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Tests non-par amétr iques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application

Tests non-par amétr iques

FrédéricBertrand1 &MyriamMaumy1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France Master1reAnnée 2016-2017 FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application

2

ème

par tie Tests non par amétr iques :Le test de Kr uskal-W allis

FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application

Conditionsd’application

Sommaire

1Contextedutest Conditionsd’application 2Absenced’exæquodanslesobservations Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest 3Présenced’exæquodanslesobservations 4Comparaisonsmultiples 5Application FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application

Conditionsd’application Introduction Nousobservons,demanièreindépendante,unevariable aléatoireXdeloicontinue,surk>3populations,ousurune populationdiviséeenk>3sous-populations. Noussupposonsainsiquenousdisposonsdekéchantillons aléatoiresindépendants(X1,1,...,X1,n1),...,(Xk,1,...,Xk,nk) etdek>3sériesd’observations(x1,1,...,x1,n1)pourla première,...,(xk,1,...,xk,nk)pourladernière.Nousnotons Li(X)laloidelavariablealéatoireXsurla(sous-)population d’ordreiavec16i6k. Sansfaired’hypothèsesspécifiques,letestde Kruskal-Wallisnepermetpasdetesterl’égalitédes moyennesnicelledesmédianes. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Conditionsd’application Hypothèsesdutest LetestdeKruskal-Wallisestutilisépourtesterleshypothèses suivantes: H0:L1(X)=···=Li(X)=···=Lk(X) contre H1:LesloisL1(X),...,Lk(X)nesontpastoutesidentiques. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application

Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest

Sommaire

1Contextedutest Conditionsd’application 2Absenced’exæquodanslesobservations Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest 3Présenced’exæquodanslesobservations 4Comparaisonsmultiples 5Application FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application

Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest Statistiquedetest Calculons: 1lerangRi,jdeXi,jparmilesnvaleurs; 2puislasommedesrangsassociéeàchaqueéchantillon: Ri,=niX j=1Ri,j; 3lamoyennedesrangsdechaqueéchantillon: Ri,=Ri,/ni. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application

Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest Statistiquedetest(suite) LastatistiquedeKruskal-WallisKWnprendencomptel’écart entrelamoyennedesrangsdechaqueéchantillonetla moyennedetouslesrangs,quivaut(n+1)/2: KWn=12 n(n+1)

kX i=1ni Ri,−n+1 2

2 =12 n(n+1)

kX i=1Ri,2 ni−3(n+1). FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest Propriétés Lorsquel’hypothèsenulleH0estvraie,lavariablealéatoire KWnalestroispropriétéssuivantes. 1Pouri=1,...,k,Wi=niRi,estlastatistiquedeWilcoxon quicomparelei−èmetraitementauxk−1autres traitements. Sousl’hypothèsenulleH0,nousendéduisonsque E(Wi)=ni(n+1)/2etVar(Wi)=ni(n−ni)(n+1)/12. Ainsiparconséquent,nousavons: KWn=1 n

kX i=1(n−ni)(Wi−E(Wi))2 Var(WiFrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest Propriétés(suite) 2(Suite)Nouscalculonsalorsl’espéranceetlavariancede KWnsousl’hypothèsenulleH0: E(KWn)=k−1, Var(KWn)=2(k−1)−2 3k2 −6k+n(2k2 −6k+1) 5n(n+1) −6 5

kX i=11 ni· 3IlestpossiblededéterminerladistributiondeKWnbien quelecalculsoitcomplexe.Elleestdonctabuléepourles faiblesvaleursdesni. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

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Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest Règlededécisionetconclusiondutest Premiercas:L’undeseffectifsni,16i6k,estinférieur ouégalà4,.Pourunseuildonnéα,destablesdelaloide Kruskal-Wallisnousfournissentunevaleurcritiquecα. Alorsnousdécidons: siKWn(obs)>cαH1estvraie, siKWn(obs)<cαH0estvraie. Leniveaudesignificationréeldutestestgénéralement strictementinférieuràα. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest Règlededécisionetconclusiondutest(suite) Secondcas:Sini>5,pourtout16i6k,nousutilisons l’approximationKWn≈χ2 (k−1).Pourunseuildonnéα, destablesdelaloiduχ2 nousfournissentunevaleur critiquecαtellequePH0(−cα<Zn1,n2<cα)=1−α.Alors nousdécidons: siKWn(obs)>cαH1estvraie, siKWn(obs)<cαH0estvraie. LorsquenousrejetonsH0,nousdécidonsqueH1estvraie avecunrisqued’erreurdepremièreespèceα. LorsquenousconservonsH0,c’estavecunrisqued’erreur dedeuxièmeespèceβ. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Sommaire

