Imputation, MIVQUE et pr´eservation des relations entre variables

Brigitte Gelein⁽¹⁾ David Causeur ⁽²⁾ David Haziza ⁽³⁾

(1)Ensai,⁽²⁾Agrocampus Ouest,⁽³⁾Universit´e de Montr´eal

7^e COLLOQUE FRANCOPHONE SUR LES SONDAGES Novembre 2012

La non-r´eponse a des cons´equences sur le biais et la variance des estimateurs :

les caract´eristiques des non-r´epondants sont g´en´eralement diff´erentes de celles des r´epondants⇒ biais de non-r´eponse,

la non-r´eponse diminue la taille de l’´echantillon effectivement observ´ee⇒variance de non-r´eponse.

On distingue deux types de non-r´eponse :

la non-r´eponse totale(”unit non-response”) : pour une unit´e, aucune information n’est relev´ee⇒ repond´eration,

la non-r´eponse partielle (”item non-response”) : pour une unit´e, une partie seulement de l’information est relev´ee

⇒ imputation.

La non-r´eponse a des cons´equences sur le biais et la variance des estimateurs :

les caract´eristiques des non-r´epondants sont g´en´eralement diff´erentes de celles des r´epondants⇒ biais de non-r´eponse,

la non-r´eponse diminue la taille de l’´echantillon effectivement observ´ee⇒variance de non-r´eponse.

On distingue deux types de non-r´eponse :

la non-r´eponse totale(”unit non-response”) : pour une unit´e, aucune information n’est relev´ee⇒ repond´eration,

la non-r´eponse partielle (”item non-response”) : pour une unit´e, une partie seulement de l’information est relev´ee

⇒ imputation.

La non-r´eponse a des cons´equences sur le biais et la variance des estimateurs :

les caract´eristiques des non-r´epondants sont g´en´eralement diff´erentes de celles des r´epondants⇒ biais de non-r´eponse,

la non-r´eponse diminue la taille de l’´echantillon effectivement observ´ee⇒variance de non-r´eponse.

On distingue deux types de non-r´eponse :

la non-r´eponse totale(”unit non-response”) : pour une unit´e, aucune information n’est relev´ee⇒ repond´eration,

la non-r´eponse partielle (”item non-response”) : pour une unit´e, une partie seulement de l’information est relev´ee

⇒ imputation.

La non-r´eponse a des cons´equences sur le biais et la variance des estimateurs :

les caract´eristiques des non-r´epondants sont g´en´eralement diff´erentes de celles des r´epondants⇒ biais de non-r´eponse,

la non-r´eponse diminue la taille de l’´echantillon effectivement observ´ee⇒variance de non-r´eponse.

On distingue deux types de non-r´eponse :

la non-r´eponse totale(”unit non-response”) : pour une unit´e, aucune information n’est relev´ee⇒ repond´eration,

la non-r´eponse partielle (”item non-response”) : pour une unit´e, une partie seulement de l’information est relev´ee

⇒ imputation.

La non-r´eponse a des cons´equences sur le biais et la variance des estimateurs :

les caract´eristiques des non-r´epondants sont g´en´eralement diff´erentes de celles des r´epondants⇒ biais de non-r´eponse,

la non-r´eponse diminue la taille de l’´echantillon effectivement observ´ee⇒variance de non-r´eponse.

On distingue deux types de non-r´eponse :

la non-r´eponse totale(”unit non-response”) : pour une unit´e, aucune information n’est relev´ee⇒ repond´eration,

la non-r´eponse partielle (”item non-response”) : pour une unit´e, une partie seulement de l’information est relev´ee

⇒ imputation.

La non-r´eponse a des cons´equences sur le biais et la variance des estimateurs :

les caract´eristiques des non-r´epondants sont g´en´eralement diff´erentes de celles des r´epondants⇒ biais de non-r´eponse,

la non-r´eponse diminue la taille de l’´echantillon effectivement observ´ee⇒variance de non-r´eponse.

On distingue deux types de non-r´eponse :

la non-r´eponse totale(”unit non-response”) : pour une unit´e, aucune information n’est relev´ee⇒ repond´eration,

la non-r´eponse partielle (”item non-response”) : pour une unit´e, une partie seulement de l’information est relev´ee

⇒ imputation.

La non-r´eponse a des cons´equences sur le biais et la variance des estimateurs :

les caract´eristiques des non-r´epondants sont g´en´eralement diff´erentes de celles des r´epondants⇒ biais de non-r´eponse,

la non-r´eponse diminue la taille de l’´echantillon effectivement observ´ee⇒variance de non-r´eponse.

On distingue deux types de non-r´eponse :

la non-r´eponse totale(”unit non-response”) : pour une unit´e, aucune information n’est relev´ee⇒ repond´eration,

la non-r´eponse partielle (”item non-response”) : pour une unit´e, une partie seulement de l’information est relev´ee

⇒ imputation.

Observations Y1 Y2 X

1 ? ?

2 ? ?

3 ?

