfUW5nx«%aSPW «NfPdU~acjnzd f vpaev'dUW¦ wynzjda x ( H * C & '(#) u°vx|PjvxÄUvx`cjl`«NfUdP~ajlnzdU` PÁJ JSv¨zWh>WWdÉ«NnxfUdU|ÀacnHyW˨zWi{_Àvx~~fUivacW'«Nnxijld?acWiº w>nzvajlnzdjd¤SUjlzS¤|UjlVhWdU`cjlnzdU`ZvxdU|¬vxibWCj|PWvx%«NnziZjld?acWibw>nzvajlnzdnx«J`c~vacacWicW|¬|vav fUWZacnªaSUWji§`bw>W~acivx>~nzd¨zWiczWdU~W wUibnzwyWiba _vxdU|(V'W`bSUW`c`$dUvafUibWxÁPacSUW_vxibW5vx`bn >WjdU0fP`cW|¬«Nnzi8`bnzl¨<jldU(m t` ®zxÁ. Á¯z éCuevx|Ujvx%vx`cjl`8«NfUdU~ajnxd©jdaWicwynzvacjnzd `cWW£?`ZvxdHvxwUwPicnÌjVhvajlnzd fˆ nx«%aSUW5«NnzibV N +1. $. N +1. X% &. K. $. K. fˆ(x) =. &. N X. wn Φ(x − xn ). ¦}SUWibW Φ(x) = φ(kxk) jl`Zvhivx|Ujvx«NfUdU~ajnxd¯Zt.ÌPvxV'wUW`Znx«Äivx|Ujvxvx`bj`°«NfPdU~acjnzdU` vxicWzjl¨xWd¤jldR vxUlWhz dacSUWªueÅ$Ê acWibVhjldUnznxx_zÁPacSUWCwynz`bjlajlnzdU` x , n = 1, . . . , N vxicW5~vxlW|(aSUW ¹ ¸º¹³± R)SUWª~n<W '~jWdac` w = [w , w , . . . , w ] vxibWª|UWacWibVhjldUW|«NibnzVaSUWCjdaWicwynzvacjnzd ~nzdU|PjlajlnzdU` n=1. n. . 1. PQP. (. RTS UWVXU. 2. N. >.
(18) . ³c·x¹¹ ² ®¶ O¹c·x² . fˆ(xm ) = fm ,. X . ¦}SUj~S~vxdyW8¦}icjlabaWdHjld(Vvacicj Ì«NnzibVvx`. m = 1, 2, . . . , N . R)SUWVhvaibj®Ì A Sv`CWlWV'Wda` A = Φ(x − x ) vxdU|Èjl` `b_<VhV'Wacicjl~'`bjdU~W Φ j` vivx|Pjvx¯«NfUdP~ajlnzd¯ZÊQnxieacSUWC«NfUdU~ajlnzdU`ejd¤R vxUlWhzÁyaSUWVvpaicj Ì A jl`8vxl`cn µ:± ô¸ x¹ <¹ ô¸º¹°«Nnzi5W¨xWi{_¬`cWanx« N |Ujl`bajldU~a wynzjld?ac`5jd R aSUjl`5j`8acicfUW«Nnzi vxd_¤¨vxlfUWnx« nzi d ^fP~S«NfUdU~ajnxdU`}vxicW `cvxj|an'>W˲ µ ô¸ ¼µ y· µ:± ô¸ x¹ <¹ ô¸º¹JR)SUWicW N vxicW8icvx|Ujvx>Uvx`cjl`§«NfUdU~ajnxdU`$¦}SUj~S(|PndUnxa}Sv¨zW8acSUj`§wUicnzwyWi{a _ `cnzV'W8WÌPvxV'wUlW`)vxibW zjl¨xWdÂjdÉR.vxPW dÈacSUj`ª~vx`cWÁ¦§W(~vxd Vvx£WaSPWu°Å$Ê µ ô¸ ¼µ y· µ:± ô¸ x¹ <¹ ô¸º¹§_vx|U|UjldU'v`cfUj®avxUlWZ« vxV'j®_hn«Äwynzl_<dUnzV'jv` Aw = F. mn. m. = . n. . d. 16 . . . = . . . . = . fˆ(x) =. N X. M (q). wn Φ(x − xn ) +. X. αl pl (x). ¦}SUWibW p , l = 1, ...M (q) «NnxicV'`Jvv`cj`«Nnzi P ÁaSUWe`cwUvx~Wenx«¯wynz®_dPnzVhjvx` nx«¯|PWzibWW R)SPWWk<fUvajlnzdU`$an'|UWaWibVhjldUW8aSPW~nW '~jWda` w vxdU| α vxibW ≤q n=1. l=1. l. . N X. wn Φ(xm − xn ) +. n=1. M X. l=1 N X. q. αl pl (xm ) = fm , wn pl (xn ) = 0,. m = 1, . . . , N l = 1, . . . , M. )R SUWvxyn ¨xW`cWaËn«ZWk<fUvajlnzdU`ªjl`zfvxicvxdaWW|Âan©Sv¨zWv©fUdUjlk?fUW(`cnzlfPajlnzdÉ«Nnziªvxd_ |Uj`ôobnzjda$|Uvavª`bWa « vxdU|(aSUW5fPdU£?dUn:¦}d«NfUdP~ajlnzd aSUWdacSUW vxyn:¨zW jdaWicwynzvacjnzdh¦}j>WÌPNvx~a≥l_0MicWwPicn<|UfU~W5acSUW5«NfUdU~acjnzdO f ∈ P HÓ Ï R)SUW§v`cj`%«NfUdU~ajnxdU` ~vxdªyW§WjlaSPWi%|UW~icWv`cjdP N«Nnzi%WÌPvxV'wUlWGacSUW vxfU`b`cjvd nzijldU~ibWvx`bjdU N«NnziWÌPvxV'wUW'aSUW'aSUjldÉwUvaWh`cwUljdUW` 5«NfUdU~acjnzdP`ÁÄvdU|ÂWvx|Àacn«NfU ×Ö Ö¼Ù ùâÛ }×´ü ( ×´Û ÝÛéù × ( Û Ùú . pú¼ÚºÖ¼ùâà Û ù áâ ÙJø:Ö¼×àpàÙcøeù ( Û ùûúúéÙbÚ Û¼ùâ× ( n=1. q. M. . .
(19) . GN. . . N . . . . QP. ÷.
(20) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ X°vxV'W m.vxicvxV'WaWic` φ(r) q ^wUljdUW r s > 0, s ∈ / 2N q ≥ ds/2e R)SPjd wUvacW8`cwPjdPW r log r s > 0, s ∈ 2N q > s/2 [fUlacj® k?fv|Uicjl~ (r + a ) s > 0, s ∈/ 2N q ≥ ds/2e R vxUlW §nzdU|Uj®ajlnzdvxll_'w>nx`cjlacjl¨xW5|UW¿dPjlaW5«NfUdP~ajlnzdU` . .
