Théorie énergétique Energie de déformation élastique

Théorie énergétique  Energie de déformation 

élastique

Énergie de déformation 

d'un système à comportement linéaire élastique.

Les chargements sont tels que le matériaux  (acier doux) reste dans le domaine de 

comportement élastique linéaire. 

Cadre et limites de la théorie présentée. 

F  (N)

D (mm) 

F

D

F 

F

Leur application est considérée comme 

une succession d’états d’équilibre (quasi statique). 

Cadre et limites de la théorie présentée.

Cas de la traction pure.

F  (N)

D (m)  F

D

F

D

Joules  (Nm) 

W  x 

z 

Poutre soumise à de la traction 

à l'abscisse x 

W = 1/2 F D travail

dx 

N^{(N)  Joules} 

(Nm)  N(x)

ddx 

F 

dx  + ddx 

N^(x) 

dW _N 

x  z 

Travail élémentaire de l'action intérieure N 

dW _N = 1/2 N^(x) ddx 

énergie

= 1/2 N^(x)

e

= 1/2 N^(x)

s

E  dx 

= 1/2 N^(x)  N^(x) 

ES  dx

d

e

Déformation

s

e

Loi de Hooke

s

Contrainte  normale 

N^(x)  F 

x  z 

Travail élémentaire de l'action intérieure N 

dW _N = 1/2 N^(x) ddx 

dx  + ddx

Travail élémentaire de l'effort intérieure N^(x)  dW _N  = 1/2 N^(x)  N^(x) 

ES  dx  Énergie élastique due à N^(x) 

Énergie élastique due à l’effort normal  sur l'ensemble du système 

W _N  =  1/2  N²^(x) 

ES  dx 

0  L 

avec  L  longueur de la poutre

Relation travail énergie 

Énergie de déformation. 

W = 1/2 F D

Travail de l'action  appliquée : F 

W _N  =  1/2  dx 

0  L 

N^(x)

e

W _N  =  1/2  N²^(x) 

E S  dx 

0  L 

Déplacement  Déformation 

Force  Effort 

intérieur 

Contribution extérieure  Accumulation intérieure

Expression de l’énergie de déformation élastique  due à l’effort normal. 

W  _N  =  1/2  N²(x) 

E S  dx 

0 

L

Généralisation aux différents efforts intérieurs 

Energie élastique due à M _y ^(x) 

W _My =  1/2  dx 

0  L 

W _My  =  1/2  M _y ²^(x) 

E I _y  dx 

0  L 

M _y ^(x) 

Effort  intérieur  Effort intérieur 

Moment de flexion 

Déformation  M _y ^(x) 

E I _y  M _y ^(x) 

Moment de flexion 

par rapport à l'axe de flexion y 

Déformation  M _y ^(x) 

E I _y  dw

dx  = 

dw

dx 

z 

x  M _y

Généralisation aux différents efforts intérieurs  Energie élastique due à V _z ^(x) 

W _Vz =  1/2  dx 

0  L 

W _Vz  =  1/2  V _z ²^(x) 

G S _r  dx 

0  L 

V _z ^(x) 

Effort  intérieur  Effort intérieur 

Effort tranchant 

Déformation  V _z ^(x) 

G S _r  V _z ^(x) 

Effort tranchant suivant l'axe z 

Déformation  V _z ^(x) 

G S _r  S _r section réduite 

g

dx g

z 

x  V _z

Généralisation aux différents efforts intérieurs  Energie élastique due à V _z ^(x) 

W _Mx =  1/2  dx 

0  L 

W _Mx  =  1/2  M _x ²^(x) 

G J  dx 

0  L 

M _x ^(x) 

Effort  intérieur  Effort intérieur 

Moment de torsion 

Déformation 

Déformation  M _x ^(x) 

G J  M _x ^(x) 

Moment de torsion suivant l'axe x 

M _x ^(x) 

= G J  d

y

dx 

dx  dy

M _x 

x

Généralisation 

W  = 

y  z 

x 

Pour un système complet de sollicitations 

W  = 

+  N²^(x) 

E S 

W _N  + 

+  +  V² _z ^(x) 

G S _rz  V² _y ^(x) 

G S _ry  +  W _V 

+  + 

M² _x ^(x)  G J 

M² _y ^(x)  E I _y 

M² _z ^(x)  E I _z  W _M 

1/2

W travail  musculaire 

E énergie  élastique  de flexion  Joules 

(N.m) 

Bilan 

En considérant l'arc 

Le travail des actions  extérieures 

L'énergie de déformation  élastique intérieure 

= 

W 

+ W 

+ W 

1/2

S

i = 1  i = n 

=