Cr´eation des fichiers de donn´ees
Cette annexe d´ecrit une proc´edure permettant la cr´eation des fichiers de donn´ees n´ecessai- res aux codes 2D associ´es `a l’ouvrage. Les diff´erences ´etant minimales, on se concentre d’abord sur les probl`emes d’´elasticit´e.
C.1 D´efinition des donn´ees et structure des fichiers de donn´ees
La mise en forme des donn´ees est pr´esent´ee en s’appuyant sur un exemple : analyse d’une plaque trou´ee.
C.1.1 D´efinition de l’exemple
On se propose d’analyser la structure de la figure C.1. Il s’agit d’une plaque ´epaisse trou´ee, constitu´ee d’un mat´eriau ´elastique lin´eaire fictif (module de YoungE= 1, coefficient de Poissonν = 0.3), trait´ee dans le cadre des d´eformations planes. Le contour int´erieur (trou) est soumis `a une pressionp= 2. Sur les bords de droite et de gauche, les d´eplacements hori- zontaux sont impos´es (nuls `a gauche, ´egaux `a0.5`a droite), les d´eplacements verticaux restant libres sur ces mˆemes bords. La r´esultante des efforts ext´erieurs en direction verticale est nulle, donc compatible avec l’´equilibre ; cependant on voit ais´ement que la solution en d´eplacement de la plaque est, en l’absence de liaisons additionnelles, d´efinie `a un d´eplacement rigidifiant verticalαe2 pr`es. Pour ´eviter la singularit´e associ´ee dans la matrice de rigidit´e finale de la structure, on empˆeche ce d´eplacement en bloquant en direction verticale le sommet inf´erieur gauche. Graphiquement, dans la figure C.1, on a ajout´e le«chariot»horizontal sur ce nœud.
On saita priorique l’effort exerc´e par le«chariot»sur la structure est nul et ne perturbe donc pas la solution.
C.1.2 Fichier de donn´ees
Les donn´ees n´ecessaires `a l’analyse par ´el´ements finis de cette structure sont mises en forme dans un fichier de donn´ees, que l’on appelleraexample.inp. On souligne que les conventions utilis´ees ici pour la pr´eparation des donn´ees ne repr´esentent absolument pas un choix universel, mais seulement une approche raisonnable, quoique certainement am´eliorable.
Les unit´es des mesure adopt´ees n’apparaissent jamais ni dans les fichiers de donn´ees, ni dans le code, et c’est l’utilisateur qui doit choisir un syst`eme d’unit´es et fournir les donn´ees en entr´ee de mani`ere coh´erente ; les r´esultats en sorties sont alors fournis dans le mˆeme syst`eme.
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Figure C.1:Plaque ´epaisse creuse en d´eformations planes : probl`eme exemple
Fichierexample.inp:
example.msh
*ANALYSIS
STATIC,TYPE=PLANESTRAIN
**
*MATERIAL,TYPE=ISOTROPIC YOUNG=1.
POISSON=.3
**
*SOLID ELSET=4
**
*DBC
ELSET=1,DIR=1,VAL=.5 ELSET=2,DIR=1,VAL=0.
NODE=1,DIR=2,VAL=0.
**
*TBC
ELSET=3,DIR=0,VAL=-2.
**
*ENDFILE
Le fichier de donn´eesexample.inpcontient d’abord le nom (example.msh) du fichier (plac´e dans le mˆeme r´epertoire que example.inp) d´efinissant le maillage de la structure analys´ee, dont le contenu sera d´etaill´e en section C.1.3. Pour l’instant il suffit de savoir que ce fichier d´efinit notamment quatre entit´es n´ecessaires pour formuler correctement l’analyse.
Comme expliqu´e plus loin, les entit´es (ELSET) sont essentiellement des ensembles d’´el´ements de surface ou de ligne qui discr´etisent certaines entit´es g´eom´etriques pr´esentes dans la struc- ture objet de l’analyse. Pour l’exemple consid´er´e, on a :
• entit´e 1 (ELSET=1) : arˆete verticale de droite ;
• entit´e 2 (ELSET=2) : arˆete verticale de gauche ;
• entit´e 3 (ELSET=3) : cercle int´erieur sur lequel s’exerce la pression ;
• entit´e 4 (ELSET=4) : surface de la plaque.
On y d´efinit aussi le nœud 1 : sommet en bas `a gauche sur lequel on a bloqu´e le d´eplacement vertical.
