33 . . . 3/10 n (nousyrevien-

(1)

Suites numériques

Ce hapitre proposeune étuderigoureusedessuitesde nombresréels. Sonobjetif prinipal

est d'aquérir une bonne maîtrise des tehniques de base de l'analyse réelle à savoir :aluler,

majorer, minorer, approher.On introduira lanotion de"onvergene" quiest unonept fon-

damental en analyseet on insistera surson utilisation omme moyen d'approher par exemple

ertains nombresirrationnels par desnombres rationnels (par exempledes déimaux).Ondon-

neraennquelquesexemplessimplesdesuitesréurrentespourillustrerlaméthodedesitérations

suessivesen montrant omment les suites onvergentes peuvent être utilisées pour approher

les nombres réels solutions de ertaines équations non linéaires fournissant ainsiun algorithme

quipeutêtreutiliséonrètementdanslapratique(voirparexemplel'approximationdelaraine

arrée).

La notion de onvergene n'est pas faile à appréhender. Prenons un exemple pour om-

mener :haun sait quelenombre

1/3

^,^en^ériture ^déimale,^est

0, 3333 . . .

^.^Qu'est-e ^que^ela

signiepréisément?

Sion érit

n

^déimales, ^le^nombre

0, 3333 . . . 3

^est ^par^dénition

33 . . . 3/10 ⁿ

^(nous^y^revien-

drons).Maintenant, lorsqu'on augmentele nombrede déimalesdans l'ériture,par exemple si

l'on passe de 100 à

1000

^déimales, ^le ^nombre ^qu'on ^érit ^se "rapprohe" de plus en plus de

1/3

^.Ên^d'autre^termes,^lorsque ^le^nombre^de^déimalesâugmenteînniment^(on^dira^"tend^vers

l'inni"), lenombre érit serapprohe "inniment" de

1/3

^.^C'est ^assez ^faile^à^omprendre ^sur

etexemple :e nombre

x _n

^des ^éritures ^ave

n

^déimales^vaut ^en^fait

x _n = 1

10 ⁿ 3 + 10 × 3 + . . . + 10 ⁿ ⁻ ¹ × 3

= 3

10 ⁿ 1 + 10 + . . . + 10 ⁿ ⁻ ¹ .

Maintenant, grâeà laformule (3.1) page43, eiest égalà

x _n = 3 10 ⁿ

10 ⁿ − 1

9 = 1

3 (1 − 1 10 ⁿ ) = 1

3 − 1 3 × 10 ⁿ .

Le nombre

1 3 × 10 ⁿ

^est ^de ^plus ^en ^plus ^petit ^lorsque

n

êst ^de ^plus ên ^plus ^grand, êtôn ^voit ^bien

quelerésultatserapprohe deplus enplusde

1/3

^.^On^dira^que

1/3

^est^la^limite^de^la^suite

x _n

^.

Notre butdans ehapitre est dedénir orretement e qu'on entend par là.

Exerie 131. Enutilisant lemême raisonnement quepour

1/3

^,^justiez ^l'ériture^de

1/7 1

7 = 0, 142857142857142857 . . . .

L'érituredéimale est iile nombre

142857

^répété ^une^innité ^de^fois.

(2)

On rappelle qu'une suite de nombres réels est une appliation

u : N −→ R

^qui ^à ^haque

entier

n ∈ N

^assoie ^un^nombre ^réel

u(n)

^enore ^noté

u _n

^.^On ^parle^alors ^de ^la^suite

(u _n ) _n _≥ ₀

^de

terme général

u _n

^,^appelé^aussi^le^terme ^de^rang

n

^de^la^suite

(u _n ) _n _≥ ₀ .

^Il^arrive^quel'appliation

u

^soit ^dénie ^sur^une ^partie ^innie

I ⊂ N,

ôn ^parle ^dansê âs ^de ^la^suite

(u _n ) _n _∈ _I

^indexée^par

I

^.

5.1.1 Suites et sous-suites

Une suite n'estpasnéessairement unesuite denombres.Elle peutprendreses valeursdans

n'importe quoi. Mais 'est pour les suites à valeurs dans

R

^, ^ou ^dans

C

^,^que ^nous^parlerons ^de

onvergene.

Dénition (Suite). Soit

E

ûn ênsemble. Ûne ^suite ^à ^valeurs ^dans

E

êst ûne âppliation

x = N 7→ E

^. ^On ^note ^en ^général

x _n

^pour

x(n)

^. ^La ^suite ^elle ^même ^sera ^notés

(x _n ) _n _≥ ₀

^, ^ou ^plus

simplement

(x _n )

^.

Lorsque

E = R

^,^on ^parle^de ^suite ^réelle, ^et ^lorsque

E = C

^,^on ^parle^de ^suite ^omplexe. ^Mais

on peut bien sûr envisager des suites à valeurs dans bien d'autres ensembles, omme des suites

de fontions.

Dans e qui suit, nous nous intéresserons essentiellement aux suites réelles. Nous en avons

déjàvuplusieursexemples,omme

x n = n!

^ou^bien

x n = 1/n

^.^Dans^e^dernier^as,^la^suite^n'est

dénieque pour

n ≥ 1

^.

De façon générale, il se peut que la suite ne soit dénie que pour

n ≥ n ₀

^. ^On ^peut ^alors

onsidérer la suite

y n = x n+n 0

^, ^qui ^est ^elle ^dénie ^pour ^tout

n ≥ 0

^. ^Pour ^les ^problèmes ^de

onvergenequivont nousouperdanslasuite,elanefaitauunediérene.Danseas,

(y _n )

estequel'onappelleune suite extraite de

(x _n )

^.^Comme^ette^notion^de^suite ^extraite^sera^très

utiliséedanse ours,nousen donnonsune dénitionpréise.

Dénition (Suite extraite, ou sous-suite). Soit

(x _n )

^une ^suite, ^et ^soit

p : N 7→ N

^une ^suite

stritement roissante('est à dire, pour tout

n

^,

p(n + 1) > p(n)

^).^Alors ^la ^suite

y _n = x _p(n)

^est

appelée suite extraite de

x _n

^. ^On^la ^note ^souvent

x _p _n

^. ^On^dit ^aussi ^que

x _p _n

^est ^une ^sous-suite ^de

la suite

x _n

^.

Les valeurs prisespar une suite extraite sont don hoisies parmi elles de lasuite

x _n

^,^dans

l'ordre roissant. Par exemple, la suite

2 ⁻ ⁿ

^est ^extraite ^de ^la ^suite

1/n

^, ^mais ^la^suite

n2 ⁻ ⁿ

^ne

l'estpas.

Nousexigeons quelasuite

p

^soit^stritement^roissante^pour ^éviter^par ^exemple ^que^la^suite

(x ₁ , x ₁ , x ₁ , . . . , x ₁ , . . .)

^soit ônsidérée ômmeûne ^suite êxtraite^de

x _n

^.

Remarque 8. Danstoutelasuite,nousnousintéresseronsessentiellementauxsuitesréelles.C'esten

esensquenousutiliseronslemotsuitedansetexte.

5.1.2 Convergene d'une suite réelle

Dénition (Convergene). On dit que la suite réelle

(u _n ) _n _≥ ₀

^onverge ^vers

ℓ ∈ R

^si ^quelque

soit

ε > 0,

îlêxiste ûn ^rang

N ∈ N

^tel ^que ^pour ^tout

n ≥ N,

^on ^ait

| u _n − ℓ | ≤ ε.

