Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
Année Univ.2016-17
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz
SMP-SMC
Département de Mathématiques
Rattrapage d’Algèbre 1
durée: 1h30
Tous les résultats doivent être justifiés .
Exercice 1
:
(4 points)
Soient z 3 − i et u 2 cos
12 − i sin 12 .
1) Trouver les racines carrées de z sous-forme algèbrique. 2) Calculer u2 sous-forme algèbrique.
3) En remarquant que cos
12 ≥ 0 et en utilisant les deux questions 1) et 2), trouver cos 12 et sin
12.
4) Déterminer l’ensemble S des entiers naturels n tels que zn soit un nombre réel.
Exercice 2
:
(6 points)
Soient
A
X
4−X
2 2X
2
etB
X
3− 3X
−2
. 1) En utilisant l’algorithme d’euclidea) trouver le p g c d de
A
etB
.b) trouver deux polynômes U et V tels que UA VB A ∧ B (où A ∧ B est le p g c d de
A
etB
).2) Factoriser A∧ B et effectuer la division eucldienne de A par A ∧ B (en utisant le procédé de Hőrner).
3) En déduire la factorisation de A dans RX, puis dans CX.
Exercice 3
:
(5 points)
Soit
F
X
5
X
− 3
4X
2 − 6X
10
.1) Montrer que
X
2 − 6X
10
est irréductible dans RX.2) Décomposer la fraction rationnelle F en éléments simples dans RX.
Exercice 4
:
(5 points)
Soient B0 e1, e2, e3, e4 la base canonique de R4, u 1, 2, 2, 3, v 2, 1, 4, 6 et E x, y, 2x, 3x ∈ R╱x,y ∈ R.
1) Montrer que
E
est un sous-espace vectoriel de R4 et déterminer dim E. 2) Vérifier que S u, v est une base de E.3) F1 vecte1, e2 est-il un supplémentaire de E dans R4? (justifier la réponse).
Indication: Vérifier que e2 ∈ E.
4) B u, v, e1, e3 est-elle une base de R4? (justifier la réponse).
5) F2 vecte1, e3 est-il un supplémentaire de E dans R4? (justifier la réponse).