1Contextedutest Conditionsd’application 2Absenced’exæquodanslesobservations Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest 3Présenced’exæquodanslesobservations 4Comparaisonsmultiples 5Application FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Présenced’exæquodanslesobservations:laméthodedes rangsmoyens Àchaquenombreappartenantàungrouped’exæquonous attribuonslerangmoyendugroupeauquelilappartientpuis nousdéterminonslasommeT=P

h l3 (t−t)oùtdésignelell=1l nombred’élémentsdul−èmegrouped’exæquo.Ilestd’usage ? desubstitueràKWlavariableKWdéfiniepar:nn KWn? KW=.nT 1− 3n−n FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

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Sommaire

1Contextedutest Conditionsd’application 2Absenced’exæquodanslesobservations Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest 3Présenced’exæquodanslesobservations 4Comparaisonsmultiples 5Application FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application TestdeSteel-Dwass-Critchlow-Fligner Wni,ni0estlastatistiquedeWilcoxonquicomparelei−ème traitementaui0 −èmetraitement. Lesobservationsdesdeuxgroupesieti0 sontordonnéespuis regroupéesenhclassesd’exæquoCj,16j6h. Notonsdjlenombred’exæquodelaclasseCjet mi,i0=ni+ni0. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application TestdeSteel-Dwass-Critchlow-Fligner(suite) Nousdécidonsqu’auseuilglobalαdeuxloisLi(X)etLi0(X), parmilesk(k1)comparaisonsquenousallonsfaire,sont significativementdifférentessi:

0n(m+1)ii,i W−n,n0ii 2

>q0 (k;+∞;1−α)r nini0(mi,i0+1) 24 ×v u u u t 1−P h j3 d−dj=1j 3 0m−m0i,ii,i

  oùq0 (k;+∞;1−α)estlequantiled’ordre1−αpourlaloidu maximumdumodulestudentisépourkmoyenneset+∞ degrésdeliberté. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application TestdeSteel-Dwass-Critchlow-Fligner(suite) Contrairementauxtroisautresapprochesprésentéesci-après, letestSteel-Dwass-Critchlow-Flignern’estpasqu’une procéduredecomparaisonsmultiples:c’estunealternative complèteautestdeKruskal-Wallis. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Autrestestsdecomparaisonsmultiples Sinousrejetonsl’hypothèsenulleH0,nousnousdemandons quellessontlesloisLi(X)quidiffèrent. Lesformulesci-aprèssontvalablesenabsenceouen présenced’exæquo.Enabsenced’exæquo,leterme 1−T/(n3 −n)estégalà1. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application ApplicationdelaméthodedeSheffé Nousdécidonsqu’auseuilαdeuxloisLi(X)etLi0(X)sont significativementdifférentessi: Ri,−Ri0,>q χ2(k−1;1−α)s n(n+1) 12 1−T n3 −n

×s 1 ni+1 ni0, oùχ2 (k−1;1−α)estlequantiled’ordre1−αpourlaloiduχ2 àk−1degrésdeliberté. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Applicationdel’inégalitédeBonferroni Nousdécidonsqu’auseuilglobalαdeuxloisLi(X)etLi0(X), parmilesk(k1)comparaisonsquenousallonsfaire,sont significativementdifférentessi: Ri,−Ri0,>u 1−α k(k−1)s n(n+1) 12 1−T n3 −n

×s 1 ni+1 ni0, oùu(1−α/(k(k−1)))estlequantiled’ordre1−α/(k(k−1)) pourlaloinormalecentrée-réduite. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Remarque Ils’agitd’uneapplicationdesinégalitésdeBonferroni.Cette procédureestpluspuissantequelaprécédente. Ilestégalementpossibled’utiliseruneapprocheséquentielle commelaprocéduredeHolm-Bonferroni(testdeDunn)oude Holm-Sidak. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application AnaloguedelaméthodedeTukey-Kramer Nousdécidonsqu’auseuilglobalαdeuxloisLi(X)etLi0(X), parmilesk(k1)comparaisonsquenousallonsfaire,sont significativementdifférentessi: Ri,−Ri0,>q(k;+∞;1−α)s n(n+1) 12 1−T n3 −n

