Exercices sur les réels

Exercices sur les réels

1 Résoudre dans² le système 1 1

a b

b a

  



   .

2 1°) Démontrer que, pour tout réel^x

 

^{0 ;1, on a :}



¹



¹

x x 4.

2°) En déduire que, pour tout couple



^{a b,}



^

 

^{0 ; 12, on a :min}



^a



^1b

 

^;b1a

 

^1₄^.

3 Démontrer que x 1 et y 1Þ 1xy  xy .

4 Démontrer que, pour tout réelx, on a : ^{1x3 1 x 32 1}



^{ x3}



^.

5 Soitn etp deux entiers naturels non nuls. On pose^I

 

^{1 ;n et J}



^{1 ;p}



. Voir exercice 22 . Soit

 

ai j, _{ }i j, I J

  une famille de réels.

Démontrer que^maxi I ^minj J ^{i j, min}j J



^maxi I ^{i j,}



a a

  



  

 

  .

6 À l’aide de la calculatrice, conjecturer la partie entière de^{2 n n}



¹



pour tout entier natureln.

Démontrer cette conjecture.

7 Caractérisation séquentielle d’une borne supérieure

sup A

  Û

   

majore A

Il existe une suite _n d'éléments de A telle que _n converge vers A



  

 .

8 Calculer

 

0

E

n

k

k



 (n est un entier naturel).

9 Soitx réel. Pour tout entier natureln non nul, on pose : 3

 

1

1 E

n n

k

u k kx

n 





^.

Étudier la convergence de la suite

 

un .

10 Caractériser les intervalles I de non vides et non réduits à un singleton tels que pour tout xI,^E

 

^{x I.}

11 Soitx un réel.

Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Justifier.

1°) Si x⁷ et x¹² sont rationnels, alorsx est rationnel.

2°) Si x⁹ et x¹² sont rationnels, alorsx est rationnel.

12 Résoudre dans l’équation x²



x1



²1.

13 On considère le sous-ensemble A de défini par 1

A sin ,

2 n *

n n

   

    . Démontrer que A possède une borne inférieure et une borne supérieure, et les déterminer.

14 Démontrer que, pour tout entier naturel n1, on a : 1

1 1

n n 2 n n

   n   .

En déduire la partie entière de 1 1 1 1

2 1 2 3 10000

x     ... 

 .

15 Soitn un entier naturel non nul. On considère une famille

 

^x_{i i0 ;n} de réels tels que

0 1 2

0x  x x   x_n1.

Démontrer qu’il existe deux entiers naturelsi etj distincts appartenant à



^{0 ;n}



^{tels que} xi xj ¹

 n. 16 Soitx un réel fixé.

On considère la suite

 

un définie par

0

1 E

2

n

n n

k

u n x

 k

  

   

  



^.

1°) Détermineru_n pour x.

2°) Déterminer la limite de u_n pourx réel quelconque.

17 Pour tout réel x1 simplifier x2 x 1 x2 x1.

18 Soitn un entier naturel non nul. On considère une famille

 

^a_{i i}_{ 1;n} de réels positifs ou nuls.

Démontrer que l’on a : ²

1 1

n n n

j i

i j i i

a i a

  

  

^{ .}

19 Pour tout réelx, on pose^A

 

^{E 1}

x  x2 (la fonction A est appeléefonction arrondi à l’unité).

1°) Démontrer que^A

 

^x est l’entier le plus proche dex.

Indications :Calculer d’abord^{A 1,1 ,}

 

^{A 1,5 ,}

 

A 1,9 , puis

 

^A

 

^{x pour} x



^{0,5 ;1,5}



et ^x



^{1,5 ; 2,5}



. b) Calculer ^{A 10}

 

10

x et ^{A 100}

 

100

x pour x2, 71828 ( e). Conclusion ?

20 Soita,b,c trois réels.

1°) Développer le produit



^{a b c }



^{ab bc ac}



^.

2°) Développer



^{a b c }



^{2 et}



^{a b c }



^3.

3°) Démontrer que si a b c  0, alorsa³b³c³3abc. 21 Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Résoudre dans l’équation^E

 

^{xn x.}

22 Soit

 

ai j, 1 i n, 1 j p

    une famille de réels. Voir exercice 5 . Les énoncés sont différents.