(21)
(22) . . . s. s. 2. 2 s/2. M. V vacicjl~W`°R)SPWicWËvicWªv`cnhvx`bj`°«NfPdU~acjnzdU`e¦}jlacS¤~nzV'wvx~a8`bfUwUwynziba°¦}SUj~S©lWvx|an `cwvxib`cW~n<W '~jlWdaÄVhvaibj~W` SUn:¦§W¨zWi aSUW`cW$zj®¨zWGnzdU®_vxzWUivj~J~nzd¨xWicxWdU~W$¦}SUjlW aSUW `cV'n<nxaS(v`cj`)«NfUdP~ajlnzdU`)zj®¨zW WÌwynzdUWd?acjvx~nzd¨zWiczWdU~W HÓ Ï
(23) d'aSUW°wUicW`cWda$¦nzib£Ë¦WZ~nzdU`bj|UWinzdPl_ËjdacWicwynzvajldU u°Å§ÊQ`J¦}SUjl~SWÌPvx~a®_ icWwPicn<|UfU~WeaSUW°jdUwPfPa§|UvavPq5dPWZ~vd0vxl`cnCfP`cW°¿PacaW|(ueÅ$ÊÀV'n|PW`¦}SUjl~S0Vhv:_ËdPnxa WÌPvx~acl_¬jld?acWibw>nzvaWacSUWh|UvavP0u°Å$Ê Vhn<|UW`5~vdÈvxl`cn>Wh~nzdU`bj|UWicW|À¦}SUWicWhacSUW ~WdacWic`e|Un'dUnxa}~nzjdU~j|UW8¦}j®aS(aSPWln~vajlnzd0nx«%aSPW|Uvavwynzjda` . M. . . G(*'. BI4 7L9)< . 7 7BI: ?H. 72/9=:;<.=4 7!9 @. R)SUWvacacWd?fvacjnzd(« vx~anzi$jldivx|UjvxOUvx`cjl`$«NfUdU~acjnzdP`)Svx`ev~icj®ajl~vx>jd fPWdU~WnxdacSUW vx~~fUivx~_¬nx«GaSUWËjdacWicwynzvajlnzd¤V'n|UW¼ªÃÀWËjlfU`bacivacWCaSPj`8¦}jlacSÉv(d?fUV'Wibj~vWÌ? vxVhwPWx%R)SUWeueÅ$ʤjdaWicwynzvd?aÄj`~nxdU`bacicfU~aW|Ë«NnziR%W`{a§ÊfUdP~ajlnzd `bWWevxwUwyWdU|Pj®Ì fU`cjldUhacSUWC|vpav«NicnzV :ËWk?fvxll_`bwvx~W|©w>nxjda`ejd [0, 2] }R)SUWCWicicnxi°yWa ¦WWd¤aSUW jdaWicwynzvxdavxdP|ÀaSPWhW´ÌUv~aC«NfPdU~acjnzd¥j` W¨vxlfvacW|ÉnxdÉvzicjl|¥n«5:zw>nxjda`R vp UW G`cSPn ¦}`aSUWeWibicnzi§vxdU|~nzdU|Uj®ajlnzdhd?fUVC>Wi«NnziG|Uj >WibWda§vacacWd?fvacjnzd'« vx~acnzic` ÃÉW¤dPnxajl~WHacSvah«NnziynxaS ¨zWi{_Ç`bVvxlevxdU|ƨxWib_ÆvxibzW¨xvfUW`0nx« a aSPW¤Wibicnzihj` SUjzSO R)SPWH~nzdU|Uj®ajnxdÂd<fPVª>Wihn«°acSUWH~nW '~jWdahVhvacicj®Ì j``cWWdÆacn¬jdU~icWv`cW ¦}jlaSËjldU~ibWvx`bjdU ¨vxfUW`nx«OacSUWevacacWd?fvacjnzdË« vx~anzi.R)SUWeSUjxS'AWicibnziGvaGvxibzW$¨vxfUW` nx« a j`|UfUW'anaSUWhd<fPVhWicj~vxJjdU`{avxPjj®a _©icW`cfU®ajldU«NibnzV jl® ~nzdU|PjlajlnzdUjldUnx«§aSUW Vvacicj Ì A ¬X°naWacSvav`ªnzdP©vx`CacSUW0~nxdU|UjlacjnzdÀd?fUVªyWiªjl`ªdUnxa¨zWi{_ÈSUjlzS¯Á.acSUW jdaWicwynzvxdaWÌPvx~al_ÀicWwUicn<|UfU~W`CacSUWacivxjldUjdUH|vavPR)SUWueÅ$Ê jldaWibw>nxvxdaCvxdU| aSUW'WÌPvx~aC«NfUdU~ajlnzdÈvxibWhwPnxabaW|¥jdÉÊ.jxfUicW`'xÊ.jzfPicWh`bSUn:¦}`aSPWh¨vxicjvajlnzd©nx« v:¨xWicvxzWWibicnzi vdU|¬~nzdU|Pjlajlnzd¤d?fUVªyWi8¦}j®aS¥vabaWd?fvpajnxd¤« vx~acnziÃÉWdUnaj~WCaSUva aSUW°Wicibnzi§SUvx`$vCV'jdPjVªfUV «Nnzi$vwvxibacj~fUvxi¨vxlfUW°n«vacacWd?fvacjnzdh« vx~acnzi a ≈ 0.45 !". . . o. PQP. (. RTS UWVXU.
(24) ³c·x¹¹ ² ®¶ O¹c·x² PâP P® û zâ a [HWvdHWicicnxi z l PâPz P : [v ÌWibicnzi z û PâP P® x §nzdU|Uj®ajlnzd(dUnU zâ Pâ 1.1 × 10 3.4 × 10 2.8 × 10 R.vxPW Ht>W~an«5vabaWd?fvpajnxd « v~anxi'nxd acSUWHWicibnziËnx«5ueÅ$Ê jdaWicwynzvacjnzdÀ«Nnzi R W`bae . %. X . %. . . X%. . 9. 14. 18. !M. 1.4. 1.2. 1.4 Training data Exact Evaluated. 1.2. 0.8. 0.6. 0.6 f. 1.0. 0.8. f. 1.0. Training data Exact Evaluated. 0.4. 0.4. 0.2. 0.2. 0.0. 0.0. −0.2. −0.2. −0.4 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. −0.4 0.0. 2.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. x. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. x. 1.4. 1.2. 1.0. 15 Training data Exact Evaluated. 10. 1.0. Training data Exact Evaluated. 5. −5 f. 0. 0.6 f. 0.8. 0.4. −10. 0.2. −15. 0.0. −20. −0.2. −25. −0.4 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. −30 0.0. 2.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. Ê.jzfPicW' eu°Å$Ê jdaWicwynzvxdae«NnziZR%W`{a év a = 0.01 Á a = 0.1 Á ~ vxdU| | a = 1.0 x. M. x. TM. a = 0.5. ¦}jlaSÀv¨zWivxzWhWibicnzinx«e W´ Ur-acSUWnzibWacj~v¯obfP`baj®¿~vpajnxd¥«Nnzi5acSUWW´ÌPjl`bacWdU~Wnx« vxdnzwPajlVv>¨vxfPW8«Nnzi$aSUWvabaWd<fUvajlnzd(« vx~acnzi)Svx`}yWWdicW~Wd?acl_(xjl¨zWdHjld ® ¼ -$ X &. QP. ÷. Á.
(25) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ . .
(26)
(27) . . %. 0.020. 16. 10. 0.018 0.016. Condition number. 0.014. L2 error. 0.012 0.010 0.008. 9. 10. 0.006 0.004 0.002 0.000. 2. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 10 0.2. 1.0. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1.0. Ê.jzfPicW vxibjvacjnzdnx« L Wibicnzi}vxdP|H~nzdU|Uj®ajnxd(d<fPVª>Wi)¦}jlaSvabaWd<fUvajlnzd(« vx~acnzi Attenuation factor. Attenuation factor. M. 2. G(. H72*CE26.872/9):;9=<>.8717BI: ?H.87!2/9=:. <.)4 79=@. d éÁQ`cW¨xWicvxWV'wUjibj~v¯VhWaSUn<|U`)«Nnzi}~SUn<nz`cjldUaSUWvabaWd?fvpajnxd« vx~anzi}vicW|Uj`º ~fU`b`cW| `bWWªacSUj`8wUvxw>Wi°«Nnzi°«NfUibacSUWi8ibW«NWicWdP~W`ª^<nzVhWicW`cWvic~SUWic` Svx|©W´ÌPwPicW`b`cW| aSUWHSUnzwyWHaSUvaacSUWibWVhv:_ yW¤v¥fUdUjl¨xWib`vxll_ nzwPacjVhvx$¨vxfUWnx«8acSUW©vabaWd<fUvajlnzd « vx~acnziÅ$v`cW|ÉnzdÉd?fUV'Wibj~vWÌw>WicjlVhWd?ac`Áu}jwPwv §~nzdU~lfU|UW`aSUvaacSUW'>W`ba vacacWd?fvacjnzd0« vx~anzi§|UWwyWdU|P`°nzd0acSUW d?fUVªyWi}vxdU||Ujl`bacicjPfPajlnzdnx« |vavªw>nxjda`ÁUnzd aSUW5«NfUdU~ajlnzd f vdU|HnxdacSUW wUibW~jl`cjlnzdnx« acSUW ~nzV'wUfPavajlnzd rZd¥nz¨jlnzfU` ¦$v_©acnHnzwajV'j¢WCaSPWvabaWd<fUvajlnzd¥« v~anxi5j`5an|Ujl¨<jl|UWaSUW'v¨vxjvxUW |vavªjldanCa ¦nh`bfUU`bWa`ÁQv0¸é³b· <¶Ë±:¹¸OvxdU|v0¸ ¹±¸ <¶Ë±:¹¸ ¦W5~vxdfU`bW8aSUW8acivxjldUjdP `cWaËacn©~nzdU`{aibfU~a'aSUWueÅ$ʾV'n|UW$vxdP| fU`bWjlaªacn¥W¨vxfvpaWacSUW(«NfUdU~acjnzdÂnxd acSUW aW`{ajldU`bWaR)SUW8vabaWd<fUvajlnzd'« v~anxiG~vxd0yW°nxwPajlVhjl¢W|Ë`bnaSUvaJaSUW°WicibnziJnx«jld?acWiº w>nzvajlnzd©nzd¬aSUWËaW`bacjdU`cWaCjl`5VhjldUjV'j¢W|¯Ë½en ¦W¨xWiÁÄjd¥wUiv~ajl~vx.nzwPajlVhjl¢vacjnzd wUicnzPWV'`Á%¦§W(Vhv_¥dUnxaªSUv:¨xW(`cf '~jWdad?fUVC>Wiªnx«)|vpavwynzjdac`anw>Wib«NnzibV acSUW vx>n:¨xW`bfU |Ujl¨<j`bjnzdOÄrZdHvxlacWibdvaj®¨zW vxwPwUicnv~SHjl`$aSUW ¹c· x¹ cµ O¹ cµp²<¸>aW~SUdUjlk<fPWx sWa fˆ (x; a) |UWdUnxaW5acSUWu°Å$ÊÂjld?acWibw>nzvxda)~nxdU`bacicfU~aW|HfU`cjldUaSUW |vpavËw>nzjlda`. $ &. . $ X&. . . . . !. . . (n). Ûù Ù Ý$÷ Úº×( Þ$ù ( àpÚ{Û¼ÝÙ Ù{Ú ( Ö¼ÛÛéÙbÙbú ú ÛéÖ¼. ùú (púéÙºpÖ¼ÛùÙbÚ ×´ú $ü. áâá Û>ÙbÝù (øpúPÛé×JúNÝ Û ( ÝÙbÛ¼Öéù Ùb(Ù úyÛéÙ{Û Ö¼pàxÝ´ù ×úÛyáûÝ)ÝÛ pÛéÚ{ùÙ{××Ö¼(Þ$Ù%üÙàp×:ÝÖ¼ùûÚ ÞúNÛÛ .pú>ú á . ÝÝp( . ú (Ý´Ù{ÛÛùâüÛé××´Ù Ö¼ü( Þ$.pÝá §Û¼ùâÝ× Ú{( Ú ü®. ÝÖ Ú ÝÛ¼Ûé×ÙOÖ¯ü Ý×(ÖQø}Ý´á áâá:×:ü Ú{. Ý´( ÛéÚºù ×Ûéù( × ( ×úü ( X (n) = {x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn+1 , . . . , xN }. . . PQP. P . (. RTS UWVXU. . . . . .
(28) . C(K) . . K. . . R. d.
(29) :. ³c·x¹¹ ² ®¶ O¹c·x² . X . 1.2. Cost function of Rippa. 1.0. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0.0 0.2. Ê.jxfUicW. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1.0. vicjvpajnxd0nx« C(a) ¦}jlaSvabaWd<fUvajlnzd(« vx~acnzi$«Nnzi)R%W`ba° Attenuation factor. M . j¼ Wx®Á)?_ÆjzdPnzicjldUÀacSUW¤d aS¡|vpavÉwynzjdajdÆacSUW«NfUl°|vpavÉ`bWa R)SUjl`0jdacWicwynzvxda ~vxdÂyWfU`bW|ÂanW`bacjVhvaW'aSUWh«NfUdU~acjnzdÀ¨xvfUWvaCacSUW0jxdUnzicW|Èwynzjda x vxdU|ÉacSUW ~nzibicW`bw>nxdU|UjdPhWicicnxi E = f − fˆ (x ; a) ~vxdHvx`bnhyW~nzV'wUfPacW|¯§Å_jzdPnzicjldU Wvx~Sª|Uvavew>nzjlda `bfU~~W`b`cjl¨xW®_ªvxdP|ª~nzdP`baibfU~acjdUZvxdCjldaWibw>nxvxda¦§WnzPavxjdvxdCWicibnzi ¨zW~anzi n. n. (n). n. n. E(a) = [E1 , E2 , . . . , EN ]>. eu jlwUwv ®: `cfUxzW`{a`V'jdPjV'j¢jldUÉ`bnzV'W¥dPnzicV nx«aSPWÉvxyn:¨zW¥Wibicnzi¨zW~anxi¦}j®aS icW`bw>W~aeanaSPWvpacaWd?fvajlnzd(« vx~acnziÁPj¼ Wx®ÁP¿dU| a `bfU~SHacSva viczV'jd kE(a)k a = uejlwUwv)zjl¨xW``cnxVhWJd?fUV'Wicjl~vxW´ÌPvxVhwPW`acn°`bSUn:¦ÈaSvpa%acSUW«NfUdU~ajnxd C(a) = kE(a)k >WSv¨zW`)`bjV'jvxi.anaSUWZvx~acfvxyWicibnzi dwvxibacj~fUvxiÁaSUW_0vx~SPjW¨xWZaSPWjiGV'jdUjlVªfUV va}`cjlVhjlvxi¨vxfPW`)nx«.vacacWd?fvacjnzd0« v~anxiJÊ.jlzfUicW" §wUlnxa` C(a) «Nnxi$R W`bae¦}SUj~S jdU|Ujl~vacW`$acSUW WÌj`{aWdP~Wnx«ÄvdnxwPajlVªfUVͨvxlfUW a ≈ 0.353 $ &. ∗. ∗. . ∗. QP. ÷.
(30) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ . G(. . . 462/BI: 7. 2*C.
