Communication Num´erique

(1)

Communication Num´ erique

Modulations Num´eriques

Yoann Morel

http://xymaths.free.fr/Signal/Communication-Numerique-cours-TP.php

(2)

1 Généralités Introduction Terminologie

Chaˆıne de transmission num´erique Constellation

DSP

2 MDA(ASK)

3 MDP(PSK) MDP-2 (BPSK) MDP-4 (QPSK)

4 MAQ(QAM)

5 MDF(FSK) MDF-PD MDF-PC

(3)

Généralités

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(4)

Généralités Introduction

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(5)

Le rˆole de la modulation est de maˆıtriser le spectre du signal ´emis : adaptation au canal physique

adaptation de la bande passante maˆıtrise du d´ebit

multiplexage

3 caract´eristiques principales :

probabilit´e d’erreurPe, fonction de la technique/technologie utilis´ee et du canal de transmission

occupation spectrale

complexit´e technologique MODulation / DEModulation

(6)

La modulation consiste à modifier un ou plusieurs paramètres d’une onde porteuses(t) =Acos (wot+ϕ₀), centrée sur la bande de fréquence du canal :

son amplitudeA sa fr´equencef₀ = w₀

2π sa phase ϕ₀

−→ MDA (ASK)

−→ MDF (FSK)

−→ MDP (PSK)

(7)

Généralités Terminologie

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(8)

Généralités Terminologie

Terminologie

Le message transmis est une suite de symboles pris dans un alphabet de taille M = 2ⁿ

(symboles M-aires, ou binaires pour M = 2)

La rapidit´e de modulation, en bauds, est le nombre de changement d’´etats par seconde : R= 1

T.

Le d´ebit binaire est le nombre de bits transmis par seconde : D= 1

T_b.

Pour un alphabet M-aire, M = 2ⁿ,T =nT_b, soit D=nR.

L’efficacit´e spectrale est le ratioη = D

B bits/sec./Hz, avecB la largeur de bande,

η= 1

T Blog₂M

(9)

Généralités

Chaˆıne de transmission num´erique

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(10)

Généralités

Source Code correcteur Encodage

Codage Modulation

Canal

D´emodulation D´ecodage Code correcteur

Correction R´ecepteur

(11)

Généralités

G´ en´ eralit´ es

Apr`es codage, sig(t) est le formant du code utilis´e, le signal en bande de base est de la forme :

c(t) =X

k

c_kg(t−kT)

=X

k

c_k(t)

La modulation transforme le signalc(t)en un signal modul´em(t) : m(t) =Re

"

X

k

c_k(t)e^i(w⁰^t+ϕ⁰⁾

#

o`u la fr´equencef₀ = w₀

2π et la phase ϕ₀ caract´erisent la sinuso¨ıde porteuse.

(12)

Généralités

Avec,c_k(t) =a_k(t) +ib_k(t), on a : m(t) =X

k

a_k(t) cos(w₀t+ϕ₀) − b_k(t) sin(w₀t+ϕ₀)

= a(t)

| {z }cos(w₀t+ϕ₀) − b(t)

| {z }sin(w₀t+ϕ₀) Modulation en amplitude

de la porteuse en phase

Modulation en amplitude de la porteuse en quadrature a(t),b(t) : Trains modulants









a(t) =X

k

a_kg(t−kT) b(t) =X

k

b_kg(t−kT)

La modulation est dite monodimensionnelle si lesc_k sont r´eels (bk= 0), et bi-dimensionnelle s’ils sont complexes.

(13)

Généralités

Entr´ee M-aire

Codeur a_k

b_k

Mise en forme (Codage

en ligne) g(t)

g(t)

a(t)

⊗

b(t)

⊗

Oscillateur π

2

cos(w₀t+ϕ₀)

-sin(w₀t+ϕ₀)

⊕

^m(t)

(14)

Généralités Constellation

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(15)

Généralités Constellation

On appelle constellation, la représentation dans le plan complexe de chaque signal élémentairec_k=a_k+ib_k.

c×₁ a₁ b₁

c×₂

a₂ b₂

c×₃

a₃

b₃

d_i,j =|c_i−c_j|: pouvoir s´eparateur de deux symboles d=min

i6=j d_i,j : distance minimale Une grande distance minimale assure une meilleure immunit´e aux erreurs.

|c_i|²∼ puissance nécessaire à l’émission du symbolec_i. X|ci|² ∼puissance moyenne

Maxi |c_i|²∼puissance crˆete

(16)

Généralités DSP

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(17)