^On^notera ^dans

e as

x _n → n →∞ ℓ

^, ^ou ^enore

x _n → ℓ

^.^En ^d'autres ^termes ^:

x _n → n →∞ ℓ ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n ≥ N, | u _n − ℓ | ≤ ε.

Nousdironsque lasuite

(x _n )

ônverge ^lorsqu'ilêxisteûn^réel

ℓ

^pour^le^quel

x _n → ℓ

^.^Si^la ^suite

est dénie seulement pour

n ≥ n 0

^, ôn âdapte^la ^dénition ên^remplaçant

N ∈ N

^par

N ≥ n 0

^(et

N ∈ N

^que ^l'onsous-entend souvent pour ne pas alourdir les notations).

(3)

Ce qu'il faut omprendre dansette dénition, 'estque quel quesoit

ε

^aussi ^petit ^que ^l'on

veut, à partird'un ertain rang

N

^(qui ^peut^être ^très ^grand), ^on ^peut ^armer ^que^la ^distane

de

x _n

^à

ℓ

^est^inférieure ^à

ε

^.

Exemple. Lasuite

x _n = 1/n

^,^dénie^pour

n ≥ 1

^onverge^vers

0

^.^En^eet,^étant^donné

ε > 0

^,^il

existe

N

^tel^que

N ε ≥ 1

^(ei^n'est ^rien^d'autre ^que^le^fait^que

R

^soitarhimédien). Alors,pour tout

n ≥ N

^,^on^a

nε ≥ 1

^,^soit

x _n ≤ ε

^.^Mais

x _n = | x _n | = | x _n − 0 |

^ar

x _n ≥ 0

^,^et ^don

lim _n x _n = 0

^.

La dénitiondelanotion delimiteestassez ompliquée. Danslapratique,nousne l'utilise-

ronsquedansdesaspartiuliers.Ensuite,on sedonneradesrèglesquipermettent deramener

l'étude de la onvergene de suites ompliquées à des suites plus simples, pour lesquelles la

onvergene neposerapasde problème.Il yaplusieurs remarquesimportantesà faireàpropos

de ette dénition.Commençons par vérierl'uniitéde lalimite.

Proposition5.1.1. Soit

(u _n ) _n _≥ ₀

^une^suite^de^nombres^réels ^qui^onverge^vers

ℓ

^.^Alors^le^nombre

réel

ℓ

^est ^unique. ^Cei ^justie ^la ^notation

lim _n _→∞ u _n

^pour ^la ^limite ^de ^la ^suite

(u _n )

^.

Démonstration. En eet, supposons que la suite vérie à la fois

u _n → ℓ ₁

^et

u _n → ℓ ₂

^.^Nous

voulons montrer que

ℓ ₁ = ℓ ₂

^.

Soit

ε > 0

^un ^nombre^réelarbitraire.En appliquant ladénitiondelaonvergeneà haun ave

ε/2

^à^haune^des^limites, ônâboutit^à^l'existene^d'unêntier

N ₁ ≥ 1

^et^d'un^entier

N ₂ ≥ 1

telsquepourtout

n ≥ N ₁

ônâieônâit

| u _n − ℓ ₁ | ≤ ε/2

^et^pour^tout

n ≥ N ₂

^,^on^aie

| u _n − ℓ ₂ | ≤ ε/2

^.

Posons

N := max { N ₁ , N ₂ }

^et ^érivons

ℓ ₁ − ℓ ₂ = (ℓ ₁ − u _N ) + (u _N − ℓ ₂ )

^. ^En ^appliquant

l'inégalité triangulaire, onobtient

| ℓ ₁ − ℓ ₂ | ≤ | ℓ ₁ − u _N | + | u _N − ℓ ₂ |

^.Îl ên ^résulte ^grâeâu ^hoix

de

N

^que

| ℓ 1 − ℓ 2 | ≤ ε/2 + ε/2 = ε

^.

Nous pouvons alors appliquer la remarque 5, page 74, pour en onlure que

| ℓ ₁ − ℓ ₂ | = 0

^,

d'où

ℓ ₁ = ℓ ₂

^.

L'énoné suivant sedéduitimmédiatement de ladénition.

Proposition 19. Soit

(x _n )

^une ^suite ^r^éelle ^et

ℓ ∈ R

^. ^Alors

x _n → ℓ ⇐⇒ x _n − ℓ → 0 ⇐⇒ | x _n − ℓ | → 0.

En pratique onutilisera souvent etautre énoné

Proposition 20. Soient

(x _n )

^,

(y _n )

^deux ^suites ^réelles

k ∈ N

^et

M ∈ R ⁺

^. ^Si

∀ n ≥ k, | x _n | ≤ M | y _n |

^et

lim _n y _n = 0

^alors

lim _n x _n = 0

^.

Démonstration. Remarquons pour

ε > 0

^donné, îl êxiste ûn êntier

N

^(que ^l'on ^peut^hoisir

plusgrandque

k

⁾ ^tel^que^pour

n ≥ N

^,

| y _n | ≤ ε/M

^,^et^don, ^toujours^pour

n ≥ N

^,

| x _n | ≤ ε

^.

Remarque 9. Pourappliquerladénition delaonvergened'unesuite,enorefaut-ilonnaîtrepar

avanelenombre

ℓ

^.^Nous^verrons^bientt^des^ritères^où^nous^pourrons^armer^que^la^suite

(x n )

^onverge

sansonnaître

ℓ

^.

Dans lesappliations, lorsqu'une suite

(u n ) n≥0

ônverge, îl ârrive^souvent ^qu'elle ^donne ^naissane

à un nouveaunombre réel

ℓ

^que ^l'on ^ne ^onnait ^pas ^à ^priori. ^Lorsque

ε > 0

^est ^donné, ^l'entier

N

^à

partirduquel onal'inégalité

| u n − ℓ | ≤ ε

^, êst âlorsîmportant ^d'un ^point^de ^vue "qualitatif",puisque

u N − ε ≤ ℓ ≤ u N + ε

^. ^On^dira^que

u N

êstûne ^valeur âpprohée ^(ouûnapproximant)de

ℓ

^à

ε −

^près.^Le

nombreréel

ε

^doit^être âssez^petit êt ^représente ^l'erreur^maximaleômmise ^dansl'approximationde

ℓ

par

u N

^.Îlêst ^dansê âsîmportant^de^trouver^le^plus^petit êntier

N

^(qui ^dépend ^de

ε

⁾^vériant^ette

propriété. Il représente lenombre minimum d'opérations permettant de aluler

ℓ

âve ûne êrreur âu

pluségaleà

ε

^.

Cependantd'unpointdevuequalitatif,pourdémontrerqu'unesuiteonverge,iln'estpasnéessaire

de trouver le plus petit entier

N

satisfaisant aux exigenes de la dénition, e qui peut être assez ompliqué.Ilsutd'entrouverun.

(4)

mentprès(i.e.à

ε

^près,

ε

^étantarbitraire)autourd'unmêmenombreréelàsavoirsalimite,àl'exeption d'auplusunnombrenid'entreeux

N.

Il en résulte que la nature d'une suite (onvergene ou non) ainsi que sa limite, lorsqu'elle existe, ne

hange passi l'on modie ousupprime unnombreni determes deette suite.Parexemple,si

p ≥ 1

estunentierxé,lasuite

(u n+p ) n≥0

^,^dite^tronquée^au^rang

p

^,^est^de^même ^nature^que^la^suite

(u n ) n≥0

etalamême limitelorsqueelle-iexiste(àvérier!).