×s 1 2 1 ni+1 ni0 , oùq(k;+∞;1−α)estlequantiled’ordre1−αpourlaloide l’étenduestudentiséepourkmoyenneset+∞degrésde liberté. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Remarque Ils’agitd’uneprocédureanalogueàcelledeTukey-Kramer danslecasparamétriqueetvalideasymptotiquement.Elleest généralementpluspuissantequelesdeuxapproches précédentes. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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1Contextedutest Conditionsd’application 2Absenced’exæquodanslesobservations Statistiquedetest Règlededécisionetconclusiondutest 3Présenced’exæquodanslesobservations 4Comparaisonsmultiples 5Application FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Application Desforestiersontréalisédesplantationsd’arbresentrois endroits. Plusieursannéesplustard,ilssouhaitentsavoirsilahauteur moyennedesarbresestidentiquedanslestroisforêts. Chacunedesforêtsconstitueunepopulationetdanschacune d’entreelles,unéchantillond’arbresesttiréausort.Puisla hauteurdechaquearbreestmesuréeenmètres.Letableau ci-aprèsdonnelesvaleursdesmesuresdehauteurainsique lesmoyennesetlesvariancescorrigéesestiméesdanschacun desgroupes. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Données Forêt1Forêt2Forêt3 23,418,922,5 Données24,421,122,9 expérimentales24,621,123,7 (enmètres)24,922,124,0 25,022,524,0 26,223,524,5 Moyennes24,75021,53323,600 Variancescorrigées0,8312,4870,568 LaFigure1correspondauxboîtesàmoustachesdelahauteur enfonctiondestroisforêts. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Représentationgraphique 123

20 22 24 26

@ @

@ FIGURE–Boîtesàmoustaches(àgauche)–Comparaisonsmultiples (àdroite) FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Statistiquedutest Noussommesenprésenced’exæquo,nousdevonsdonc utiliserlastatistiquedetestKW? nàlaplacedelastatistiquede testKWn. NouscalculonslavaleurdeKW? nsurl’échantillon: KW? n(obs)=11,51. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Règlededécisionàl’aided’unevaleurcritique Pourunseuilα=5%lavaleurcritiqued’unKhi-deuxà2 degrésdeliberté,estc0,05=5,99.CommeKW? n(obs)6c0,05, nousdécidonsderejeterl’hypothèsenulleH0,etque l’hypothèsealternativeH1estvraie.Ilyauneinfluence significative,auseuilα=5%,delaforêtsurlahauteurdes arbres.Lerisqueassociéàcettedécisionestunrisquede premièreespècequivautα=5%. Remarque LavaleurdeKWn(obs)estégaleà11,48.Nousremarquons ladifférenceapportéeparlacorrectionpourprendreencompte lesexæquo. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Règlededécisionàl’aided’unep-valeur Enutilisantunlogicieldestatistiquenouscalculonslap-valeur dutestdeKruskal-Wallis.Ilfautbienvérifierqu’elletient comptedesexæquo.Ellevautdanscas0,003. Commelap-valeurest60,05,nousdécidons,auseuil α=5%,derejeterl’hypothèsenulleH0,etquel’hypothèse alternativeH1estvraie.Ilyauneinfluencesignificative,au seuilα=5%,delaforêtsurlahauteurdesarbres.Lerisque associéàcettedécisionestunrisquedepremièreespècequi vautα=5%. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application

Compar aisons m ultiples av ec Minitab

Donnéesdésempilées,comparaisons2à2 MTB>%KrusMcc1-c3; SUBC>unstacked; SUBC>Falpha0,05. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats Kruskal-Wallis:MultipleComparisons TestdeKruskal-Wallissurthedata Rang GroupNMédianemoyenZ Forêt_1624,7514,52,81 Forêt_2621,604,1-3,04 Forêt_3623,859,90,23 Global189,5 BH=11,48DL=2P=0,003 H=11,51DL=2P=0,003 (ajustépourlesnombresdemêmegrandeur) FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats Kruskal-Wallis:AllPairwiseComparisons --- Comparisons:3 Ties:3 FamilyAlpha:0,05 BonferroniIndividualAlpha:0,017 BonferroniZ-value(2-sided):2,394 --- FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats StandardizedAbsoluteMeanRankDifferences |Rbar(i)-Rbar(j)|/Stdev Rows:Groupi=1,...,n Columns:Groupj=1,...,n 1.TableofZ-values Forêt_10,00000** Forêt_23,379610,00000* Forêt_31,487031,892580 --- FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats AdjustedforTiesintheData 1.TableofZ-values Forêt_10,00000** Forêt_23,384860,00000* Forêt_31,489341,895520 2.TableofP-values Forêt_11,00000** Forêt_20,000711,00000* Forêt_30,136400,058021 --- FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats SignConfidenceIntervalscontrolledata familyerrorrateof0,05 DesiredConfidence:90,951 Intervalledeconfiancepourletestdu signedelamédiane Intervallede Confianceconfiance NMédianeatteinteInférieurSupérieurPos. F_1624,750,781324,4025,002 0,909524,1025,36NLI 0,968823,4026,201 FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats F_2621,600,781321,1022,502 0,909520,4422,80NLI 0,968818,9023,501 F_3623,850,781322,9024,002 0,909522,7824,15NLI 0,968822,5024,501 FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats Kruskal-Wallis:Conclusions Thefollowinggroupsshowedsignificant differences(adjustedforties): GroupsZvs.CriticalvalueP-value Forêt_1vs.Forêt_23,38486>=2,3940,0007 FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Multiple Comparisons Chart Forêt_3Forêt_2Forêt_1