La section*ANALYSISindique que la condition d’´equilibre cherch´ee est statique et que le probl`eme est en d´eformation planes (l’autre possibilit´e ´etantTYPE=PLANESTRESSpour des analyses en contraintes planes).
La section*MATERIALdonne les propri´et´es du mat´eriau, isotrope ´etant la seule possibilit´e d´evelopp´ee dans la version actuelle des codes.
La section*SOLIDsert `a d´efinir le num´ero de l’entit´e (ensemble d’elements) qui constitue la surface de la structure `a analyser ; dans le cas pr´esent, comme anticip´e, c’est l’entit´e 4.
La section*DBCd´efinit les conditions aux limites en d´eplacement. On impose le d´eplace- ment des nœuds qui se trouvent sur l’entit´e num´ero 1, en direction 1 et valeur VAL(dans ce cas 0.5) ; on bloque les nœuds sur l’entit´e num´ero 2, en direction 1 ; enfin, on bloque le d´eplacement vertical sur le nœud 1.
La section *TBC d´efinit les conditions aux limites en efforts (distribution de vecteur contrainte, appel´e aussi traction). Dans l’exemple trait´e, une traction est impos´ee sur la ligne physique num´ero 3, selon la direction normale (DIR=0), avec une intensit´e -2 (le signe n´egatif de cette donn´ee indiquant que l’effort est impos´e selon la direction oppos´ee `a celle de la nor- male). La normalen`a la ligne est d´efinie selon la convention suivante : sie3est la direction sortante de la surface ettla tangente `a la ligne dans la direction positive (comme d´efini dans le fichier maillage), le tri`edre(n, t, e3)est direct. Pour d´efinir la direction des efforts ext´erieurs on a deux autres possibilit´es :DIR=1ouDIR=2pour d´esigner une traction exerc´ee suivant la directione1oue2, respectivement.
Dans l’´etat actuel du code, on a fait le choix de ne permettre que des tractions constantes sur chaque entit´e. Prendre en compte une traction variable demande soit de modifier le code, soit de la repr´esenter constante par morceaux. S’il y a plusieursELSETs charg´es, il faut les ressembler tous dans la mˆeme section*TBC, une ligne parELSET.
Par convention, une portion du bord de la structure sur laquelle aucune condition n’est explicitement impos´ee est un bord libre (vecteur contrainte impos´e nul).
C.1.3 Maillage
L’op´eration de maillage doit cr´eer les entit´es g´eom´etriques n´ecessaires au fichier de don- n´ees et `a l’analyse. On utilise ici le codeGMSH v.1.60.1comme g´en´erateur de maillage.
Ce code est disponible gratuitement (avec documentation compl`ete), pour plusieurs syst`emes d’exploitation, `a la page internet www.geuz.org/gmsh/. La version utilis´ee par les codes MATLABassoci´es `a cet ouvrage est ´egalement fournie dans la distribution (voir section B.3).
Un petit guide qui se limite `a montrer comment utiliserGMSHpour l’exemple consid´er´e est propos´e ici. L’utilisation d’un code ext´erieur se justifie par la grande libert´e que l’on obtient dans la g´en´eration des probl`emes et des maillages associ´es, mais n´ecessite un effort addition- nel pour en comprendre les potentialit´es et les conventions et les adapter aux n´ecessit´es des codes d’initiation pr´esent´es dans cet ouvrage. Les fonctions deGMSH utilis´ees dans ce do- cument repr´esentent une partieminimaledu potentiel de ce programme. D’autres exemples seront pr´esent´es dans la suite, et le lecteur int´eress´e approfondira ses connaissances grˆace `a la documentation fournie avecGMSH.
On montre ici comment ´ecrire le fichier example.geo qui contient les informations g´eom´etriques et topologiques n´ecessaires aGMSHpour creer le maillage de la structure choi- sie. La succession d’op´erations est classique. Pour d´efinir un maillage il faut d’abord intro- duire la g´eom´etrie de la surface. La surface ´etant plane, elle est compl`etement d´efinie par la courbe ferm´ee orient´ee qui constitue son bord. Celle ci est, `a son tour, la r´eunion de lignes orient´ees. Dans l’´ecriture du fichierexample.geo, on suit exactement cette proc´edure, mais dans le«sens»oppos´e.