DSP d’un signal modul´ e

Rappels : e^2iπf\⁰^tx(t) = ˆx(f−f₀) x(t) =d x(b −f) Signal modul´e : m(t) =Reh

a(t)e^i(w⁰^t+ϕ⁰⁾i

= 1 2

a(t)eî(w⁰^t+ϕ⁰⁾+a(t)eî(w⁰^t+ϕ⁰⁾ d’où le spectre :

b

m(f) = 1 2ba

f −f₀ +1

2ba

−(f−f₀)

(18)

f

|ba(f)|

f

|m(fb )| 1

2 ba

−(f −f₀) 1

2 ba

f−f₀

f₀

−f₀

(19)

MDA(ASK)

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(20)

MDA(ASK)

Modulation par d´eplacement d’amplitude (MDA) Amplitude Shift Keying (ASK)

Dans ce cas, il n’y a pas de porteuse en quadrature :b_k= 0, et donc,

m(t) =X

a_kg(t−kT) cos(w₀t+ϕ₀) Modulation par tout ou rien : modulation binaire ”OOK”

(On Off Keying)

0 0 1 1 0 1 0

(21)

MDA(ASK)

ConstellationOOK :

• •

D´emodulation : m(t) =X

a_kg(t−kT) cos(w₀t+ϕ₀) donc, cos(w0t+ϕ₀)×m(t) = cos²(w0t+ϕ₀)X

a_kg(t−kT) or, cos²(w0t+ϕ₀) = 1 + 2 cos(2w0t+ϕ₀)

2 .

Donc,cos(w₀t+ϕ₀)×m(t) contient un terme à la fréquence 2f₀, que l’on éliminie simplement par filtrage, et un terme proportionnel

`a X

a_kg(t−kT) qui est porteur de l’information (en bande de base).

(22)

MDA(ASK)

Modulation

a(t) g(t)

⊗

^m(t)

Porteuse cos(w₀t+ϕ₀)

(23)

MDA(ASK)

Modulation

a(t) g(t)

⊗

^m(t)

D´emodulation m(t)

⊗

R´ecup´eration

porteuse cos(w₀t+ϕ₀) Filtrage

passe bas Bande de base : Filtre adapt´e, Echant., D´etection

. . .

(24)

MDP(PSK)

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(25)

MDP(PSK)

Modulation par d´eplacement de phase (MDP) Phase Shift Keying (PSK) m(t) =Reh

c_k(t)e^i(w⁰^t+ϕ⁰⁾i

, avecc_k(t) =a_k(t) +ib_k(t) Pour MDP,|c_k|= 1 ⇐⇒ c_k=e^iϕ^k :a_k= cos(ϕk) etb_k= sin(ϕk)

La constellation est sur un cercle.

Pour améliorer les performances, on impose de plus auxc_k d’être répartis régulièrement sur le cercle

(on maximise la distanced=min

i6=j d_i,j =min

i6=j|c_i−c_j|).

Ainsi, pour transmettreM symboles, l’ensemble des phases possibles est : 





ϕ_k= π

M +k2π

M si M >2 ϕ_k= 0 ouπ siM = 2

(26)

MDP(PSK)

Constellation MDP-4 ou QPSK,

Quadrature Phase Shift Keying

•

• •

Constellation MDP-2 ou BPSK,

Binary Phase Shift Keying

•

La transmission se fait à enveloppe constante : la même énergie est nécessaire pour transmettre chaque symbole.

(27)

MDP(PSK)

Le signal modul´e est alors : m(t) =Reh

e^iϕ^kg(t−kT)e^i(w⁰^t+ϕ⁰⁾i

=Reh

g(t−kT)e^i(w⁰^t+ϕ⁰^+ϕ^k⁾i

Ainsi, si le formantg(t) est un cr´eneau :

A

m(t) =Reh

A e^i(w⁰^t+ϕ⁰^+ϕ^k⁾i

=A cos(w₀t+ϕ₀+ϕ_k)

=A cos(w0t+ϕ₀) cos(ϕk)−Asin(w0t+ϕ₀) sin(ϕk) La porteuse en phase est modul´ee par cos(ϕk)

La porteuse en quadrature est modul´ee par sin(ϕ_k)

(28)

MDP(PSK)

La transmission se fait à enveloppe constante : la même énergie est nécessaire pour transmettre chaque symbole.