(31)
(32) . z. . ,/B CEBI: 7.87!2/9=:. )R SUW~nzV'wUfPavajlnzd¤nx« C(a) ibWk?fUjibW`5aSPW`cnzlfPajlnzd¤nx« N ljdUWvxiZWk<fUvajlnzdU`5Wv~S¥n« nzic|UWi (N − 1) × (N − 1) «OacSUWejdPWvxi`{_`{aWV-jl`J`cnz®¨zW|hfU`cjldUs%Y¡|UW~nzV'wynz`cj®ajnxd aSUW(anavx$d?fUVC>Wi'n«ZnzwyWicvajlnzdU`ªjl`nx«°nzic|UWi N ¦}SUj~S ~vxd yW¨xWi{_ WÌw>WdU`cj®¨zW W¨zWdH«Nnzi}V'n|PWivpaW5`cjl¢W|vavË`bWac`§r°dW h~jWd?aZvxlznzicj®aSUV3jl`exjl¨zWdHjld ¦}SUj~S icWk?fUjlicW`$nzdU®_nzdPW5sY |UW~nzV'w>nz`bjlacjnzdva)vª~nz`ba)n« O(N ) JÅWn:¦ Á<¦§W5W`c`cWdajvl_ icWwPicn<|UfU~W5acSUWvxznxicjlacSUV-vx`}zjl¨xWdjd é R)SUWu°Å$ÊÂjld?acWibw>nzvxda)fU`bjdUËaSUW |vpavw>nxjda` X j`)zj®¨zWd_ 4. . $ X&. 3. -$ &. (n). fˆ(n) (x) =. N X. (n) wm Φ(x − xm ). ¦}SUWibW§aSUW§~n<W '~jlWda` w vicW§|PWaWicV'jdUW|ª_C`bnzl¨<jldU°acSUW$jdacWicwynzvajlnzd wUicnzPWV ÃÀWH|PWdUnxacWacSUj`'jd Vhvaibj®Ì fˆ (x ) = f (x ), r = 1, . . . , n − 1, n + 1, . . . , N dUnxavpajnxdvx` m=1,m6=n. (n). (n). r. r. ¦}SUWibW A j`nxPavxjldUW|È«NibnzV vxdU| F = (f , . . . , f , f acSUWd y =0 (n). (n). 1. n−1. A(n) w (n) = F (n). _ÂibWV'n:¨jldU©aSUW n aS icn:¦ vdU| n aS ~nzlfUVhdOÁ §ÃÀWCdUnaW aSvaej®« y ∈ R j`}`bfU~SaSUva. A > n+1 , . . . , fN ). N. n. º . Ay = z =⇒ A(n) (y1 , . . . , yn−1 , yn+1 , . . . , yN )> = (z1 , . . . , zn−1 , zn+1 , . . . , zN )>. X°n:¦ ~nzdU`cjl|UWi)acSUW `cnzlfPajlnzd. u[n]. anacSUW `b_<`bacWV. é ¦}SUWibW e j`JaSUW n aS0~nzfPVhd'nx«¯acSUW N × N j|UWd?acjla _'Vhvaibj®Ì> a§j`GWvx`{_Ëan¨xWibjl«ô_ aSva u 6= 0 dU|PWW|OÁyj®« u = 0 aSUWdH_ {- }vdU| ¼ ¦W~nzdU~fU|UW5acSva Au[n] = e[n]. [n]. [n] n. [n] n. [n]. [n]. [n]. [n]. A(n) (u1 , . . . , un−1 , uk+1 , . . . , uN )> = 0. PQP. (. RTS UWVXU.
(33) . ³c·x¹¹ ² ®¶ O¹c·x² . X . ¦}SUj~ShjV'wUjlW`Á_ËaSPW°dUnxd `bjdUzfPvxibjla _ªn« A aSUva u = 0 Á?¦}SUjl~S0j`JjV'wynz`c`bjUlW >W~vxfU`bW u j`ZacSUWË`cnzlfPajlnzdacn º- ´sWa fU` dUn:¦ ~nzdU`bj|UWi5aSUWª¨xW~acnzi v ∈ R |UW¿dPW|_ (n). [n]. [n]. [n]. v [n] = w −. R)SUWd¦§WSv¨zW aSUva Av. [n]. = Aw−. vxdU|`cjldU~W. wn [n]. un. [n]. Au. vn = 0. [n]. = F−. wn [n]. un. e. [n]. =. . wn [n] un. N. u[n]. f1 , . . . , fn−1 , fn −. ÁU¦§W fU`bW º anË~nxdU~lfU|UW5aSvpa. wn [n]. un. , fn+1 , . . . , fN. >. > [n] [n] [n] [n] w (n) = v1 , . . . , vn−1 , vn+1 , . . . , vN. R)SUj`)jlVhwUljW`§aSvpa. fˆ(n) (xn ) =. N X. (n) wm Φ(xn − xm ). m=1,m6=n. =. N X. [n] vm Φ(xn − xm ). m=1,m6=n. =. N X. [n] vm Φ(xn − xm ). m=1. Av [n] n wn = fn − [n] un =. ¦}SUj~S¬zj®¨zW`8acSUWC«Nnzln:¦}jdP`cjlVhwPW«NnxicVªfUvh«NnzieaSUWWicicnxi5nx«GjdaWicwynzvacjnzdHva8acSUW WÌ~lfU|UW|wynzjda x n. QP. ÷.
(34) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ . .
(35)
(36) . . . X. wn En = fn − fˆ(n) (xn ) = [n] un. « ¦WfU`cW'sY |UW~nzV'w>nx`cjlacjnzdHan(`cnxl¨zWacSUWjldUWvxi°Wk?fvacjnzd©`{_<`baWVh`Á%acSUW~nx`ba nx« nzdUW5sY |UW~nzV'wynz`cj®ajnxdnx«aSPW5Vvacicj Ì A j` O(N ) ÁP¦}SPjWeaSUWZ~nz`{a}nx«`cnz®¨<jdUCacSUW jdPWvxi$Wk?fvajlnzdU` ¼ )jl` O(N ) `bn'acSva)aSPW acnxav¯~nz`{aej` O(N ) N uejlwUwv(Svx`fU`cW|ÂŧibWda `V'WacSUn<|¥¦}SUjl~SÉjl`vUicvx~£xWajdP¤vxlznzicj®aSUV,«Nnzi n<~vpajdP aSUW¬V'jdUjlVªfUV d nxfUi0aW`ba`¦W¥«NnzfPdU| acSvajlajl`(dUnxawynz`c`bjUlW¤an wUicW|Uj~aHjld vx|P¨vxdU~WCv'`cfUj®avxUlW Uivx~£WacjdU0jldaWi{¨vx`cjldU~WaSUjl`°|UWw>WdU|U`°nzdHacSUWC|vpavË`cWaÁyacSUW «NfUdU~acjnzd¤vxdU|©|UjlVhWdU`cjlnzd¤nx«JaSPWªwUicnxUWVH ½eWdU~Wª¦§WSv¨xW'fP`cW|¥m vxibacj~lW^<¦§vxibV q5wajV'j¢vajlnzd émG^Uq eacn0n<~vacWacSUWªV'jdUjlVªfUVnx«acSUWª~nz`ba8«NfPdU~acjnzd ^jdP~W aSUjl`Cj`ªvnzdUW0|PjV'WdU`bjnzdvV'jdUjlVhjl¢vacjnzdwUicnzPWV v¤`cVhvxlGd?fUVC>WiªC(a) nx«ewvxi{aj~W` `cSUnzfP|yW)`cf '~jlWda ¦W)Sv¨zW}fU`cW|'¿P¨zW}wvxi{aj~W`ÄjdªacSUW)`b¦§vxicV vxdU|aW`bac`GjldU|Ujl~vacW aSva)acSUW VhjldUjVCfUV3w>nzjlda}~vxd>W5ln~vaW|(¦}jlaSlW`c`)acSvxd¥:zªjlacWicvajlnzdU`. 3. 2. !. G(. G9)CEB. 3. . H@T.=4 72/46.=, 2/001?5BI0. )R SUWÉicvx|Ujv5vx`cjl`H«NfUdP~ajlnzdU`|UWwyWdP|¾nzd acSUWÈtfU~j|PWvxd |Uj`{avxdU~WÉyWa ¦WWd a ¦§n |vavÀw>nzjlda` «acSUW¤~nzVhwynzdUWda`0nx«5acSUW¤jldU|UWwyWdP|UWda(¨vxicjvxUlW` Sv¨zW ¦}j|UWl_ª|Pj >WicWdaJ`c~vW`acSUWd'aSUW}tfU~j|PWvxdËdUnzibV Vhv:_CdUnxaGyW}vxwUwUibnzxwUic∈jvaRW
(37) d v¬¦WjlzSaW| dUnzibV Svx`'>WWdÆfP`cW|Æjd wUvx~Wnx«ZacSUWtfU~jl|UWvxd dUnzibVHÁG¦}SUWibWacSUW ¦§WjzSa` |UWw>WdU|Énxd¬acSUWËziv|UjWd?a n«acSUW«NfUdU~acjnzdO˽°WibWxÁaSUWËjldU|UWwyWdP|UWda¨xvicj® vxUW` {x , n = 1, . . . , N } vxdP| «NfUdP~ajlnzd¨vxfUW` {f , n = 1, . . . , N } vxibW`c~vW| >W«NnzicWh~nzdU`{aibfU~acjdU¤acSUW(ueÅ$Ê V'n|PW¼HR)SUW0jldU|UWwyWdP|UWda¨vxicjvxUlW` vxibW `c~vW|C`cnZacSvaÄWvx~S~nxVhwynzdUWd?a.nx« x jlW`%jdaSUWjdaWib¨vx (−1/2, +1/2)x¦}∈SPjRWJ«NfUdU~´ ajnxd¨vxfUW`5vxibW`c~vW|¤acn(jlWCjd¤acSUWjdacWib¨vx (0, 1) «JacSUWª«NfUdU~ajnxd©j`8~nzdU`bavxdaÁ aSUWdhjld'acSUW}`c~vW|h`cwv~W°vxPacSUW)«NfUdU~ajnxd'¨vxlfUW`¦}jlPyW°¢WibnCvxdP|'acSUW°~nW '~jWda` vicW'vx`bn¢WibnU0r3~nxdU`bavxda«NfUdP~ajlnzd¥j`5aS?fU`icW~n:¨zWicW|ÂW´ÌPvx~acl_©«Nnzi vxd_©¨vxlfUW w nx«vabaWd<fUvajlnzdH« vx~anzi)X°naWacSva}aSPj`°v:¨xnzj|P`eacSUWC|Uj '~fU®a _nx«ÄibWwUibn|UfP~jdP~nxd `bavd?a«NfUdU~ajnxdU`¦}j®aSÉu°Å$Ê ¦}SUj~SÉnxaSUWib¦}jl`cWibWk?fUjlicW`¨zWib_ Qva a → ∞ 5vx`bj` «NfUdU~acjnzdP` R)SUWC~nW h~jWd?a8Vvacicj Ì A ~vxd¤yW~nzVhWjl® ~nzdU|Uj®ajlnzdUW|h«Nnzi ®·x³é¶<¹}¨vxlfUW`enx«JvabaWd fvajlnzdÉ« vx~anziÁJvxdU| vxl`cn¤«NnziC¨xWi{_ÂvxibzW0vdU| |UWdU`bW|vav¤`bWac`Àà SUvaËj`v¤vxicxW vacacWd?fvacjnzdÉ« v~anxiC|UWw>WdU|U`nzdÈacSUW0d?fUVªyWiªn«°|Uvavwynzjld?ac`ÁÄacSUWjliC|Ujl`baibjUfajnxd d. n. $ % &. n. d. . . -". . PQP. (. RTS UWVXU. .
(38) . ³c·x¹¹ ² ®¶ O¹c·x² . X . vxdU|ÈaSPW0|UjV'WdP`cjnxd ©R)SUW0yW`{a'vacacWd?fvacjnzdÀ« vx~acnziCfU`bfvxll_¥Wvx|U`acn¬vSUjlzSUl_ j ~nzdU|Uj®ajnxdUW|0~nW '~djWdaZVhvaibj®Ì>§r°d¤fUdU~Wi{avxjld?a _wUibjdU~jwUlW5W`{avxUlj`bSUW|Hjd `bavpaW` aSUva5aSUWhvabavxjldvxUlWªWibicnzi vxdP|¥acSUWh~nzdU|Uj®ajlnzd©d?fUVªyWi nx«§acSUW'u°Å§Ê jld?acWiº w>nzvajlnzdVvacicj Ì~vxdUdPnxa8ynxaS>Wª`bVv%vaZacSUWª`cvxVhWajlVhW°Ã SUWd¬acSUWCVhvacicj®Ìjl` SUjzSPl_'jl® ~nzdU|Uj®ajlnzdUW|OÁzjla)jl`§dUna}w>nz`b`cjlUWean~nxVhwUfaW8aSPW8jdaWicwynzvd?a¦}jlacS0¿dUjlacW wUicW~j`bjnzdÉvxicj®aSUV'Wacj~Ë`cjldU~W'aSUW`cnzlfPajlnzdÀn«}jdPWvxivxlzWUicvxj~ËWk<fUvajlnzdU`CyW~nzV'W` fUdU`bavxUlWx d }v©VhWaSUn<|Âj`wUibnzwynz`cW| acn¬~nzV'wUfPacW0aSUWueÅ$ʾjdaWicwynzvxda«Nnzi `cfU~S¤jl ~nxdU|UjlacjnzdPW|0~vx`cW`e½°n:¦W¨zWi8aSUjl`}j`e~nz`{al_(«NnxienxfUi°wPicW`bWda5wUfPicwynz`cWCvxdU| ¦§WfU`bWËv0`cjlVhwUlWljV'jlacjdU'vxwUwPicnvx~SO à SPjWVhjldUjV'j¢jdUªacSUW~nx`ba8«NfUdP~ajlnzd C(a) ¦§W0~nzV'wUfPaW'aSUW~nzdU|PjlajlnzdÉd?fUVC>WiCnx«)acSUW0~n<W '~jWdaVhvacicj®Ì A jl«)j®aCjl`CviczWi aSvxdh`cnzV'We`cwyW~j®¿W|h¨xvfUWÁ?acSUWdhaSUWe~nz`{a§«NfUdP~ajlnzd'j`GdUnxa~nzV'wUfPacW|PfPa$jl`G`bWaan vxdvicUj®aivicj®_'vxibzW8wynz`cj®ajl¨xW d<fPVª>WiGR)SUWwvxibacj~W`)jldm^Pq vxicW5acSUWddvacfUivxll_ wUfUlW|(an:¦§vxic|P`ZicWzjnxdU`}nx«.¦Wl~nzdU|PjlajlnzdUW|vabaWd<fUvajlnzd(« vx~acnzic` dacSUWwUicW`cWda ~nzV'wUfPavajlnzdU`ÁyaSUWCfUwUwyWi5jlVhj®a}nzd¤aSPWª~nzdP|Ujlacjnzd¤d?fUVC>Wi8j`8`bWa5acn 1/ ¦}SPWicW j`$aSPWVhvx~SUjldUW5wUibW~jl`cjlnzd¯ . $. &. $ &. . G(. . ?5CEB @T2/46.=, B .)C. ,/BI0. R)SUW8ueÅ$ÊÀV'WavxV'n|UWUj`vxwUwPjW|'acnC`bnzVhW°vxdvl_?ajl~vxU«NfUdP~ajlnzdU`vxdU|vxWibn|P_<dvVhjl~ |vav R)SUW)wPicnzzicvxV'`%«Nnzi ~nzdP`baibfU~acjdU°aSUW$V'WavxV'n|UW<vxicWG¦}icjlabaWdjd^<~jvx¯%R)SUW jdPWvxiWk<fUvajlnzdU`vxicWe`cnz®¨zW|0fU`cjldUacSUW}«NfUdU~acjnzdP` vxdU| UÁ<¦}SUjlW}acSUW ~nzdU|Pjlajlnzd d?fUVªyWij`~nzV'wUfPacW| fU`cjldU QÊnzi(aSUW¬aW`baH~vx`bW`HfU`cjldU vxicxW |vav`cWac` vx`8jld¤`cW~ajlnzdÀ vxdU|¥ haSUWwUibnzzicvxVh`ZvxicW¦}icjlabaWd©jd©Ênzi{aivd¬z vxdU|ªljdUWvxiWk?fvacjnzdU`ÄvxicW`cnz®¨zW|fP`cjdP°aSPW)s ºXZm>r + icnxfPajldUW` 5vdU| aSUW icnxfPajldUW 'vxl`cnË~nxVhwUfaW`)acSUW ~nzdU|Pjlajlnzd(d?fUVªyWi Ñ Ï
(39) x Ó R)SUWu°Å$ÊÈV'n<|UW>j`)~nxdU`bacicfU~aW|«Nnzi$acW`ba)«NfPdU~acjnzdU`5 _(nzwPacjV'j¢jdUaSUW vabaWd fvajlnzd0« vx~anzi)fU`bjdUËu}jwPwvªVhWaSUn<| jldWvx~S~vx`bWË:ªWk?fvxll_`cwvx~W||vavËwynzjld?ac` vxicWfU`cW|¯Á)¦}SUjlWacSUWibW~nzdU`bacicfU~aW|Ç«NfUdU~acjnzdÇvxdU|ÆWicibnzic`vxicWHW¨vxfUvaW|Ænzd z Wk?fvxll_Ë`cwUvx~W|0w>nxjda`ÊnziR%W`{a)UÁ?¦§W°`bacfU|P_'aSUW°|UWwyWdU|PWdU~W5nx«Wibicnzivx`§v«NfUdU~´ ajnxdÉnx«}d?fUVªyWiCnx«}|vavw>nxjda`C«NnxiC|Uj OWicWdaC~SUnzj~W`nx«evpacaWd?fvajlnzdÉ« vx~anzi d Ê.jzfPicWËHacSUWV'WvxdÀWibicnzij`wUnxabaW|¥«NnzivabaWd?fvpajnxdÀ« vx~anzib`ªP®zÁ Pû<Á§zâPÁ 1/N .
(40) . .
(41) . .
(42) . . .
(43) . !#"%$&"('. ' *). ,+ .-. /. -. . QP. ÷.
(44) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ . .
(45)
(46) . . . 1 Optimal 0.1 0.5 1.0 1/N. 0.1. L_2 error. 0.01. 0.001. 1e-04. 1e-05. 1e-06. 1e-07 6. 8. 10. 12 14 Number of data points. 16. 18. 20. 8. 10. 12 14 Number of data points. 16. 18. 20. 1e+20 Optimal 0.1 0.5 1.0 1/N. 1e+18 1e+16. Condition number. 1e+14 1e+12 1e+10 1e+08 1e+06 10000 100 1 6 100 90 80. Time in seconds. 70 60 50 40 30 20 10 0. .Ê jzfPicWJ %u°Å§ÊHWibicnziÁx~nzdU|Uj®ajnxdd?fUVC>WiÄvxdU|ajlVhWan°~nzdP`baibfU~aÄVhWavxV'n|PW NnzdUl_ «Nnzi}ue( jlwUwvªV'WacSUn| ¨zWib`cfU`°d?fUVªyWi}nx« |vav 6. PQP. TM. RTS UWVXU. 8. 10. 12 14 Number of data points. 16. 18. 20.
(47) :. ³c·x¹¹ ² ®¶ O¹c·x² [vpÌ>JWici [HW|¯Wici z zt.ºz x:t.º z zz zt.ºx P t.º z xz zt.ºz xzzxt.ºx P xt.ºz z x xzt.º aW`{a}«NfUdU~acjnzdP` . R%W`ba . §nzdU|¯JdUnU [HWvxdHWici z® z U t ª xxtÄ z® z U zt ª z zPtÄ P zz z t 5 z xxxtÄ P x zxt 5z P xtÄ R vxUW JueÅ$ÊÂicW`cfU®a`)«Nnzi5 a∗. . %. . . %. %. . . . . TM. % %. X . %. %. . . %. K. . %. %. . xv dU|(aSUW u}jwPwvªVhWaSUn<|¯ÄR)SPW ¨vxlfUW8nx« 1/N j`§Wk?fvxOacnaSUW5`bwvx~jldUË>Wa ¦§WWdaSUW |vav(wynzjdac`CÃÀWË`cWWË«NicnxV]aSPWË¿UzfUicWacSvavxl aSPWhvpacaWd?fvajlnzd©« vx~acnzic`5wyWi{«NnzicV w>n<nzic®_'~nzV'wvxibW|(anªacSUWuejlwUwv¨vxlfUWxÁUW´Ì~Wwae«Nnxi$aSUW8¨vxlfUW8nx« a = 0.5 W¨xWdaSUW ~SUnzj~W nx«.acSUW|UvavË`cwv~jdP a = 1/N Áj`}`cWWdHacnhxjl¨zW ¨zWib_SUjlzSWicibnzic`$Ê.jlzfUibW vx`bn`cSPn ¦}`ªacSUWh¨vxibjvacjnzd¥nx«$acSUW0~nzdU|Uj®ajnxdÀd?fUVªyWiªvxdU|ÉacSUWhacjV'W'avx£xWdÂjdÀacSUW ~vx`bWnx«u}jwUwUv¥nzwajV'j¢vajlnzd¯¡Ênzix¥|vav¥w>nxjda`Á$aSUWajV'W(anÈ~nzdU`{aicfP~aacSUW u°Å$Ê Vhn<|UWG_ÉnxwPajlVhjl¢jdPacSUW(vabaWd<fUvajlnzdÉ« vx~anzij`ªv>nzfa z`bW~nzdU|U`ÀR)SUjl` ajV'Wªjl`dPWvxibl_©jldU|UWwyWdP|UWdanx«§acSUWË|UjV'WdU`bjnzd¬nx«GaSPWhjldU|UWwyWdP|UWda`cwvx~W d vxdU| |UWwyWdU|P`0Vhnx`ba®_ nzdÆacSUW`bj¢WHnx«8acSUW|vpavÉ`bWa N R)SPW¤nzwPacjV'j¢W|ÆvpacaWd?fvajlnzd « vx~acnziÁ<~nzdP|Ujlacjnzdhd<fPVª>Wi§nx«acSUW8ljdUWvxiJ`b_<`bacWV vdU|(Wibicnzib`«NnziGaSUWª acW`ba§~vx`bW` vxicW8lj`{aW|jd0R vxUlW8UJÊnziacSUWZ¿ib`ba)a ¦n«NfUdU~acjnzdP`§¦}SUj~SvicW8`bjV'wUWÁ<¦W5`cWW8¨zWi{_ `cVhvx%vxwUwPicnÌjVhvajlnzdWicicnxic`Z¦}SUjlW«Nnzi°acSUWªv`baZa ¦nUÁOacSUWªWicicnxic` vxibWCSUjlzSUWi5R)SUW icW~nzdU`{aicfP~aW|«NfUdU~ajlnzd¯Á|vavwynzjld?ac`JvxdU|'WÌPvx~a«NfUdP~ajlnzdhvxicW)wUlnxacacW|'jd'Ê.jlzfUicWe< U:
(48) %x Ó Ñ R)SUW(uevx`bacicjxjdÀ«NfPdU~acjnzdÈjld j`icW~nzdU`{aicfP~aW| nzd [−1, +1] × [−1, +1] fU`cjldU an 10 × 10 |vavHw>nzjlda`C¦}SUjl~S vxicW0|Pj`bacicjlUfPaW|Ènzd v¤fUdPjl«NnzibV xicj|O©R)SUW 5×5 icW~nzdU`{aicfP~aW|h«NfUdP~ajlnzd'j`wUlnxacacW|ËnzdhvfUdPjl«NnzibV zibj|Ënx« × 100 w>nxjda`JvxdP|'acSUW Wicibnzic`}vicW vxl`cnW¨vxlfvacW|nzd(aSUjl`)zicjl|¯Ê.jlzfUibW é §`bSUn:¦}100 `)aSUW icW~nzdP`baibfU~acW|vxdU| WÌPvx~aC«NfUdU~acjnzdÉ~nzdanxfUic`vnzdU¦}jlacSÉaSUWn<~vacjnzd¥nx«)aSPW0|vavw>nxjda`©ÊnziacSUW ~vx`bW8nx« 5 × 5 |vavCwynzjda`JaSPW8vx~~fUicvx~_hj`G¨zWi{_wyn<nziW¨zWdk?fvjlavaj®¨zWl_C¦}SPjW}«Nnzi w>nzjlda`aSUWGicW~nzdU`{aibfU~acW|«NfUdU~ajnxdjl` k?fvxljlavaj®¨zW®_5yWacacWi
(49) dªR vxUlW$<ÁacSUW 10×10 Wicibnzi§«Nnzi§jdU~icWv`cjdPªd?fUVªyWi)nx«%|vavªw>nxjda`$jl`§zj®¨zWdHvdU|0¦§W dUnaj~W5vªV'nzdUnxacnzdUj~ |UW~icWv`cWjd>naS(aSUW V'WvxdvxdP|HVhvpÌjVªfPVÍWicicnxic` .
(50) %. K. !#"%$&"%!. / /(-. + .-. /. -. / -. ! *). K. QP. ÷.
(51) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ . .
(52)
(53) . . . 5.5. 12 Training data Exact Evaluated. 5.0. Training data Exact Evaluated. 11. 4.5 10 4.0 9. f. f. 3.5 3.0 2.5. 8. 7. 2.0 6 1.5 5. 1.0 0.5. 4 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. x. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. x. 1.0. 1.4 Training data Exact Evaluated. 1.2. 0.5. Training data Exact Evaluated. 1.0. 0.8 0.0 f. f. 0.6. 0.4 −0.5 0.2. 0.0. −1.0. −0.2. −1.5 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. −0.4 0.0. 2.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. Ê.jlzfUicW ) aW`ba}«NfUdU~ajlnzdU`}icW~nzdU`{aibfU~acW|H¦}j®aSueÅ$ÊÂfU`cjldUHË|Uvavwynzjda` x. 1M. x. K. N 5×5 6×6 7×7 8×8 9×9 10 × 10. §nzdU|¯JdUnU [HWvxdWici [vpÌWici ?: P U UW : zâ z W P x xW z z U zxW : P® zxW x z xzzzW P zx z U W : x W x zâz UW Pâz zx U xW : P W P Uâzp?W x P ? xzx âxzW : P UzxW âP z< xW P âUzz z W ª P < xW z z W´ºP R vxUlW JueÅ$ÊÂicW`bfUlac`)«Nnzie uevx`bacicjlzjd0«NfUdP~ajlnzd a. . . . % . %. . . . M. PQP. (. RTS UWVXU. . X% % % % X% K. . . %. X. .
(54) . ³c·x¹¹ ² ®¶ O¹c·x² . Exact. 1.0. 1.0. 0.8. 0.8. 0.6. 0.6. 0.4. 0.4. 0.2. 0.2 y. y. Computed. 0.0. 0.0. −0.2. −0.2. −0.4. −0.4. −0.6. −0.6. −0.8. −0.8. −1.0 −1.0. −0.8. −0.6. −0.4. −0.2. 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. x. 5×5. −1.0 −1.0. |Uvavwynzjda`. −0.8. −0.6. −0.4. −0.2. 0.8. 0.6. 0.6. 0.4. 0.4. 0.2. 0.2 y. y. 0.8. 0.0. −0.2. −0.4. −0.4. −0.6. −0.6. −0.8. −0.8. −0.4. −0.2. 0.0. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 0.0. −0.2. −0.6. 0.2. Exact 1.0. −0.8. 0.0 x. Computed 1.0. −1.0 −1.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. −1.0 −1.0. −0.8. −0.6. | vavËwynzjld?ac` Ê.jzfPicW 5 uevx`bacicjxjd«NfUdP~ajlnzd¬icW~nzdU`{aibfU~acW|Éjld ¦}jlaSnzwajV'j¢W|vabaWd<fUvajlnzd0« vx~acnzi x. −0.4. −0.2. 0.0 x. 10 × 10. !M. K. X . 100 × 100. zibj|¬fU`cjldUueÅ$Ê. QP. ÷.
(55) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ . .
(56)
(57) . . . X%. Ñ Ï Ó Ô Ð Ô%P. dacSUj`$acW`baÁ¦§W5av£xWvxWibn|P_<dvVhjl~8|vav N|UivxË~nW h~jWd?a vxdU|jl«ôa§~n<W '~jlWda C .«NnziJv p ¦}jldU5¦}SUnz`cW°`cSvw>W}j`JwvivxV'WacWicjl¢W|'jld'acWibVh`Jnx«yaSUWe|Ujl`cwUvx~WVhWd?ac` C nx«>xZ~nzdaicnxPwynzjda` nx«yvxdÊ.Ê yn:Ì>ÄR)SPW§¦}jdUZ`cSvxwyW$jl`.nzwPacjV'j¢W|CfP`cjdP8`cjlVhwUlWÌ VhWaSUn<|`cnaSvpa°j®a)V'jdUjlVhjl¢W`GaSUW ~nz`ba}«NfUdU~ajlnzd ® !#"%$&". -. ). !. /. . d. # K. l. K. -$ &. Cd Cl 4 J= + 10 · max 1 − ,0 C do C lo. ¡r `cWanx«¯xz5|vav5w>nzjlda`jd R jl`JzWdUWivacW|'_ËicfUdUdPjdU5aSPW$Ê `bnzl¨xWiGvxicnxfUdU| aSUWnzwPacjVhvxOwynzjda Y jdaSUW «Nnzln:¦}jdUª¦§v_ Y = Y + Y ÁQ¦}SPWicW Y ∈ R j`ev ivxdU|PnzVͨxW~acnzieWvx~Snx«%¦}SUnz`cWWlWV'Wda`)jl`$avx£Wd«NicnzV {−1, 0, +1} jdvËfUdUjl«NnxicV ivxdU|PnzVVvdUdUWi$ueÅ$Ê Vhn<|UWl`evxicW~nzdP`baibfU~acW|«Nnxi C vxdU| C fU`cjldUhacSUWCu}jwPwv VhWaSUn<|0¦}SUj~Szj®¨zW`}acSUW vabaWd?fvpajnxd0« vx~acnzic`}vx`e ûxªvxdU| z P ?ibW`bw>W~aj®¨zWl_ . dÈnzic|PWiCacnHaW`baªacSUW(vx~~fUicvx~_Ànx«)acSUW~nzdU`bacicfU~aW| V'n<|UWéÁÄvH«NfUi{aSUWiC`bWanx« z |vav¬wynzjda`'j`ËzWdUWicvaW|Ç_ icfUdUdPjdU¬aSUW $Ê `bnzl¨xWi acSUW`bW¤|vav¥wynzjdac`vxibW avx£Wd¤v` Y = Y + Y ¦}SPWicWaSUWWlWV'Wda`enx« Y vxibWfPdUjl«NnzibV ivdU|UnzV d?fUVC>Wic` «NicnzV (−0.5, +0.5) ÄÊnziÄaSPW°|Uicvx~n<W '~jlWdaÁ?aSUWev¨zWivxxWZvxdP|VhvpÌjVªfUV icWvacjl¨zW Wicibnzic`vxibW 2.78 × 10 vxdU| 1.10 × 10 icW`cwyW~acjl¨xWl_xÁ¦}SUjlW)«NnziJaSUWej®«ôaJ~n<W '~jlWda aSUW_(vxibW 1.66 vxdP| 6.24 × 10 icW`cwyW~ajl¨xW®_zJR)SUW`bW Wicibnzic`$vxicWZ¨xWi{_(`cVhvx × 10 jdU|Ujl~vacjdUaSUWvxwUwPicnÌjVhvajlnzd0wyn ¦Wi}nx«Äu°Å§Ê§ Ñ Ï Ó Ô Ð % éÔ%: R)SUj`8jl`Z`bjV'jvi$anacSUWªwUibW¨<jnzfP`8WÌPvxV'wUWCUfPaZ¦}j®aS |PW`cjlzd¤¨vxicjvxUlW`°r `cWa5nx« ¤wynzjda` 'j`zWdUWicvaW| jld R fU`bjdU¬vpajdÉS?_<wyWib~fUyWH`cvxV'wUjldU¤jdÈacSUWivxdPzW R)SUW¬nzwajV'j¢W|¡vpacaWd?fvajlnzdÇ« vx~anzib`0«Nnzi C vxdU| C vxibW [Y − 50, Y + 50] «NnzfUdU|¬an>Wz x zvdU| x z(icW`bw>W~acjl¨zWl_¥vxdP|¥acSUWh~nzdU|Uj®ajlnzd©d?fUVªyWinx«acSUW ~n<W '~jlWdaVhvaibj®Ì jldu°Å§ÊH¦$v`P zxt 5 vxdU|ËP®z t ª:eicW`cwyW~acjl¨xWl_x à j®aS aSUWªnxwPajlVhjl¢W|¤vacacWd?fvacjnzd¤« vx~anziÁ>acSUWWibicnzi8n«jldaWibw>nxvacjnzdnzd¥v0|Uj >WibWda5`bWa nx« |Uvav5wynzjda`Ħ§vx`J«NnzfUdU|acnyW°® t. 5vdU|Hx xt. 8icW`cwyW~ajl¨xW®_z d'nzic|UWi Ü ÚºÛ ÙJ.pøpÝáâÝÛ¼Ý Ýú ( à××Û%ù úéÛ Úbú Ý´á ÙbÙbø°ÖéÙ ù ( ÛÙ pùÙ{úÖ ÝÚbÛ¼ÝÙbúéø%Ù .ú ù á Ý´Ûéù àxÙ{Ö Ú . xÙúéÝÞ$à áâù .:Û%ÝGü Ù ×´üÛ ÙbÞ á ÙbÝø}÷ Û¼×$à Öé× á Ù{Þ)ú¯ù ( Öé( ùûø°ø Ùºü ×Ö¼Þ)ÝÛ¼( ùâ× ( Ý ( ø°ÝÖé(Ù ( ×ÛÛ¼( Ý Ù ( ü ×Ö Ù ( ÙbּݴÛéù ( ( Û ÙÞ$ÙºÛ Ý´Þ$×:ø:Ù{á 20. M. ∗. ∗. r. d. K. ∗. r. −5. % %. . . −4. /. ∗. %l. . −5. -. *). . 20. r. r. −5. !#"%$&". K. 8. ∗. 8. %. d. l. X. %. /. .