On pose ^{A1min i n}



^{1max j p}

 

^{ai j,}



^et 1max



1min

^{ }

_{i j}^,



i n

j p

B a

 

  .

Démontrer que l’on a : BA.

23 1°) Étudier les variations de la fonctionf :x lnx x .

2°) Soita etb deux entiers naturels non nuls tels queab. Comparer ^ab et ^ba. 3°) Soit A la partie de définie par^A



^min



^ab;ba



^{,a*,b*}



^.

Démontrer que A admet un maximum que l’on déterminera.

24 Soit x₁, x₂, …, x n réels de l’intervalle [0, 1]._n

Démontrer que

 

1 1

min , 1 1

2

n n

i i n

i i

x x

 

 

  

 



 

^{ .}

25 On pose

^A

^



^{m n,}



^{m n,}



^2



^.

Le but de l’exercice est de démontrer que l’ensemble

A

est dense dans.

1°) Soit un réel strictement positif.

Démontrer qu’il existe un réela

A

tel que 0  a .

Indication : On pourra considérer la suite

 

un définie paru_n n 1 n. 2°) Soitx ety deux réels tels que 0 x y. On pose y–x.

Déduire de la question 1°) l’existence d’un réela'

A

^{tel que x a' y.}

3°) Conclure.

26 1°) Écrire en langage naturel un algorithme utilisant une boucle « Tantque » qui permet de saisir un réelx positif quelconque et qui donne en sortie le plus petit entier relatif supérieur ou égal àx sans s’occuper de la longueur de l’algorithme. Faire l’organigramme correspondant.

2°) Pour tout réelx, on note ^{f x}

 

le plus petit entier relatif supérieur ou égal àx.

Exprimer ^{f x}

 

en fonction dex en utilisant la partie entière.

27 Partie 1

On se propose de résoudre dans³ l’équation x! y! z!. 1°) Démontrer quex ety sont strictement inférieurs àz.

2°) On suppose que xy.

Démontrer que z!2 !x. En déduire la (les) valeur(s) possible(s) de !

! z x . En déduirex ett.

Conclure.

Partie 2

On se propose de résoudre dans⁴ l’équation x!  y! z! t!. 1°) Démontrer quex,y,z sont strictement inférieurs àt.

2°) On suppose que x y z.

Démontrer que !t3 !x. En déduire que !

! 3 t x  . Démontrer qu’il est impossible que x2. En déduirex ett. Conclure.

28 On pose ^I

 

^{0 ;1. Soit}f une fonction croissante deI dansI.

On considère les ensembles^A



^{xI f x/}

 

^x



^etB



^{xI x/ f x}

^{ } 

^.

1°) a) Démontrer que A est non vide et admet une borne supérieurec.

b) Démontrer que A est stable parf.

c) Démontrer quec est un point fixe def (c’est-à-dire ^{f c}

 

^c).

2°) Démontrer que B est non vide et admet une borne inférieured qui est un point fixe def.

On peut remplacer [0 ;1] par [a,b].

29 Dans tout l’exercice,n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1 et on pose Eⁿ.

Soit a



a1, ...,a_n



etb



b1, ...,b_n



deux éléments deE que l’on a pourra assimiler à des suites finies de réels.

On dit quea etb vérifient la condition (S) lorsque^

 

^{i j, }

 

^{1 ;n 2}



aiaj



bibj



⁰. Dans ce cas, on peut dire que les suitesa etb sont synchrones.

1°) Dans cette question, on prend n3.

Démontrer que les suites ^a



^{4, 1, 2}



^{et b}



^{1, 1, 0}



vérifient la condition (S).

2°) Justifier que la condition (S) est vérifiée dans chacun des cas suivants :

· l’une des deux suitesa oub est constante ;

· les deux élémentsa etb deE ont la même monotonie ;

·b a où est un réel positif ou nul ;

·^{b   a}



^{, , ...,}



^où est un réel quelconque.

3°) Soita etb deux éléments deE vérifiant la condition (S).

Démontrer que l’on a

1 1 1

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b

n n n

  

  

  

  



  

 ^{ .}

Indication : Considérer

  

1 1

n n

i j i j

i j

a a b b

 

 



^.