Suites omplexes

Il peut arriver que nous ayons aaire à une suite à valeurs dans le orps

C

^des ^nombres

omplexes. La dénition de la onvergene est alors la même, à ei près que nous devons

remplaerlafontionvaleurabsolue

| x |

^par^le^module

| z |

^du^nombre^omplexe,^'est^à^dire,^pour

z = x + iy

^,

| z | = p

x ² + y ²

^.

Dénition. Unesuite

(z _n )

^à ^valeurs ^dans

C

^onverge ^vers ^une ^limite

ℓ ∈ C

^si

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, | z _n − ℓ | ≤ ε.

Si

z _n = x _n + iy _n

^et

ℓ = ℓ ₁ + iℓ ₂

^, ^(où

x _n , y _n , ℓ ₁ , ℓ ₂

^sont ^réels), ^alors

z _n

^onverge ^vers

ℓ

^si ^et

seulementsi

x _n

^onverge^vers

ℓ ₁

^et

y _n

^onverge^vers

ℓ ₂

^.^Pour^le^voir,^il^sut^de^remarquer^dans^un

sensque

| x _n − ℓ ₁ | ≤ | z _n − ℓ |

^,

| y _n − ℓ ₂ | ≤ | z _n − ℓ |

^,^et^dans^l'autre^que

| z _n − ℓ | ≤ 2( | x _n − ℓ ₁ | + | y _n − ℓ ₂ | )

^.

Onapplique ensuitelaremarque 20 de lapage 85,puis lefaitque lasommede deuxsuites qui

onvergent vers

0

^onverge ^vers

0

(proposition 5.2.4,page 90).

Donnons quelquesexemplessimplespour illustrer etmanipuleres dénitions.

Exemples.

(i) Une suite

(u _n ) _n _≥ ₀

êst ^dite ônstante ^s'ilêxiste

c ∈ R

^tel ^que

u _n = c

^pour ^tout

n ≥ 0.

^La

suite

(u _n ) _n _≥ ₀

^est ^dite stationnaire s'il existe un rang

p ≥ 0

^et^un ^nombre ^réel

c ∈ R

^tels

que

u _n = c

^pour ^tout

n ≥ p.

^Dansê âs^la^suite ônverge^vers

c

^(à^démontrer ^en^utilisant

ladénition).

(ii) Si

p ≥ 1

êst ûnêntier ^xé, ^la^suite

(1/n ^p ) _n _≥ ₀

^onverge^vers

0.

Eneet,en posant

N = ⌊ 1/ε ^1/p ⌋ + 1

^,^on^obtient ^pour ^tout

n ≥ N, 1/n ^p ≤ 1/N ^p ≤ ε.

(iii) Posons

u _n := _n+ ²ⁿ √

n

^pour

n ≥ 1

^et^montrons ^que

lim _n _→ ₊ _∞ u _n = 2.

^En ^eet^pour

n ≥ 1,

^on

a:

u _n = 2n

n + √ n = 2(n + √

n) − 2 √ n

n + √ n = 2 − 2 √ n n + √ n .

D'où

u _n − 2 = − _n+ ² ^√ ^√ ⁿ _n

^et^don

| u _n − 2 | ≤ ^√ ² _n ,

^pour^tout

n ≥ 1

^.

Soit

ε > 0,

^pour ^avoirl'inégalité

| u _n − 2 | ≤ ε

^,^il^sut ^d'avoir l'inégalité

√ 2 n ≤ ε

^,

i.e.

n > 4/ε ²

^.^Pour ^ela ^il ^sut^de ^poser

N = ⌊ 4/ε ² ⌋ + 1.

^Alors^pour

n ≥ N,

^on ^a

√ ² n ≤ ε

etdonpour

n ≥ N,

^on^a

| u _n − 2 | ≤ ε

^.^Ce^qui^prouve^notre^assertion.^Observer^que^l'entier

N

^trouvéⁱⁱ ^n'est ^pas^le^plus ^petit ^possible,^mais^ela^sut ^à ^prouver^la ^onvergene^!

Remarque 11. Dansladénitiondelalimite,il estimportantquelapropriétésoitvraiepourtout

ε > 0

^. ^Si^on^avait^demandé^qu'elle^soit^vraie^pour

ε ≥ 0

^,^'est^à^dire

∀ ε ≥ 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, | x n − ℓ | ≤ ε,

alorsonpourraitl'appliquer ave

ε = 0

^,^et ^ela ^signierait^que^pou

n

^assez^grand,

x n = ℓ

^, ^e^qui ^n'est

paslamêmehose.

(5)

titred'exerie.Parexemple

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, | x n − ℓ | < ε,

ouenore

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n > N, | x n − ℓ | < ε,

oubienenore

∀ ε > 0, ε ∈ Q, ∃ N, ∀ n ≥ N, | x n − ℓ | ≤ ε,

etmême

∀ p ∈ N ^∗ , ∃ N, ∀ n ≥ N, | x n − ℓ | < 1 p ,

etbien d'autresenore.Remarquonsqueladénitionpeutaussisériresouslaformeéquivalente:

∀ ε > 0, ∃ N, n ≥ N = ⇒ | x n − ℓ | ≤ ε.

5.1.3 Sous-suites et limites

La première remarque àfaire est qu'unesous suite d'unesuite onvergente estonvergente.

Proposition 21. Si

y _n

êst ûne ^suite êxtraite ^de ^la ^suite

x _n

^, ^si

lim _n x _n = ℓ

^,^alors

lim _n y _n = ℓ

^.

Démonstration.Direque

y _n

^est^extraite^de

x _n

^revient^à^dire^qu'il^existe^une^fontion

p : N → N

stritement roissante telle que que

y _n = x _p _n

^. ^La ^fontion

p

^étant ^stritement ^roissante ^et ^à

valeursdans

N

^,^on^vérie ^failement ^par ^réurrene^que ^pour ^tout

n

^,^on ^a

p(n) ≥ n

^.

Soit don

ε > 0

^: ^il ^existe

N

^tel ^que, ^si

n ≥ N

^,

| x _n − ℓ | ≤ ε

^. ^Mais ^alors, ^si

n ≥ N

^,

p(n) ≥ n ≥ N

^,^et^don

| y n − ℓ | = | x _p(n) − ℓ | ≤ ε,

etpar onséquent,

y _n

^onverge^vers

ℓ

^.

Ainsi, dans l'exemple (ii) de la page 86, la suite

x _n = 1/n ^p

^est ^extraite ^de ^la ^suite

1/n

^,^et

don onvergevers

0

^.

Remarque 12. Danslapratique,erésultatesttrèsutilepourmontrerqu'unesuiteneonvergepas.

Ilsutdetrouverdeuxsous-suitesquionvergentversdeslimitesdiérentes.Ainsi,lasuite

u n = ( − 1) ⁿ

neonvergepas,ar

u 2n = 1

^et^don^onverge^vers

1

^,^tandis^que

u 2n+1 = − 1

^et^don^onverge^vers

− 1

^.

A titred'exemple d'appliationde laproposition 21,nousavons

Corollaire 2. Soit

(x _n )

^une ^suite ^qui ^onverge ^vers

ℓ

^et^soit

p ∈ N

ûnêntier. Âlors ^:

-la suite

(x _n+p ) _n∈ ^N

^onverge ^aussi ^vers

ℓ

^,

-les suites

(x _2n )

^et

(x _2n+1 )

^onvergent ^vers

ℓ

^.

