D.M. DE MATHEMATIQUES (1)

(1)

D.M. DE MATHEMATIQUES (1)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 3

I- Rappels :

Soit l'expression a x²b xcet=b²−4 acle discriminant de cette expression.

Théorème 1 : L'équation a x²b xc=0admet : Deux solutions réelles ^x₁=−b−



^

2 a ; x₂=−b



^

2 a si0. Une unique solution réelle ^x0=−b

2 a si=0. Aucune solution réelle si0.

Théorème 2 : Le signe de l'expression a x²b xcest donné par : Du signe de a sur ℝsi0.

Du signe de a surℝ−{x₀}et nulle en^x0si^=0.

Du signe de a à l'extérieur et du signe de -a à l'intérieur des racines ^x1 et x₂ si0.

Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Le nombre dérivé de f en a est, si existe ,le nombre f 'a=lim

xa

fx−fa x−a =lim

h0

fah−fa

h . Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente en Aa , faà la courbe représentative de f. L'équation de la tangente est alors

T : y=faf 'ax−a. Théorème 3 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère. Soit a et b deux réels. Si pour tout h tel que a+h et a-h sont dans I on a:

1. . fahfa−h=2 balors A(a , b) est un centre de symétrie de C.

2. fah−fa−h=0alors la droite d'équation ^x=aest un axe de symétrie.

II-Exercice de base:

1. Donner les tableaux de signe des expressions suivantes:

a.2 x²−3 x−5 ; b.−3 x²4 x2 ; c.−2 x²3 x−4 ; d.16 x²−8 3 x1

9 . 2. Résoudre les inéquations suivantes :

a. 2 x−3

−2 x13 x1

x−4 ; b. 2 x1− 3

x2 4 x²3 x2. III-Problème :

(2)

Soit f une fonction définie pour tout x différent de 1 par : fx=a x²b xc x−1 . On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

1. Déterminer les réels a, b et c sachant que:

-La courbe C passe par le point de coordonnées−1 ;−6et2 ;0;

-La tangente à la courbe C au point d'abscisse 0 est parallèle à cette droite d'équation ^y=−x. 2. Combien la courbe C possède-t-elle de tangentes parallèles à cette droite d'équation y=−x?

Donner leurs équations.

3. Justifier tous les renseignements fournis dans le tableau de variation de f.

4. a. Démontrer que fxpeut s'écrire ^x−4_x−1² .

b. Démontrer que la courbe admet deux droites asymptotes, dont une,oblique que l'on appellera D.

c. Étudier, selon les valeurs de x, la position relative C et D.

5. Démontrer que la courbe C admet le point I1;−3comme centre de symétrie.