SUITES
Table des matières
I Définition et génération d’une suite 1
I.1 Notion de suite numérique . . . 1 I.2 Modes de génération d’une suite . . . 2
II Suites arithmétiques 2
II.1 Définition . . . 2 II.2 Calcul du terme de rang n . . . 3 II.3 Somme desn premiers termes . . . 3
III Suites géométriques 4
III.1 Définition . . . 4 III.2 Calcul du terme de rang n . . . 5 III.3 Somme desn premiers termes . . . 5
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I Définition et génération d’une suite
I.1 Notion de suite numérique
Il arrive que l’on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compléter "logiquement" une suite de nombres
Exemple 1
➔ 1,2,4,8,16,32,64,128, . . .
➔ 1,4,9,16,25,36,49,64, . . .
➔ −3,1,5,9,13,17,21,25, . . .
➔ 1,1,2,3,5,8,13,21,34, . . .
En mathématiques, une suiteuest une liste ordonnée de nombres réels : les éléments de cette liste sont appelés termes de la suiteu, et sont tous repérés par leur rang dans la liste ; ainsi le premier terme est souvent noté u0, le secondu1 et ainsi de suite . . .
u= ( u0 ; u1 ; u2 ; . . . ; un−1 ; un ; un+1 ; . . . )
Définition 1
Une suiteu est une fonction définie surN
A chaque entier naturelnon associe un nombre réel un de la suiteu= (un)n∈N
Exemple 2
A chaque entier naturel non nul on associe son inverse
➔ u1= 1,u2= 1
2,u3= 1
3, . . .,un = 1
n, . . .(on remarque qu’ici la suite commence à l’indice1)
I.2 Modes de génération d’une suite
Une suite peut être engendrée de deux manières :
Définition explicite du terme de rangndu type un=f(n)
Exemple 3
Soit(un)n∈Nla suite définie parun=−5 + 7npourn>0
➔ u0=−5 + 7×0 =−5
➔ u1=−5 + 7×1 = 2
➔ u2=−5 + 7×2 = 9
➔ u6=−5 + 7×6 = 37
Définition par récurrence du type
u0 = a
un+1 = f(un)
Cette relation de récurrence permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent.
Exemple 4
Soit(un)n∈Nla suite définie par :
u0 = 3
un+1 = −2un+ 1
➔ u1=−2u0+ 1 =−2×3 + 1 =−5
➔ u2=−2u1+ 1 =−2×(−5) + 1 = 11
➔ u3=−2u2+ 1 =−2×11 + 1 =−21
L’inconvénient est que des termes "éloignés" du début de la suite sont difficiles d’accès : pour calculer u100 il faut, a priori, calculer tous les termes précédents, jusqu’àu99! !
II Suites arithmétiques
II.1 Définition
Définition 2
Une suite(un)est arithmétique s’il existe un réelr appelé raison de la suite tel que pour toutn>0: un+1=un+r
Autrement dit, on passe d’un terme de la suite au suivant en ajoutant toujours le même nombre r : Exemple 5
Soit(un)n∈Nla suite arithmétique de premier termeu0= 5et de raisonr=−2 La définition de la suite (un)n∈Npar récurrence est
u0 = 5
un+1 = un−2
Exemple 6
➔ 5;8;11;14est une suite arithmétique de premier terme 5de raison3
➔ 12;10,5;9;7,5;6 est une suite arithmétique de premier terme12de raison−1,5
Méthode : Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il faut montrer que pour tout n ∈ N la différence un+1−un est un réelr constant.