(Voir l'exerie 139 pour une réiproque dee dernierpoint).

5.1.4 Limites innies

Lorsqu'une suite

(u n ) n ≥ 0

^ne ônverge ^pas, ôn ^dira ^par ^dénition ^qu'elle ^diverge. Ên ^fait

lorsqu'une suite diverge, elle peut avoir des omportements très variés. Nous allons dérire un

type deomportement quiest étroitement lié àlanotion de onvergene (voir exerie 134).

Dénition 5.1.2.

(6)

(1) On dit qu'une suite

(u _n ) _n _≥ ₀

^de ^nombres ^r^éels ^a ^pour ^limite

+ ∞

^si ^pour ^tout ^nombre ^réel

A > 0

îl êxiste ûn ^rang

N ≥ 0

n ≥ N,

^on ^ait

u n ≥ A.

^On ^dira ^aussi

que la suite

(u _n ) _n _∈ N

^tend ^vers

+ ∞

êt ôn ^érira ^dans ê âs

lim _n _→ ₊ _∞ u _n = + ∞

^ou ^enore

lim _n x _n = + ∞

^.

(2) On dit que la suite

(u _n ) _n _≥ ₀

^a ^pour ^limite

−∞

^si ^pour ^tout ^nombre ^réel

A > 0

îl êxiste ûn

rang

N ≥ 0

n ≥ N,

^on ^ait

u n ≤ − A.

^On ^dira ^aussi ^que ^la ^suite

(u n ) n ∈ N

tend vers

−∞

êt ôn ^érira ^dans ê âs

lim _n _→ ₊ _∞ u _n = −∞

^, ^ou ^enore

lim _n x _n = −∞

^.

Onpeutfaire lesmêmesremarquesà proposdeettedénition queellesfaitesàproposde

laonvergene. Ellesuivent les mêmesrèglesen e quionerne les sous-suites.

Observonsquelasuite

(u _n ) _n _≥ ₀

^tend^vers

−∞

^si^et^seulement ^si^la^suite

( − u _n ) _n _≥ ₀

^tend^vers

+ ∞

^.

Une suite tend vers

+ ∞

^lorsque ^ses ^termes ^deviennent arbitrairement grands à partir d'un ertainrang.

Cette propriété ne hange pas si on modie ou supprime un nombre ni de termes de la

suite. Lelien entreles deuxnotions de limites(nies etinnies) seraétabli plusloin.

Donnons quelquesexemplespour illustrerette dénition.

Exemples.

(i) Pour

x _n = n

^:

lim _n _→∞ n = + ∞

(heureusement!) (ii) Soit

p ≥ 1

ûnêntier ^xé. Âlorsônâ ^:

n → lim + ∞ n ^p = + ∞ .

C'esten eet unesuite extraitede lapréédente.

(iii) Soit

a > 1

^un^nombre^réel.^Alors

lim _n a ⁿ = + ∞

^.

Eneet, posons

b := a − 1

^de ^sorte ^que

b > 0

^et

a = 1 + b

^et^vérions^par ^réurrene ^que

pour tout

n ∈ N,

^on^a ^:

(5.1)

(1 + b) ⁿ ≥ 1 + n · b.

En eet ette inégalité est évidente pour

n = 0.

^Supposons ^qu'elle ^soit ^vériée ^pour ^un

entier

n ≥ 0.

Âlorsônên ^déduit^que

(1 + b) ⁿ⁺¹ = (1 + b) · (1 + b) ⁿ ≥ (1 + b) · (1 + n · b) = 1 + b + n · b + n · b ² ≥ 1 + (n + 1) · b.

^Ce^qui ^prouve ^don l'inégalité (5.1) au rang

n + 1

^.

(Nous aurions pu voir diretement ette propriété en utilisant la formule du binme, en

remarquant que

n 1

= n

^.⁾

Pourdémontrer (iii),xons

A > 0

ârbitraire^:îlêxisteûneônstante

N

^telle^que

N · b > A

^.

Alorspour tout

n ≥ N,

^on ^a

n · b ≥ N · b > A.

^Par ^suite ^d'après ^(5.1), ^on ^en ^déduit ^que

pour tout

n ≥ N,

^on^a

(1 + b) ⁿ > A,

^e ^qui ^prouve ^(iii).

(iv) Soit

0 < q < 1.

^Il ^résulte^de ^l'exemple ^préédent ^(à ^démontrer^!) ^que

n → lim + ∞ q ⁿ = 0.

Onposepour

n ≥ 1

^,

S _n := P _n

k=0 q ^k = 1 + q + . . . + q ⁿ .

^La ^formulefondamentale (3.1) de lapage43 nousdonne

∀ n ≥ 1, (1 − q)S _n = 1 − q ⁿ⁺¹ .

(7)

n → lim + ∞ S n = 1 1 − q .

Depluson al'inégalité fondamentale suivante

∀ n ≥ 1, 1 + q + . . . + q ⁿ < 1 1 − q .

5.2 Propriétés élémentaires des suites et règles de alul

Lespropriétés énonées danse paragraphesont élémentairesmaissontfondamentalespour

simplier l'étudede laonvergene dessuites.

5.2.1 Suites bornées

Toutd'abord,nousétablissonsquelquespropriétésgénéralesdessuitesonvergentesquinous

serontutiles pourlasuite.

Commençons par rappeler quelquesdénitionsdéja vues pourles partiesde

R

^.

Dénition 5.2.1.

(i) On dit que la suite

(u _n ) _n _≥ ₀

^est ^majorée ^dans

R

^s'il ^existe ^un ^nombre ^réel

B

^tel ^que

∀ n ∈ N, u _n ≤ B

^. ^On ^dit ^alors ^que

B

^est ^un ^majorant ^de ^la ^suite

(u _n ) _n _≥ ₀

^dans

R

^ou

que elle-i est majorée par

B

^.

(ii) On dit que la suite

(u _n ) _n _≥ ₀

^est ^minorée ^dans

R

^s'il ^existe ^un ^nombre

A

^tel ^que

∀ n ∈ N, u _n ≥ A

^.

(iii) Ondit que la suite

(u _n ) _n _≥ ₀

êst ^bornée ^si^la ^suite êst ^à ^la ^fois ^majorée êt^minorée.

Remarque 13. Observonsqu'unesuite

(u n ) n

^est ^bornée ^dans

R

^si êt ^seulement^si îl êxisteûn ^réel

M > 0

^tel ^que

| u n | ≤ M

^pour ^tout

n ∈ N

^: ^pour ^le ^voir, ^observons^que ^si

∀ n ∈ N, A ≤ u n ≤ B

^, ^la

propriétéestvraieave

M := max {| A | , | B |}

^.

On aalors les propriétés élémentairessuivantes.

Proposition 5.2.2.

(i) Toute suite denombres réels qui onverge dans

R

^est ^une ^suite ^bornée ^dans

R

^.

(ii) Toute suite de nombres réels qui a pour limite

+ ∞

^(resp.

−∞

⁾ ^est ^une ^suite ^non ^majorée

(resp. nonminorée) dans

R

^.

(iii) Si une suite

u _n

^onverge ^vers

b 6 = 0

^, âlors îl êxiste ûn êntier

N

^tel ^que, ^pour ^tout

n ≥ N

^,

u _n 6 = 0

^.

Démonstration. En eet, supposons d'abord que

ℓ := lim n → + ∞ u n ∈ R

^et ^xons

ε = 1

^.

