Programmation en lambda-calcul pur et typé

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Programmation en lambda-calcul pur et typé

Karim Nour

To cite this version:

Karim Nour. Programmation en lambda-calcul pur et typé. Mathématiques [math]. Université de

Savoie, 2000. �tel-00415534�

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✷✹ ❈❍❆P■❚❘❊ ✶✳ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ à ✉♥ ❡♥t✐❡r ❞❡ ❈❤✉r❝❤✳ ❈❡❝✐ ♥✬❡st ♣❧✉s ✈❛❧❛❜❧❡ ♣♦✉r ❧❡s ✏❡♥t✐❡rs ❝❧❛ss✐q✉❡s✑ ✭✐✳❡✳ ♣r♦✈✐❡♥t ❞✬✉♥❡ ♣r❡✉✈❡ ❡♥ ❧♦❣✐q✉❡ ❝❧❛ss✐q✉❡✮✳ ▼❛✐s ✐❧s ♦♥t ❞é♠♦♥tré q✉❡ ❧❡s ♦♣é✲ r❛t❡✉rs ❞❡ ♠✐s❡ ❡♥ ♠é♠♦✐r❡ t②♣és ❞❛♥s ❧❡ s②stè♠❡ ✐♥t✉✐t✐♦♥♥✐st❡ AF✷ ❞✬✉♥ t②♣❡ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ♣❡✉✈❡♥t s❡r✈✐r ❛✉ss✐ ♣♦✉r tr♦✉✈❡r ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞✬✉♥ ❡♥t✐❡r ❝❧❛ss✐q✉❡✳ ❏✬❛✐ ♦❜t❡♥✉ q✉❡❧q✉❡s rés✉❧t❛ts ❞❛♥s ❧❡ λC✲❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ❏✳✲▲✳ ❑r✐✈✐♥❡ ❡t ❧❡ λµ✲❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ▼✳ P❛r✐❣♦t✳ ❊♥ λC✲❝❛❧❝✉❧✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❝❛r❛❝tér✐sé✱ ♣❛r ❞❡s ♠ét❤♦❞❡s ♣✉r❡✲ ♠❡♥t s②♥t❛①✐q✉❡s✸ _{❧❡ ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥t ❞❡s λC✲t❡r♠❡s ❞❡ t②♣❡ ✏❧❡s r❛✐s♦♥♥❡♠❡♥ts} ♣❛r ❧✬❛❜s✉r❞❡ ✐♥t✉✐t✐♦♥♥✐st❡ ❡t ❝❧❛ss✐q✉❡✑✳ ❖♥ ♦❜t✐❡♥t ❛✐♥s✐ ❧❡s ♦♣ér❛t❡✉rs ❞❡ ❝♦♥trô❧❡s ❞❡s ❧❛♥❣❛❣❡s ❞❡ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥✳ ❏✬❛✐ ❝❛r❛❝tér✐sé ❛✉ss✐ ❧❡ ❝♦♠♣♦rt❡✲ ♠❡♥t ❞❡s ❡♥t✐❡rs ❝❧❛ss✐q✉❡s ❞✉ λC✲❝❛❧❝✉❧ ❡t ❥✬❛✐ ❞♦♥♥é q✉❡❧q✉❡s r❡str✐❝t✐♦♥s s✉r ❧❡ s②stè♠❡ ❞❡ t②♣❛❣❡ ❛✜♥ ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥✐q✉❡♠❡♥t ❧❡s ❡♥t✐❡rs ✐♥t✉✐t✐♦♥♥✐st❡s✳ ❊♥ λµ✲❝❛❧❝✉❧✱ ❥✬❛✐ tr♦✉✈é ❞❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ♣❧✉s s✐♠♣❧❡s q✉❡ ❝❡✉① ❞❡ ▼✳ P❛r✐❣♦t q✉✐ ♣❡r♠❡tt❡♥t ❞❡ tr♦✉✈❡r ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞✬✉♥ ❡♥t✐❡r ❝❧❛ss✐q✉❡✳ ▲❡ λµ✲❝❛❧❝✉❧ ♣♦ssè❞❡ ✏♣r❡sq✉❡✑ t♦✉t❡s ❧❡s ❜♦♥♥❡s ♣r♦♣r✐étés ✿ ❧❛ ❝♦♥✢✉❡♥❝❡✱ ❧❛ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❞❡ t②♣❡ ❡t ❧❛ ♥♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥ ❢♦rt❡✳ P❛r ❝♦♥tr❡✱ ♦♥ ♣❡r❞ ❞❛♥s ❝❡ ❝❛❧❝✉❧ ❧✬✉♥✐❝✐té ❞❡ ❧❛ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡s ❞♦♥♥é❡s✳ ❉❡ ♣❧✉s ❧❛ ♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❞✉ s②stè♠❡ t②♣é ♥✬❡st ♣❛s très ♥❛t✉r❡❧❧❡✳ ❏✬❛✐ ♣rés❡♥té ✉♥❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ❞✉ λµ✲❝❛❧❝✉❧ ❛♣♣❡❧é λµ++_{✲❝❛❧❝✉❧ q✉✐ ❝♦❞❡ ❡①❛❝t❡♠❡♥t ❧❛ ❞é❞✉❝t✐♦♥ ♥❛t✉r❡❧❧❡ ❝❧❛ss✐q✉❡ ❞✉ s❡❝♦♥❞} ♦r❞r❡✳ ❈❡ ❝❛❧❝✉❧ ❛ ❧❡s ♣r♦♣r✐étés s✉✐✈❛♥t❡s ✿ ❧❛ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❞❡ t②♣❡✱ ❧❛ ♥♦r♠❛✲ ❧✐s❛t✐♦♥ ❢♦rt❡✱ ❧✬✉♥✐❝✐té ❞❡ ❧❛ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡s ❞♦♥♥é❡s ❡t ❧❛ ❝♦♥✢✉❡♥❝❡ s✉r ❧❡s t②♣❡s ❞❡ ❞♦♥♥é❡s✳ ❈❡ ❝❛❧❝✉❧ ♣❡r♠❡t ❞❡ ♣r♦❣r❛♠♠❡r ❧❡ ♦✉✲♣❛r❛❧❧è❧❡✳ ❏✳✲▲✳ ❑r✐✈✐♥❡ ❡t ♠♦✐ ♠ê♠❡ ❛✈♦♥s ❞é✜♥✐ ✉♥ s②stè♠❡ ❞❡ t②♣❛❣❡ ❜❛sé s✉r ✉♥❡ ❧♦✲ ❣✐q✉❡ ❛♣♣❡❧é❡ ✏♠✐①t❡✑✳ ❈❡ s②stè♠❡ ♣❡r♠❡t ❡ss❡♥t✐❡❧❧❡♠❡♥t ❞❡ ❞✐st✐♥❣✉❡r ❡♥tr❡ ❧❡s ♣r❡✉✈❡s ❝❧❛ss✐q✉❡s ❡t ❧❡s ♣r❡✉✈❡s ✐♥t✉✐t✐♦♥♥✐st❡s ❡t ❞❛♥s ❧❡q✉❡❧ ♦♥ ♣❡✉t ❝❛r❛❝té✲ r✐s❡r à ❧❛ ❢♦✐s ❧❡s ♦♣ér❛t❡✉rs ❞❡ ♠✐s❡ ❡♥ ♠é♠♦✐r❡ ❡t ❧❡s ♦♣ér❛t❡✉rs ❞❡ ❝♦♥trô❧❡s✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ♣rés❡♥té ✭❆✳ ◆♦✉r ❡t ♠♦✐ ♠ê♠❡✮ ✉♥❡ ❧♦❣✐q✉❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ♠✐①t❡ ❝♦♥t❡♥❛♥t ❞❡s ✏❝♦♣✐❡s ❞✐s❥♦✐♥t❡s✑ ❞❡s ❧♦❣✐q✉❡s ♠✐♥✐♠❛❧❡✱ ✐♥t✉✐t✐♦♥♥✐st❡ ❡t ❝❧❛s✲ s✐q✉❡✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ❞é♠♦♥tré ✉♥ rés✉❧t❛t ❞❡ ❝♦♠♣❧ét✉❞❡ ♣♦✉r ❝❡tt❡ ❧♦❣✐q✉❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt à ✉♥❡ sé♠❛♥t✐q✉❡ ❞❡ t②♣❡ ❑r✐♣❦❡✳ ❈❡ s②stè♠❡ ♥♦✉s ❛ ♣❡r♠✐s ❞❡ ❢♦r✲ ♠❛❧✐s❡r ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ✏❜♦♥♥❡ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥✑ ♣❛r r❛♣♣♦rt ❛✉ r❛✐s♦♥♥❡♠❡♥t ♣❛r ❧✬❛❜s✉r❞❡✳ ◆♦✉s ♥♦✉s ✐♥tér❡ss♦♥s à ét✉❞✐❡r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞✬é❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❞❡s ❝♦✉✲ ♣✉r❡s ❞❛♥s ❧❛ ✈❡rs✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡s séq✉❡♥ts ❞❡ ❝❡tt❡ ❧♦❣✐q✉❡✳ ✹✲ ❙②stè♠❡s ♥✉♠ér✐q✉❡s ▲❛ ❝❧❛ss❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ♥✉♠ér✐q✉❡s ♣r♦❣r❛♠♠❛❜❧❡s ❡♥ λ✲❝❛❧❝✉❧ ♣✉r ✈❛r✐❡ s❡❧♦♥ ❧❡ ❝♦❞❛❣❡ ❝❤♦✐s✐ ♣♦✉r ❧❡s ❡♥t✐❡rs✳ ❍✳ ❇❛r❡♥❞r❡❣t ❛ ❞é♠♦♥tré q✉❡ ♣♦✉r ✉♥ ❝♦❣❛❞❡ ❞✬❡♥t✐❡rs ✭✉♥ s②stè♠❡ ❞✬❡♥t✐❡rs✮✱ ♦♥ ♣❡✉t r❡♣rés❡♥t❡r t♦✉t❡s ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ré❝✉r✲ s✐✈❡s ss✐ ❧❡s tr♦✐s ❢♦♥❝t✐♦♥s ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡s ✿ ❧❡ s✉❝❝❡ss❡✉r✱ ❧❡ ♣ré❞é❝❡ss❡✉r ❡t ❧❡ t❡st à ③ér♦ ❧❡ s♦♥t✳ ❏✬❛✐ ❞é♠♦♥tré q✉❡ ❧❡s tr♦✐s ❢♦♥❝t✐♦♥s ♣ré❝é❞❡♥t❡s s♦♥t ✐♥❞é♣❡♥✲ ✸_{❏✳✲▲✳ ❑r✐✈✐♥❡ ❛ ❞é♠♦♥tré✱ ❛✈❡❝ ❞❡s ♠ét❤♦❞❡s sé♠❛♥t✐q✉❡s✱ ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ ❝❡s rés✉❧t❛ts✳}

