Classes de Premières S1-S2 Année scolaire 2010-2011
Devoir de mathématiques n˚1
L’élève doit rendre un devoir propre, clair et lisible.
La présentation est importante.
Exercice 1
Soit la parabole P d’équation y = 2x2+bx+ 3 et la droite D déquation y =x+ 1
a) Pour quelle(s) valeur(s) de b, P et D ont-elles un seul point commun ? b) Pour quelle(s) valeur(s) deb, P et D n’ont-elles aucun point en commun ?
Exercice 2
Soit les fonctions f et g définies sur <par : f(x) =x2−2x−3 et g(x) =−1
2x2−2x+ 3
1) Montrer que la courbe Cf représentative de f est l’image de la parabole P d’équation y=x2 par une translation dont on donnera le vecteur.
2)Montrer que la courbe Γ représentative de g est l’image de la parabole P’
d’équation y=−1
2x2 par une translation dont on donnera le vecteur.
3) Tracer les courbes Cf et Γ dans un repère (unité graphique :2cm).
4) Déterminer algébriquement les coordonnées des points d’intersection de Cf et Γ, puis vérifier les résultats graphiquement.
5) Déterminer algébriquement le signe de f(x)−g(x).
Donner une interprétation graphique de ce signe.
Exercice 3
ABCD est un rectangle tel que AB = 1 et AD = 2, M est un point variable sur [DC] : on pose DM =x. Les droites (AM) et (DB) se coupent en I.
On désigne par S(x) la somme des aires des triangles ABI et DIM.
1) Calculer S(0) et S(1).
2) Démontrer que la hauteur IK du triangle ABI est égale à 2 x+ 1. 3) En déduire que : S(x) = x2+ 1
x+ 1. 4) Pour quelle valeur de x, on a S(x) = 4
3?
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Exercice 4
ABC est un triangle quelconque.
1) Placer les points D, E et F tels que : −−→ AD= 3
2
−→AB+3 2
−→AC; −−→ BE =−1
2
−−→ CB et F le milieu de [AC].
2) Exprimer en justifiant, le vecteur −→
AB en fonction de −→
F E.
3)a) Exprimer le vecteur −→
AE en fonction de −→
AB et −→
AC b) En déduire un réel k tel que −−→
AD=k−→
AE. c) Que peut-on alors conclure ?
4)a) Placer le point M tel que : −−→
M A+ 3−−→
M B =−→ 0 . b) Placer le point G symétrique de F par rapport à C.
Montrer que −→
GA= 3 2
−→CA puis que −−→
GD = 3 2
−→AB.
c) En déduire la nature du quadrilatère AMDG.
5) Déterminer l’ensemble des points N du plan tels que : a) k−−→
N A+−−→
N Ck= 8 b) Les vecteurs −−→
N A+−−→
N C et −→
AB soient colinéaires.
c) k−−→
N Ak=k−−→
N Ck
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