4 ?

5 ?

6 ?

7

8

9

10

L’imputation simple consiste `a remplacer une valeur manquante par une valeur artificielle (*), dans le but de r´eduire le biais de non-r´eponse :

Y_1i^∗ si r_1i = 0 Y_2i^∗ si r2i = 0 avec

r_1i l’indicatrice de r´eponse `a Y<sub>1</sub>, r2i l’indicatrice de r´eponse `a Y2

pour l’unit´e i

Valeurs manquantes symbolis´ees par ’ ?’, Valeurs observ´ees symbolis´ees par ’’.

Observations Y1 Y2 X

1 ? ?

2 ? ?

3 ?

4 ?

5 ?

6 ?

7

8

9

10

L’imputation simple consiste `a remplacer une valeur manquante par une valeur artificielle (*), dans le but de r´eduire le biais de non-r´eponse :

Y_1i^∗ si r_1i = 0 Y_2i^∗ si r2i = 0 avec

r_1i l’indicatrice de r´eponse `a Y<sub>1</sub>, r2i l’indicatrice de r´eponse `a Y2

pour l’unit´e i

Valeurs manquantes symbolis´ees par ’ ?’, Valeurs observ´ees symbolis´ees par ’’.

L’imputation marginale : traiter les variables d’int´erˆet s´epar´ement

Des estimateurs asymptotiquement non biais´es pour les pa- ram`etres univari´es (ex. un total, une moyenne) si le mod`ele d’imputation et/ou de non-r´eponse est correctement sp´ecifi´e.

Des estimateurs biais´es pour les param`etres mesurant les liens entre variables d’int´erˆet.

Solutions :

Imputation marginale puis construction d’estimateurs corrig´es du biais (ex. Skinner et Rao, 2002).

une m´ethode d’imputation pr´eservant les relations entre variables d’int´erˆet : Shao et Wang (2002).

L’imputation marginale : traiter les variables d’int´erˆet s´epar´ement Des estimateurs asymptotiquement non biais´es pour les pa- ram`etres univari´es (ex. un total, une moyenne) si le mod`ele d’imputation et/ou de non-r´eponse est correctement sp´ecifi´e.

Des estimateurs biais´es pour les param`etres mesurant les liens entre variables d’int´erˆet.

Solutions :

Imputation marginale puis construction d’estimateurs corrig´es du biais (ex. Skinner et Rao, 2002).

une m´ethode d’imputation pr´eservant les relations entre variables d’int´erˆet : Shao et Wang (2002).

L’imputation marginale : traiter les variables d’int´erˆet s´epar´ement Des estimateurs asymptotiquement non biais´es pour les pa- ram`etres univari´es (ex. un total, une moyenne) si le mod`ele d’imputation et/ou de non-r´eponse est correctement sp´ecifi´e.

Des estimateurs biais´es pour les param`etres mesurant les liens entre variables d’int´erˆet.

Solutions :

Imputation marginale puis construction d’estimateurs corrig´es du biais (ex. Skinner et Rao, 2002).

une m´ethode d’imputation pr´eservant les relations entre variables d’int´erˆet : Shao et Wang (2002).

L’imputation marginale : traiter les variables d’int´erˆet s´epar´ement Des estimateurs asymptotiquement non biais´es pour les pa- ram`etres univari´es (ex. un total, une moyenne) si le mod`ele d’imputation et/ou de non-r´eponse est correctement sp´ecifi´e.

Des estimateurs biais´es pour les param`etres mesurant les liens entre variables d’int´erˆet.

Solutions :

Imputation marginale puis construction d’estimateurs corrig´es du biais (ex. Skinner et Rao, 2002).

une m´ethode d’imputation pr´eservant les relations entre variables d’int´erˆet : Shao et Wang (2002).

L’imputation marginale : traiter les variables d’int´erˆet s´epar´ement Des estimateurs asymptotiquement non biais´es pour les pa- ram`etres univari´es (ex. un total, une moyenne) si le mod`ele d’imputation et/ou de non-r´eponse est correctement sp´ecifi´e.

Des estimateurs biais´es pour les param`etres mesurant les liens entre variables d’int´erˆet.

Solutions :

Imputation marginale puis construction d’estimateurs corrig´es du biais (ex. Skinner et Rao, 2002).

une m´ethode d’imputation pr´eservant les relations entre variables d’int´erˆet : Shao et Wang (2002).

L’imputation marginale : traiter les variables d’int´erˆet s´epar´ement Des estimateurs asymptotiquement non biais´es pour les pa- ram`etres univari´es (ex. un total, une moyenne) si le mod`ele d’imputation et/ou de non-r´eponse est correctement sp´ecifi´e.

Des estimateurs biais´es pour les param`etres mesurant les liens entre variables d’int´erˆet.

Solutions :

Imputation marginale puis construction d’estimateurs corrig´es du biais (ex. Skinner et Rao, 2002).

une m´ethode d’imputation pr´eservant les relations entre variables d’int´erˆet : Shao et Wang (2002).