Il existe alors par dénition un entier

N ≥ 1

^tel ^que

∀ n ≥ N, | u _n − ℓ | ≤ 1

^. ^Par l'inégalité triangulaire, on adon

| u _n | ≤ | ℓ | + 1

^pour

n ≥ N

^.^En ^posant

M := max {| ℓ | + 1, | u ₀ | , . . . , | u _N ₋ ₁ |} ,

∀ n ∈ N , | u n | ≤ M,

^et^la^suite

(u n )

^est^don ^bornée.

(8)

Supposonsmaintenantque

lim _n _→ ₊ _∞ u _n = + ∞

^.^Alors^par^dénition^pour^tout

A > 0

^,^il^existe

N ∈ N

^tel ^que

∀ n ≥ N, u n > A

^. Îl ên ^résulte ên ^partiulier ^qu'auun ^nombre ^réel

A > 0

^n'est

un majorant de lasuite

(u _n )

^et^don ^elle-i^n'est ^pas^majorée ^dans

R

^.^Le ^même raisonnement montre quesi

lim _n _→ ₊ _∞ u _n = −∞

^,^la^suite

(u _n )

^n'est ^pas^minorée ^dans

R

^.

Pour ledernierpoint, appliquonsladénition delalimiteave

ε = | b | /2

^:îlêxisteûn êntier

N

^tel ^que, ^pour

n ≥ N | u _n − b | ≤ | b | /2

^,^d'où

| u _n | ≥ | b | − | b | /2 = | b | /2 > 0

^.

Remarque 14. La réiproque de ette proposition est fausse : il ne sut pas que la suite

u n

^soit

bornée pour qu'elle onverge, et il nesut pasnon plus qu'elle soit non majorée pour onvergervers

+ ∞

^.^On^le^voit^sur^les^exemples^suivants

(1) Lasuitedéniepar

u n := ( − 1) ⁿ

^pour

n ≥ 0

êst^bornée^maisêlle^n'a^pas^de^limite^(voirêxerie^1).

(2) Lasuitedéniepar

u n := ( − 1) ⁿ · n

^pour

n ≥ 0

^n'estⁿⁱ ^majoréeⁿⁱ^minorée^et^n'a^pas^de^limite.

(3) Lasuite

n(1 + ( − 1) ⁿ )

^est^minorée,^mais^ne^onverge^pas^vers

+ ∞

^(La^sous-suite

u 2n

^onverge^vers

+ ∞

^tandis^que^la^sous-suite

u 2n+1

^vautidentiquement

0

^,^et^don^onverge^vers

0

^.

Le résulat suivant estutiledanslapratique.

Proposition 5.2.3. Soient

(a _n ) _n _∈ ^N

^une ^suite ^qui ^onverge ^vers

0

^et

(u _n ) _n _∈ ^N

^une ^suite ^bornée.

Alorsla suite

(a _n u _n ) _n _∈ N

^onverge ^vers

0

^.

Démonstration. Il sutd'appliquer laremarque 20 delapage 85

Exemple. Ainsi, la suite

u _n = ( − 1) ⁿ

n

^onverge ^vers

0

^. ^En ^eet,

a _n = 1/n

^onverge ^vers

0

^,^et

u _n = ( − 1) ⁿ

^est^bornée.

5.2.2 Opérations algébriques sur les limites

Dans lapratique, on n'apas besoin de revenir à la dénition pour démontrer qu'une suite

donnéeonvergeversunelimite

ℓ

^.Ôn^part^de^suites^dontônônnaît^bien^la^limite,êtônônstruit

ave ellesde nouvelles suitesplusompliquées dont onpeut identier lalimite.

Proposition5.2.4. Soient

(u _n ) _n _∈ N

^et

(v _n ) _n _∈ N

^deux^suites^de^nombres^réels ^qui^onvergent ^vers

les nombres réels

a

^et

b

respetivement. Alorson a les propriétés suivantes : (i) (Additiondes limites)La suite

(u _n + v _n ) _n _∈ N

^onverge ^vers

a + b

^i.e.^:

n → lim + ∞ (u _n + v _n ) = lim

n → + ∞ u _n + lim

n → + ∞ v _n .

(ii) (Multipliation des limites) La suite

(u n · v n ) n ∈ N

^onverge ^vers

a · b

^i.e.^:

n → lim + ∞ (u _n · v _n ) = ( lim

n → + ∞ u _n ) · ( lim

n → + ∞ v _n ).

(iii) (Quotient de limites)Si

b 6 = 0,

îl êxiste ûn ^rang

p ≥ 0

^tel ^que

v _n 6 = 0

^pour ^tout

n ≥ p

^et^la

la suite

(u _n /v _n ) _n _≥ _p

^onverge ^vers

a/b

^i.e. ^:

n → lim + ∞ (u n /v n ) = ( lim

n → + ∞ u n )/( lim

n → + ∞ v n ).

Démonstration.

Commençons par le point (i) :

ε > 0

^étant ^donné, ^il ^existe

N ₁

^tel ^que, ^pour

n ≥ N ₁

^,

| x _n − ℓ ₁ | ≤ ε/2

^. ^De ^même, ^il ^existe

N ₂

^tel ^que, ^pour

n ≥ N ₂

^,

| y _n − ℓ ₂ | ≤ ε/2

^. ^Alors, ^pour

n ≥ max(N ₁ , N ₂ )

^,^on ^a

| x _n + y _n − ℓ ₁ − ℓ ₂ | ≤ | x _n − ℓ ₁ | + | y _n − ℓ ₂ | ≤ ε/2 + ε/2 = ε.

(9)

Pour la point (ii), 'est un peu plus ompliqué. Tout d'abord, les suites

(u _n )

^et

(v _n )

^sont

onvergentes, etdon bornées.

Ensuite, on érit

u _n v _n − ab = u _n (v _n − b) + b(u _n − a).

Les suites

(v n − b)

^et

(u n − a)

^onvergent ^vers

0

^. ^Par ^la proposition 5.2.3 de la page 90, on en déduit que

u _n (v _n − b)

^et

v _n (u _n − a)

^onvergent ^vers

0

^, ^et ^don ^par ^le ^point ^{(i) ,} ^la ^somme

onverge:

u _n v _n − ab

^onverge^don ^vers

0

^et^par ^suite

u _n v _n

^onverge^vers

ab

^.

Pourlepoint(iii) .Onommeneparserameneraubas

b = 1

^en^hangeant

v _n

^en

v _n /b

^.^Grâe

àlapropriété(ii) ,onseramèneensuiteauas

u _n = 1

^pour^tout

n

^.^La^première ^assertion ^a^déjà

étévuedanslaproposition5.2.2. Enfait,dansladémonstrationdee point,nouspouvonsvoir

qu'ilexiste unentier

N ₀

^tel^que, ^pour ^tout

n ≥ N ₀

^,

| v _n ] ≥ 1/2

^(ii,

| b | = 1

^!)^Fixons

n ≥ N ₀

^:^on

a alors

1 v _n − 1

= | 1 − v _n |

| v _n | ≤ 2 | 1 − v _n | .

Alors

2 | v _n − 1 |

^onverge^vers

0

^,

| _v ¹ _n − 1 |

^onverge^vers

0

^,^grâe^à ^la^remarque ²⁰^de ^la^page^85.

Lestroisformulesfondamentalesénonéespourleslimitesniessontenorevalablessil'une

oulesdeuxlimitessontinniesàonditionquel'opérationorrespondantesurleslimitesaitun

sens ommelemontrent les résultatssuivants.