4°) Qu’obtient-on dans l’inégalité précédente lorsque l’une des suitesa oub est constante ? 5°) Quelle inégalité obtient-on lorsqueab ? Retrouver ce résultat par une autre manière.

30 Démontrer que pour tout réelx et pour tout entier natureln non nul on a :E ^E

 

nx E

 

n x

 

 

  .

Indication : Introduire, pourn entier naturel non nul fixé, la fonctionf : x^{E E}

 

^{nx E}

 

^x

n

 

 

  et démontrer

quef est périodique de période 1.

31 On considère l’ensemble ^A_m^11_n^{, ( , )m n }

 

^{* 2}

  .

Déterminer les bornes supérieure et inférieure de A.

32 On considère l’ensemble E

 

1^{n 1},n ^* n

 

    

  .

Déterminer les bornes supérieure et inférieure de E.

33 Résoudre dans

 

^{* 2} l’équationa^bb^a. Indication : Considérer la fonctionf :x lnx

x .

34 1°) Démontrer que le nombre de chiffres dans l’écriture en base dix d’un entier naturel N1 est égal à

 

E log N 1. 2°)Application

Le plus grand nombre premier connu en 1999 était2^69725931 (découvert par Hajratwala, Woltman et Kurovski).

Avec combien de chiffres s’écrit-il en base dix ? (utiliser la calculatrice.) 35 1°) Étudier les variations de la fonctionf :x lnx

x . Idem 23 . 2°) Soit A la partie de définie par^A



^min



^ab;ba



^,

^

^{a b;}

^

^

 

^{* 2}



^.

Démontrer que A un maximum que l’on déterminera.

36 1°) Étudier la fonctionf :x

2

2 1

x

x (tableau de variations complet avec les limites).

2°) On considère la fonctiong :x

2

E 2 1

x x

 

  

 . Déterminer l’expression deg suivant les valeurs dex.

Tracer la représentation graphique deg.

37 Soitn un entier naturel non nul.

On se propose de démontrer que pour tout réelx, on a :

 

1

0

E E

n

k

x k nx

n





  

 

 



^.

Pour cela, on considère la fonctionf définie sur par

   

1

0

E E

n

k

f x x k nx

n





 





   ^. 1°) Démontrer quef est périodique de période 1

n. 2°) Calculer ^{f x}

 

^{pour x 0 ;1}

n

 

  . 3°) Conclure.

38 Soitn etm deux entiers relatifs.

Démontrer que l’on a : 1

E E

2 2

n m n m

   n

   

   

    .

39 1°) Démontrer que pour tout couple



^{m n;}



d’entiers naturels non nuls on a

 

²

0 1

4 mn m n

  .

2°) On pose

 

2

   

^{* 2}

A mn , ;

m n m n

 

 

  

  

 

 .

Démontrer que A admet une borne une borne inférieure et une borne supérieure puis les déterminer.

3°) L’ensemble A admet-il un maximum ? un minimum ? 40 1°) Soita un réel supérieur ou égal à – 2.

Démontrer que sia est un nombre irrationnel, alors 2a est aussi un nombre irrationnel.

2°) Soit

 

xn la suite définie par x₀ 2 et la relation de récurrence x_n1 2x_n pour tout entier natureln.

Démontrer que tous les termes de la suite

 

xn sont irrationnels.

41 Soit ABC un triangle quelconque du plan. On pose aBC,bAC,cAB. Démontrer que l’on a : ^{a4b4c42}



^{a b2 2b c2 2c a2 2}



^.

À quelle condition y a-t-il égalité ?

Indication : Développer le produit



^{a b c}



^{a b c}



^{a b c}



^{a b c}



^.

42 Soitx ety deux réels positifs quelconques.

Démontrer que l’on a :¹ ^xy



¹^x



¹^y



. À quelle condition y a-t-il égalité ?

43 Soit une permutation de l’ensemble



1 ; 2 ; ... ;n



(n est un entier naturel supérieur ou égal à 1).

Démontrer que l’on a :

    

1

1 2

6

n

k

n n n

k k



 



 ^ . Dans quel cas y a-t-il égalité ?

44 Soit une permutation de l’ensemble



1 ; 2 ; ... ;n



(n est un entier naturel supérieur ou égal à 1)..

