ةيعمج ءاقدصأ تايضايرلا ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES

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Corrigé de l’exercice 3 du devoir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moctar Baba Hamdi 1

ةيعمج ءاقدصأ

تايضايرلا

ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES

Corrigé de l’exercice 3

du devoir Amimaths 7C 04/02/2017

Par Moctar Baba Hamdi

Exercice 3

On considère l’équation

 

E : 109x 226y 1oùxetysont des entiers relatifs.

1° a) Déterminer lePGCDde109et 226. Que peut-on conclure pour l’équation

 

^{E ?}

b) Donner une solution particulière de

 

E . Déterminer alors l’ensemble des solutions de

 

^{E .}

c) En déduire qu’il existe un unique entier naturel dinférieur ou égal à226 et un unique entier naturel e^{tels que}109d 1 226e  . On précisera les valeurs dedete^.

2° Montrer que 227 est premier.

3° On note A l’ensemble des entiers naturels atels quea226.

On considère les deux fonctions f etgdéfinies de A dans A de la maniè re suivante :

 

f a roùrest le reste de la division euclidienne dea¹⁰⁹par 227 et^{g a}

 

^ ^r^où rest le reste de la division euclidienne dea¹⁴¹par 227 .

a) Vérifie r que ^{g f 0}

 

^⁰.

b) Justifier que, quelque soit l’entier non nulade A ,^a²²⁶^^{1 227}

 

^.

c) En déduire que, quelque soit l’entier non nulade A ,^{g f a}^_

 

^{ }_ ^a^.

Que peut-on dire de^{f g a}^_

 

^_^?

Corrigé

1. a) Déterminons le de et :

On utilise l’algorithme d’Euclide (division de par ) :

Donc :

Et par suite admet des solutions dans .

(2)

b) Recherche d’une solution particuliè re de En utilisant l’algorithme d’Eclude :

Vérification : .

Donc : , d’où le couple est une solution particulière de .

Résolution de :

Si est une solution générale de , alors : . Et comme : . Alors par soustraction :

Donc divise .

Or , alors d’après le théorème de Gauss divise . Donc il existe un entier relatif tel que : , c’est-à-dire :

En injectant cette valeur de dans la relation , on obtient :

Ce qui implique que :

Réciproquement :

Si et avec un entier relatif, alors :

Et ainsi l’ensemble des solutions de est :

(3)

c) Déduisons qu’il existe un unique entier naturel infé rieure ou égal à 226 et un unique entier naturel tels que :

Unicité :

Si est un entier naturel infé rieure ou égal à 226 et est un entie r naturel tels que , alors est une solution de et donc il existe un entier relatif k tel que :

Et donc :

La seule valeur possible de l’entier est . Et donc :

D’où l’unicité.

Existence :

Si et , alors est un entier naturel inférieure ou égal à 226 et est un entier naturel tels que .

2. Montrons que est pre mier :

On sait que et que n’est pas divisible à aucun des nombres , , , , et : nombres pre miers infé rieures à . Donc est premier.

3.

où r est le reste de la division euclidienne de par .

où r est le reste de la division euclidienne de par . a) vérifions que :

On sait que divisible par , donc .

(4)

Et que divisible par , donc . Ainsi :

b) Justifions que, quel que soit l’entier non nul de ,

Si est un entier non nul de , alors n’est pas divisible par le nombre premie r (car ). Donc et sont pre miers entre eux. Donc d’après Fermat :

c) Déduisons que, quel que soit l’entie r non nul de , Si est un entier non nul de , alors :

Or :

et montrent que :

Et comme , donc est le reste de la division euclidienne de par 227. Ce qui signifie que :

Le mê me raisonne ment permet aussi de montre r que : .