Proposition 5.2.5 (Mélange delimites nieset innies).

(i) Soit

(u _n ) _n _∈ N

^une ^suite^bornée ^de ^nombres ^réels ^et

(v _n ) _n _∈ N

^une^suite ^de^nombres^réels ^qui

a pourlimite

+ ∞

^(r^esp.

−∞

^).^Alors^la ^suite

(u n + v n ) n ∈ N

^a ^pour ^limite

+ ∞

^(r^esp.

−∞

⁾^;

Cei s'applique en partiulier lorsque la suite

(u _n )

^onverge ^vers ^un ^réel

ℓ

^.

(ii) Si

lim _n u _n = a

^,

a ∈ R

^,

a 6 = 0

^, ^et ^si

lim _n v _n = + ∞

^, ^alors ^la ^suite

lim _n (u _n · v _n ) = + ∞

^si

a > 0

^et

lim _n (u _n · v _n ) = −∞

^si

a < 0

^.

Lorsque

a = 0

^, ^il ^s'agit ^d'une ^forme indéterminée : tous les as sontpossibles : une limite nulle,unelimiteniepositiveounégative,unelimiteinnie,pasdelimitesdutout.L'étude

dans e asdoit se faire defaçon préise auas par as.

(iii) Si les suites

(u _n )

^et

(v _n )

ônt^des ^limitesînnies^de ^même ^signe,âlors ^la ^suite

(u _n + v _n )

^a

une limite innie demême signe.

(iv) Si

(u _n )

^et

(v _n )

ônt ^des ^limites înnie, âlors

(u _n · v _n )

^a ^pour ^limite

+ ∞

^si ^les ^deux ^suites

(u n )

^et

(v n )

^ont^des^limites^de^même ^signe,^et^pour^limite

−∞

^si^les^limites^de

(u n )

^et

(v n )

sontde signeopposé.

Remarque 15. Les résultats préédents montrent que les règles de alul pour les limites nies

s'étendent au as des limites innies sous ertaines onditions qui peuvent être résumées suivant un

tableau.Dans etableau,

a ∈ R

^(donⁿⁱ⁾ êt ôn^note^? ^quand^la^réponse êstindéterminée('estàdire dépenddesas).

u n v n u n + v n u n · v n u n /v n v n /u n

a > 0 + ∞ + ∞ + ∞ 0 + ∞

a < 0 + ∞ + ∞ −∞ 0 −∞

a > 0 −∞ −∞ −∞ 0 −∞

a < 0 −∞ −∞ + ∞ 0 + ∞

0 + ∞ + ∞ ? 0 ?

0 −∞ −∞ ? 0 ?

Cependant,enequionernelesdeuxdernièresasesdelaolonnededroitedutableau,si

u n > 0

^ave

lim n u n = 0

^, ^et ^si

lim n v n = + ∞

^, ^alors

lim n (v n /u n ) = + ∞

^,^ave ^les ^règles^évidentes ^si^les ^signes^sont

hangés).Maisilsepeutqu'onaie unesuite

u n

^qui ^onverge^vers

0

^,^et

v n

^qui^onverge^vers

+ ∞

^,^et^que

v n /u n

^n'aie^pas^de^limite^:ônsidérer^parêxemple^leâsôù

u n = ( − 1) ⁿ /n

^et

v n = n

^.

(10)

Voii maintenant des propriétés d'enadrement très utiles dans les aluls de limites. Ces

propositions résultent failement desdénitions.

On notera

R := R ∪ {−∞ , + ∞} ,

^où

−∞

^et

+ ∞

^sont ^deux ^nouveaux ^élémentsreprésentant les limitesinniesave larelation d'ordre suivante :pour tout

x ∈ R

^,

−∞ < x < + ∞

^.

Proposition 5.2.6 (Prinipe deonservationdesinégalités larges). Soient

(u n ) n ∈ N

^et

(v n ) n ∈ N

deux suitesave

lim _n u _n = a

^et

lim _n v _n = b

^,

Supposons qu'il existe un rang

p ∈ N

^tel ^que

u _n ≤ v _n

^pour ^tout

n ≥ p.

Âlors ôn â

a ≤ b.

Démonstration. Supposons queles limites

a

^et

b

^sont ^nies^(les âutres âs^sont ^similaires êt

laissésauxleteurs à titred'exerie).

Commençons par leasoù

u n = 0

^pour ^tout

n

^.^Dans^e ^as

a = 0

^et^il^nous^faut ^démontrer

que

b ≥ 0

^.

Supposons

b < 0

^,^et^hoisissons^dans^la^dénition^de^la^onvergene ^de

b _n ε = − b/2

^.^Il ^existe

don

N

^tel^que^si

n ≥ N

^,^on^aie

| v n − b | ≤ − b/2

^,^et^pour ^un^tel

n

^,^on^a

v n ≤ b − b/2 = b/2 < 0

^.

Ceiest impossible par hypothèse si

n ≥ p

^.

Le asgénéral seramène àelui-ien onsidérant lasuite

v _n − u _n

^.

AttentionUneerreurfréquenteonsisteàarmerque,si

u _n < v _n

^et

lim u _n = a

^et

lim v _n = b

^,^alors

a < b

^.^C'est ^évident ^faux^:^prendre

u _n = 0

^et

v _n = 1/n

^.^Dansê âs, ôn^peut ^seulement

onlure que

a ≤ b

^. ^Le ^prinipe ^de ^passage ^à ^la ^limite ^dans ^les ^inégalités ^n'est ^pas

valable pourles inégalités strites.

Proposition 5.2.7(Prinipe desgendarmes). Soient

(u n )

^une^suite ^de ^nombres^réels ^et

ℓ ∈ R

^.

Onsuppose qu'ilexiste deuxsuitesdenombresréels

(a _n )

^et

(b _n )

êtûn êntier

p > 1

^tels^que ^pour

tout

n ≥ p

^on ^ait

a _n ≤ u _n ≤ b _n

^. ^Alors

(i) Si

lim _n a _n = ℓ = lim _n b _n

^alors

lim _n u _n = ℓ

(ii) Si

lim _n a _n = + ∞

^, ^alors

lim _n u _n = + ∞

^. ^(Dans ^e ^as, ^la ^suite

b _n

^ne ^sert ^à ^rien ^: ^on ^peut

hoisir

b _n = u _n

^).

(iii) Si

lim _n b _n = −∞

^, ^alors

lim _n u _n = −∞ .

^(Ave ^la ^même ^remar^que ^: ^la ^suite

a _n

^ne ^sert ^à

rien)

Démonstration. Nous ne traitons que le as où

ℓ

êst ^nie. ^Les âutres âs ^sont ^laissés âux

leteurs àtitred'exerie.

La suite

b _n − a _n

^onverge ^vers

0

^.^Mais

| u _n − a _n | = u _n − a _n ≤ b _n − a _n = | b _n − a _n | .

Don,

u n − a n

^onverge^vers

0

^(voir^remarque ²⁰^page^85).^Or

u n − ℓ = u n − a n + a n − ℓ

^,^et^'est

don lasomme de deux suites qui onverge vers

0

^. ^Elle ^onverge ^don ^vers

0

^, ^e ^qui ^veut ^dire

que

u _n

^onverge ^vers

ℓ

^.