Démontrer que l’on a :

   

1

1 2

n

k

k k n n



 



^ . Dans quel cas y a-t-il égalité ?

45 On considère trois suites finies



a a1, 2, ...,a_n



,



b b1, 2, ...,b_n



et



c c1, 2, ...,c_n



de réels.

On suppose que l’on aa₁a₂ ... a_n0 et que pour tout entier^k



^{1, 2, ...,n}



^{, on a :}

1 1

k k

i i

i i

b c

 

 

^{ .}

Démontrer que l’on a

1 1

n n

k k k k

k k

a b a c

 



^



^.

Indication : On commencera par démontrer que le membre de gauche de l’inégalité peut s’écrire

 

1

1 1

n

k k k n n

k

B a a a B







 



^avec

1 k

k i

i

B b







^.

46 À l’aide de la calculatrice, conjecturer la partie entière de n²1 pour tout entier natureln non nul.

Démontrer cette conjecture.

47 Soita,b,c trois réels quelconques.

À l’aide de l’expression^A



^{a b}

 

^{2 bc}

 

^{2 c a}



², démontrer quea²b²c²ab bc ca  et préciser le cas d’égalité.

48 Soita,b,c trois réels tels que a b  c , b c  a , c a  b . Démontrer que l’un des réels est la somme des deux autres.

49 Soitx ety deux réels tels que pour tout entier natureln on ait^E

 

^nx ^E

 

^ny . Démontrer que xy.

50 Soitx un réel quelconque.

Exprimer ^E

 

^x en fonction de^E

 

^{x .}

1^er cas :x 2^e cas : x

51 1°) Démontrer que pour tout x^*_ on a 1 2 xx .

2°) Soitn un entier naturel non nul et



x x1, 2, ...,x_n





 

^* ⁿ. On pose

1 n

i i

U x







^et

1

1

n

i i

V x







^.

Démontrer que

1

i j

j i

i j n

x x UV n

x x



 

  _



_   . En déduire queUVn². Cas d’égalité ?

Retrouver l’inégalité par une autre manière (Cauchy-Schwarz).

52 On pose 2 2

   

^{* 2}

1 1 1

A , m n;

mn

m n

 

    

  .

Démontrer que A admet une borne inférieure et une borne supérieure puis les déterminer.

L’ensemble A admet-il un maximum ? un minimum ?

53 Pour tout entier natureln1, on pose

1

1

n n

k

S k







^.

Le but de l’exercice est de démontrer queS_n n’est jamais un entier pourn2.

Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2. On notep l’unique entier naturel supérieur ou égal à 1 tel que 2^pn2^p1.

En isolant le terme 1

2^p, justifier que 1 ₁

2 2

n p p

S N

q

  avecq entier naturel impair etN entier naturel.

Conclure.

54 Soitn un entier naturel non nul et



a a1, 2, ...,a_n



ⁿ. On note



 1, 2, ...,_n



une famille de réels égaux à 1 ou à – 1.

Démontrer que ²

1 1

n n

i i i

i i

a a n

 

 



^



^.

55 Soitx un réel tel que

2 1

x

x  soit irrationnel.

Peut-on en déduire quex est irrationnel ?

56 Comparer^E



^{n n1}



^etE



^4n2



^{pour n.}

57 Soitx ety deux rationnels positifs ou nuls tels que x et y soient des irrationnels.

1°) Démontrer que x y est un nombre irrationnel.

2°) On suppose quex etysont distincts. Démontrer que x y est un nombre irrationnel.

58 Soit A une partie de majorée et on note Msup A. On suppose que MA.

Démontrer que, pour tout  0, l’intervalle



^M ^{, M}



contient une infinité d’éléments de A.

59 Soita etb deux réels tels queab.

Déterminer

 

^{a b,  } ; en déduire^card

  

^{a b,  }



^.

60 1°) a) Justifier que pour tout réelx, on a



1



¹

x x 4. b) Soita,b,c trois réels positifs ou nuls.

Démontrer que l’un au moins des nombres suivants est inférieur à 1 4 :



¹



a b ^b



¹^c



^c



¹^a



2°) En adaptant le raisonnement précédent, justifier que, parmi les trois nombres 1 ab, 1

bc, 1 ca, il existe au moins un nombre supérieur à 2.

