EPREUVE DE MATHEMATIQUES

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MINISTERE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES Année scolaire 2017 – 2018 LYCEE GENERAL LECLERC Séquence N ° 2

DEPARTEMENT DES MATHEMATIQUES Niveau TC Coefficient : 5 Durée 4H

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Exercice 1: 5,5 points

1.On a jeté de la peinture noire sur un plan

rectangulaire blanc de 4m sur 2m, complètement au hasard. Démontrer qu’il existe nécessairement deux points de la même couleur situés à exactement 1 mètre l’un de l’autre. 1pt

2. Démontrer par récurrence que pour n entier supérieur ou égal à 2

on a : 𝟐^𝒏 ≥ 𝑪_𝒏^𝟐. 1pt 3. Soit (Xn) la suite définie par : X1 = 1 et ∀ 𝒏 ∈ 𝑰𝑵^∗∖ {1} , Xn = Xn-1 + ^𝟏

𝒏^𝒏

a. Démontrer que la suite (Xn) est croissante. 0,5pt b. On désigne par (Yn) la suite définie par Y1 = 1 et ∀ 𝒏 ∈ 𝑰𝑵^∗∖ {1} Yn = Yn-1 + ^𝟏

𝟐^𝒏

i. Démontrer que : ∀ 𝒏 ∈ 𝑰𝑵^∗∖ {1} 0 ≤ Xn ≤ Yn. 0,5pt ii. Ecrire Yn en fonction de n. 0,5pt iii. En déduire que la suite (Xn) est majorée. 0,5pt c. Démontrer que (Xn) est convergente et donner sa limite. 0,5pt 4. Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

a. f(x) = x(x² + 1). b. g(x) = -2sinx cosx c. h(x) = ^−𝟑𝒙

(𝟑 + 𝒙^𝟐)^𝟑 d. i(x) = ^{𝒄𝒐𝒔𝒙}

𝒔𝒊𝒏^𝟐𝒙 . 1pt Exercice 2: 5,5 points

I. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal direct (O ; 𝒊⃗, 𝒋,⃗⃗⃗ 𝒌⃗⃗⃗).

On donne les points A(3, 2, - 1) et H( 1, - 1, 3) .

1. Calculer la longueur AH 0,25pt

2. Déterminer une équation du plan (P) passant par H et orthogonal à la droite (AH) 3. On donne les points B( -6, 1, 1) ; C(4, - 3, 3) et D( - 1, - 5, - 1).

a. Démontrer que les points B, C et D appartiennent au plan (P) 0,5pt b. Calculer les coordonnées du produit vectoriel BCBD. 0,25pt c. Calculer l’aire du triangle BCD. 0,5pt d. Calculer le volume du tétraèdre ABCD. 0,5pt

4. a. Calculer l’aire du triangle ABC. 0,5pt

b. Calculer la distance du point D au plan (ABC). 0,5pt II. ABCDEFGH est un cube tel que (𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑨𝑬⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est une base orthonormée directe de W. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le centre du carré ADHE.

1 Vérifier que 𝑰𝑮⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ 𝑰𝑨⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩𝑱⃗⃗⃗⃗⃗. 1pt 2 En déduire l’aire du triangle IGA. 0,5pt 3 Calculer le volume du tétraèdre ABIG et en déduire la distance du point B au

plan (IGA). 1pt

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𝑷𝒓𝒐𝒃𝒍è𝒎𝒆 9 points

Les parties A, B et C sont indépendantes

Partie A : 3 points

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = x²(2 – x) ; si x [0 ;2[ et f(x + 2) = f(x) pour tout réel x

1. Calculer f(2) ; la fonction f est-elle continue en 2 ? 1pt 2. Construire la partie de la courbe représentative de f sur [0 ;2] dans un repère orthonormé (0,

i, j). 1pt 3. Soit n un entier relatif. Comment peut-on déduire la partie de la courbe représentative de f sur l’intervalle [2n ; 2n + 2] à partir de celle construite dans la question 2. 0,5pt 4. Démontrer que : x[2n ; 2n + 2], f(x) = (x – 2n)²(2n + 2 – x). 0,5pt Partie B : 1,5 point

Dans le plan on considère le triangle ABC rectangle en A. AB = 3a et AC = 2a (a > 0)

1. Ecrire le vecteur 𝑨𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ où le point G est barycentre des points (A, 1) ;

(B, 2) ; (C, 3). 0,5pt

2. Déterminer l’ensemble T des points du plan tels que :MA² + 2MB² + 3MC² = 48a². 1pt

Partie C : 4,5 points

Soit n un entier naturel non nul, on note 𝒇_𝒏 la fonction définie dans ]0, +∞[ par 𝒇_𝒏(𝒙) = 𝒙 − 𝒏 +^𝒏

𝟐𝒍𝒏𝒙

1. a. Déterminer les limites de f à droite de 0 et en +∞. 0,5pt b. Calculer la fonction dérivée 𝒇_𝒏′ de f et dresser le tableau de variations de 𝒇_𝒏. 1pt c. Montrer que l’équation 𝒇_𝒏(x) = 0 admet une unique solution 𝜶_𝒏et montrer que

1≤ 𝜶_𝒏 < e². 0,5pt

d. Exprimer𝒇_𝒏+𝟏(𝜶_𝒏) en fonction de 𝜶_𝒏 et de n, puis déduire le sens de variation de

la suite de terme général 𝜶_𝒏. 1pt

2. a. Démontrer que la suite de terme général 𝜶_𝒏 est convergente. 0,5pt b. Calculer la limite en +∞ de ln(𝜶_𝒏 ) et en déduire la limite de la suite 𝜶_𝒏 . 1pt

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