Exemple 7
Les suites (un)n∈Net(vn)n∈N suivantes sont-elles arithmétiques :un= 3n+ 1etvn=n2+ 1
➔ Les trois premiers termes de la suit(un)sontu0= 1;u1= 4etu2= 7 La différenceun+1−un semble constante, prouvons le :
un+1= 3(n+ 1) + 1 = 3n+ 4 un+1−un= (3n+ 4)−(3n+ 1) = 3
La suite(un)est une suite arithmétique de premier termeu0= 1de raison3
➔ Les trois premiers termes de la suite(vn)sontv0= 1;v1= 2et v2= 5
La différencevn+1−vn n’est pas constante. En effet :v1−v0= 1 etv2−v1= 3 La suite(vn)n’est donc pas une suite arithmétique
II.2 Calcul du terme de rang n
Propriété 1
Soit(un)n∈N une suite arithmétique de premier termeu0 et de raisonr
♦ Pour tout n∈N, on a un=u0+nr
♦ Pour tous n, p∈N, on aun =up+ (n−p)r
Exemple 8
Soit(un)n∈Nla suite arithmétique de premier termeu0= 12de raison 3
➔ Le terme de rang50est :u50=u0+ 50×r= 12 + 50×3 = 162 Soit(un)n∈Nla suite arithmétique de termeu10 = 2de raison−4
➔ Le terme de rang50est :u50=u10 + (50−10)×r= 2 + 40×(−4) =−158
II.3 Somme des n premiers termes
Propriété 2
Somme desnpremiers entiers naturels :
Sn= 1 + 2 + 3 +· · ·+n= n(n+ 1) 2 Somme deN termes consécutifs d’une suite arithmétique :
S=nombre de termes×premier terme+dernier terme 2
Démonstration :
On additionne membre à membre les deux égalités suivantes :
1 + 2 + 3 + . . . + n−2 + n−1 + n = Sn
n + n−1 + n−2 + . . . + 3 + 2 + 1 = Sn
(n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + . . . + (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) = 2Sn
Autrement dit, 2Sn=n×(n+ 1)et donc Sn= n(n+ 1) 2 Exemple 9
Calcul de la somme des10premiers entiers naturels :
➔ S10= 1 + 2 +. . .+ 9 + 10 = 10(10 + 1) 2 = 55
Soit(un)n ∈Nla suite arithmétique de premier termeu1= 1 de raison2
➔ S4=u1+u2+u3+u4= 4×u1+u4
2
➔ u4=u1+ (4−1)×r= 1 + 3×2 = 7
➔ S4= 4×1+72 = 16
III Suites géométriques
III.1 Définition
Définition 3
Une suite(un)n∈Nest géométrique s’il existe un réel q non nul appelé raison de la suite tel que pour toutn>0:
un+1=q×un
Autrement dit, on passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombre q
Exemple 10
Soit la suite géométrique de premier termeu0= 5de raisonq=−2 La définition de la suite (un)n∈N par récurrence est
u0 = 5
un+1 = −2un
➔ u1=−2u0=−2×5 =−10
➔ u2=−2u1=−2×(−10) = 20
➔ u3=−2u2=−2×20 =−40
Exemple 11
➔ 1;2;4;8;16;32est une suite géométrique de premier terme1 de raison2
Méthode : Pour démontrer qu’une suite est géométrique il faut s’assurer que pour toutn∈N,un6= 0 puis montrer que pour tout n∈N, un+1
un est un réelq constant.
Exemple 12
Soit(un)n∈N la suite définie parun= 2×3n
➔ pour tout entier natureln, 6= 0
III.2 Calcul du terme de rang n
Propriété 3
Soit(un)n∈N une suite géométrique de premier termeu0 de raison q
♦ Pour tout n∈N, on a un=u0×qn
♦ Pour tous n, p∈N, on aun =up×qn−p
Exemple 13
Soit(un)n∈Nla suite géométrique de premier terme u0= 3de raisonq= 2
➔ Le terme de rang5est :u5=u0×q5= 3×25= 96
III.3 Somme des n premiers termes
Propriété 4
Somme des(n+ 1)premières puissances d’un nombre réel :
S = 1 +q+q2+. . . +qn= 1−qn+1 1−q Somme de(n+ 1)termes consécutifs d’une suite géométrique :
S =premier terme×1−raisonnombre de termes
1−raison
Exemple 14
La somme des8 premières puissances de2 vaut :
➔ S= 1 + 2 + 22. . .+ 28=1−28+1 1−2 = 511