L’imputation marginale : traiter les variables d’int´erˆet s´epar´ement Des estimateurs asymptotiquement non biais´es pour les pa- ram`etres univari´es (ex. un total, une moyenne) si le mod`ele d’imputation et/ou de non-r´eponse est correctement sp´ecifi´e.

Des estimateurs biais´es pour les param`etres mesurant les liens entre variables d’int´erˆet.

Solutions :

Imputation marginale puis construction d’estimateurs corrig´es du biais (ex. Skinner et Rao, 2002).

Une m´ethode d’imputation pr´eservant les relations entre variables d’int´erˆet : Shao et Wang (2002).

U : population finie de tailleN Y1 etY2 : variables d’int´erˆet Coefficient de corr´elation :

ρ12= t11−t10t01/N

(t20−(t10)²/N)^1/2(t02−(t01)²/N)^1/2, o`u

tkl =X

i∈U

Y_1i^kY_2i^l,

(k,l)∈ {(1,0),(2,0),(1,1),(0,1),(0,2)}.

Exemples : t10=P

i∈UY_1i,t20=P

i∈UY_1i² et t₁₁=P

i∈UY_1iY_2i

U : population finie de tailleN Y1 etY2 : variables d’int´erˆet Coefficient de corr´elation :

ρ12= t11−t10t01/N

(t20−(t10)²/N)^1/2(t02−(t01)²/N)^1/2, o`u

tkl =X

i∈U

Y_1i^kY_2i^l,

(k,l)∈ {(1,0),(2,0),(1,1),(0,1),(0,2)}.

Exemples : t10=P

i∈UY_1i,t20=P

i∈UY_1i² et t₁₁=P

i∈UY_1iY_2i

U : population finie de tailleN Y1 etY2 : variables d’int´erˆet Coefficient de corr´elation :

ρ12= t11−t10t01/N

(t20−(t10)²/N)^1/2(t02−(t01)²/N)^1/2, o`u

tkl =X

i∈U

Y_1i^kY_2i^l,

(k,l)∈ {(1,0),(2,0),(1,1),(0,1),(0,2)}.

Exemples : t10=P

i∈UY_1i,t20=P

i∈UY_1i² et t₁₁=P

i∈UY_1iY_2i

U : population finie de tailleN Y1 etY2 : variables d’int´erˆet Coefficient de corr´elation :

ρ12= t11−t10t01/N

(t20−(t10)²/N)^1/2(t02−(t01)²/N)^1/2, o`u

tkl =X

i∈U

Y_1i^kY_2i^l,

(k,l)∈ {(1,0),(2,0),(1,1),(0,1),(0,2)}.

Exemples : t10=P

i∈UY_1i,t20=P

i∈UY_1i² et t₁₁=P

i∈UY_1iY_2i

S : ´echantillon s´electionn´e selon un plan de sondagep(.) Estimateur de ρ₁₂ en l’absence de non-r´eponse : plug-in

ˆ

ρ12π = ˆt11,π−ˆt10,πˆt01,π/N

ˆt_20,π−(ˆt_10,π)²/N1/2 ˆt_02,π−(ˆt_01,π)²/N1/2, o`u

ˆtkl,π =X

i∈S

wiY_1i^kY_2i^l et w_i = 1/π_i le poids de sondage de l’unit´e i

ˆ

ρ_12π est asymptotiquement sans biais sous le plan p(.)

S : ´echantillon s´electionn´e selon un plan de sondagep(.) Estimateur de ρ₁₂ en l’absence de non-r´eponse : plug-in

ˆ

ρ12π = ˆt11,π−ˆt10,πˆt01,π/N

ˆt_20,π−(ˆt_10,π)²/N1/2 ˆt_02,π−(ˆt_01,π)²/N1/2, o`u

ˆtkl,π =X

i∈S

wiY_1i^kY_2i^l

et w_i = 1/π_i le poids de sondage de l’unit´e i ˆ

ρ_12π est asymptotiquement sans biais sous le plan p(.)

S : ´echantillon s´electionn´e selon un plan de sondagep(.) Estimateur de ρ₁₂ en l’absence de non-r´eponse : plug-in

ˆ

ρ12π = ˆt11,π−ˆt10,πˆt01,π/N

ˆt_20,π−(ˆt_10,π)²/N1/2 ˆt_02,π−(ˆt_01,π)²/N1/2, o`u

ˆtkl,π =X

i∈S

wiY_1i^kY_2i^l

et w_i = 1/π_i le poids de sondage de l’unit´e i ˆ

ρ_12π est asymptotiquement sans biais sous le plan p(.)

Non r´eponse : Estimateur imput´e deρ12

ˆ

ρ12I = ˆt_11,I−ˆt_10,Iˆt_01,I/N

ˆt20,I−(ˆt10,I)²/N1/2 ˆt02,I−(ˆt01,I)²/N1/2, avec

ˆt_kl,I =X

i∈s

w_iY˜₁^k_iY˜₂^l_i Y˜_1i =Y_1i sir_1i = 1 et ˜Y_1i =Y_1i^∗ sir_1i = 0.