On commence par d´efinir des param`etres utilis´es pour simplifier l’´ecriture du fichier : d’abord les dimensionsHetVde la plaque et le rayonRdu trou circulaire ; ensuite les pa- ram`etres de finesselc1etlc2qui servent `a imposer la finesse du maillage :
// global dimensions H=10;
V=10;
R=2;
// mesh parameters lc1=3;
lc2=2;
On sp´ecifie ensuite les points qui sont n´ecessaires pour d´efinir les lignes. Chaque point a trois coordonn´ees et un param`etre qui sert `a«guider»la finesse du maillage en ce point :
// point coordinates
Point(1) = {-H/2,-V/2,0,lc1};
Point(2) = { H/2,-V/2,0,lc1};
Point(3) = { H/2, V/2,0,lc1};
Point(4) = {-H/2, V/2,0,lc1};
Point(5) = { 0, 0,0,lc2};
Point(6) = { R, 0,0,lc2};
Point(7) = { 0, R,0,lc2};
Point(8) = {-R, 0,0,lc2};
Point(9) = { 0,-R,0,lc2};
On poursuit par la d´efinition des lignes. Un segment de droit est d´efini par les deux extre- mit´es ; un arc de cercle (d’ouverture strictement inf´erieure `a180◦) est d´efini par la premi`ere extr´emit´e, le centre, et la deuxi`eme extr´emit´e, dans cet ordre. Enfin, pour creer une surface, il faut definir les courbes ferm´ees qui constituent son contour au moyen de la commandeLine Loop:
// lines and line loops Line(1) = {1,2};
Line(2) = {2,3};
Line(3) = {3,4};
Line(4) = {4,1};
Line Loop(5) = {1,2,3,4};
Circle(6) = {6,5,7};
Circle(7) = {7,5,8};
Circle(8) = {8,5,9};
Circle(9) = {9,5,6};
Line Loop(10) = {-6,-7,-8,-9};
Dans le cas pr´esent le bord de la surface est constitu´ee de deux contours disjoints. Par conven- tion, tout contour est orient´e de sorte qu’un parcours dans le sens positif laisse la surface sur la gauche. On a donc invers´e (`a l’aide du signe moins), l’orientation des lignes ´el´ementaires pour cr´eer le contour interne avec l’orientation conforme `a cette convention (bien que cela ne soit pas strictement n´ecessaire dansGMSH).
Enfin on d´efinit la surface par la donn´ee des contours ext´erieur et int´erieur, dans cet ordre :
// surface
Plane Surface(1) = {5,10};
Les entit´es cr´ees jusqu’a maintenant sont dites ´el´ementaires: points, lignes et surfaces (et, en 3D, volumes d´efinis par la donn´ee des surfaces constituant leur fronti`ere). Les en- tit´es ´el´ementaires de chaque type (point,ligne,surface) sont identifi´ees par simplicit´e avec un num´ero croissant dans les ensembles du mˆeme type.
On peut aussi cr´eer des entit´esphysiquesqui combinent les entit´es ´el´ementaires d´ej`a in- troduites. Cette possibilit´e s’av`ere souvent utile pour la cr´eation de maillages plus complexes, et on en verra un exemple en m´ecanique de la rupture. C’est pour cette raison qu’on demande
`a l’utilisateur de d´efinir comme entit´es physiques toutes les entit´es dont on a besoin pour la constitution du fichier de donn´eesexample.inp, `a part les nœuds :
// physical entities Physical Line(1) = {2};
Physical Line(2) = {4};
Physical Line(3) = {-6,-7,-8,-9};
Physical Surface(4) = {1};
Par convention, les entit´es physiques sont ici identifi´ees avec un num´ero croissant (`a partir de 1) ind´ependamment du type. Si l’on d´efinit des entit´es physiques, elles sont les seules quantit´es transcrites dans le fichier sortie, toujours en-dehors des nœuds. Comme attendu
`a partir des informations pr´esentes dans le fichierexample.inp, on a dˆu ici d´efinir quatre entit´es physiques.
Pour g´en´erer le fichier de maillage une fois example.geo ´ecrit, on lance GMSH. Deux fenˆetres s’ouvrent : la fenˆetre graphique et la fenˆetre menu avec lemenu modulequi contient
“Geometry” par d´efaut. On ouvre le fichierexample.geoavec File→Open et la g´eometrie apparaˆıt dans la fenˆetre graphique.