Soit une permutation de l’ensemble



1 ; 2 ; ... ;n



(n est un entier naturel supérieur ou égal à 1).

Soit



x x1, 2, ...,x_n



une suite finie de réels.

Démontrer que l’un au moins des produits ^xi



^1x_{ }ⁱ



est inférieur ou égal à 1 4. 61 Fraction médiane voir Rémy Nicolaï

62 Soita etb deux réels.

Déterminera etb tels que l’applicationf :xaxb x soit une bijection de dans.

63 Déterminer les fonctions affinesf définies sur telles quef ^f id_. Déterminer les fonctions affinesf définies sur telles que f^f  id_. 64 On considère la fonctionf :x3x2 définie sur.

Déterminer les fonctions affinesg définies sur telles que f ^gg^ f. 65 Soitf une fonction affine.

Déterminer les fonctions polynômesP du second degré telles queP ff P. 66 Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Soit



x1;x2; ... ;x_n





 

^*_ ⁿ et une bijection de l’ensemble



1 ; 2 ; ... ;n



dans lui-même.

Démontrer que :

1   n

i i i

x n

x_



 ^{ .}

67 Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Soit



x1;x2; ... ;x_n





 

^*_ ⁿ et



y1;y2; ... ;y_n





 

^*_ ⁿ.

Démontrer que : ^{2 2}

1 1 1

2

n n n

i i i i

i i i

x y x y

  

     

     

     





 ^

 

  ^. Préciser le cas d’égalité.

Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Soit



x1;x2; ... ;x_n





 

^*_ ⁿ et une bijection de l’ensemble



1; 2 ; ... ;n



dans lui-même.

Démontrer que _{ } ²

1 1

n n

i i i

i i

x x_ x

 



^



^.

68 Soitf etg deux fonctions définies sur l’intervalle^I

 

^{0 ;1} à valeurs dans.

Démontrer qu’il existe un couple



^{x y;}



^I2 tel que

   

¹

xyf x g y 4.

Indication : Raisonner par l’absurde et considérer les quatre couples particuliers



^{0 ; 0 ,}

  

^{0 ;1 ,}

 

^{1 ; 0 ,}

 

^{1 ; 1 .}

Questions de cours

Autour de l’axiomatique de 

1 Densité de dans (sauts et petits bonds).

Démontrer que tout intervalle ouvert de contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels.

2 Toute partie non vide minorée de admet une borne inférieure.

3 Irrationalité de 2.

Démontrer que l’ensemble



^{x/x22}



n’admet pas de borne supérieure dans.

4 Partie entière d’un réel : définition ; propriétés (énoncés et démonstrations) ; représentation de la fonction partie entière.

5 Toute partie non vide de admet un plus petit élément.

6 Définir  x ,  x . Lien entre les deux ? Faire la démonstration.

7 Exprimer le maximum et le minimum de deux réels à l’aide de la valeur absolue.

6 On a x   x . 7 Démonstration :

On utilise les égalitésmax

 

x y, min( , )x y  x y etmax

 

x y, min( , )x y  xy . Le 20-7-2016

Je tape une feuille sur laquelle j’avais écrit la démonstration de la densité des irrationnels.

A \

  

 

I a b,

Caractère archimédien entreb a et A

\

 q   tel que^{Aq b a}



^



A b a

q  

En appliquant le caractère archimédien entre A q eta

 p  tel que ^pA

 

^{a b,}

q 

J’avais ensuite écrit sur la même feuille :

1 b a

n 

1 a

n

m

Mais je doute que ce soit pour ça.

Réponses

1 Conditions d’existence : 0

a ;b0 d’où a1 et b1 Donc 0 a 1 et 0 b 1. On raisonne avec des implications.

2 2 0

a  a a



^{2 1}



⁰

a a a a 

Polynôme ^{x32x 1}



^x1

 

^{x2 x 1}



(1 ; 0), (0 ; 1), 3 5 3 5

2 ; 2

   

 

 

 , 3 5 3 5

2 ; 2

   

 

 

 

On vérifie que les deux premiers couples sont solutions ; on exclut les deux suivants à cause des conditions d’existence.

2 3 Élever les deux membres au carré.

4 Envisager 3 cas : si x1, alors x³6x2 est vraie ; si x– 1, alors 1

x3 est vraie ; si 1 x 1, alors ^x2



^{3 x}



^0 est vraie.