Y˜_2i =Y_2i sir_2i = 1 et ˜Y_2i =Y_2i^∗ sir_2i = 0.

Principale difficult´e : estimer sans biais le produit crois´e,t11.

Non r´eponse : Estimateur imput´e deρ12

ˆ

ρ12I = ˆt_11,I−ˆt_10,Iˆt_01,I/N

ˆt20,I−(ˆt10,I)²/N1/2 ˆt02,I−(ˆt01,I)²/N1/2, avec

ˆt_kl,I =X

i∈s

w_iY˜₁^k_iY˜₂^l_i Y˜_1i =Y_1i sir_1i = 1 et ˜Y_1i =Y_1i^∗ sir_1i = 0.

Y˜_2i =Y_2i sir_2i = 1 et ˜Y_2i =Y_2i^∗ sir_2i = 0.

Principale difficult´e : estimer sans biais le produit crois´e,t11.

Non r´eponse : Estimateur imput´e deρ12

ˆ

ρ12I = ˆt_11,I−ˆt_10,Iˆt_01,I/N

ˆt20,I−(ˆt10,I)²/N1/2 ˆt02,I−(ˆt01,I)²/N1/2, avec

ˆt_kl,I =X

i∈s

w_iY˜₁^k_iY˜₂^l_i Y˜_1i =Y_1i sir_1i = 1 et ˜Y_1i =Y_1i^∗ sir_1i = 0.

Y˜_2i =Y_2i sir_2i = 1 et ˜Y_2i =Y_2i^∗ sir_2i = 0.

Principale difficult´e : estimer sans biais le produit crois´e,t11.

Non r´eponse : Estimateur imput´e deρ12

ˆ

ρ12I = ˆt_11,I−ˆt_10,Iˆt_01,I/N

ˆt20,I−(ˆt10,I)²/N1/2 ˆt02,I−(ˆt01,I)²/N1/2, avec

ˆt_kl,I =X

i∈s

w_iY˜₁^k_iY˜₂^l_i Y˜_1i =Y_1i sir_1i = 1 et ˜Y_1i =Y_1i^∗ sir_1i = 0.

Y˜_2i =Y_2i sir_2i = 1 et ˜Y_2i =Y_2i^∗ sir_2i = 0.

Principale difficult´e : estimer sans biais le produit crois´e,t11.

Mod`ele d’imputation : mod`ele de r´egression bivari´e m: Y_1i = x⁰_iβ₁+√

v_1i1i Y2i = x⁰_iβ2+√

v_2i2i

o`u v_1i =v₁(x_i) etv_2i =v₂(x_i) pour deux fonctions connues v₁(.)>0 etv₂(.)>0,

Cov_m(_1i, _2i)≡σ₁₂,Var_m(_1i)≡σ²₁ et Var_m(_2i)≡σ²₂ Utilisation des estimateurs sur cas complets: βˆ1r, ˆβ2r et ˆΣr =

σˆ²_1r,σˆ12r

ˆ σ_12r,σˆ_2r²

Mod`ele d’imputation : mod`ele de r´egression bivari´e m: Y_1i = x⁰_iβ₁+√

v_1i1i Y2i = x⁰_iβ2+√

v_2i2i

o`u v_1i =v₁(x_i) etv_2i =v₂(x_i) pour deux fonctions connues v₁(.)>0 etv₂(.)>0,

Cov_m(_1i, _2i)≡σ₁₂,Var_m(_1i)≡σ²₁ et Var_m(_2i)≡σ²₂ Utilisation des estimateurs sur cas complets: βˆ1r, ˆβ2r et ˆΣr =

σˆ²_1r,σˆ12r

ˆ σ_12r,σˆ_2r²

Pour ry1i = 0 et ry2i = 1, on utilise les valeurs imput´ees y_1i^∗ =x⁰_i βˆ_1r+√

v_1i

σˆ12r

√v2iσˆ²_2r

y_2i −x⁰_iβˆ_2r + ˜^∗_1i

avec ˜^∗_1i ind´ependants, EI(˜^∗_1i) = 0 et Var_I(˜^∗_1i) = ˆσ²_1r −σˆ²_12r/ˆσ_2r²

Pour ry1i = 1 et ry2i = 0, solution analogue

Pour r_y1i = 0 et r_y2i = 0, les (^∗_1i, ^∗_2i) ind´ependants, EI(^∗_1i, ^∗_2i) = 0 et de variance-covariance ˆΣr =

σˆ²_1r,σˆ12r

ˆ σ12r,σˆ_2r²

y_1i^∗ = x⁰_iβˆ_1r +√ v_1i^∗_1i y_2i^∗ = x⁰_iβˆ_2r +√

v_2i^∗_2i

Pour ry1i = 0 et ry2i = 1, on utilise les valeurs imput´ees y_1i^∗ =x⁰_i βˆ_1r+√

v_1i

σˆ12r

√v2iσˆ²_2r

y_2i −x⁰_iβˆ_2r + ˜^∗_1i

avec ˜^∗_1i ind´ependants, EI(˜^∗_1i) = 0 et Var_I(˜^∗_1i) = ˆσ²_1r −σˆ²_12r/ˆσ_2r²

