Exercices sur l’intégration

Exercices sur l’intégration

I

On souhaite calculer l’intégrale suivante :I= Zπ

0 tcos(t) dt. On pose f :t7→tcos(t), définie surR.

1. Démontrer que pour toutt∈R,f(t)= −2sin(t)−f^′′(t).

2. En déduire la valeur deI II

On souhaite calculer l’intégrale suivante :I= Z1

−5xe^xdx.

On pose f :x7→xe^x, définie surR.

1. Pour tout réelx, calculerf^′(x) et l’exprimer en fonction def(x).

2. En déduire la valeur deI III

On considère les deux intégrales :I= Zπ

0 cos²(x) dxetJ= Zπ

0 sin²(x) dx 1. CalculerI+JetI−J.

2. En déduire les valeurs deIetJ. IV

Soit l’intégraleI= Z₁

0

1 1+u² du.

1. Est-il possible, avec vos connaissances de Terminale, de calculer une primitive de la fonction f :u7→ 1

1+u²?

2. Démontrer que, pour tout réeluÊ0, 1−u²É 1 1+u²É1.

3. En déduire un encadrement deI

4. À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de 4I. Pouvez-vous en déduire une conjecture sur la valeur deI?

V

Soitf =x7→

Zx

0 e^−t2dtune fonction.

1. Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie?

2. Expliquer pourquoiF (a) est dérivable surR⁺ (b) croissante surR⁺. 3. SoitH:x7→

Z2x x

e^−t2dt. (a)

Démontrer queH(x)=F(2x)−F(x).

4. En déduire queHest dérivable surR⁺puis démontrer queH^′(x)=e^−4x2³

2−e^3x2´ . 5. En déduire les variations deH

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VI Méthode des rectangles

On souhaite déterminer une valeur approchée de Z3

0

p 1

x²+1dx.

1. Démontrer que la fonction à intégrer est décroissante surI=[0;3].

2. Pourn∈N^∗, on découpeIennintervalles de même amplitude, que l’on noteIk, pourk=0,... ,n−1 et sur chaque intervalle, on construit le rectangle « inférieur ».

(a) Faire un schéma.

(b) Quelle est l’amplitude des intervallesI_k?

(c) On noteI_k=[x_k;x_k+1]. Pour toutk=0,... ,n,exprimerx_ken fonction deketn. (d) Pour toutk=0,... ,n−1, quelle est l’aire du rectangle construit sur l’intervalleI_k?

(e) Compléter l’algorithme permettant de calculer la somme des aires des rectangles inférieurs : Algorithme

1. Liste des variables utilisées 2. k,nentiers

3. Sinf : réel 4. Entrée 5. Saisirn 6; Traitement

7. Donner à Sin la valeur 0 8. Pour k variant de . . .à . . .faire 9. Donner à Sinf la valeur . . . 10. FinPour

11. Sortie 12. Afficher Sinf

13. Fin de l’algortithme

3. Reprendre la question 2) avec les rectangles supérieurs et compléter l’algorithme pour qu’il affiche aussi la valeur deSsup.

4. Modifier cet algorithme pour qu’il s’arrête lorsque la différence entreSsupetSinfdevient inférieure à 10⁻². On fera aussi afficher la valeur dencorrespondant à la subdivision deIpermettant d’obtenir cette précision.

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