5

6 Soit n.

On a : n n 1 doncⁿ²^{n n}



¹



.

Par suite, ^{n n n}



^1



. Par suite, ^{2n2 n n}



^1



^.

On sait que pour tout couple



^{a b;}

  

  ², 2 aba b . On en déduit que ^{2 n n}



 ¹



²ⁿ¹.

Donc n ^{2n2 n n}



^{ 1}



^2n1.

On en déduit que n  ^{E 2}



^{n n}



^1

 

^2n.

11 1°) Vrai. Pourx non nul, on calcule

12 5 7

x x

x  ;

7 2 5

x x

x  ;

5 3 2

x x

x  ;

3 2

x x

x  rationnels Penser à Bezout : 7 et 12 sont premiers entre eux.

3 12 7 5 1   

   

12 3 7 5

x x

x



La démarche faite au-dessus est plutôt une démarche du genre Euclide (différences successives).

2°) Faux.

Il suffit de choisir un réelx tel quexÏ et x³.

On peut choisir x³2 (on admet que ³2 est irrationnel ; ça se démontre).

13 Max : 2 ; Borne inf : – 1.

Solution détaillée :

A sin 1,

2 n *

n n

   

    

Démontrons que A possède une borne inférieure et une borne supérieure, et les déterminer.

Démontrons que ^*_  n  1

sin 1

2

n –

n

    

 

   

 1

nÛ 1 n

Û 1

E 1

n      



On posen4k3.

D’où 1

4k3



 1 3

4 4

k 

  

 1 3

E 1

4 4

k    

 _{4 3} 1

1 1

4 3

uk

    k  

  

15 Deux démonstrations possibles : 1^ère démonstration : par l’absurde.

2^e démonstration : considérer le minimumm des x_ix_j .

On a : 0



1

 

1 0



0 0

n n n ...

x x x x_ x x

 

     

 . On a donc :1x_nx₀n m d’où 1

mn. 3^e démonstration : principe des tiroirs de Dirichlet On découpe l’intervalle [0, 1] enn intervalles.

Version de Paul Dario (29-11-2013) :

0 1 2

0x  x x   x_n1

Démontrons qu’il existe deux entiersi etj de



^{0 ;n}



^{,ij, tels que} xi xj ¹

 n. On introduit les intervalles : 1

0 ;n

 

 

 , 1 2 n n;

 

 

 , …, 1 n ; 1

n

  

 

 . On a doncn intervalles.



^n1



valeurs dex possibles.

Donc d’après le théorème des tiroirs,^

 

^{i j, }



^{0 ;n}



^{2 ij tel que} xi et x_j sont dans le même intervalle.

Or les intervalles ont tous pour longueur 1 n. On aura donc dans ce cas : 1

i j

x x

 n.

17 Il y a deux cas suivant que 1 x 2 ou x2. 18 On pose  _i a_i.

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

0 0 0

n n n n n n n

j j i n i i

i j i i j i i i i

a ... ... U U

      

           

     

^





0 ; 0 ;... ; 0 ; ; 1; ... ;



i i i n

U   _ 



1 2



1

; 2 ; ... ;... ;

n

i n

i

U n



   



22

 

^{1 ;}

I n et ^J



^{1 ;p}



^.

On pose A ^{min max}i I



j J

 

a^{i j,}



 

 et B ^{max min}j J



i I_

 

a^{i j,}



  .

Démontrer que l’on a : BA soit^{max min}j J



i I

 

a^{i j,}



^{min max}i I



j J

^{ }

a^{i j,}



 

   .

Soiti fixé dansI.

 

, ,0

max _{i j i j}

j J a a

 

 

,0 min ,

i j k I k j

a a

 

Donc _{i j},0 min

 

_{k j}, k I

a a

 

Soitn etp deux entiers naturels non nuls. On pose^I

 

^{1 ;n et J}



^{1 ;p}



. Voir exercice 22 . Soit

 

ai j, _{ }i j, _{ }I J une famille de réels.

Démontrer que^maxi I ^minj J ^{i j, min}j J



^maxi I ^{i j,}



a a

  



  

 

  .