Pour ry1i = 1 et ry2i = 0, solution analogue

Pour r_y1i = 0 et r_y2i = 0, les (^∗_1i, ^∗_2i) ind´ependants, EI(^∗_1i, ^∗_2i) = 0 et de variance-covariance ˆΣr =

σˆ²_1r,σˆ12r

ˆ σ12r,σˆ_2r²

y_1i^∗ = x⁰_iβˆ_1r +√ v_1i^∗_1i y_2i^∗ = x⁰_iβˆ_2r +√

v_2i^∗_2i

Pour ry1i = 0 et ry2i = 1, on utilise les valeurs imput´ees y_1i^∗ =x⁰_i βˆ_1r+√

v_1i

σˆ12r

√v2iσˆ²_2r

y_2i −x⁰_iβˆ_2r + ˜^∗_1i

avec ˜^∗_1i ind´ependants, EI(˜^∗_1i) = 0 et Var_I(˜^∗_1i) = ˆσ²_1r −σˆ²_12r/ˆσ_2r²

Pour ry1i = 1 et ry2i = 0, solution analogue

Pour r_y1i = 0 et r_y2i = 0, les (^∗_1i, ^∗_2i) ind´ependants, EI(^∗_1i, ^∗_2i) = 0 et de variance-covariance ˆΣr =

σˆ²_1r,σˆ12r

ˆ σ12r,σˆ_2r²

y_1i^∗ = x⁰_iβˆ_1r +√ v_1i^∗_1i y_2i^∗ = x⁰_iβˆ_2r +√

v_2i^∗_2i

Biais conditionnel de non-r´eponse : BmI( ˆρ12I) =EmEI( ˆρ12I−ρˆ12π)

Asymptotiquement sans biais sous le mod`ele d’imputation :B_mI( ˆρ_12I)≈0

Souffre d’une source suppl´ementaire de variance : la va- riance d’imputation⇒Not fully efficient (Kim and Fuller, 2004) La proc´edure de Shao et Wang repose sur l’estimation de co- efficients qui peuvent aussi ˆetre estim´es grˆace `a l’approche MIVQUE : Minimum In Variance Quadratic Unbiased Es- timators (MIVQUE).

Biais conditionnel de non-r´eponse : BmI( ˆρ12I) =EmEI( ˆρ12I−ρˆ12π)

Asymptotiquement sans biais sous le mod`ele d’imputation :B_mI( ˆρ_12I)≈0

Souffre d’une source suppl´ementaire de variance : la va- riance d’imputation⇒Not fully efficient (Kim and Fuller, 2004) La proc´edure de Shao et Wang repose sur l’estimation de co- efficients qui peuvent aussi ˆetre estim´es grˆace `a l’approche MIVQUE : Minimum In Variance Quadratic Unbiased Es- timators (MIVQUE).

Biais conditionnel de non-r´eponse : BmI( ˆρ12I) =EmEI( ˆρ12I−ρˆ12π)

Asymptotiquement sans biais sous le mod`ele d’imputation :B_mI( ˆρ_12I)≈0

Souffre d’une source suppl´ementaire de variance : la va- riance d’imputation⇒Not fully efficient (Kim and Fuller, 2004) La proc´edure de Shao et Wang repose sur l’estimation de co- efficients qui peuvent aussi ˆetre estim´es grˆace `a l’approche MIVQUE : Minimum In Variance Quadratic Unbiased Es- timators (MIVQUE).

Biais conditionnel de non-r´eponse : BmI( ˆρ12I) =EmEI( ˆρ12I−ρˆ12π)

Asymptotiquement sans biais sous le mod`ele d’imputation :B_mI( ˆρ_12I)≈0

Souffre d’une source suppl´ementaire de variance : la va- riance d’imputation⇒Not fully efficient (Kim and Fuller, 2004) La proc´edure de Shao et Wang repose sur l’estimation de co- efficients qui peuvent aussi ˆetre estim´es grˆace `a l’approche MIVQUE : Minimum In Variance Quadratic Unbiased Es- timators (MIVQUE).

Biais conditionnel de non-r´eponse : BmI( ˆρ12I) =EmEI( ˆρ12I−ρˆ12π)

Asymptotiquement sans biais sous le mod`ele d’imputation :B_mI( ˆρ_12I)≈0

Souffre d’une source suppl´ementaire de variance : la va- riance d’imputation⇒Not fully efficient (Kim and Fuller, 2004) La proc´edure de Shao et Wang repose sur l’estimation de co- efficients qui peuvent aussi ˆetre estim´es grˆace `a l’approche MIVQUE : Minimum In Variance Quadratic Unbiased Es- timators (MIVQUE).