0 0 1 1 0 1 0

MDP-2 (BPSK)

(29)

MDP(PSK) MDP-2(BPSK)

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(30)

Modulation MDP-2(BPSK)

Train binaire Codeur NRZ

a_k(t)

= cos(ϕ_k)g(t-kT)

⊗

m(t)

(31)

D´emodulation MDP-2

Signal modul´e : m(t) =Acos(w₀t+ϕ₀+ϕ_k) donc, apr`es multiplication par la porteuse,

m(t) cos(w₀t+ϕ₀) =Acos(w₀t+ϕ₀+ϕ_k) cos(w₀t+ϕ₀)

= A

2 [cos(2w₀t+ 2ϕ₀) + cos(ϕk)]

Apr`es filtrage, on ´eliminecos(2w₀t+ 2ϕ₀), et alors, il reste A

2 cos(ϕ_k) : le signal en bande de base. . .

(32)

MDP(PSK) MDP-4(QPSK)

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(33)

ϕ_k= π 4 +kπ

4 c_k=e^iϕ^k =a_k+ib_k

•

• •

a_k b_k a_k√

2 b_k√ 2 11 ^√₂² ^√₂² 1 1 10 ^√₂² −^√2² 1 −1 01 −^√₂² ^√₂² −1 1 00 −^√₂² −^√₂² −1 −1

(34)

0 0 1 1 0 1

MDP-4 (QPSK)

(35)

Modulation MDP-4

Train binaire

1^er bit

2^`^eme bit a_k

b_k

NRZ

a(t)

⊗

b(t)

⊗

Oscillateur π

2

cos(w0t+ϕ₀)

-sin(w0t+ϕ₀)

⊕

^m(t)

(36)

D´emodulation MDP-4

Signal modul´e : m(t) =Acos(w0t+ϕ₀+ϕ_k) donc, apr`es multiplication par la porteuse en phase,

m(t) cos(w0t+ϕ₀) =Acos(w0t+ϕ₀+ϕ_k) cos(w0t+ϕ₀)

= A 2 h

cos(2w0t+ 2ϕ0) + cos(ϕk)i Après filtrage, on éliminecos(2w₀t+ 2ϕ₀), et il restecos(ϕ_k) =a_k. et, après multiplication par la porteuse en quadrature,

m(t) sin(w₀t+ϕ₀) =Asin(w₀t+ϕ₀+ϕ_k) cos(w₀t+ϕ₀)

= A 2

hsin(2w₀t+ 2ϕ₀) + sin(ϕ_k)i

Apr`es filtrage, on ´eliminesin(2w₀t+ 2ϕ₀), et il restesin(ϕ_k) =b_k.

(37)

D´emodulation MDP-4 : essentiellement deux d´emodulateurs MDP-2. . .

m(t)

⊗

π 2

cos(w₀t+ϕ₀)

sin(w₀t+ϕ₀)

Filtre Passe-bas

a_k

b_k

(38)

MAQ(QAM)

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(39)

MAQ(QAM)

La constellation de la MDA est une droite, l’énergie utilisée n’est pas répartie efficacement lorsqueM est grand.

Dans la MDP, les constellations sont des cercles, et la distance minimale (doncP_e) n’est pas optimale pour une puissance moyenne donn´ee.

Un choix plus naturel est une constellation pour laquelle les points sont uniform´ements r´epartis dans le plan.

• • • •

• • • • • • • •

(40)

MAQ(QAM)

La modulation envisagée est donc bidimensionnelle, et module les deux porteuses en phase et en quadrature, d’où sa désignation de Modulation d’Amplitude sur deux porteuses en Quadrature (MAQ) (QAM - Quadrature Amplitude Modulation).

Le signal modulé s’écrit de manière générale :

m(t) =a(t) cos(w₀t+ϕ₀)−b(t) sin(w₀t+ϕ₀) o`u,a(t) =X

k

a_kg(t−kT) et b(t) =X

k

b_kg(t−kT).

Les symbolesa_k et b_k prennent leurs valeurs dans deux alphabets à M éléments, donnant ainsi au total M² états.

En g´en´eral, les alphabets sont identiques etM = 2ⁿ et donc,E = 2²ⁿ.

(41)

MAQ(QAM)

G´en´eralement, les symbolesa_k et b_k prennent leurs valeurs dans l’alphabet{±d;±3d;±5d;. . .}.

MAQ-16

• • • •

MAQ-64

• • • • • • • •

(42)

MAQ(QAM)

On peut aussi réécrire les symboles suivant : c_k=A_keîϕ^k avecA_k=|c_k|=

q

a²_k+b²_k et ϕ_k=arg(ck) alors,

m(t) =a_k cos(w₀t+ϕ₀)−b_k sin(w₀t+ϕ₀) =Reh

A_ke^iϕ^ke^i(w⁰^t+ϕ⁰⁾i

soit aussi,

m(t) =Reh

A_ke^i(w⁰^t+ϕ⁰^+ϕ^k⁾i

=A_kcos(w0t+ϕ₀+ϕ_k) Cette expression permet considérer la MAQ comme une généralisation de MDP et MDA, et justifie la désignation de MDAP (Modulation par Déplacement d’Amplitude et de Phase) aussi attribuée à la MAQ.