Dans lemodule menu, choisir Mesh et cliquer sur 2D produit le maillage avec ´el´ements triangulaires lin´eaires T3. Apr`es, cliquer sur Save demande `aGMSHde sauver les informations (coordonn´ees des nœuds et connectivit´e des ´el´ements) dans le fichierexample.msh.
Si on pr´ef`ere un maillage constitu´e d’´el´ements triangulaires quadratiques T6, apr`es avoir choisi le menu Mesh et cliqu´e sur 2D comme pour un maillage d’´el´ements T3, il faut cliquer sur Second order avant de sauver le maillage. De cette mani`ere,GMSHmodifie le maillage avec ´el´ements T3 en ajoutant des nœuds au milieux des cot´es et transforme donc les ´el´ements en T6.
Si l’on demande a GMSH de g´en´erer un maillage de T3, sa sortie consiste en le fichier example.mshexpliqu´e rapidement dans la suite. Bien que p´enible, la cr´eation `a la main d’un tel fichier, sans passer par GMSH, est possible et peut notamment ˆetre utile pour des petits maillages de test.
Il y a deux sections distinctes. La premi`ere, $NOD, contient d’abord le nombre NN de nœuds n´ecessaires pour d´efinir le maillage suivi par une s´erie de NNlignes.
$NOD 24
1 -5 -5 0 2 5 -5 0
3 5 5 0
4 -5 5 0 ...
...
23 -2.805508988531008 -2.805253658366925 0 24 -2.805081497670314 2.805987759665386 0 25 2.805825744133971 -2.80510292539923 0
$ENDNOD
Chaque ligne contient le num´ero du nœud et ses trois coordonn´ees. Dans les exemples en- visag´es les analyses sont planes, et la troisi`eme coordonn´ee est donc toujours mise `a z´ero.
Cette section est ferm´ee par le mot cl´e$ENDNOD. On remarque que la num´erotation des nœuds n’est pas n´ecessairement cons´ecutive. Par exemple, le nœud5 est ici absent. Ce nœud, qui repr´esente dansGMSHle centre du cercle et qui est utilis´e pour g´en´erer ce contour, n’appartient
`a aucun ´el´ement du maillage et n’a donc pas `a figurer dansexample.msh.
La deuxi`eme section,$ELM, contient les ´el´ements :
$ELM 42
1 1 1 2 2 2 12 2 1 1 2 2 12 13 3 1 1 2 2 13 3 4 1 2 4 2 4 16
5 1 2 4 2 16 17 6 1 2 4 2 17 1 7 1 3 6 2 18 6 8 1 3 6 2 7 18 ...
...
13 1 3 9 2 21 9 14 1 3 9 2 6 21 15 2 4 1 3 7 14 15 ...
...
41 2 4 1 3 3 22 13 42 2 4 1 3 2 25 11
$ENDELM
Pour cet exemple on a des ´el´ements isoparametriques lin´eaires `a 3 nœuds (T3) pour la surface et `a 2 nœuds (B2) pour les lignes. En r´ealit´e l’introduction des ´el´ements lin´eiques est un artifice permettant de faciliter l’imposition des conditions aux limites. Ces ´el´ements ne sont pas«ind´ependants»des ´el´ements de surface, au sens o`u chaque ´el´ement lin´eique est un cot´e d’un ´el´ement de surface.
GMSHassocie un code `a chaque type d’´el´ement : par convention1d´esigne les B2 et2les T3.
La premi`ere ligne contient le nombre total d’´el´ements. Les lignes qui suivent$ELMd´efinis- sent les ´el´ements. Chaque ligne contient :
1. le num´ero de l’´el´ement 2. le code de l’´el´ement
3. le num´ero de l’ensemble physique auquel l’´el´ement appartient ; ce sont les entit´es uti- lis´ees dans le fichierexample.inp
4. un num´ero utilis´e parGMSHet qui peut ˆetre mis a z´ero si l’on cr´ee le maillage a la main.
5. le nombre de nœuds contenus dans l’´el´ement, (par exemple 3 pour T3, 2 pour B2...) 6. la liste des num´eros globaux des nœuds de l’´el´ement (sa connectivit´e)
On souligne que les ´el´ements de surface et de ligne sont d´efinis sur le mˆeme ensemble de nœuds.
C.1.4 Lecture des donn´ees.