(58). PQP. (. RTS UWVXU. /. . U . . . . . . . . . . . . . .
(59) x. ³c·x¹¹ ² ®¶ O¹c·x² . X . 1. 1 Cd Cl Optimized. 0.1. 0.01. 0.01. Error in Cl. Error in Cd. 0.1. 0.001. 0.001 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2. 2.2. Ê.jzfPicWZ Är¨zWicvxzW8Wicibnzi§nx«jldaWibw>nxvacjnzd'vx`)v«NfUdU~acjnzdhnx«%vabaWd?fvpajnxd« vx~acnziJ«Nnzi vxWicn<|P_<dvxV'j~8|vpav Attenuation factor. M. K. an0`bWWªaSPWC¨vxicjvajlnzdHn«Gvx~~fUivx~_n«aSUWªV'n<|UW¦}jlacSaSUWªvacacWd?fvacjnzd« v~anxiÁ>¦W ~nzV'wUfPacW'acSUWWicicnxinx«$jdaWicwynzvacjnzd©nxdÉaSUWËaW`baC|vav«Nnzi|Uj >WibWdavabaWd<fUvajlnzd « vx~acnzic`%vxdU|wUnaaSUWV¾jd5¿zfUibW$< R)SUWGa ¦§ne¨zWibajl~vxljdUW`icWwPicW`bWda.acSUWGnzwPajlVhjl¢W| vacacWd?fvacjnzd« vx~anzi ÃÀWe~vxd'`cWW}aSUvaaSUW}V'jdUjlVªfUV Wibicnzinx«>jdacWicwynzvajlnzdªn<~~fPic` va8vd©vacacWd?fvacjnzdH« vx~acnzi°k?fUj®aW~nx`cWacnaSPW¨vxfPW`Z|PWaWicV'jdUW|«NicnxV aSUWu}jwPwv VhWaSUn<|¯ R)SUW u°Å§ÊÉVhWavxV'n<|UWQ¦$v`}vx`bnªfU`cW|acnª`cnxl¨zW vª~nzdU`{aivjdUW|(VhjldUjV'j¢vajlnzdwUicnx WV `bfU~SHacSva C = C jd [Y − 40, Y + 40] min C ^<avxi{ajldU«NibnzV-vC`cnxfPacjnzd'nzPavxjdUW|¦}jlacS0vC`bjV'wUW´Ì'VhWaSUn<|! C = 0.01399 Á C = Á>aSUWËV'WavVhn<|UW%_<jWl|UW|©acSUWª¨vxfUW` C = 0.01365 vxdU| C = 0.31870 Á 0.31870 ¦}SUjlWvdHW´ÌUv~a$Ê ~nxVhwUfavacjnzdzj®¨zW` C = 0.01376 vxdU| C = 0.31847 §R)SUjl` Ü ùûúà Ö¼× páâÙbÞ Ýú¯ú ×á Ùbø .pú ù ( Õ M. d. l. ∗. l0. ∗. 8. d. d. . K. . . . . d. l. l. l. . QP. ÷.
(60) À¹¸¼·x»µ <¹ ± ¬·<¹³µ y·x» ªµ y¸ ô» :·x¸ ¼µ . .
(61)
(62) . . . SUn:¦§W¨zWi5|PnW`8dUnxa°_jlWl|©v~nxd?¨xWibzW|¬`cnxfPacjnzdanhacSUWªnzibjzjldvxwUibnzUlWV,`cjldU~WC¦W w>Wib«NnzibVhW|ÂnzdUl_Èv©n<~vxVhjldUjV'j¢vajlnzd¯¤r`bWk?fUWdP~Wn«°`bfU~SÆln~vx§V'WavxV'n|UW® vx`cW|©VhjldUjV'j¢vajlnzdU`$~vxd¤yWªwyWib«NnxicV'W|Hacn0nzPavxjdPW|©v~nzd¨zWiczW|¥`bnzfajnxd¯eÃÀW Sv¨zW'jV'wUWVhWd?acW|¤`bfU~SÈvdÉvxwPwUicnv~SÀfU`bjdUv0aibfU`baibWzjlnzd©`bacivacWx_¤¦}SPj~S¬¦}j >W wUibW`cWdaW|Hjdv`cWwvxivpaWicWwynzi{a Ñ
(63) Ô% P é Ó $ Ð Ó N ${ y Ô Ï y¬ Ô Ï N
(64) Ó
Documents relatifs
In infantile Pompe disease patients, the glycogen storage diffusely affects brainstem motor and sensory neurons, and the whole spinal cord sensory neurons, interneurons, and
De ce point de vue, il est possible d’affirmer que la mission est accomplie : les projets de renouvellement urbain (GPV et ORU) élaborés depuis 1998 dans une centaine de villes
cosinus (en bleu à gauche) et d’une droite (en noir à droite) sur les données simulées pour 4 années à une température de 45°C, avec un bruit de fond interne réduit de 100,
Florence CARRÉ ~ Réoccupations funéraires de sépultures collectives néolithiques dans la boucle du
2 Vue plus en détails dans le chapitre 1... 2 phénomène d’agrégation des protéines amyloïdes en fibres et d’autres facteurs impor- tants doivent être pris en compte comme
In this chapter, we prove an a posteriori error estimates for the generalized overlapping domain decomposition method with Dirichlet boundary conditions on the boundaries for
Revue française d’héraldique et de sigillographie – Études en ligne – 2020-10 © Société française d’héraldique et de sigillographie, Paris,
Dans ce cas, comme les coulées du Bras de Sainte-Suzanne appartiennent au massif de La Montagne daté à plus de 2 Ma (McDougall, 1971), l’ensemble des coulées pahoehoe
