Durée : 1 heure 30
[ Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH \ 6 mai 2009
Exercice 1 8 points
Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page 3
Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on considère la fonctionfndéfinie sur [0 ;+∞[ par :
fn(x)=xne−x SoitCnla courbe représentative defndans un repère³
O,−→ ı ,→−
´orthogonal, l’unité sur l’axe des abscisses étant de 1 cm et sur l’axe des ordonnées de 2 cm.
1. a. Déterminer lim
x→+∞fn(x).
b. En déduire queCnadmet une asymptote∆n, au voisinage de+∞, dont on donnera une équation.
2. a. Déterminerfn′(x), pourx∈[0 ;+∞[, oùfn′désigne la dérivée defn. b. Dresser le tableau des variations defn.
Préciser les valeurs defn(0), fn′(0) etfn(n).
3. La fonctionf2est définie sur [0 ;+∞[ par :f2(x)=x2e−x. a. Tracer la courbeC2représentative def2dans le repère³
O,−→ ı ,−→
´ortho- gonal donné.
b. Déterminer les coordonnées des points d’intersectionB1etB2des courbes C2etC3.
c. Montrer que pour tout entiern >2, la courbeCn passe par les deux pointsB1etB2.
4. a. Donner la valeur exacte de l’intégrale :J= Z2
0 e−xdx.
On indiquera les calculs intermédiaires.
b. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale :K= Z2
0 xe−xdx.
On indiquera les calculs intermédiaires et on donnera la valeur exacte de l’intégrale.
c. À l’aide d’une intégration par parties, exprimer, en fonction deK, l’inté- grale :I=
Z2
0 x2e−xdx.
On indiquera les calculs intermédiaires.
d. On noteQla partie de plan délimitée par les axes du repère, la courbe C2et la droite d’équationx=2.
Donner une valeur approchée à 10?2près de l’aireA(Q) de la partieQ, en unités d’aire, puis en cm2.
e. Hachurer la partieQsur le graphique de la question 3. a.
EXERCICE 2 4 points
Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnerasa valeur exacte, écrite sous forme defraction irréductible.
Dans une classe de terminale S, comprenant 39 élèves, on relève les voœux d’orien- tation suivants :
Concours GEIPI–POLYTECH
30 élèves veulent faire des études scientifiques dont 22 envisagent des études longues.
6 élèves souhaitent s’engager dans des études de droit dont 2 envisagent des études courtes.
3 élèves veulent faire des études d’arts (études longues).
Toutes les filles veulent faire des études longues.
Il y’a autant de filles que de garçons qui souhaitent faire des études scientifiques.
Il y’a autant de filles que de garçons qui souhaitent faire des études de droit.
Un seul garçon envisage de s’engager dans des études d’arts.
1. Compléter le tableau à l’aide des informations données en hypothèse.
2. On interroge un élève pris au hasard dans la classe.
a. Donner la probabilitéP(F) que l’élève interrogé soit une fille et la proba- bilitéP(G) que ce soit un garçon.
b. Sachant que l’élève interrogé veut faire des études longues, quelle est la probabilitéP1que ce soit une fille qui envisage de faire des études scien- tifiques ?
c. Sachant que l’élève interrogé n’envisage pas de faire des études scienti- fiques, quelle est la probabilitéP2qu’il se destine à des études d’arts ou envisage des études courtes ?
3. Deux filles et un garçon sortent de la classe.
a. Quelle est la probabilitéQ1que ce soit trois élèves qui envisagent des études scientifiques ?
b. Quelle est la probabilitéQ2qu’il y’ait au moins un élève envisageant des études d’arts ?
EXERCICE 3 8 points
On se place dans le plan rapporté au repère
³O,−→ ı ,→−
´orthomormé, direct.
Soit A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 2.
On considère le cercleC de centre A et de rayon 1 et la droiteT, tangente àC en B, d’équationx=2.
Pour tout réelϕvérifiant−π6ϕ6π, on pose : zϕ=¡
cos(ϕ)+1¢
+isin(ϕ)
On désigne parMϕle point du plan d’affixezϕ. −→ ı
−
→ M
U
T
B
N V A O
1. Où se trouve le pointMϕlorsque :ϕ= −π?ϕ=π?ϕ=0 ? 2. Soitϕ∈]−π;π[.
a. Déterminer, en fonction deϕ, l’affixe du vecteur−−−→AMϕ. b. Justifier queMϕappartient au cercleC.
3. Pour la suite de l’exercice, on pose :ϕ=2π 3 . On désigne parMle point d’affixe :z=1
2+i p3
2 .
Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH2 6 mai 2009
Concours GEIPI–POLYTECH
On noteNle point du cercleC diamétralement opposé au pointM(Nest le symétrique deMpar rapport à A).
Déterminer l’affixeZdu pointN.
4. Déterminer une équation cartésienne de la médiatriceDdu segment [M N].
5. On considèreUle point d’intersection de la droite (OM) et de la tangenteTet Vle point d’intersection de la droite (ON) et de la tangenteT.
a. Déterminer l’affixeudu pointUet l’affixevdu pointV. b. Déterminer l’affixekdu milieuK du segment [UV].
c. En déduire une équation cartésienne de la médiatrice∆du segment [UV].
6. a. Déterminer l’affixeωdu pointΩd’intersection des droitesDet∆.
b. Tracer les droitesDet∆ainsi que le cercleC′de centreΩpassant par M.
Quels sont les trois points cités dans cet exercice, autres queM, qui ap- partiennent à ce cercleC′?
Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH3 6 mai 2009