L’approche MIVQUE :

utilis´ee pour estimer les composantes de la variance d’un mod`ele mixte,

bas´ee sur une caract´erisation alg´ebrique de la structure de co- variance des variables,

adapt´ee par Causeur (2006) pour l’estimation de param`etres d’un mod`ele lin´eaire multivari´e dans un contexte Missing At Random,

pour am´eliorer la proc´edure d’imputation de Shao et Wang : diminution de la variance.

L’approche MIVQUE :

utilis´ee pour estimer les composantes de la variance d’un mod`ele mixte,

bas´ee sur une caract´erisation alg´ebrique de la structure de co- variance des variables,

adapt´ee par Causeur (2006) pour l’estimation de param`etres d’un mod`ele lin´eaire multivari´e dans un contexte Missing At Random,

pour am´eliorer la proc´edure d’imputation de Shao et Wang : diminution de la variance.

L’approche MIVQUE :

utilis´ee pour estimer les composantes de la variance d’un mod`ele mixte,

bas´ee sur une caract´erisation alg´ebrique de la structure de co- variance des variables,

adapt´ee par Causeur (2006) pour l’estimation de param`etres d’un mod`ele lin´eaire multivari´e dans un contexte Missing At Random,

pour am´eliorer la proc´edure d’imputation de Shao et Wang : diminution de la variance.

L’approche MIVQUE :

utilis´ee pour estimer les composantes de la variance d’un mod`ele mixte,

bas´ee sur une caract´erisation alg´ebrique de la structure de co- variance des variables,

adapt´ee par Causeur (2006) pour l’estimation de param`etres d’un mod`ele lin´eaire multivari´e dans un contexte Missing At Random,

pour am´eliorer la proc´edure d’imputation de Shao et Wang : diminution de la variance.

L’approche MIVQUE :

utilis´ee pour estimer les composantes de la variance d’un mod`ele mixte,

bas´ee sur une caract´erisation alg´ebrique de la structure de co- variance des variables,

adapt´ee par Causeur (2006) pour l’estimation de param`etres d’un mod`ele lin´eaire multivari´e dans un contexte Missing At Random,

pour am´eliorer la proc´edure d’imputation de Shao et Wang : diminution de la variance.

L’approche MIVQUE :

utilis´ee pour estimer les composantes de la variance d’un mod`ele mixte,

bas´ee sur une caract´erisation alg´ebrique de la structure de co- variance des variables,

adapt´ee par Causeur (2006) pour l’estimation de param`etres d’un mod`ele lin´eaire multivari´e dans un contexte Missing At Random,

pour am´eliorer la proc´edure d’imputation de Shao et Wang : diminution de la variance.

1 utiliser la m´ethode de Shao et Wang pour donner une premi`ere valeur aux donn´ees `a imputer

2 modifier it´erativement ces premi`eres valeurs de fa¸con `a obte- nir des valeurs estim´ees de param`etres proches de celles du MIVQUE.

Y1 Y2 X

? ? X1

? ? X2

Y1,3 ? X3

Y1,4 ? X4

? Y2,5 X5

? Y2,6 X6

Y1,7 Y2,7 X7

... ... ...

a - Non r´eponse symbole ’ ?’

⇒ 1

Y1 Y2 X

Yˆ1,1 Yˆ2,1 X1

Yˆ1,2 Yˆ2,2 X2

Y1,3 Yˆ2,3 X3

Y1,4 Yˆ2,4 X4

Yˆ1,5 Y2,5 X5

Yˆ1,6 Y2,6 X6

Y1,7 Y2,7 X7

... ... ...

b - 1^ieresvaleurs imput´eesYˆ

⇒ 2

Y1 Y2 X

Y_1,1^∗ Y_2,1^∗ X1

Y_1,2^∗ Y_2,2^∗ X2

Y1,3 Y_2,3^∗ X3

Y1,4 Y_2,4^∗ X4

Y_1,5^∗ Y2,5 X5

Y_1,6^∗ Y2,6 X6

Y1,7 Y2,7 X7

... ... ...

c - Valeurs finalesY^∗

1 utiliser la m´ethode de Shao et Wang pour donner une premi`ere valeur aux donn´ees `a imputer

2 modifier it´erativement ces premi`eres valeurs de fa¸con `a obte- nir des valeurs estim´ees de param`etres proches de celles du MIVQUE.

Y1 Y2 X

? ? X1

? ? X2

Y1,3 ? X3

Y1,4 ? X4

? Y2,5 X5

? Y2,6 X6

Y1,7 Y2,7 X7

... ... ...

a - Non r´eponse symbole ’ ?’