Les donn´ees ´ecrites dans les fichiers pr´esent´es doivent ˆetre lues par MATLAB et trans- form´ees en donn´ees informatiques. La lecture est effectue par la fonctionread input, selon une mani`ere commune `a tous les codes d´ecrits dans cet ouvrage. La compr´ehension de cette fonction n’´etant pas centrale dans le d´eveloppement du cours, elle est laiss´ee comme exer- cice et on se limite ici `a expliquer la forme sous laquelle les donn´ees sont disponibles apr`es lecture, c’est `a dire apr`es ex´ecution de l’instruction :
% reads input files
[analysis materials connec coor dof displ TD]=read_input(pname,fname);
La variableanalysisest une structure (au sens deMATLAB), c’est `a dire un objet avec plusieurs champs. Certains champs sont actifs seulement pour des types d’analyses speci- fiques. Pour l’´elasticit´e lin´eaire statique les champs actifs sont :
• analysis.NN, nombre de nœuds ;
• analysis.NE, nombre d’´el´ements de surface ;
• analysis.type, type d’analyse (PLANESTRAINpour l’exemple) ;
• analysis.nTD, nombre de segments supportant des tractions impos´ees ;
• analysis.Etag, chaˆıne de caract`ere d´esignant le type d’´el´ement : (’3’pour l’´el´ement T3,’6’pour l’´el´ement T6) ;
• analysis.neq(nombre d’inconnues).
La variablematerialsest une structure contenant les informations sur le mat´eriau :
• materials.type(ISOTROPICpour l’exemple) ;
• materials.young(module de Young) ;
• materials.poisson(coefficient de Poisson) ;
• materials.A(matrice des modules d’´elasticit´e).
Rappelons que ces informations sont relatives au probl`eme d’´elasticit´e lin´eaire consid´er´e dans l’exemple. D’autres informations seront n´ecessaires plus loin.
La variableconnec(analysis.NE,3)est la table de connectivit´e des ´el´ements de sur- face T3 seulement. connec(e, :)donne donc la liste des trois sommets de l’element e, ordonn´es en sens trigonom´etrique. A ce propos il faut souligner que le code effectue, simul- tan´ement `a la lecture des donn´ees, une renum´erotation cons´ecutive des nœuds et des ´el´ements de surface `a partir de 1 ; il n’y a donc pas correspondance directe entre la num´erotation utilis´ee par MATLABet la num´erotation deGMSH.
La variablecoor(analysis.NN,2)contient les coordonn´ees des nœuds.
La variabledof(analysis.NN,2)contient les informations sur la num´erotation des in- connues du probl`eme en accord avec les consid´erations suivantes. Le champ de d´eplacement implicitement choisi avec les ´el´ements T3 est affine par morceaux et continu. Il d´epend seule- ment des valeurs nodales qui repr´esentent donc les inconnues du probl`eme, `a part les nœuds sur les surfacesSu. Par convention, si une composante de d´eplacement est impos´ee, on place un nombre negatif dans la position correspondante dedof(voir le chapitre 3 pour une expli- cation plus exhaustive). Autrement on remplitdofavec le num´ero associ´e au d´eplacement in- connu. Le coefficientdof(nod,j)se r´ef`ere `a la composantejdu d´eplacement du nœudnod, en num´erotation MATLAB. Par exemple, sur un nœudnodde l’arˆete `a droitedof(nod, :) donne un vecteur avec deux composantes, dont la premi`ere est n´egative et la deuxi`eme est le num´ero progressif positif associ´e au d´eplacement nodal vertical inconnu.
La variable displ(analysis.NN,2) est une matrice qui, en sortie de read input, contient des z´eros sauf pour les d´eplacements impos´es qui sont fix´es par l’utilisateur. Par exemple, toujours pour le mˆeme nœud de l’arˆete de droite,displ(nod, :)est apr`es lecture des donn´ees une liste de deux composantes dont la premi`ere vaut0.5et la deuxi`eme z´ero.
Finalement, la variableTDcontient les informations sur les efforts de surface impos´es.
C’est un vecteur de analysis.nTD structures, chacune constitu´ee des champs dir (di- rection de la traction exerc´e sur l’´el´ement suivant les conventions d´ecrites dans la Section
pr´ec´edente),val(intensit´e de la traction) etnodes(nœuds de l’´el´ement 1D, ordonnes sui- vant l’orientation de l’´el´ement, sur lequel la traction s’exerce).