✷✺ ❞❛♥t❡s ✭✐✳❡✳ ❥✬❛✐ ❝♦♥str✉✐t ❞❡s s②stè♠❡s ❞❛♥s ❧❡sq✉❡❧s ♦♥ ♣❡✉t r❡♣rés❡♥t❡r ❞❡✉① ❞❡ ❝❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s s❛♥s ❧❛ tr♦✐s✐è♠❡✮✳ ■❧ ♠❡ s❡♠❜❧❡ q✉✬♦♥ ♥❡ ♣❡✉t ♣❛s ❢❛✐r❡ ♠✐❡✉① ✭✐✳❡✳ ✐❧ ❢❛✉t ❛✉ ♠♦✐♥s tr♦✐s ❢♦♥❝t✐♦♥s ✉♥❛✐r❡s ♣♦✉r ♣♦✉✈♦✐r t♦✉t r❡♣rés❡♥t❡r✮✳ ❏✬❛✐ ❞é♠♦♥tré q✉✬✉♥ s②stè♠❡ ♥✉♠ér✐q✉❡ ❛②❛♥t ❞❡s λ✲t❡r♠❡s ♣♦✉r ❧❡ s✉❝❝❡ss❡✉r✱ ❧❡ ♣ré❞é❝❡ss❡✉r ❡t ❧❡ t❡st à ③ér♦ ♣♦ssè❞❡ ❞❡s ♦♣ér❛t❡✉rs ❞❡ ♠✐s❡ ❡♥ ♠é♠♦✐r❡✳ ❊✳ ❚r♦♥❝✐ ❛ ♣♦sé ❧❛ q✉❡st✐♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ ❡st✲✐❧ ✈r❛✐ q✉✬✉♥ s②stè♠❡ ❞✬❡♥t✐❡rs ❛②❛♥t ✉♥ s✉❝❝❡ss❡✉r ❡t ✉♥ t❡st à ③ér♦ ✭s②stè♠❡ ♥✉♠ér✐q✉❡✮ ♣♦ssè❞❡ ✉♥ ♣ré❞é❝❡ss❡✉r ss✐ ✐❧ ♣♦ssè❞❡ ✉♥ ♦♣ér❛t❡✉r ❞❡ ♠✐s❡ ❡♥ ♠é♠♦✐r❡ ❄ ❈❡tt❡ q✉❡st✐♦♥ ❡st t♦✉❥♦✉rs ♦✉✈❡rt❡ ♠❛✐s ❥✬❡♥ ❛✐ ❛♣♣♦rté ✉♥❡ ré♣♦♥s❡ ♥é❣❛t✐✈❡ ♣♦✉r ❧❡s s②stè♠❡s ♥✉♠ér✐q✉❡s t②♣❛❜❧❡s ❞❛♥s ❧❡ s②stè♠❡ F✳ ✺✲ ❘és✉❧t❛ts ❞✐✈❡rs ▲❡s ♠ét❤♦❞❡s q✉❡ ❥✬❛✐ ❞é✈❡❧♦♣♣é ♠✬♦♥t ♣❡r♠✐s ❞❡ r❡❞é♠♦♥tr❡r ❞❡s rés✉❧t❛ts ❝♦♥♥✉s ❡♥ λ✲❝❛❧❝✉❧✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❝❛r❛❝tér✐sé ✭❘✳ ❉❛✈✐❞ ❡t ♠♦✐ ♠ê♠❡✮ ❞✬✉♥❡ ♠❛♥✐èr❡ s②♥t❛①✐q✉❡ ❧✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦♣ér❛t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❞❡ ❞❡✉① λ✲t❡r♠❡s ♥♦♥ βη✲ éq✉✐✈❛❧❡♥ts✳ ❈✳ ❘❛✛❛❧❧✐ ❡t ♠♦✐ ♠ê♠❡ ❛✈♦♥s tr♦✉✈é ❞❡s ♣r❡✉✈❡s très s✐♠♣❧❡s ❞❡s t❤é♦rè♠❡s ❞❡ ❝♦♠♣❧ét✉❞❡ ❞❡s ❧♦❣✐q✉❡s ❞✉ s❡❝♦♥❞ ♦r❞r❡ ❝❧❛ss✐q✉❡ ❡t ✐♥t✉✐t✐✉♦♥♥✐st❡✳

