Signal Information et Communications Numériques

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ENSIMAG – SEOC 2^ème année 2018-2019

Signal Information et Communications Numériques

Mai 2018

Durée 2h00 – Documents de cours et calculatrices autorisés.

Attention : les parties A et B devront être rédigées sur des feuilles séparées

Partie A (6,5 pts) : Signaux aléatoires

Exercice I (2,5 pts)

Soient n signaux aléatoiresX₁(t), . . . , X_n(t), à valeurs complexes, deux à deux conjointement stationnaires à l’ordre 2 et ergodique à l’ordre 1. Soient nvariables aléatoires complexes A1, . . . , An, indépendantes des Xi(t) (mais par forcément indépendantes entre elles). On supposera que toute combinaison linéaire (non identiquement nulle) desAireste une variable aléatoire et que toute combinaison linéaire non identiquement nulle desAiA^∗_j reste une variable aléatoire. On construit le signal suivant :

X(t) =

n

X

i=1

AiXi(t)

1. Le signalX(t)est-il stationnaire à l’ordre 1 ?

2. Est-il ergodique à l’ordre 1 (ou sous quelle(s) condition(s)) ? 3. Le signalX(t)est-il stationnaire à l’ordre 2 ?

Exercice II (4 pts)

SoientX1(t)etX2(t)deux signaux aléatoires complexes, indépendants, centrés, stationnaires au second ordre;

on noteraCX_iX_i(τ)la fonction de corrélation du signal Xi (i= 1 ou2) etγX_iX_i(ν)sa densité spectrale de puissance. Soitϕphase aléatoire, indépendante des signauxXiet uniformément répartie sur

0 ; ^π₂

. Soit le signal aléatoire (complexe), somme des signauxXi modulés (en complexe),

X(t) =X1(t)e^i(2πν¹^t+ϕ)+X2(t)e^i(2πν²^t−ϕ) (avec le mêmeϕ, de signes opposés, dans les deux porteuses).

1. Justifier du fait que les signauxX1(t)etX2(t)sont nécessairement conjointement stationnaires à l’ordre 2. Quelle est l’expression deCX₁X₂(τ)?

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2. Prouver queX(t)est stationnaire à l’ordre 2 et donner la fonction de corrélationC_XX(τ)à partir des fonctions de corrélation deX1 et deX2.

3. Donner la densité spectrale de puissance moyenne deX en fonction de celles deX1 et de X2.

4. On suppose lesXi tels queCX_iX_i(ν) = 0si|ν|> ^B₂ⁱ. Sous quelle(s) condition(s) sur les bandesB1,B2

et les fréquencesν₁et ν₂ les motifs spectraux issus respectivement deX₁ et de X₂ sont-ils séparés (ne se recouvrent pas) ? On pourra supposerν2≥ν1 et intervertir les rôles de ces fréquences pour traiter de l’autre cas.

5. Sous ces conditions,Y(t)est la filtrée de X(t)e^−2iπν¹^tpar le filtre (non réaliste) de réponse impulsion- nelleh(t) = sinc(πB₁t). En déduire la densité spectrale de puissance moyenne deY.

Partie B (13,5 pts) : Communications numériques

Rappel : cette partie B devra être rédigée sur une feuille différente de celle de la partie A.

Les exercicesIetIIsont indépendants. Des réponses courtes et précises sont attendues.

Dans tout l’énoncé, on considère un canal BBAG (bruit blanc additif Gaussien), et on utilisera lorsque nécessaire les notations suivantes :

• signal utile en bande de base à l’entrée du récepteur (puissanceP_x, bande B) : x(t)

• signal bruité reçu : r(t) =x(t) +n(t),

oùn(t)a une densité spectrale de puissance DSP bilatérale fixée à ^N₂⁰, avecN₀= 4.10⁻²¹ Watt/Hertz.

Les bits à transmettre sontindépendants et équiprobables, de débit binaireDb = _T¹

b. Si une modulation numérique àM états est utilisée,Ts =Tb log₂(M)sera le temps symbole.

I- Questions générales et Ingénierie (9 pts)

En pratique:

1. D’où provient le bruitn(t)dans une transmission radio (à quoi est due la valeur deN0) ?

2. Un usager doit transmettre les données d’un capteur (1000 bits), prélevées chaque dix minutes. Actuelle- ment il utilise une modulation “tout ou rien” (PAM unipolaire àM = 2 états), activée1 seconde par prélèvement(à1 kbit/sec donc). Il a besoin d’augmenter considérablement la portée (distanced) de sa communication radio (en conservant les mêmes antennes d’émission/réception, puissance émiseP_Emise et fréquence porteuse), quel(s) changements(s) lui conseillez vous (expliquer avec 1 ou 2 formules) ?

Théorie de l’information:

3. Quel théorème issu de la théorie de l’information implique la phrase : “le bruit ne limite pas la qualité de la transmission mais seulement la quantité d’information permise (par unité de temps)” ?

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4. Pour une puissance utile de P_x= 1 picoWatt quel est le débit binaire maximum possible (pour une transmission fiable) Db T I selon la théorie de l’information (on rappelle N0 = 4.10⁻²¹ Watt/Hertz) :

• avec une bandeB= 25 MHz?

• avec une bandeinfinie?

5. Indiquer si possible les valeurs minimum du rapport ^E_N^b

0 en entrée du récepteur permettant une transmission fiable au débitDb T I = 100 Mbit/secdans une bande B= 5 MHz.