On pose

 

1



1

^{ }

^,

  

min max

i , j i n i j i , j

i I j p j J

j J i I

A min max a_ a max min a_

 

 

    et 1



¹

 

^,



max min _{i j}

i n

j p

B a

 

  .

Démontrer que l’on a : BA. On

23 3°)^{m a b}

 

^{, min}



^ab,ba



Siab, alors alnablnb d’où lna lnb b  a .

baab

 

^{, b elnba}

m a b  a

ln ln ln 3

3 3

e e e 3

a b

b  b  

24 Raisonner par l’absurde. On utilise l’inégalité suivante :



¹



¹

x x 4.

On a :

 

1

1 1 4

n

i i n

i

x x





 ^{ d’où}

^{ }

1 1

1 1

4

n n

i i n

i i

x x

 

   

    

   



 

  ^{ .} 25 2°) Il existe un réelaA tel que 0  a .

On a : 1 a

 soit y x 1 a a . L’intervalle x;y

a a

 

 

  contient donc au moins un entier N.

3°) x 0 y ; 0xy ; xy0 26

1°)

Entrée : Saisirx Initialisation : i prend la valeur 0 Traitement : Tantque i <x Faire

i prend la valeuri1 (on « incrémente »i) FinTantque

Sortie : Afficheri

Question :Si on veut que l’algorithme marche pour les nombres négatifs, on est obligé de faire une

« dichotomie » au départ :x positif ?x négatif ? Dans le cas oùx est négatif, on ajoute – 1.

Autre proposition d’algorithme (sans boucle) : Entrerx

non oui

x entier ? Afficherx

Afficher^E

 

^x ¹ 2°) ^{f x}

 

^{– E –}

 

^x

Démonstration :

Si x, la formule marche.

Si x,n  x n 1 donc –n –x–n– 1. Donc^{E –}

 

^x ^–n d’où le résultat.

28 ^A



^x

 

^{0 ;1 /f x}

 

^x



^{et B}



^x

 

^{0 ; 1 /xf x}

  

1°) Démontrer que A est non vide et que sa borne supérieurec est un point fixe def (c’est-à-dire ^{f c}

 

^c).

On pose csupA.

Il existe une suite

 

xn d’éléments de A qui converge versc.

De plus, on peut supposer que

 

xn est croissante.

 n  f x

 

_n x_n

Or c est un majorant de A donc n  x_nc et commef est croissante, ^{f x}

 

_n ^{f c}

 

^.

Par conséquent,  n ^x_n^{f x}

 

_n ^{f c}

 

^.

Par le TPLI, on en déduit que cf c

 

. Par conséquent, on a démontré que cA.

On démontre aisément que l’ensemble A est stable parf c’est-à-dire que si xA, alors ^{f x}

 

^A. Or cA donc ^{f c}

 

^A.

On en déduit que ^{f c}

 

^c.

En rassemblant tous les résultats, on en déduit que ^{f c}

 

^c.

2°) Démontrer que B est non vide et que sa borne inférieured est un point fixe def.

29

Voir inégalité de Grüss sur les suites finies :

5°) cas d’égalité lorsque l’une des deux suites est constante 6°) inégalité de Cauchy-Schwarz

Le résultat donné ici débouche facilement sur l’inégalité en version continue.

Le dimanche 4 octobre 2020 j’avais noté inégalité de Grüss / fonctions synchrones.

30

   

E E nx E

n x

 

 

 

Vérifier cet énoncé car sur la feuille où j’avais écrit l’énoncé était marqué : Pour tout réelx et pour tout entier relatifn … 1°)f :xE ^E

 

nx E

 

n x

 

 

 



¹



^{E E}



^{nx n}



^E



¹



f x x

n



 

    

 



¹



^{E E}

 

^{1 E}

 

¹

f x nx

n x

 

    

 





¹

  

f x  f x 2°) Soit ^x

 

^{0 ;1.}

0x1 0nxn

 

0E nx n

 

0 E nx 1

n 



32 sup max 3

E E2 infE 1

Le mieux est de représenter graphiquement la suite.

La borne supérieure est atteinte en 2. C’est un élément isolé de l’ensemble.

Lorsque l’on a une suite convergente,^inf



un^,n



^limun.

O I

J

x

 

u2n est décroissante majorée par 3 2.



