Circuit fixe dans un champ magnétique variable
1 Calcul d’un flux
On peut montrer, dans le cadre de la mécanique des fluides, que le champ de vitesse pour un fluide visqueux incompressible, de coefficient de viscositéη, s’écoulant de manière stationnaire dans un cylindre de rayon R, de longueur L est de la forme :
~v =V0
1− r2 R2
~ uz
avec V0 = ∆pR2
4ηL , où ∆p représente la chute de pression entre l’entrée et la sortie de la conduite.
1.Que représenteV0? Commenter son expression. Quelle est la vitesse du fluide sur les parois ? 2. On note ρ la masse volumique du fluide. Calculer le débit massique de fluide dans la conduite en fonction de V0, R et ρ.
2 Inductance équivalente
Un ensemble de deux circuit couplés, non résistifs (R1 =R2 = 0) a son bobinage secondaire en court-circuit. Un générateur est branché aux bornes du circuit primaire. Il impose une tension variableu(t) =Umcosωt.
1. Écrire le système d’équations différentielles régissant l’évolution des intensités.
2.Éliminer de ce système l’intensitéi2(t), de manière à faire apparaître la relation entre u(t) eti1(t). Quel comportement a le circuit couplé vu depuis le générateur ?
3. Reprendre la mise en équation à l’aide de l’écriture complexe et vérifier que l’on retrouve le même résultat.
3 Couplage entre deux bobines
On dispose de deux bobines identiques (S1) et (S2) chacune d’inductance propreLet de résistance ohmique r = 8 Ω. On repère les bornes de chaque bobine par les lettres C et D. Les deux bobines sont placées à proximité l’une de l’autre. On les connecte en série sans les déplacer de manière à créer un nouveau dipôle. La connexion se fait suivant les deux possibilités suivantes :
la borneD de(S1)est reliée à la borneC de (S2)
la borneD de(S1)est reliée à la borne Dde (S2)
On alimente successivement chacun des dipôles (a) et (b) par un courant sinusoïdal de fré- quence f = 2,0kHz. La mesure du module de l’impédance donne Za= 375 Ω etZb = 225 Ω.
En déduire les valeurs de l’inductance propreLde chaque bobine et l’inductance mutuelleM des deux bobines.
Réponses : L= 12 mH ;M = 3,0 mH.
4 Dimensionnement d’un transformateur
On cherche à dimensionner le transformateur utilisé pour recharger un portable. La chaîne d’énergie, logée dans un boîtier placé sur le cordon d’alimentation du portable se compose successivement :
• de l’alimentation EDF du secteur qui délivre la tension v1(t) = V0sin(2πf0t), où f0 = 50Hz et V0 = 240 V,
• d’un transformateur, dont la sortie est v2(t) = V0,2sin(2πf0t) et dont le rapport de transformation est noté m,
• d’un redresseur, montage qui délivre la valeur absolue v3 de la tension d’entrée v2,
• d’un filtre moyenneur, dont la sortie v4 est la valeur moyenne de la tension d’entrée v3. La batterie du portable est branchée à la sortie, elle requiert une tension de charge constante v4 = 12 V.
1. Que vautV0,2 en fonction de V0?
2. Tracer le diagramme de la tensionv3(t).
3.Quelle est la nature du filtre utilisé entre v3 etv4 (passe-bas, passe-haut, passe-bande...) ? Proposer une valeur pour sa fréquence de coupure.
4. Établir l’expression de la tensionv4 en fonction de V0. 5. En déduire la valeur de m.
5 Table à induction
Le chauffage du fond métallique des réci- pients de cuisson peut être directement réali- sé au moyen de courants de Foucault induits par un champ magnétique variable.
Logé dans une table en céramique, un bo- binage, nommé l’inducteur, alimenté en cou- rant sinusoïdal génère ce champ. Le transfert d’énergie électrique s’effectue par induction mutuelle entre ce bobinage et la plaque as- similable à une spire unique fermée sur elle même, située au fond d’une casserole.
L’inducteur est un bobinage de 20 spires dont la résistance totale est R1 = 1,8.10−2 Ω et d’inductance propre L1 = 30 µH.
La plaque de résistance R2 = 8,3mΩet d’inductance propreL2 = 0,24µH, nommée l’induit est assimilable à une spire unique refermée sur elle-même.
L’inducteur est alimenté par une tension sinusoïdalev1(t)de fréquencef = 25kHz. L’ensemble plaque (induit) - inducteur se comporte comme deux circuits couplés par une mutuelle M estimée à 2 µH en valeur absolue.
1. Écrire les équation électriques relatives aux deux circuits (équations de couplage entre i1 eti2).
2. On se place en régime sinusoïdal permanent et on utilise la notation complexe. Déduire d’une des équations électriques l’expression littérale du rapport des amplitudes complexes I2
I1
. 3. En déduire l’expression littérale de l’impédance d’entrée complexe : Ze= V1
I1.
4. Montrer que l’on peut négliger R22 devant (L2ω)2 avec une erreur relative inférieure à 5%.
En déduire une expression approchée du module
I2 I1
. Faire l’application numérique.
5. Calculer numériquement la valeur de|Ze|.
6.Pour des raisons de sécurité, on se fixe comme objectif de limiter les pertes par effet Joule dans l’inducteur à 50 W. Quelle est alors la valeur efficace maximale de la tension d’alimen- tation, de l’intensité du courant dans la plaque et de la puissance de chauffe développée dans
6 Circuits couplés par mutuelle
Un circuit LC série oscille naturellement à la pulsationω0 = √1
LC. Cette pulsation est modifiée lorsqu’on approche un autre circuit LC identique au premier, mais dans une configuration telle que les deux circuits deviennent couplés par mutuelle induction.
Dans le circuit suivant, le condensateur de capacité C1 est chargé sous la tension u0 à la date t = 0 où l’on ferme l’interrupteur K. On prendra dans toute la suite C1 = C2 = C et L1 =L2 =L.
1. Que signifie, pour les lignes de champ magnétique, que les circuits soient couplés par mutuelle induction ?
2. Établir deux équations différentielles couplées sur les tensions uC1 et uC2 aux bornes des condensateurs.
3. Découpler ces équations en formant deux nouvelles équations vérifiées par la fonction somme σ =uC1 +uC2 et la fonction différence δ = uC1 −uC2. Les intégrer et en déduire les expressions des tensions uC1(t) et uC2(t) aux bornes des condensateurs.
On pourra poser ω1 = 1
pC(L+M) etω2 = 1 pC(L−M)
4.Si M L, comparer ω1 et ω2. Quelle est alors, sans effectuer de calcul, l’allure du graphe deuC1(t)? Comment s’appelle le phénomène observé ?
5. Dans le cas où M L, montrer que ω1 et ω2 s’écrivent : ω1 =ω0
1− M nL
et ω2 =ω0
1 + M nL
où n est un entier à préciser. En déduire l’expression de uC1(t) sous la forme d’un produit de cosinus, puis une méthode qui permette de mesurer expérimentalement le rapport M/Là l’oscilloscope, avec les mesures de périodes des phénomènes.
Données :
cosp+ cosq = 2 cosp+q
2 cosp−q 2 Développement limité à l’ordre 1 au voisinage de 0 : 1
(1 +x)α = 1−αx+o(x)
Table à induction (corrigé) 1. On a le schéma électrique :
avec les fem induites : e1 =−dΦ1
dt =−d(L1i1+M i2)
dt =−L1
di1
dt −Mdi2 dt e2 =−dΦ2
dt =−d(L2i2+M i1)
dt =−L2di2
dt −Mdi1 dt D’où, en appliquant la loi des mailles :
v1 =−e1+R1i1 =L1di1
dt +Mdi2
dt +R1i1 0 =−e2+R2i2 =L2di2
dt +Mdi1
dt +R2i2 2. En utilisant la notation complexe :
v1 =jL1ω i1+jM ω i2+R1i1 0 = jL2ω i2 +jM ω i1+R2i2 On pose v1 =V1ejωt,i1 =I1ejωt, i2 =I21ejωt.
V1 =jL1ω I1+jM ω I2+R1I1 (1) 0 = jL2ω I2+jM ω I1+R2I2 (2)
D’après (2) :I2 =− jM ω
R2+jL2ωI1 d’où I2
I1 =− jM ω R2+jL2ω . 3. En reportant l’expression I2 dans (1) : V1 =
(R1+jL1ω)− (jM ω)2 R2+jL2ω
I1 =ZeI1
Ze =R1+jL1ω+ M2ω2 R2+jL2ω 4. R2 = 8,3.10−3 Ω
L2ω = 2π×25.103×0,24.10−6 = 3,8.10−2 Ω.
R2 L2ω
2
=
8,3.10−3
2π×25.103×0,24.10−6 2
=
8,3 50π×0,24
2
= (0,22)2 = 4,8.10−2 <5.10−2 On peut donc négliger R22 devant (L2ω)2 avec une erreur relative inférieure à 5%.
5. En reportant l’expression I2 dans (1) :
Ze1 =R1+jL1ω+ M2ω2 R2+jL2ω
=R1+jL1ω+ M2ω2(R2−jL2ω) R22+L22ω2
=
R1+ M2ω2R2 R22+L22ω2
| {z }
Rapp
+jω
L1− M2ω2L2 R22+L22ω2
| {z }
Lapp
En tenant compte de l’approximation faite à la question 4. : R22 L22ω2 : Ze1 =R1+ M2ω2R2
L22ω2 +jω
L1− M2ω2L2
L22ω2
=
R1+R2M2 L22
+jω
L1− M2 L2
|Ze|= s
R1+R2M2 L22
2
+
L1− M2 L2
2
ω2
Application numérique : |Ze|= 2,2 Ω
6. La puissance moyenne dissipée par effet Joule dans l’inducteur vaut : PJ =< R1i21 >=R1I12
eff
On souhaite PJ <PJmax = 50 W d’où I1eff <
qPJmax R1 =
q 50
1.8.10−2 = 53 A.
On en déduit :
V1eff,max =|Ze|I1eff,max = 114 V I2eff,max = 8,3I1eff,max = 4,4.102 A
On évalue alors la puissance de chauffe dans la plaque :Pchauffe=R2I22
eff,max = 1,6.103 W Calculons le temps mis pour chauffer 1 L d’eau (soit 1 kg) de 20◦C à70◦C.
mceau∆T =Pchauffe∆t
∆t= mceau∆T
Pchauffe = 1×4.18.103×50
1.6.103 = 1,3.102 s ce qui fait environ 2 minutes.
Cette valeur paraît raisonnable.
Circuits couplés par mutuelle (corrigé)
1. Les circuits sont couplés par mutuelle induction si les lignes de champ magnétique créées par C1 traversent C2 et réciproquement.
2. On a le schéma équivalent :
i1 =C1duC1
dt i2 =C2duC2 dt
uC1 =e1 =−L1di1
dt −Mdi2
dt =−L1C1d2uC1
dt2 −M C2d2uC2 dt2 uC2 =e2 =−L2
di2
dt −Mdi1
dt =−L2C2
d2uC2
dt2 −M C1
d2uC1 dt2 L1 =L2 =L C1 =C2 =C
uC1 +LCd2uC1
dt2 =−M Cd2uC2 dt2 (1) uC2 +LCd2uC2
dt2 =−M Cd2uC1
dt2 (2)
3. On pose σ=uC1 +uC2. On calcule(1) + (2) : σ+LCd2σ
dt2 =−M Cd2σ dt2 C(L+M)d2σ
dt2 +σ= 0 d2σ
dt2 + 1
C(L+M)σ = 0 d2σ
dt2 +ω21σ = 0 avec ω1 = 1 pC(L+M) On pose δ=uC1 −uC2. On calcule(1)−(2) : δ+LCd2δ
dt2 =M Cd2δ dt2 C(L−M)d2δ
dt2 +δ= 0
σ(t) =Acosω1t+Bsinω1t D’après les conditions initiales : σ(0) =uC1(0) +uC2(0) =u0 =A
˙
σ(0) = 0 =Bω1 d’où σ(t) =u0cosω1t De même :
δ(t) =λcosω2t+µsinω2t
δ(0) =uC1(0)−uC2(0) =u0 =λ
δ(0) = 0 =˙ µω2 d’où δ(t) =u0cosω2t
d’où
uC1(t) = σ(t) +δ(t) 2 = u0
2(cosω1t+ cosω2t) uC2(t) = σ(t)−δ(t)
2 = u0
2 (cosω1t−cosω2t) 4. Pour M Lon a ω1 'ω2 ' √1
LC : les deux pulsations sont proches (avec ω1 < ω2). L’addi- tion de deux signaux sinusoïdaux de pulsations proches produit un phénomène de battements.
5. Pour ML 1, on effectue un développement limité à l’ordre 1 : ω1 =ω0
1 + M
L −1
2
=ω0
1− M 2L
ω2 =ω0
1−M
L −12
=ω0
1 + M
2L
On peut alors réexprimer les deux tensions :
uC1(t) =u0cos(ω1+ω2)t
2 cos(ω1−ω2)t 2 uC2(t) =−u0sin(ω1+ω2)t
2 + sin(ω1−ω2)t 2 ( uC1(t) = u0cosω0tcos2LMω0t
uC2(t) = u0sinω0tsin2LMω0t
t
−u0 u0
uC1(t)
Tb
t uC2(t)
La mesure de Tb peut permettre de déterminer le rapport ML.Tb représente une demi-période de la courbe enveloppe ±u0sin2LMω0t (en pointillés rouge (pour +) et bleu (pour -).
Tb = 1 2
2π
M ω0
2L
= L MT0
Remarque : pour le tracé des courbes, on peut vérifier que l’on a pris ML = 10−1.