27 26 25 24 23 22 21 20 19 18

Données

Forêt_2

Forêt_1 Forêt_3

Forêt_3

Forêt_2 Z0-Z Normal (0,1) Distribution

Boxplots with Sign Confidence Intervals Desired Confidence: 90,951 Family Alpha: 0,05 Bonferroni Individual Alpha: 0,017

Pairwise Comparisons Comparisons: 3 |Bonferroni Z-value|: 2,394 FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Compar aisons m ultiples av ec Minitab

Donnéesdésempilées,comparaisonsavecuncontrôle MTB>%KrusMcc1c2; SUBC>Controlc3; SUBC>unstacked; SUBC>Falpha0,05. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats Kruskal-Wallis:MultipleComparisons TestdeKruskal-Wallissurthedata Rang GroupNMédianemoyenZ Forêt_1624,7514,52,81 Forêt_2621,604,1-3,04 Forêt_3623,859,90,23 Global189,5 BH=11,48DL=2P=0,003 H=11,51DL=2P=0,003 (ajustépourlesnombresdemêmegrandeur) FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats Kruskal-Wallis:ComparisonstoaControl --- Comparisons:2 Ties:3 FamilyAlpha:0,05 BonferroniIndividualAlpha:0,025 BonferroniZ-value(2-sided):2,241 --- FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats StandardizedAbsoluteMeanRankDifferences |Rbar(i)-Rbar(Control)|/Stdev Rows:Groupi=1,...,n-1 Column:ControlGroup:Forêt_3 Z-value Forêt_11,48703 Forêt_21,89258 --- FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats AdjustedforTiesintheData Z-valuevs.CriticalvalueP-value Forêt_11,48934<2,241400,1364 Forêt_21,89552<2,241400,0580 --- FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats SignConfidenceIntervalscontrolledata familyerrorrateof0,05 DesiredConfidence:88,701 Intervalledeconfiancepourletestdu signedelamédiane Intervallede Confianceconfiance NMédianeatteinteInférieurSupérieurPos. F_1624,70,781324,4025,002 0,887024,1925,25NLI 0,968823,4026,201 FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques uds

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Résultats F_2621,600,781321,1022,502 0,887020,6522,71NLI 0,968818,9023,501 F_3623,850,781322,9024,002 0,887022,8224,10NLI 0,968822,5024,501 FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

Contextedutest Absenced’exæquodanslesobservations Présenced’exæquodanslesobservations Comparaisonsmultiples Application Multiple Comparisons Chart Forêt_3Forêt_2Forêt_1

27 26 25 24 23 22 21 20 19 18

Do nnées

Forêt_2

Forêt_1 Z0-Z

Group vs. Control

N (0,1) Distribution

Boxplots with Sign Confidence Intervals Desired Confidence: 88,701 Family Alpha: 0,05 Bonferroni Individual Alpha: 0,025 Control Group: Forêt_3

Comparisons to a Control Comparisons: 2 |Bonferroni Z-value|: 2,241 FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Compar aisons m ultiples av ec Minitab

Donnéesempilées,comparaisons2à2 SupposonsquelacolonneC1contiennelefacteurexplicatifet lacolonneC2lesvaleursobservéesdelaréponse. MTB>%KrusMcc1c2; SUBC>Falpha0,05. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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Donnéesempilées,comparaisonsavecuncontrôle SupposonsquelacolonneC1contiennelefacteurexplicatifet lacolonneC2lesvaleursobservéesdelaréponse.Attention pourfairedescomparaisonsavecungroupecontrôle,les observationspourcegroupedoiventêtrenécessairementdans uneautrecolonne,iciC3. MTB>%KrusMcc1c2; SUBC>Controlc3; SUBC>Falpha0,05. FrédéricBertrand&MyriamMaumyTestsnon-paramétriques

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