❈❤❛♣✐tr❡ ✷

◆♦t✐♦♥s ❞❡ ❜❛s❡ ❡♥ λ✲❝❛❧❝✉❧

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✷✳✶ ◗✉❡❧q✉❡s rés✉❧t❛ts ❞✉ λ✲❝❛❧❝✉❧ ♣✉r

❖♥ ♥♦t❡ Λ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s t❡r♠❡s ❞✉ λ✲❝❛❧❝✉❧✳ ❖♥ ❛❞♦♣t❡ ❧❛ ♥♦t❛t✐♦♥ ❞❡ ❏✳✲▲✳ ❑r✐✈✐♥❡ ♣♦✉r ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✿ ét❛♥t ❞♦♥♥és ❞❡s λ✲t❡r♠❡s t, u, u1, ..., un✱ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛✲

t✐♦♥ ❞❡ t à u ❡st ♥♦té❡ (t)u✱ ❡t (...((t)u1)...)un ❡st ♥♦té (t)u1...un✳

❖♥ ♥♦t❡ id = λxx✱ 0 = λxλyy ❡t 1 = λxλyx✳ ➱t❛♥t ❞♦♥♥és ❞❡✉① λ✲t❡r♠❡s t, u ❡t ✉♥ ❡♥t✐❡r n✱ ♦♥ ♣♦s❡✱ ♣❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥✱ (t)n_{u = (t)...(t)u✭t ét❛♥t ré♣été n ❢♦✐s✮ ❀} ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r (t)0_{u = u✳ ▲❡ λ✲t❡r♠❡ n = λxλf(f)}n_{x❡st ❧✬❡♥t✐❡r n ❞❡ ❈❤✉r❝❤✳} ❙✐ t ❡t u s♦♥t ❞❡s λ✲t❡r♠❡s✱ ♦♥ ♥♦t❡ < t, u >= λx(x)t u✳ ❙✐ t ❡st ✉♥ λ✲t❡r♠❡✱ ♦♥ ♥♦t❡ F v(t) ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ s❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❧✐❜r❡s✳ ❖♥ ♥♦t❡ →β ✭r❡s♣✳ →η✮ ❧❛ β✲ré❞✉❝t✐♦♥ ✭r❡s♣✳ ❧❛ η✲ré❞✉❝t✐♦♥✮ ❡t ♣❛r ≃β ✭r❡s♣✳ ≃βη✮ ❧❛ β✲éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ✭r❡s♣✳ ❧❛ βη✲éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡✮✳ ▲❛ ♥♦t❛t✐♦♥ u ≻ v s✐❣♥✐✜❡ q✉❡ v ❡st ♦❜t❡♥✉ à ♣❛rt✐r ❞❡ u ♣❛r ré❞✉❝t✐♦♥ ❞❡ têt❡✳ ❖♥ ♥♦t❡ ❛✐♥s✐ n(u, v)✱ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣❛s ❡✛❡❝t✉é ♣♦✉r ♣❛ss❡r ❞❡ u à v✳ ❖♥ ❞✐t q✉✬✉♥ λ✲t❡r♠❡ ❡st rés♦❧✉❜❧❡ ss✐ s❛ ré❞✉❝t✐♦♥ ❞❡ têt❡ t❡r♠✐♥❡✳ ▲❛ ré❞✉❝t✐♦♥ ❞❡ têt❡ ♣♦ssè❞❡ ❧❡s ♣r♦♣r✐étés s✉✐✈❛♥t❡s ✭✈♦✐r ❬✷✵❪✮ ✿ ❚❤é♦rè♠❡ ✷✳✶✳✶ ❙✐ t ≻ t′_{✱ ❛❧♦rs ♣♦✉r t♦✉t u} 1, ..., ur∈ Λ ✿

✶✮ ■❧ ❡①✐st❡ v ∈ Λ t❡❧ q✉❡ (t)u1...ur ≻ v✱ (t′)u1...ur ≻ v✱ ❡t n((t)u1...ur, v) =

n((t′_)u

1...ur, v) + n(t, t′)✳

✷✮ t[u1/x1, ..., ur/xr] ≻ t′[u1/x1, ..., ur/xr]✱ ❡t

n(t[u1/x1, ..., ur/xr], t′[u1/x1, ..., ur/xr]) = n(t, t′)✳