Chap.n°5 : Congruence et divisibilité Objectifs :

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Chap.n°5 : Congruence et divisibilité

Objectifs :

Niveau a eca n

C5.a ¹ Utiliser les congruences dans Z

Activité d'approche n°1 :

fabrication de critères de divisibilité.

1. En remarquant que n'importe quel nombre entier naturel s'écrit sous la

forme ∑

k=0 k=n

a_k×10^koù les ak sont les chiffres du nombres, et en posant la division euclidienne de 10^k par 2, déduire le critère de divisibilité par 2.

...

2. Utiliser la méthode précédente pour retrouver les critères de divisibilité par

3, 5 et 9.

...

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...

3. Utiliser la méthode précédente pour retrouver les critères de divisibilité par

4, 6, 7 et 8.

...

4. Démontrer que 10ⁿ≡ (-1)ⁿ [11]. En déduire un critère de divisibilité par 11. ...

...

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...

Cours n°1

Chap.n°5 : Congruences

I) Critères de divisibilité Propriété n°1

Critères de divisibilité par 2 :...

Critères de divisibilité par 3 : …...

Exemple n°1

Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ? :

a. 234 ≡ 4 (5) b. 1378 ≡ 53 (10)c. 2 ≡ 74 (2) d. 97⁵²¹ ≡ 3 (8)

e. 125  ≡ 23 (7) ^f.37532 ≡ 0 (11) ^g.15 ≡ 543(3)

...

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...

II) Résolution d'équations de restes de division, dans N Méthodes :

1. Utiliser les propriétés sur les restes.

2. Faire une d………....

3. Utiliser un raisonnement par r………..

4. Utiliser un raisonnement par l'………..

Exemple n°2

Résoudre 2 + x ≡ 3 [8] dans Z.

...

Exemple n°3

Résoudre 3×x ≡ 4 [6] dans N.

...

Exemple n°4

Démontrer que, pour tout entier naturel n, si n ≡ 0 [6], alors 7ⁿ≡ 1[9]

...

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...

Interrogation n°1 Objectifs :

C5.a_Niv1 : Utiliser les congruences dans Z . Exercice n°1

Résoudre dans N : 2 + x ≡ 4 [6]

Exercice n°2 Ex.107 p.31 Exercice n°3**

Ex.121 p.31 Exercice n°4**

Démontrer que, quelque soit l'entier naturel n, 2³ⁿ – 2ⁿ≡ 0 [3]

Exercice n°5**

Soit n un entier naturel. Quel est le plus petit entier naturel k pour lequel

5ⁿ + k ≡ 0 [4]

Exercice n°6**

Soit n un entier naturel. Démontrer que n(n² –1) ≡ 0 [6]. Exercice n°7**

TP n°3 p.35 Exercice n°8**

Soit n un entier naturel. Démontrer que 2n² + n + 1 n'est pas congru à 0 modulo 3.

Exercice n°9**

a. Donner, suivant l'entier naturel n les restes de la division euclidienne de 2ⁿ par 5.

b. En déduire le reste de la division euclidienne de 2³⁵⁶² par 5. Exercice n°10***

Démontrer que l'équation 7x² –4y² = 1 n'a pas de solution dans N.

Exercice n°11*** : les nombres de Fermat Ex.165 p.39 (rectifier l'énoncé : Fn=2⁽²ⁿ⁾+1)

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Résultats et indices

Ex.1 : 6k+2, k ∈Z.

Ex.2 (Ex.107 p.31) : 1.4+5k, k ∈^{N 2.}4+5k, k ∈^N

Ex.3 (Ex.121 p.31) : /

Ex.4 : / (2³ⁿ=(2ⁿ)³et récurrence) Ex.5 : 3

Ex.6 : / (récurrence ou disjonction des cas) Ex.7 (TP3 p.35) :

1.

4. si n10, q(n)=n+1 et r(n)=n-10 B. q(n)=n²+3n+1 et r(n)=n+3 Ex.8 : / (disjonction des cas)

Ex.9 : / (disjonction des cas + récurrence) Ex.10 : Penser à regarder l'équation modulo ...

Ex.11 (165 p.39) :

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :