Stanislas
Exercices
Nombres entiers - Dénombrement
Chapitre XX MPSI 1
2015/2016
I - Entiers, Coecients binomiaux
Exercice 1. (Décomposition en base factorielle, !)
1. Montrer, sans utiliser de récurrence, que pour toutn∈N?, Pn
k=1
k·k! = (n+ 1)!−1.
2. En déduire que pour tout N ∈ N?, il existe un unique entier n ∈ N? et un unique n-uplet (a1, . . . , an)∈Nntels que pour tout k∈N?,06ak6k,an6= 0 etN =
n
P
k=1
ak·k!.
Exercice 2. (Identité de Vandermonde,-)Soientx∈R, n, p∈N.
1. Développer de deux manières diérentes l'expression(1 +X)n(1 +X)p. 2. En déduire que sik6inf(n, p), n+pk
= Pk
j=0 n k−j
p
j
.
Exercice 3. (Le même exercice, un autre point de vue,-) Soit E un ensemble de cardinal n et A, B deux parties deE de cardinaux respectifsp etq. On suppose que A=cB.
1. Montrer que la fonctionf : P(E)→P(A)×P(B), X7→(A∩X, B∩X) est bijective.
2. En déduire que pour toutr∈N, Pr
i=0 p i
q
r−i
= p+qr . 3. Calculer Pn
i=0 n i
2.
Exercice 4. (!)Soientp6ndeux entiers naturels non nuls. Calculer de deux manières diérentes
p
P
k=0 n k
n−k
p−k
.
II - Dénombrement
Exercice 5.Soient k et n deux entiers naturels non nuls tels que k 6 n. Combien y-a-t il de k-uplets(i1, . . . , ik) appartenant àJ1, nK
k lorsque. . . 1. . . . les répétitions sont autorisées.
2. . . . les répétitions ne sont pas autorisées.
3. . . . on impose16i1 <· · ·< ik6n.
Exercice 6.Une urne contient n boules noires ou blanches numérotées dont n1 sont noires et n2 sont blanches. On tire p boules dans cette urne. Déterminer le nombre de tirages donnant exactement p1 boules blanches et p2 boules noires lorsque. . .
1. . . . les boules sont tirées simultanément.
2. . . . les boules sont tirées successivement et sans remise.
3. . . . les boules sont tirées successivement et avec remise.
Exercice 7. (-)Déterminer le nombre de nombres à5 chires (en base10) où. . . 1. . . .0 ne gure qu'une seule fois.
2. . . . un et un seul chire est répété et ceci une unique fois.
Stanislas A. Camanes
Exercices. Nombres entiers - Dénombrement MPSI 1
Exercice 8. (Géométrie)Soit n∈N?. Combien un polygone convexe à nsommets a-t-il de diago- nales ?
Exercice 9.Un maçon dispose de nbriques indistinguables pour construire un mur vertical sans trous. Ainsi, toute brique se trouve soit sur le sol, jouxtant une autre brique, soit posée sur une autre brique. Déterminer le nombre de formes de murs distinctes que le maçon peut construire.
Exercice 10.Déterminer le nombre d'anagrammes du mot :
1. COMPTER. 2. DENOMBRER.
Exercice 11. (!) Soient n, p ∈ N?. Combien peut-on construire de p-listes (u1, . . . , up) ∈ Np telles que Pp
k=1
uk=n?
Exercice 12. Soient n ∈ N? et E un ensemble ni à n éléments. Combien y-a-t-il de couples (X, Y)∈P(E)2 tels queX ⊂Y ?
Exercice 13.Soit (n, p)∈(N?)2. Combien y-a-t-il d'applications strictement croissantes deJ1, pK dansJ1, nK?
Exercice 14. (Relations binaires,♥)Soitn∈N? etE un ensemble ni de cardinal n. Quel est le nombre dansE de
1. . . . relations binaires ?
2. . . . relations binaires symétriques ?
3. . . . relations binaires réexives et symétriques ? 4. . . . relations binaires réexives et antisymétriques ?
Exercice 15. (Surjections, Projections)Soit n∈N? etE=J1, nK.
1. Combien y a-t-il de surjections deJ1, n+ 1KdansJ1, nK?
2. Combien y a-t-il d'applications deE dansE telles quep◦p=p?
Exercice 16. (Surjections) Soit Snp l'ensemble des surjections de J1, pK dans J1, nK et Snp son cardinal.
1. Pour tout entierk∈J1, nK, on note Ak ={f ∈F(E, F) ; f−1({k}) =∅}. 2. En utilisant la formule du crible, en déduire que
Snp =
n
X
k=0
(−1)n−k n
k
kp.
Exercice 17. (Dérangements,!,♥)Soit n∈N?, n>2. Calculer le nombreDnde dérangements de {1, . . . , n}, c'est-à-dire le nombre de bijections f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} telles que pour toutk6n,f(k)6=k.
III - Groupe symétrique
Exercice 18. (Signature,-)Étudier la parité des permutations 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 3 5 4 8 7 6 2 1
. 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 2 7 4 8 5 6
.
Stanislas A. Camanes
Exercices. Nombres entiers - Dénombrement MPSI 1
3.
1 2 3 4 · · · 2n−1 2n
n n+ 1 n−1 n+ 2 · · · 1 2n
.
Exercice 19. (-)Soit σ une permutation et θi,j une transposition de J1, nK.
1. Montrer queσ◦(i, j)◦σ−1 = (σ(i), σ(j)).
2. En déduire que pour toutn>3, le centre deSn est réduit à l'identité.
Exercice 20. (♥)Montrer queSn est engendré par. . . 1. . . .{(1, i), i∈J2, nK}.
2. . . .{(i, i+ 1), i∈J1, n−1K}. 3. . . .(1,2)et(2,3,· · · , n,1)
Exercice 21. (♥)Montrer que tout produit de deux transpositions peut s'écrire comme un produit de cycles d'ordre3. En déduire que An est engendré par les cycles d'ordre3.
Exercice 22. (!)Soitc= (2,3,· · ·, n,1). Déterminer {σ∈Sn ; σc=cσ}. Exercice 23.Soit ϕ : (Sn,◦)→(C?,·)un morphisme de groupe.
1. Montrer que siθ1 etθ2 sont deux transpositions, alorsϕ(θ1) =ϕ(θ2).
2. En déduire queϕest l'application signature ou l'application constante égale à1.
Stanislas A. Camanes
