CRPE épreuve de mathématique 2012 groupe 3. I Exercice 1 (5 points).

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Mathématiques sujet 3

CRPE épreuve de mathématique 2012 groupe 3.

I Exercice 1 (5 points).

ABCD est un rectangle tel queAB= 6,5 et AD= 4, l'unité de mesure étant le centimètre.

M, N, P et Q sont des points respectivement sur les segments [AB], [BC], [CD]et[AD], et tels queAM=BN =CP =DQ.

On s'intéresse dans cet exercice à la variation de l'aire du quadrilatèreM N P Q en fonction de la position du pointM.

Toute réponse devra être justiée.

On poseAM =x.

1. Construire la gure dans le cas x= 4. Démontrer queM N P Qest un paral- lélogramme. Calculer son aire.

• •

•

A• B

C D

M

N P

Q

Six= 4alorsM N P Qse confond avecAM CP. Or





 (AM)

(CP),carABCD parallélogramme AM=CP =x,par construction doncM N P Qest un parallélogramme.

L'aire du parallélogramme AM CP est, avec H le projeté orthogonal de P sur(AB)

A(AM CP) =P H×AM

=AD×x

= 4×4

= 16

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2. Choisir une valeur de x dans l'intervalle]0,4[ et construire la gure corres- pondante. Quelle est la nature du quadrilatèreM N P Q?

Pourx= 2nous obtenons la gure

• •

•

A B

C D

M

N P

Q

Démontrons queM N P Qest un parallélogramme

AM Qest rectangle enAcarABCD est un rectangle. Donc, d'après le théo- rème de Pythagore nous avons l'égalité

M Q²=AM²+AQ² Autrement dit

M Q²=x²+ (4−x)² et commeM Qest une longueur, donc est positive,

M Q=p

x²+ (4−x)² En considérantCP N nous obtiendrions de même :

P N =p

x²+ (4−x)²

En procédant de même avec les trianglesDQP et BN M nous établirions M N =P Q=p

(6,5−x)²+x²

Ainsi M N P Q est un quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés ont même longueur deux à deux.

Pour obtenir un résultat qui démontre aussi le fait que le quadrilatère est non croisé il est possible de travailler dans le repère orthonormé

A,_AB¹ −−→

AB,_AD¹ −−→ AD et de démontrer que, par exemple,−−→

M N =−−→ QP.

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3. (a) On suppose que 0< x <4. Exprimer l'aire de M N P Qen fonction de x.

L'aire deM N P Qest celle deABCD ôtée de celles des trianglesBN M, CP N, DQP etAM Q

A(M N P Q) =A(M N P Q)− A(BN M)− A(CP N)− A(DQP)− A(AM Q) Les triangles étant tous rectangles leurs aires se calculent aisément :

A(M N P Q) = 4×6,5−1

2(6,5−x)×x−1

2(4−x)×x−1

2(6,5−x)×x−1

2(4−x)×x

= 26−(6,5−x)×x−(4−x)×x

Donnons une expression développée, réduite et ordonnée de l'expression polynomiale

A(M N P Q) = 26−(6,5x−x²)−(4x−x²)

= 26−6,5x+x²−4x+x²

= 26 + 2x²−6,10,5x

= 2x²−10,5x+ 26

(b) La formule obtenue en (a) fournit-elle le bon résultat si on l'applique à x= 0? àx= 4?

Pour x= 0l'aire est celle deABCD et pourx= 4l'aire a été calculé à l première question.

2×0²−10,5×0 + 26 = 26 2×4²−10,5×4 + 26 = 16 La formule fournit le bon résultat.

4. L'une des quatre courbes ci-dessous représente la variation de l'aire deM N P Q en fonction dex. Laquelle ?

Puisque l'énoncé arme que l'une des courbes convient procédons par élimi- nation.

A(M N P Q)est une fonction polynomiale de degré donc sa courbe représen- tative est une parabole les gures 1 et 4 sont donc à exclure.

A(M N P Q)) = 26donc la gure 2 est à exclure.

Ainsi la courbe de la gure 3 représente les variations de l'aire de M N P Q en fonction dex.

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Montrons que la formule proposée par l'énoncé convient en la développant, en la réduisant puis en l'ordonnant

2

x−21 8

² +391

32 = 2 x²−2×x×21 8 +

21 8

²!2

+f rac39132

= 2

x²−21

4 x+21² 8²

+391

32

= 2x²−21

2 x+441 32 +391

32

= 2x²−10,5x+441 + 391 32

= 2x²−10,5x+ 26

= Aire(M N P Q)

La valeur minimale de l'aire est donc ³⁹¹₃₂ ≈ 12,22 et elle est atteinte pour x= ²¹₈ = 2,625.

II Exercice 2 (4 points).

Dans cet exercice, sept armations sont proposées. Pour chacune d'elles, dire si elle est vraie ou fausse et justier la réponse.

Une réponse exacte mais non justiée ne rapporte aucun point.

Une réponse fausse n'enlève pas de point.

1. Depuis 5 ans, les prix augmentent de 10%par an.

Armation 1 : En 5 ans, les prix ont augmenté de50%.

Il y a 5 évolutions successives correspondant chacune à une augmentation de 10%. Le coecient multiplicateur correspondant est donc

CM = 1 + 10 100 = 1,1

Le coecient multiplicateur global correspondant à 5 évolutions est donc CMg = 1,1×1,1×1,1×1,1×1,1 = 1,1⁵= 1,61051

Donc le pourcentage d'évolution global est

t_g= 100×(CM_g−1) = 61,051%

L'armation 1 est donc fausse.