Attention, en général, on ne peut passer à la limite dans une inégalité que si on sait que

haque membre de ette inégalité a une limite. Dans le as du théorème des suites enadrées,

'estlefait quelesdeux "suitesextrêmes" tendent verslamême limitequi impliquel'existene

de lalimitede lasuite enadrée.

(11)

Exemple. Posons pour

n ≥ 1

^:

u _n :=

n

X

k=1

n

k + n ² = n

1 + n ² + . . . + n n + n ² .

Ainsi

u _n

^est ^la^somme ^de

n

^termes ^dont ^le ^plus ^petit ^est

_n+n ⁿ 2

^et^le ^plus ^grand ^est

n

1+n ² .

^Il ^en

résulte que:

∀ n ≥ 2, n · n

n + n ² < u _n < n · n 1 + n ² .

Posons

a _n = _n+n ⁿ ² 2

^et

b _n := _1+n ⁿ ² 2 .

^On ^montre ^failement ^(exerie^!) ^que

lim _n a _n = 1 = lim _n b _n .

Comme

a _n < u _n < b _n

^pour ^tout

n ≥ 1,

ôn ên ^déduit ^grâe âu ^prinipe ^des ^gendarmes ^que

lim _n u _n = 1.

5.3 Suites monotones

Dans lesexemplesde suites onvergentesque nousavons renontrés jusqu'àprésent, ilétait

failede devineràpriorilalimite de lasuite onsidérée.Pour lejustier, ilsusait d'appliquer

ladénitionen utilisant quelquesrèglesélémentaires de aluldeslimites.

L'utilisation de la dénition pour démontrer qu'une suite onverge suppose que l'on en

onnaisse lalimite àl'avane,e qui n'est pastoujours leas.

Ilestdonfortsouhaitabledetrouverdesonditionssusantes(appelés"ritèresdeonver-

gene") permettant dedéider qu'une suite onverge sansen onnaitrea priorilalimite.

Le ritère le plus simple onerne les suites monotones. Pour énoner e ritère, donnons

quelquesdénitions.

Dénition. Soit

(x n )

^une ^suite ^de^nombre ^réels.

(i) Onditque lasuite

(x n ) n ∈ N

^est ^roissante^(resp. ^stritement ^roissante) ^si^pour^tout ^entier

n ∈ N,

^on ^a

x _n ≤ x _n+1

^(resp.

x _n < x _n+1 ).

(ii) On dit que la suite

(x _n ) _n _∈ N

^est déroissante (resp. stritement déroissante) si pour tout entier

n ∈ N ,

^on ^a

x n ≥ x n+1

^(r^esp.

x n > x n+1 ).

(iii) On dit que la suite

(x _n ) _n _∈ ^N

êst ^monotone ^(resp. ^stritement ^monotone) ^si êlle êst ^soit

roissante(resp.stritementroissante),soit déroissante(resp. stritementdéroissante).

Remarque 16. Siunesuiteestroissante,alorspourtous

n ≤ p

^,

x n ≤ x p

^.^Cela^se^voitimmédiatement parréurrenesur

p

^.Îl^yâ^bien^sûrûne^propriétéîdentique^pour^les^suitesdéroissantes.

Rappelons que nous avons déjà déni e que veut dire suite majorée ou minorée (déni-

tion5.2.1 page 89).

Dire qu'une suite

x = (x _n )

^est ^majorée ^revient ^à ^dire ^que ^l'ensemble

x(N) = { x _n , n ∈ N }

('estàdirel'ensembledesvaleursprisesparlasuite,oubienl'ensembleimage

x(N)

^par^la^suite

sil'on serappelle qu'une suite

x

êstûne âppliation ^de

N

^dans

R

⁾êst ûnênsemble ^majoré.

Onpeutmaintenanténoner lerésultat fondamentalsuivantquiestuneonséquene simple

de lapropriétéde labornesupérieurede

R

^.

Théorème 5.3.1(Critère de onvergene dessuitesmonotones).

(i) Si

(x _n )

êst ûne ^suite ^roissante ^majorée, êlleônverge ^(ave ûne^limite ^nie).

(12)

(ii) Si

(x _n )

êst ûne ^suite ^roissante ^non^majorée, âlors

lim _n x _n = + ∞

^.

(iii) Demême, une suite déroissante et minorée onverge dans

R

^.

(iv) Unesuite déroissante et non minorée onverge vers

−∞

^.

Démonstration.

Nous ne traitons queles deux premiers points, les deuxautres s'endéduisant en hangeant

x _n

^et

− x _n

^.

Commençonspar leasoùlasuite

x = (x _n )

^est^roissante^majorée.^Nous^savons^que^l'image

x( N )

^de ^la ^suite êst ûn ênsemble ^non ^vide êt ^majoré. Îl âdmet ûne ^borne ^supérieure

M

^. ^Nous

allonsmontrer que

lim _n x _n = M

^.

Tout d'abord,par dénition, noussavons quepour tout

n ∈ N

^,

x _n ≤ M

^.

Ensuite,par lapropriétédelabornesupérieuredelaproposition13delapage 72,pourtout

ε > 0

^, îl êxiste ûn êntier

N

^tel ^que

x _N ≥ M − ε

^. ^Alors, ^pour

n ≥ N

^, ^nous ^avons, ^puisque ^la

suite

(x _n )

^est^roissante,

M − ε ≤ x _N ≤ x _n ≤ M,

etdon

| x _n − M | = M − x _n ≤ ε

^.^La ^suite ^onverge^don ^bien^vers

M

^.

Passonsauasoù

x

^est^non^majorée.^ela^veut^dire^que^pour^tout

A ∈ R

^,îlêxisteûn^élément

x _N

^de ^la^suite ^tel^que

x _N ≥ A

^.^Alors, ^pour

n ≥ N

^,^nous ^avons

x _n ≥ x _N ≥ A,

etnousavonsbienmontré quelasuite

(x _n )

^onverge^vers

+ ∞

Remarque 17. Ladémonstrationduthéorèmenousenapprendunpeuplus:siunesuiteestroissante

etmajorée,salimiteest sabornesupérieure.

Donnons desexemplesqui illustrent e théorème.

Exemples.

(I) (Unasde onvergene).

Soit

(x _n ) _n _≥ ₁

^la^suite ^dénie ^pour

n ≥ 1

^par ^:

x _n := 1 + 1

1! + · · · + 1 n! ·

(i) Il est lair que la suite

(x n ) n ≥ 1

^est ^stritement ^roissante ^puisque

x n+1 − x n =

1 (n+1)! > 0,

^pour ^tout

n ≥ 1.

(ii) Montronsqu'elleestmajorée.Eneetonvériefailementparréurrenel'inégalité

suivante :

∀ n ≥ 1, n! ≥ 2 ⁿ ⁻ ¹ .

Il enrésulte quepourtout

n ≥ 1,

^on ^a

x n ≤ 1 + ¹ ₁ + · · · ₂ ⁿ ¹ −1 < 1 + 2 = 3.

Ilenrésultequelasuite

(x _n ) _n _≥ ₁

^onverge^et^que^sa^limite^notée

e

^vérie^les^inégalités

2, 5 < e ≤ 3.

(II) (Unasde divergene).

Soit

(u _n )

^la^suite ^dénie^pour

n ≥ 1

^par ^la^formule ^suiv^ante^:

u _n :=

n

X

k=1

1 k = 1 + 1

2 + · · · + 1 n .

Nousallons montrer quelasuite

(u _n )

^tend^vers

+ ∞

^.