Modulation à Dictionnaire orthogonal

Soit D = {x₍₁₎(t) ;x₍₂₎(t) ;. . . ;x_(M_⊥₎(t)} = dictionnaire à M_⊥ signaux orthogonaux, chacun de même énergie P_x.T_s, et de durée T_s = 1msec (soit _T¹

s = 1 ksymb/sec).

La bande de chacun des signauxx(m)(t)estB= ¹₂.^M_T^⊥

s (pourTs1/B)

6. Donner un exemple de dictionnaire qui approcherait les propriétés deD, avec doncM⊥signaux à bande finieB construits durantTs. Argumenter l’évolution deB avecM_⊥.

7. Modulation à dictionnaire orthogonal à M =M_⊥ états: On a ainsi icix(t) =

+∞

X

k=0

x_k(t−kT_s)tel quex_k(t)∈D.

Quel est ledébit binaire transmisDb ainsi que l’efficacité spectraleη en fonction deM⊥ ? Application numérique : pourM_⊥ = 2? pourM_⊥ = 8?

Modulation linéaire à M =MLin états: On suppose icix(t) =Ts

+∞

X

k=0

ak×he(t−kTs), oùheest le filtre de mise en forme (d’énergiekhek²= 1/Ts), modulé par des symbolesa_k ∈ {A; 2A;. . .;M_Lin.A} àM_Linétats possibles, etT_s = 1msec.

8. Indiquer ledébit binaire transmis Dbpour MLin= 2; pour MLin= 8.

9. Quelle est la bande minimale pour qu’une transmission sans interférence entre symboles (IES) soit possible ? En déduire l’efficacité spectraleη maximale pourM_Lin= 2 ; pourM_Lin= 8.

10. Justifier la présence de raies dans le spectre. Pour MLin= 2, calculer en fonction deA² la puissance du signalP_x, et indiquer la part de puissance dans les raies.

Multiplex de N Modulations linéaires àMLin états

Afin d’augmenter le débit, on multiplexeN (par exemple2,4,8, . . .) voies de symboles (a⁽ⁿ⁾_k , n= 1, . . . , N) à M_Linétats par des modulations linéaires (via filtres he⁽ⁿ⁾), soit : x(t) =T_s

N

X

n=1 +∞

X

k=0

a⁽ⁿ⁾_k ×he⁽ⁿ⁾(t−kT_s)

11. Quel sera le débit binaire global transmis pourTs= 1msec, N= 8 voies, etMLin= 4états ?

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12. Comment choisir les N filtres he⁽ⁿ⁾, n = 1, . . . , N pour que les performances soient conservées en présence des autres voies (justifier en indiquant en quoi consiste le récepteur d’une voie donnée) ? 13. Dans ce cas, quelle sera à votre avis l’expression de la bande minimaleBdu signal completx(t)(fonction

deN, Ts, MLin, . . .) ?

II– Performances en modulation linéaire binaire avec filtre de réception imposé (4,5 pts)

On suppose icix(t) =Ts +∞

X

k=0

akhe(t−kTs)avecak ∈ {−A; +A}et doncM = 2etTs=Tb ;

Format Overlength: la réponse impulsionelle du filtre de mise en forme est ici une porte de durée3T s/2 (plus large donc que la durée symbole, de+50%), et d’amplitude _T^C

s sur[0 ; 3Ts/2[. Son expression est : he(t) = _T^C

s Rect_{[0 ; 3T}_s_/2[(t).

Récepteur : y(t) =r(t)∗hr(t), échantillonyk =y(t0+kTs) =λ ak+IESk+bk, puis seuil à 0.

1. Le filtre est normalisé pour que son énergie soitkhek²= 1/Ts. En déduire :

• la valeur de la constanteC (apparaissant dans l’expression deh_e) ;

• l’expression deEb en fonction deA².

On considère deux scénarios pour le filtrage de réception (et décalaget0) : Scénario 1: hr(t) =he(t)et décalage d’échantillonnaget0= 3Ts/2; Scénario 2: hr(t) =

√ 2

T_s Rect[^{0 ;}^Ts2[(t) amplitude

√2 T_s sur

0 ; ^T₂^s

ett0 =Ts.

2. Pour le Scénario 1 indiquer :

(a) forme dep(t) =he(t)∗hr(t), et valeur deλ; (b) si IES= 0 (justifier) ;

(c) expression deRSBy =^(Aλ)_σ2² b

en fonction de ^E_N^b

0 ; (d) comparer la probabilité d’erreurPeàQq

2E_b N₀

.

3. Pour le Scénario 2, reprendre les questions précédentes,(a)à(d).

4. Synthétiser avantage/inconvénient de chaque scénario, et indiquer lequel vous parait le plus fiable pour communiquer à fort rapport(Eb/N0); à faible rapport(Eb/N0)(argumenter).

Bonus :pour justifier et préciser les plages de bon fonctionnement, on établira et comparera les ex- pressions duRapport-Signal-à Bruit plus Interférence RSBIyen fonction de(Eb/N0)des deux scénarios, avec :

RSBIy = (Aλ)² σ²_b+σ²_IES

oùσ²_IES=E{IES_k²}est la puissance d’IES (l’IES est de moyenne nulle) qui peut être évaluée à partir de l’expression deIES_k à partir dea_k−1et a_k+1, que l’on établira préalablement.