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2. Armation 2 : En versant 5 volumes de sirop de fraise dans 9 volumes d'eau, on aura une boisson plus sucrée que si l'on verse 4 volumes du même sirop dans 7 volumes d'eau.

La proportion de sirop dans le premier mélange est 5

5 + 9 = 5 14 La proportion de sirop dans le second mélange est

4 7 + 4 = 4

11

Or 5

14− 4

11= 5×11−4×14

11×14 =55−56

11×14 =− 1 11×14<0 donc le second mélange est plus sucré que le premier.

L'armation 2 est fausse.

3. On utilise une roulette (de type casino) avec 5 cases numérotées 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. Cette roulette est truquée. Le tableau ci-dessous précise la probabilité d'obtenir chacun des numéros (oùpest un nombre positif).

Nombre obtenu 1 2 3 4 5 Probabilité ¹₄ p p ³₈ p

Armation 3 : On a autant de chances d'obtenir un nombre pair qu'un nombre impair.

Puisque le tableau est une distribution de probabilité la somme des probabi- lités égale 1

1

4+p+p+3

8 +p= 1 Équation du premier degré que nous résolvons en

p=1 8

Or la probabilité d'un événement, si l'univers est ni, est la somme des pro- babilités des issues qui le réalise donc

P(pair) =p+3 8 = 4

8 = 1 2 et

P(impair) = 1

4+p+p=4 8 =1

2 L'armation 3 est vraie.

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4. Armation 4 : La diérence entre les carrés de deux nombres entiers na- turels consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres entiers.

Soitn∈N.

(n+ 1)²−n²=n²+ 2×n×1 + 1²−n²

= 2n+ 1

=n+ (n+ 1) L'armation 4 est vraie.

5. Armation 5 : Si on augmente l'arête d'un cube de 10 %, alors le volume de ce cube augment de33,1 %.

Augmenter l'arête de10 %revient à multiplier sa longueur par1 +₁₀₀¹⁰ = 1,2. Son volume sera alors de

V = 1,1×1,1×1,1 = 1,1³= 1,331 Le pourcentage d'augmentation du volume est donc

100×1,331−1

1 = 33,1 % L'armation 5 est vraie.

6. En position dite de l'÷uf , un skieur augmente de50 %sa vitesse moyenne et descend ainsi la piste à120 km/h.

Armation 6 : Sans cette technique, sa vitesse moyenne n'est donc que de 60km/h.

60 km/h augmenté de50 %est 60×

1 + 50

100

= 90 L'armation 6 est donc fausse.

7. Sur la gure ci-dessous,C est un point du demi-cercle de diamètre[AB].

• • • •

•

A H O B

C

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Armation 7 : SiAB=net AH= 1, alorsAC=n.

AHCest rectangle enH donc, d'après le théorème de Pythagore AH²+HC²=AC²

donc

HC²=AC²−AH²

OHC est rectangle enH donc , d'après le théorème de Pythagore OH²+HC²=OC²

donc

HC²=OC²−OH² Par transitivité

AC²−AH²=OC²−OH² AC²−1 =n

2 ²

−n 2 −1² AC²= 1

4n²− 1

4n²−n+ 1

+ 1 AC²=n

CommeAC st une longueur donc positive AC=√

n

L'armation 7 est vraie.

III Exercice 3 (3 points).

L'ove est une gure géométrique, constituée de quatre arcs de cercle, dont la forme fait penser à un ÷uf.

On a représenté ci-dessous un oveBCEF (la gure n'est pas en vraie grandeur).

Pour cet ove on sait que :

La partie supérieure de l'ove est un demi-cercle de diamètre[BC]avecBC= 10 cm et le reste de la gure est dans le demi-plan de frontière (BC) ne contenant pas ce demi-cercle.

Dest le point de ce demi-plan tel que le triangleBCDsoit isocèle et rectangle enD.

L'arc de cercleCE^_ a pour centreB avecBDE alignés.

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L'arc de cercleF B^_ a pour centreC avecCDF alignés.

L'arc de cercleEF^_ a pour centreD.

•

• •

B C

E F

1. Construire en vraie grandeur l'ove ainsi dénie.

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•

• •

•

B C

E F

D

2. Calculer le périmètre de l'ove construit à la question précédente (on donnera le résultat arrondi au millimètre).

Le plus simple est de considérer directement les angles en radians. Il est néanmoins possible de raisonner avec les angles degrés.

L'arc BC^_ est la moitié d'un cercle de rayon de longueur 5, sa longueur est

donc 2π×5

2 = 5π

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\CBD= 45^◦ donc, par proportionnalité, l'arcCE^_ mesure 45

360 ×2π×10 = 5 4π De même l'arcF B^_ mesure

5 4π

Pour calcule la longueur de l'arcEF^_ , calculonsDE.

DBCest isocèle-rectangle enD, donc, d'après le théorème de Pythagore, 2DB²=CB²

Donc

DB= r10²

2 = 5√ 2

Or BE = 10 et D ∈ [BE] donc DE = BE−BD = 10−5√

2 Nous en déduisons la longueur de l'arcEF^_

π

2(10−5√ 2)

Finalement le périmètre de l'ove est 5π+ 2×5

4π+π

2(10−5√

2)≈28,2 mm

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