C.1.5 Fichiers de donn´ees disponibles pour le codelinel T
Certains fichiers de donn´ees sont fournis avec le code dans le r´epertoire input. La g´eom´etrie et les conditions aux limites sont pr´esent´ees dans la suite.
Plaque avec un trou circulaire :hole.*. Ce probl`eme est un exemple classique de la th´eorie de l’´elasticit´e, notamment pour ´etudier l’effet de concentration des efforts sur le bord du trou. Pour le cas limite d’un trou de rayonRdans une plaque infinie, la solution analytique est connue :
σrr= σ 2
1−R2
r2
+σ 2
1 + 3R4 r4 −4R2
r2
cos 2θ
σϑϑ= σ 2
1 + R2
r2
−σ 2
1 + 3R4 r4
cos 2θ
σrϑ=−σ 2
1−3R4 r4 + 2R2
r2
sin 2θ
o`uσ repr´esente la tension appliqu´ee `a l’infini dans la directione1, etθest la coordonn´ee polaire angulaire (θ = 0dans la directione1). Par exemple, la contrainteσxxpourθ=π/2 (sur le bord sup´erieur du trou) vaut3σ.
L’exemple fourni concerne une plaque trou´ee de dimensions finies. Pour aider `a v´erifier la convergence vers la solution analytique, les donn´ees permettent, pour la mˆeme plaque
Figure C.2:Plaque avec un trou circulaire : maillage et contrainte σ12. Version couleur en p. 297.
Figure C.3:Plaque comprim´ee : maillage et contrainteσ22. Version couleur en p. 297.
rectangulaire, de choisir deux valeurs du rayon du trou et de jouer sur la finesse du maillage.
La figure C.2 a ´et´e obtenue pourσ= 1.
Compression simple avec frottement : compress.*. Une ´eprouvette rectangulaire est coinc´ee entre deux plaques rigides (sup´erieure et inf´erieure) avec frottement empˆechant tout glissement le long de ces plaques. L’analyse est faite en d´eformations planes, avecE = 1, ν= 0,3. La plaque inf´erieure est bloqu´ee en d´eplacement, tandis que la plaque sup´erieure subit un d´eplacement vertical vers le bas impos´e ´egal `a−1(Figure C.3).
Eprouvette en traction entaill´ee :´ wedge.*. Cette derni`ere s´erie de fichiers de donn´ees permet l’analyse des effets de la pr´esence d’une entaille dans une plaque rectangulaire (Fi- gure C.4).
C.2 Cr´eation du maillage de la plaque fissur´ee
Les analyses de m´ecanique de la rupture du chapitre 4 se basent encore surlinel T#
et sur les fichiers de pr´e- et post-traitement. Le maillage se cr´ee comme pour les exemples pr´ec´edents, la seule diff´erence ´etant qu’il faut introduire des nœuds doubles sur les l`evres de la fissure. Pour cela on d´efinit deux surfaces diff´erentes, pour les parties sup´erieure et inf´erieure, `a l’aide de courbes ferm´ees d´efinies comme repr´esent´e en figure C.5. Sur la ligne s´eparant les deux surfaces, ces courbes sont constitu´ees par les mˆemes segments, sauf le long
Figure C.4:Eprouvette avec entaille : maillage et contrainte´ σ11. Version couleur en p. 298.
de la fissure, o`u elles utilisent les deux segments diff´erentsLine(4)etLine(10). De cette mani`ere,GMSHcr´ee automatiquement des nœuds distincts sur les l`evres de la fissure.
Le fichier fract.geocontient un exemple de d´efinition (g´eom´etrie et topologie) pour GMSH:
H=5; // semiwidth of plate V=5; // semiheight of plate
a=1; // semilength of crack (center crack is at x1=x2=0) lc1=.5;
lc2=.2;
lc3=.01; // element size at crack tip Point(1) = {-H, -V,0.0,lc1};
Point(2) = { H, -V,0.0,lc1};
Point(3) = { H,0.0,0.0,lc2};
Point(4) = { H, V,0.0,lc1};
Point(5) = {-H, V,0.0,lc1};
Point(6) = {-H,0.0,0.0,lc2};
Point(7) = {-a,0.0,0.0,lc3};
Point(8) = { a,0.0,0.0,lc3};
Line(1) = {1,2};
Figure C.5:Plaque carr´ee fissur´ee : d´efinition des courbes ferm´ees pour les deux surfaces.
