Sur une conduite hydraulique déformable

Mini­projet d'analyse numérique du cours MAP 431

Sur une conduite hydraulique déformable

Proposée par I. Fasiello (d'après une idée de Formaggia et al. [2]) [[email protected]]

I. Présentation du modèle

Le   flux   d'un   fluide   incompressible   de   densité  ρ  dans   une   conduite  hydraulique   avec   parois   élastiques   est   un   intéressant   phénomène   de  propagation. 

On considère une conduite cylindrique de section au repos^A0

( )

^x , ou x est la  coordonnée le long de l'axe de la conduite.

A cause de la déformabilité de la conduite, la section se déforme selon les  conditions du flux et donc son aire  ^A

( )

^x,   varie à la fois en temps et en ^t espace.

Cette conduite est parcourue par un fluide avec un débit volumique^Q

( )

^x, . ^t On suppose que la vitesse  u  est constante dans toute section axiale, donc

( )

^{x t uA}

( )

^{x t}

Q , = , .

La différence entre la pression du fluide à l'intérieur de la conduite (sans  tenir compte de la composante hydrostatique due à l'action de la force de  gravité)   et   la   pression   externe   est  ^P

( )

^x, ,   qui   est   responsable   de   la ^t déformation de la conduite, c.­à­d. du fait que A≠ A0en présence du fluide. 

On suppose en outre que le fluide est peu visqueux, donc les effets de  viscosité   sont   présents   seulement   près   des   parois   de   la   conduite   et   ils  peuvent   être   formalisés   comme   un   terme   de   résistance   au   mouvement  (résistance de frottement). 

On suppose que les parois de la conduite hydraulique sont élastiques et que  les   déformations   sont   petites.   La   loi   de   Poisson   pour   les   tuyaux   sous  pression conduit à la relation suivante entre P et le diamètre d du tuyau:

d P d Esd− =

0

0 ,

où E est le module de Young du matériau dont la conduite est construite, et  s est son épaisseur. 

II. Formulation du modèle mathématique

Question 1 (facultative). Supposer que l'on puisse linéariser le problème  dans un voisinage de A= A0et ^u=q, où q est la vitesse moyenne du fluide  dans la conduite. Formuler un système d'équations différentielles des seules  variables A et Q.

Remarque. P représente, au terme soustractif près de la pression externe Pe 

(une valeur constante, souvent considéré nulle), la pression dans la conduite  sans le terme hydrostatique, donc la valeur réelle de la pression dans la  conduite estP_c =P_e+ρgH, où  g  est l'accélération de gravité et ^{H =H}

( )

^x   est la position le long de la conduite.

II. Analyse mathématique

Les équations différentielles qui régissent le mouvement du fluide dans la  conduite sous les hypothèses précédentes sont:

0

∂ = +∂

∂

∂ x Q t A

2 0

=

∂ + + ∂





∂ + ∂

∂

∂ K Q

x P A A Q x t Q

ρ r

où Kr est le coefficient de frottement qui représente les effets visqueux (que  l'on assume constant) et ρ est la densité du fluide (constante aussi).

Le problème que l'on veut examiner est caractéristique des conduites forcées  quand on ferme la valve aval. L'inertie de la masse fluide dans la conduite  provoque une augmentation de pression qui se transmet à partir de la valve  aval et se propage le long de la conduite jusqu'à l'extrémité amont, où elle  est en partie réfléchie sous forme d'onde de dépression qui se propage vers 

l'aval pour être à nouveau réfléchie, etc. En réalité, même le flux Q subit des  oscillations. 

Pour l'analyse demandée, on peut considérer P comme inconnue et ignorer  le terme hydrostatique, qui pourra être ajouté ensuite, si nécessaire. 

Question 2. Ecrire le système dans la forme quasi­linéaire suivante:

b w w

w + =

∂ + ∂

∂

∂ H K

x

t ,

où w est le vecteur des inconnues 

[

^A,Q

]

^T, H, K sont deux matrices de R^2×2  de coefficients et b est un terme de forçace. 

Remarque.  Dans   le   cas   de   conduites   hydrauliques,   l'erreur   commise  approximant  u  avec  q  est petite par rapport aux autres termes, donc on  suppose que cette approximation est acceptable pour linéariser le terme  d'inertie. 

Question 3. Caractériser ce problème et indiquer des conditions de bord  appropriées. En particulier:

(3.1)  Spécifier   s'il   s'agit   d'un   problème   elliptique,   parabolique   ou  hyperbolique.

(3.2)  Calculer   les   valeurs   propres   de   la   matrice   H   et   en   déduire   les  conditions de bord appropriées.

Question 4. Diagonaliser le problème dans le cas K_r =0 et b=0.

Remarque.   Comme   on   connaît   les   vecteurs   propres   à   une   constante  multiplicative près, on impose que  l₁ = l₂ =1, où l1 et l2 sont les vecteurs  propres à gauche de H:   T i i

i l

l H=λ . Les conditions initiales seront alors 

données par  



 



= 

0 0 0

, Q

w_i l^T_i A  (i=1 ,2), qui sont les variables caractéristiques 

du problème.

Question 5. Etudier la stabilité du système sous des conditions au bord non  réfléchissantes et b = 0. Introduire la norme  ( ) ⁼

∑

( )

i i L L

L

L2_0, m ²2_0,

M  pour 

une notation plus compacte et donner les conditions sur les données initiales  et les conditions au bord sous lesquelles on peut vérifier la stabilité. On  pourra supposer les variables régulières. 

III. Approximation numérique

Question 6. Utiliser le schéma de Lax­Wendroff avec un maillage de  N  nœuds et un pas constant h sur l'intervalle [0, L], où L est la longueur de la  conduite.

Question 7. Indiquer la condition CFL pour le schéma construit dans le cas  où les valeurs propres sontλ₁ >0et λ₂ <0.

IV. Simulation numérique

Question   8.   (Implémentation   SCILAB)   Résoudre   le   problème   d'une  conduite  hydraulique  de  100m  avec  des   propriétés  élastiques  telles  que 

s m 2 =30

= ρ

c Es . 

Quand la conduite est en régime normale, elle a un débit  Q=8m³ s, la  vitesse moyenne du fluide est q=8m set la section moyenne est de 1m². Considérer deux cas:

1. la fermeture de l'extrémité aval est lente (10s);

2. la fermeture de l'extrémité aval est rapide (0.5s), en cas d'urgence.

Supposer que le débit de sortie Qs ait une variation linéaire en temps. 

Remarque. On veut calculer P, c.­à­d. la différence par rapport à la pression  en  régime  normal  Pr,   donc  il  faut  d'abord   estimer  Pr  (toujours  sans  la  composante hydrostatique). La valeur de P pourra alors être approximée par 

(

0

)

2

* c A A

P = −   (pour un calcul approximé de  P, on pourrait linéariser la  relation initiale issue de la loi de Poisson). Supposer que le coefficient de  frottement soit K_r =0.1s⁻¹et que dans la section amont il y ait un réservoir  qui maintient P nul. 

Références

[1] G.   Alllaire,  Analyse   numérique   et   optimisation,   Publications  Ecole Polytechnique, 2005

[2] L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani, Applicazioni ed esercizi di  modellistica numerica per problemi differenziali, Springer, 2005