^u_2n₁



est décroissante minorée par – 1.

2

1 1

n 2 u   n

2 1

1 1

2 1

un

    n

 35



^;



^min



^{a ;b}



m a b  b a

Siab, alorsalnablnb Donc lna lnb

b  a

abba



^;



^{b elnba}

m a b  a

ln ln ln 3

3 3

e e e 3

a b

b  b  

36 2°)g :x 2 ₂ E 1

x x

 

  

 

· Si ^{x  }



^{; 0}



^{, alorsg x}

 

 ¹.

· Si ^x

  

^{0 ;11 ; }



^{, alorsg x}

 

⁰.

· Si x1, alors ^{g x}

 

^1.

3 2 1

– 1

43

Il s’agit d’un cas particulier de l’inégalité du réordonnement.

48

On peut supposer quea b c. 1.

a b  c b c  a a c  b a b c ab c b c bac cba acb 2.

b c  a bac

Or ab doncba0 doncc0. De plusbac.

Requis :a b  c Þa b c Þacb 49

Le 22 décembre 2020

Cet exercice m’a inspiré le suivant :

1 i n

i i

A a









^et

1 i n

i i

B b









^.

 

1 1

i n

i i i j j i

i i j n

AB a b a b a b



 

 

 

  





 _



_

On peut ainsi écrire le développement d’un carré d’une somme.

53 Version trouvée sur le forum mathematiques.net.

J’ai une solution de cet exercice par Monsieur Soladié.

On a 2

n 2p

q N

S q

  donc S_n n’est pas un entier puisque le numérateur est un entier naturel impair et que le dénominateur est un entier pair.

Il s’agit d’un cas particulier du théorème de Kürschák.

D’après le théorème de Kürschák, la seule somme d’inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière est H .1

Le postulat de Bertrand permet de démontrer que les deux seuls autres nombres harmoniques décimaux sont H21, 5 etH₆2, 45.

Julian Havil (de), Gamma : Exploring Euler's Constant,Princeton University Press, 2009 (1re éd. 2003), 304 p. (ISBN 978-0-691-14133-6,lire en ligne [archive]), p. 24-25.

Les seuls nombres harmoniques décimaux sontH₁1,H₂1, 5 etH₆2, 45. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,418260,418260#msg-418260 http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=10823#p152365

56 Pour la conjecture, on peut utiliser la calculatrice.

Il peut être intéressant de voir ce qui se passe pour x.

C’est quasiment tout le temps 0 sauf pour quelques valeurs où on obtient – 1.

57

Le 24-8-2021

On raisonne par l’absurde.

Si x y est un nombre rationnel, alors x y

x y

x y

  

 est aussi rationnel.

On en déduit que

   

2

x y x y

x

  

 est aussi un nombre rationnel.

59 Rémy Nicolaï propose dans sa feuille d’exercices sur les nombres réels un exercice intéressant avec des intersections.

 

^{a b,}          ^{a ; b}  d’où^card

  

^{a b,}  



^      ^{b  a 1}

On utilise la partie entière par défaut et par excès (voir article Wikipedia sur ce sujet).

On sait ensuite que  a    a.

On en déduit que^card

  

^{a b,}  



^E

 

^b ^{E 1}



^a



. Définition :

Soitx un nombre réel.

Soitn l'entier tel que n 1 xn.n est appelé partie entière supérieure dex (en anglais ceiling(x)).

n est donc le plus petit entier supérieur ou égal àx.

La partie entière dex est souvent notée⌈x⌉.

60 1°) b)

1^er cas : l’un des réels est strictement supérieur à 1 Dans ce cas, le résultat est évident.

2^e cas : tous les réels sont inférieurs à 1

Ils sont tous dans l’intervalle

 

0 ; 1 . On utilise le a).

66 On applique l’inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique.

1

1 2...

n i

i n

n

z

z z z n







67

 

^{2 2 2}

1 1 1 1

2

n n n n

i i i i i i

i i i i

x y x y x y

   

   

   

Il s’agit d’un cas particulier de l’inégalité du réordonnement.

68

   

^{0 0 1}

f g 4

   

^{1 0 1}

f g 4

   

^{0 1 1}

f g 4

   

^{1 1 3}

f g 4

   

^{1 1 1 1}

f g  4