Line(2) = {2,3};
Line(3) = {3,8};
Line(4) = {8,7};
Line(5) = {7,6};
Line(6) = {6,1};
Line(7) = {3,4};
Line(8) = {4,5};
Line(9) = {5,6};
Line(10) = {7,8};
Line Loop(11) = {1,2,3, 4, 5, 6}; // border of lower surface Line Loop(12) = {7,8,9,-5,10,-3}; // border of upper surface Plane Surface(1) = {11}; // lower surface
Plane Surface(2) = {12}; // upper surface
Physical Line(1) = {1}; // lower line for traction Physical Line(2) = {8}; // upper line for traction Physical Surface(3) = {1,2};
Le fichier g´eom´etriefract ros.geopour le maillage de la figure 4.A2 utilise une proc´e- dure similaire, mais la structuration en rosette autour des points de la fissure entraˆıne des com- plications techniques mineures dont la lecture est laiss´ee en exercice. Les r´esultats pr´esent´es dans le tableau ont ´et´e obtenus avec les param`etres de finesse suivants dansfract ros.geo:
lc1=.2; rad1=.01; rad2=1.5*rad1; num=6; lc2=3.14*rad1/num; lc4=H/5;
C.3 Fichier de donn´ees pour beam ldisp T3
Comme expliqu´e dans l’annexe B le code beam ldisp T3a ´et´e d´evelopp´e sp´ecifique- ment pour le fichier inputbuckling.*qui suit exactement les memes conventions que les
fichiers entr´ee pourlinel Tetlinel T fast.
C.4 Fichier de donn´ees pour plast T
Le codeplast Tutilise en entr´ee des fichiers similaires `a ceux de l’´elasticit´e lin´eaire.
Deux exemples sont propos´es dans la distribution : hole plast, qui reprend le probl`eme de la plaque trou´ee , etstrip plast, qui correspond `a l’exemple de la section 7.4.1. Les diff´erences avec les analyses ´elastiques sont concentr´ees dans le fichier*.inp:
*ANALYSIS
STATIC,TYPE=PLAST
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.
**
*MATERIAL,TYPE=ISOTROPIC YOUNG=1
POISSON=.3 HARDENING=0.
SIGMA0=1.
**
dans lequel sont d´efinis les param`etres du comportement ´elastoplastique du mat´eriau et l’his- toire de chargement (suite des valeurs deλ(t)aux instants discrets utilis´es). Pour le jeu de donn´ees reproduit ci-dessus, la section *ANALYSIS d´efinit 10 pas de chargement, les va- leursλi ´etant r´eguli`erement espac´ees entre 0 et 1 . Ces valeurs sont lues par la fonction de lecture des donn´ees et sauv´ees dans les champs materials.H etmaterials.sigma0de materials(pour les param`etres du mat´eriau) et dans le champanalysis.historyde la structureanalysis(pour l’histoire deλ).
C.5 Fichier de donn´ees pour tire contact T3
Comme pour le codebeam ldisp T3, mˆeme dans ce cas l’utilisateur n’a pas de libert´e dans le choix du fichier de donn´ees (qui est n´ecessairementtire.inp), mais il peut varier certains param`etres.
*ANALYSIS TYPE=DYNAMIC TIMEF=5.
DT=0.0005 PENALTY=50 GRAV=9.81
**
*INITIAL
VELOCITY,DIR=2,VAL=-1
**
*MATERIAL,TYPE=ISOTROPIC YOUNG=100
POISSON=.2
RHO=.4
**
Les nouveaux champs de la structureanalysissont :
• analysis.tf, la dur´ee totale de l’analyse (tir´ee deTIMEF=5.) ;
• analysis.dt, le∆t`a utiliser (DT=0.0005) ;
• analysis.penalty, le coefficient de p´enalisation pour le contact (PENALTY=50) ;
• analysis.grav, l’acc´el´eration de la pesanteur (GRAV=9.81) ;
• analysis.invel, une liste des deux composantes de la vitesse initiale suppos´ee ho- mog`ene (dans le cas pr´esent vitesse verticale ´egale a -1).
La structure materialsest enrichie par le champ materials.rho(masse volumique du mat´eriau), n´ecessaire pour le calcul de la matrice de masse (RHO=.4).