(13)

(i) Lasuite

(u _n ) _n

^est(stritement)roissantepuisque

u _n+1 − u _n = 1/(n + 1) > 0

^pour

tout

n ≥ 1.

(ii) Montrons qu'elle n'est pas majorée. En eet, observons d'abord que si

n ≥ 1

^et

p ≥ 1,

^alors

u _n+p − u _n = 1

n + 1 + · · · + 1

n + p ≥ p n + p ,

puisqueette expression est lasomme de

p

^termes^dont ^le ^plus^petit ^est

1/(n + p).

Par suite

u _2n − u _n ≥ 1/2

^pour ^tout

n ≥ 1

êtên ^partiulierôn â^:

∀ k ≥ 1, u ₂ ^k − u ₂ ^k −1 ≥ 1 2 .

En xant un entier

p ≥ 2

^et ^en additionnant membre à membre les

p

^inégalités

obtenuespour

k = 1, 2, · · · , p

^on^obtient ^:

∀ p ≥ 2, (u ₂ − u ₁ ) + · · · + (u ₂ ^p − u ₂ ^p − 1 ) ≥ p 2 .

Lestermessesimplientdeuxàdeuxpar"télésopage"etl'onobtient

u ₂ ^p − u ₁ ≥ p/2

pour tout

p ≥ 2

^et^don

u ₂ ^p ≥ 1 + p/2

^pour ^tout

p ≥ 2,

^e ^qui ^prouve ^que ^la^suite

(u _n )

^n'est ^pas^majorée. ^Par ^onséquent^d'après^le^théorème^préédent,^elle^tend^vers

+ ∞

^i.e.

n → lim + ∞

1 + 1

2 + · · · + 1 n

= + ∞ .

5.4 Suites adjaentes

Le théorèmesuivantesttrès intuitifetreposesurleritèrede onvergene dessuitesmono-

tones.

Théorème 5.4.1 (Théorème des suites adjaentes). Soient

(a _n ) _n _∈ N

^et

(b _n )

^deux ^suites ^de

nombres réels telles que

(5.2)

∀ n ∈ N, a _n ≤ a _n+1 ≤ b _n+1 ≤ b _n .

Alorslesdeuxsuites

(a _n ) _n _∈ N

^et

(b _n ) _n _∈ N

^onvergent ^vers ^des^nombres ^réels

α

^et

β

^respetivement qui vérient les inégalités suivantes:

∀ n ∈ N, a _n ≤ α ≤ β ≤ b _n .

Si de plus

lim _n _→ ₊ _∞ (b _n − a _n ) = 0,

^alors

α = β.

Démonstration. C'est une onséquene immédiate du ritère des suites monotones.

(a _n )

^est

roissantepar dénition, etmajorée par

b 1

^.^De ^même,

(b n )

^est déroissante etminorée par

a 1

^.

Elles onvergent don toutes les deux, etle prinipe de onservation des inégalités nous donne

α ≤ β

^.

Silesdeuxsuites

(a n ) n ∈ N

^et

(b n ) n ∈ N

^vérient^les^inégalités^(5.2)^et^si

lim n → + ∞ (b n − a n ) = 0,

on dira que e sont des suites adjaentes. Le théorème arme en partiulier que deux suites

adjaentes onvergent vers une même limite, donnant ainsi naissane à un nombre réel

ℓ

^dont

(a n ) n ≥ 0

^est^une^suited'approximantspar défautet

(b n )

^est^une ^suited'approximantspar exès.

33 . . . 3/10 n (nousyrevien-

1/3

0, 3333 . . .

n

0, 3333 . . . 3

33 . . . 3/10 n

1000

1/3

1/3

x n

n

x n = 1

10 n 3 + 10 × 3 + . . . + 10 n − 1 × 3

= 3

10 n 1 + 10 + . . . + 10 n − 1 .

x n = 3 10 n

10 n − 1

9 = 1

3 (1 − 1 10 n ) = 1

3 − 1 3 × 10 n .

1

3 × 10 n

n

1/3

1/3

x n

1/3

1/7 1

7 = 0, 142857142857142857 . . . .

142857

u : N −→ R

n ∈ N

u(n)

u n

(u n ) n ≥ 0

u n

n

(u n ) n ≥ 0 .

u

I ⊂ N,

(u n ) n ∈ I

I

R

C

E

E

x = N 7→ E

x n

x(n)

(x n ) n ≥ 0

(x n )

E = R

E = C

x n = n!

x n = 1/n

n ≥ 1

n ≥ n 0

y n = x n+n 0

n ≥ 0

(y n )

(x n )

(x n )

p : N 7→ N

n

p(n + 1) > p(n)

y n = x p(n)

x n

x p n

x p n

x n

x n

2 − n

1/n

n2 − n

p

(x 1 , x 1 , x 1 , . . . , x 1 , . . .)

x n

(u n ) n ≥ 0

ℓ ∈ R

ε > 0,

33 . . . 3/10 ⁿ

x _n

x _n = 1

10 ⁿ 3 + 10 × 3 + . . . + 10 ⁿ ⁻ ¹ × 3

10 ⁿ 1 + 10 + . . . + 10 ⁿ ⁻ ¹ .

x _n = 3 10 ⁿ

10 ⁿ − 1

3 (1 − 1 10 ⁿ ) = 1

3 − 1 3 × 10 ⁿ .

3 × 10 ⁿ

x _n

u _n

(u _n ) _n _≥ ₀

u _n

(u _n ) _n _≥ ₀ .

(u _n ) _n _∈ _I

x _n

(x _n ) _n _≥ ₀

(x _n )

n ≥ n ₀

(y _n )

(x _n )

(x _n )

y _n = x _p(n)

x _n

x _p _n

x _p _n

x _n

x _n

2 ⁻ ⁿ

n2 ⁻ ⁿ

(x ₁ , x ₁ , x ₁ , . . . , x ₁ , . . .)

x _n

(u _n ) _n _≥ ₀

| u _n − ℓ | ≤ ε.

x _n → n →∞ ℓ

x _n → ℓ

x _n → n →∞ ℓ ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n ≥ N, | u _n − ℓ | ≤ ε.

(x _n )

x _n → ℓ

x _n

x _n = 1/n

x _n ≤ ε

x _n = | x _n | = | x _n − 0 |

x _n ≥ 0

lim _n x _n = 0

(u _n ) _n _≥ ₀

lim _n _→∞ u _n

(u _n )

u _n → ℓ ₁

u _n → ℓ ₂

ℓ ₁ = ℓ ₂

N ₁ ≥ 1

N ₂ ≥ 1

n ≥ N ₁

| u _n − ℓ ₁ | ≤ ε/2

n ≥ N ₂

| u _n − ℓ ₂ | ≤ ε/2

N := max { N ₁ , N ₂ }

ℓ ₁ − ℓ ₂ = (ℓ ₁ − u _N ) + (u _N − ℓ ₂ )

| ℓ ₁ − ℓ ₂ | ≤ | ℓ ₁ − u _N | + | u _N − ℓ ₂ |

| ℓ ₁ − ℓ ₂ | = 0

ℓ ₁ = ℓ ₂

(x _n )

x _n → ℓ ⇐⇒ x _n − ℓ → 0 ⇐⇒ | x _n − ℓ | → 0.

(x _n )

(y _n )

M ∈ R ⁺

∀ n ≥ k, | x _n | ≤ M | y _n |

lim _n y _n = 0

lim _n x _n = 0

| y _n | ≤ ε/M