⇒ 1

Y1 Y2 X

Yˆ1,1 Yˆ2,1 X1

Yˆ1,2 Yˆ2,2 X2

Y1,3 Yˆ2,3 X3

Y1,4 Yˆ2,4 X4

Yˆ1,5 Y2,5 X5

Yˆ1,6 Y2,6 X6

Y1,7 Y2,7 X7

... ... ...

b - 1^ieresvaleurs imput´eesYˆ

⇒ 2

Y1 Y2 X

Y_1,1^∗ Y_2,1^∗ X1

Y_1,2^∗ Y_2,2^∗ X2

Y1,3 Y_2,3^∗ X3

Y1,4 Y_2,4^∗ X4

Y_1,5^∗ Y2,5 X5

Y_1,6^∗ Y2,6 X6

Y1,7 Y2,7 X7

... ... ...

c - Valeurs finalesY^∗

1 utiliser la m´ethode de Shao et Wang pour donner une premi`ere valeur aux donn´ees `a imputer

2 modifier it´erativement ces premi`eres valeurs de fa¸con `a obte- nir des valeurs estim´ees de param`etres proches de celles du MIVQUE.

Y1 Y2 X

? ? X1

? ? X2

Y1,3 ? X3

Y1,4 ? X4

? Y2,5 X5

? Y2,6 X6

Y1,7 Y2,7 X7

... ... ...

a - Non r´eponse symbole ’ ?’

⇒ 1

Y1 Y2 X

Yˆ1,1 Yˆ2,1 X1

Yˆ1,2 Yˆ2,2 X2

Y1,3 Yˆ2,3 X3

Y1,4 Yˆ2,4 X4

Yˆ1,5 Y2,5 X5

Yˆ1,6 Y2,6 X6

Y1,7 Y2,7 X7

... ... ...

b - 1^ieresvaleurs imput´eesYˆ

⇒ 2

Y1 Y2 X

Y_1,1^∗ Y_2,1^∗ X1

Y_1,2^∗ Y_2,2^∗ X2

Y1,3 Y_2,3^∗ X3

Y1,4 Y_2,4^∗ X4

Y_1,5^∗ Y2,5 X5

Y_1,6^∗ Y2,6 X6

Y1,7 Y2,7 X7

... ... ...

c - Valeurs finalesY^∗

Etape 2 : calibrage sur le MIVQUE

D´efinition d’un syst`eme de cinq ´equations correspondant chacune `a un des totaux :tkl =P

i∈UY_1i^kY_2i^l , o`u (k,l)∈ {(1,0),(2,0),(1,1),(0,1),(0,2)}.























ˆt10I=N µˆ1M

ˆt01I=N µˆ2M

ˆt20I=N (ˆµ1M)²+ (N−1) ˆσ_1M² ˆt02I=N (ˆµ2M)²+ (N−1) ˆσ_2M²

ˆt_11I=N µˆ_1M µˆ_2M+ (N−1) ˆσ_12M

avecN la taille de la population, µ1et µ2, les esp´erances deY1 etY2 et θˆM l’estimateur MIVQUE du param`etreθ.

Etape 2 : calibrage sur le MIVQUE

D´efinition d’un syst`eme de cinq ´equations correspondant chacune `a un des totaux :tkl =P

i∈UY_1i^kY_2i^l , o`u (k,l)∈ {(1,0),(2,0),(1,1),(0,1),(0,2)}.























ˆt10I=N µˆ1M

ˆt01I=N µˆ2M

ˆt20I=N (ˆµ1M)²+ (N−1) ˆσ_1M² ˆt02I=N (ˆµ2M)²+ (N−1) ˆσ_2M²

ˆt_11I=N µˆ_1M µˆ_2M+ (N−1) ˆσ_12M

avecN la taille de la population, µ1et µ2, les esp´erances deY1 etY2 et θˆM l’estimateur MIVQUE du param`etreθ.

Nous avons g´en´er´e une population de tailleN = 1 000 avec Y₁,Y₂ etX

X ∼Gamma

Les donn´ees bivari´ees (Y_1i,Y_2i)’s ont ´et´e g´en´er´ees selon le mod`ele bivari´e avecx_i =x_i,v_1i =v_2i =x_i et β₁ =β₂ = 1.

Y_1i =X_i +√ X_iε_i1 Y2i =Xi +√

Xiεi2

Param`etres de la population

µ₁ µ₂ σ₁² σ₂² σ₁₂ ρ₁₂ 2.10 2.12 11.21 11.52 9.32 0.82

Nous avons g´en´er´e une population de tailleN = 1 000 avec Y₁,Y₂ etX

X ∼Gamma

Les donn´ees bivari´ees (Y_1i,Y_2i)’s ont ´et´e g´en´er´ees selon le mod`ele bivari´e avecx_i =x_i,v_1i =v_2i =x_i et β₁ =β₂ = 1.

Y_1i =X_i +√ X_iε_i1 Y2i =Xi +√

Xiεi2

Param`etres de la population

µ₁ µ₂ σ₁² σ₂² σ₁₂ ρ₁₂ 2.10 2.12 11.21 11.52 9.32 0.82

Nous avons g´en´er´e une population de tailleN = 1 000 avec Y₁,Y₂ etX

X ∼Gamma

Les donn´ees bivari´ees (Y_1i,Y_2i)’s ont ´et´e g´en´er´ees selon le mod`ele bivari´e avecx_i =x_i,v_1i =v_2i =x_i et β₁ =β₂ = 1.

Y_1i =X_i +√ X_iε_i1 Y2i =Xi +√

Xiεi2

Param`etres de la population

µ₁ µ₂ σ₁² σ₂² σ₁₂ ρ₁₂ 2.10 2.12 11.21 11.52 9.32 0.82

Nous avons g´en´er´e une population de tailleN = 1 000 avec Y₁,Y₂ etX

X ∼Gamma

Les donn´ees bivari´ees (Y_1i,Y_2i)’s ont ´et´e g´en´er´ees selon le mod`ele bivari´e avecx_i =x_i,v_1i =v_2i =x_i et β₁ =β₂ = 1.

Y_1i =X_i +√ X_iε_i1 Y2i =Xi +√

Xiεi2

Param`etres de la population

µ₁ µ₂ σ₁² σ₂² σ₁₂ ρ₁₂ 2.10 2.12 11.21 11.52 9.32 0.82

Dans cette population, nous avons effectu´e un recensement (poids de sondagewi = 1) et simul´e 1000 fois la non-r´eponse avec, pour chaque unit´e i :

la probabilit´eπ₁ de r´epondre `aY₁ d´epend de la valeur deX π1i = 1/(1 +exp(−0.4055X_i/X)

la probabilit´eπ₂ de r´epondre `aY₂ d´epend de la valeur deX π2i = 1/(1 +exp(−0.4055X_i/X)

Ceci conduit en moyenne `a une probabilit´e de r´eponse de π₁=π₂ = 0.6.

Dans cette population, nous avons effectu´e un recensement (poids de sondagewi = 1) et simul´e 1000 fois la non-r´eponse avec, pour chaque unit´e i :

la probabilit´eπ₁ de r´epondre `aY₁ d´epend de la valeur deX π1i = 1/(1 +exp(−0.4055X_i/X)

la probabilit´eπ₂ de r´epondre `aY₂ d´epend de la valeur deX π2i = 1/(1 +exp(−0.4055X_i/X)

Ceci conduit en moyenne `a une probabilit´e de r´eponse de π₁=π₂ = 0.6.

Dans cette population, nous avons effectu´e un recensement (poids de sondagewi = 1) et simul´e 1000 fois la non-r´eponse avec, pour chaque unit´e i :

la probabilit´eπ₁ de r´epondre `aY₁ d´epend de la valeur deX π1i = 1/(1 +exp(−0.4055X_i/X)

la probabilit´eπ₂ de r´epondre `aY₂ d´epend de la valeur deX π2i = 1/(1 +exp(−0.4055X_i/X)

Ceci conduit en moyenne `a une probabilit´e de r´eponse de π₁=π₂ = 0.6.

Biais relatif de Efficacit´e Relative Monte Carlo en % de Monte Carlo : BR(ˆθ_I) = ^{EMC( ˆθ}_θ^I)−θI

I ×100 ER(ˆθ_I) = ^{EQMMC( ˆθI)}

EQM_MC( ˆθ_I^Shao−Wang)

Imputation

Shao et Wang Imputation

Non Shao et Wang

Param`etres Calibr´ee Calibr´ee Calibr´ee

µ1 0.04% -0.09% 0.51

µ2 0.23% -0.03% 0.53

σ₁² 0.13% 0.34% 0.59

σ₂² 0.03% 0.32% 0.61

σ₁₂ 0.18% 0.34% 0.54

ρ₁₂ 0.11% 0.02% 0.72

En pr´esence de non-r´eponse, la m´ethode de Shao et Wang ca- libr´ee sur le MIVQUE permet de fournir un fichier de donn´ees complet

- en pr´eservant les relations entre variables et - en limitant la variance d’imputation.

La m´ethode de Shao et Wang ainsi que le MIVQUE peuvent s’´etendre au cas multivari´e.

En pr´esence de non-r´eponse, la m´ethode de Shao et Wang ca- libr´ee sur le MIVQUE permet de fournir un fichier de donn´ees complet

- en pr´eservant les relations entre variables et - en limitant la variance d’imputation.

La m´ethode de Shao et Wang ainsi que le MIVQUE peuvent s’´etendre au cas multivari´e.

Causeur D. (2006), MIVQUE and Maximum Likelihood Estima- tion for Multivariate Linear Models with Incomplete Observations Sankhya : The Indian Journal of Statistics, 68, Part 3, 409-435.

Kim J.K. et Fuller W.A. (2004), Fractional hot-deck imputation.

Biometrika, 91, pp. 559- 578.

Shao J. et Wang H. (2002), Sample correlation coefficients based on survey data under regression imputation.Journal of the American Statistical Association, 97, 544-552.

Skinner C.J. et Rao J.N.K. (2002), Jackknife variance for multi- variate statistics under hot deck imputation from common donors.

Journal of Statistical Planning and Inference, 102, 149-167.