(43)

MAQ(QAM)

Modulation MDP-4

Train binaire

Aiguillage a_k

b_k

NRZ

a(t)

⊗

b(t)

⊗

Oscillateur π

2

cos(w0t+ϕ₀)

-sin(w0t+ϕ₀)

⊕

^m(t)

(44)

MAQ(QAM)

Efficacité spectrale : Pour une même rapidité de modulation, le débit binaire de la MAQ-M est multiplié parlog₂Met donc, l’efficacité spectraleη = D

B est aussi multipliée parlog₂M. On cherche donc naturellement à utiliser MAQ avec unM élevé, néanmoins au prix d’une complexité de modulation/démodulation et d’une probabilité d’erreur accrue.

(45)

MDF(FSK)

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(46)

MDF(FSK)

Modulation par d´eplacement de fr´equence (MDF) Frequency Shift Keying (FSK)

Le signal est modul´e `a enveloppe constante : m(t) =Reh

e^iφ(t)e^i(w⁰^t+ϕ⁰⁾i

= cos(w₀t+φ(t) +ϕ₀) La fr´equence instantann´ee est :

f(t) = 1 2π

d w₀t+φ(t) +ϕ₀ dt

= f₀

| {z } fr´equence centrale

+ 1

2π dφ

| {z }dt D´eviation

(47)

MDF(FSK) MDF-PD

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(48)

MDF(FSK) MDF-PD

MDF `a phase discontinue

Soitδ_f l’écart de fréquence instantanée entre l’émission de deux symboles voisins,a_k le symbole émis etg(t) l’impulsion

rectangulaire, alors : 1 2π

dφ dt = δ_f

2 X

k

a_kg(t−kT) et donc, en int´egrant dans l’intervalle[kT; (k+ 1)T[,

φ(t) =πδ_fa_k(t−kT) +θ_k avec la contante d’int´egrationθ_k=φ(kT).

(49)

MDF(FSK) MDF-PD

La fréquence varie donc linéairement entre[kT; (k+ 1)T[, et l’expression finale du signal modulé devient :

m(t) = cos

2π

f₀+δ_f 2 a_k

t+ϕ₀

La modulation se fait donc en utilisant plusieurs oscillateurs de fr´equences diff´erentes deδ_f.

Malheureusement, la phase du signal modul´e n’est pas continue, ce qui ne permet pas de garantir un spectre ´etroit.

(50)

MDF(FSK) MDF-PD

MDF binaire `a phase discontinue

0 1 0 0 1

(51)

MDF(FSK) MDF-PC

DSP

2 MDA(ASK)

4 MAQ(QAM)

(52)

MDF(FSK) MDF-PC

MDF `a phase discontinue

On peut aussi s’efforcer d’assurer la continuité de la phase du signal modulé afin de limiter au mieux la largeur de bande utilisée.

On a en effet, avec l’expression précédente du signal modulé, sur [(k−1)T;kT[, m(kT) = cos

w₀kT +πδ_fa_k₋₁T+θ_k₋₁+ϕ₀ sur [kT; (k+ 1)T[, m(kT) = cos

w₀kT +θ_k+ϕ₀ Pour supprimer la discontinuit´e dans la phase, il suffit donc d’imposer la condition :

θ_k=θ_k₋₁+πδ_fa_k₋₁T

Cette condition est réalisée en utlisant par exemple un oscillateur unique, dont on peut moduler la fréquence.

(53)

MDF(FSK) MDF-PC

MDF binaire `a phase continue

0 1 0 0 1

(54)

MDF(FSK) MDF-PC

Les performances de MDF, contrairement à MDA et MDP s’améliorent lorsqueM augmente ; néanmoins, au prix d’une occupation spectrale plus large.

MDF `a phase continue : r´ealisation simple

large bande passante n´ecessaire

MDF à phase discontinue : réalisation plus complexe bande passante plus étroite Exemples d’utilisation :

MDF discontinue dans les communications numériques sur voies téléphoniques (MODEM 56k, . . .)

Norme GSM (Groupe Sp´ecial Mobile) utlise une MDF

continue, avec un formant g(t)gaussien ֒→ GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying)