RÉGULATION DE NIVEAU D’EAU.

(1)

Corrigé Exercice 1 : RÉGULATION DE NIVEAU D’EAU.

Question 1 :

Appliquer, pour chacun des modèles de connaissance des constituants du système, la transformation de Laplace. Puis indiquer sa fonction de transfert, et enfin en déduire son schéma-bloc.

Composant Relation temporelle Relation dans le domaine de

Laplace + fonction de transfert Schéma-bloc

Moteur ( )

.d ^m t _m( ) _m. _m( )

t K u t

dt

    

. .p _m( )p _m( )p K_m.U_m( )p

    

( ).(1 . ) . ( )

m p p KmUm p

   

( ) ( ) 1 .

m m

m

p K

U p p

 

 

) p (

U

_m _m

( p )

p . 1

K

_m





Réducteur _v( )t  r. _m( )t

( ) . ( )

v p r m p

  

( ) ( )

v m

p r p

 



) p

m

(

 _v

( p )

r

Vanne q t_e( )K_v._v( )t

( ) . ( )

e v v

Q p K  p ( )

( )

e

v v

Q p p K



) p

v

(



Q

_e

( p )

K

v

Réservoir ( )

( ) ( ) .

e s

q t q t S dh t

  dt

( ) ( ) . . ( )

e s

Q p Q p S p H p

( ) 1

( ) ( ) .

e s

H p

Q p Q p  S p



) p (

Q

_e

H ( p )

+ -

S . p 1

) p ( Q

_s

Limnimètre

(capteur) u_mes( )t a h t. ( )

( ) . ( ) Umes p a H p

( ) ( ) Umes p

H p a

) p (

H U

_mes

( p )

a

Régulateur (comparateur

+ correcteur)

( )t u t_c( ) u_mes( )t

  

( ) . ( ) um t  A t

( ) ( ) ( )

m

c mes

U p

U p U p

A  

( )

( ) ( )

m

c mes

U p

U p U p  A



) p (

U

_c

U

_m

( p )

+ - A

) p ( U

_mes

(p)

Le modèle de connaissance du potentiomètre (interface H/M) n'est jamais donné dans les sujets de concours, il faut donc être capable de le retrouver !

Question 2 :

Donner cette relation entre h t_c( ) et u t_c( )qui assure que ( )t soit bien une image de l’erreur du niveau d’eau. En déduire le schéma-bloc correspondant au potentiomètre.

Pour que ( )p soit l’image de l’erreur, il faut que ( )p soit proportionnelle à l'erreur : ^{( )}p K Er p^{. ( )}K H p^.



c^{( )}H p^{( )}



Or ici, ( )p U_c( )p U_mes( )p

( )p Finterface H / M( ).p Hc( )p Fcapteur( ). ( )p H p

  

Donc la seule possibilité de vérifier que ( )p soit l’image de l’erreur, est que F_int_{erface H M}_/ ( )p F_capteur( )p K C^te. Le capteur qui mesure la grandeur physique en sortie, et l’interface H/M qui traduit la consigne en entrée

doivent impérativement :

- produire une image de même nature (en général une tension électrique) ; - et aussi utiliser le même coefficient de proportionnalité…

 

   

(2)

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 03/11/2011 Composant Relation temporelle Relation dans le domaine de

Laplace + fonction de transfert Schéma-bloc

Potentiomètre

(interface H/M) u t_c( )a h t. _c( )

( ) . ( )

c c

U p a H p ( ) ( )

c c

U p H p a

) p (

H

_c

U

_c

( p )

a

La relation entre vitesse angulaire _m( )t et position angulaire _m( )t du moteur, n'est aussi jamais donnée dans les sujets de concours, il faut donc la connaître.

Question 1 :

Donner donc en précisant les unités, cette relation temporelle générale qui lie vitesse et position. En déduire le schéma-bloc qui passe de _m( )p à _m( )p

La vitesse instantanée linéaire est la dérivée de la position linéaire : ( ) ( ) dx t v t  dt .

De même, la vitesse instantanée angulaire est la dérivée de la position angulaire : ( )

( ) ^m

m

d t t dt

   .

Avec _m( )t en rad, et _m( )t en rad/s.

Composant Relation temporelle Relation dans le domaine de

Laplace + fonction de transfert Schéma-bloc Intégrateur

(composant

"virtuel")

( ) ^m( )

m

d t t dt

  

( ) . ( )

m p p m p

  

( ) 1 ( )

m m

p p p

 



) p

m

(

 _m

( p )

p 1

Ce bloc est appelé intégrateur car la vitesse angulaire est intégrée en position angulaire…

Question 2 :

Donner la variable d’entrée et la variable de sortie du système. Puis, représenter le schéma- bloc du système entier en précisant le nom des constituants sous les blocs, ainsi que les flux d’énergie ou d’information entre les blocs.

Variable d'entrée (consigne) : h t_c( ) Variable de sortie à asservir : h t( )

+ -

+ ) -

p ( U_c

) p ( U_mes a A

) p (

H_c (p)

p . 1

K_m



 ) p (

U_m _m(p)

p 1

intégrateur moteur

correcteur potentiomètre

r

réducteur

) p m(



Kv vanne

) p v(

 Q_e(p) ) p ( Q_s

p . S

1

réservoir

) p ( H

a

capteur

(3)

Question 3 :

Déterminer les fonctions de transfert ₁

( ) 0 ( ) ( )

( ) c Q ps

F p H p

H p _

 et ₂

( ) 0 ( ) ( )

( ) s Hc p F p H p

Q p _

 .

Si Q p_s( )0 alors le schéma est similaire à :

+ - ) p ( U_c

) p ( U_mes a A

) p (

H_c (p)

p . 1

K_m



 ) p (

U_m _m(p)

p 1

correcteur potentiomètre

r

réducteur

) p m(



Kv vanne

) p v(

 Q_e(p)

p . S

1

réservoir

) p ( H

a

capteur

1

Donc ₁

( ) 0

1 1

. . . . .1.

( ) 1 . .

( ) .

( ) 1 1

1 . . . .1.

1 . .

s

m

v c Q p m

v

A K r K

H p p p S p

F p a

H p K

a A r K

p p S p



   

  

1

( ) 0

. . .

( ) ( ) .

( ) (1 . ). . . .

s

m v

c Q p m v

A K r K

F p H p a

H p _ p p S p a A K r K

 

  

1 2 3

( ) 0

. . . . ( ) ( )

( ) . . . .

s

m v

c Q p m v

a A K r K F p H p

H p _ S p S p a A K r K

 

  

1 ( ) 0 2 3

. . . .

( ) 1

( ) ( ) . . . . .

1 . .

. . . .

s

m v

c Q p m v

m v m v

a A K r K F p H p

S S

H p a A K r K

p p

a A K r K a A K r K



 

  

1 ( ) 0 2 3

( ) 1

( ) ( ) .

1 . .

. . . .

c Q ps

m v m v

F p H p

S S

H p

p p

a A K r K a A K r K



 

  

Ainsi si Q p_s( )0 alors H p( )F p H₁( ). _c( )p

On multiplie le numérateur et le dénominateur, par le dénominateur du dénominateur…

(4)

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 03/11/2011 Si H p_c( )0 alors le schéma est similaire à :

+ -

) p ( U_mes

) A p

(

p . 1

K_m



 ) p (

U_m _m(p)

p 1

correcteur

r

réducteur

) p m(



Kv vanne

) p v(

 Q_e(p) ) p ( Q_s

p . S

1

réservoir

) p ( H

a

capteur

1

Donc ₂

( ) 0

1

( ) .

( ) ( ) 1 1

1 .( 1). . . .

1 . .

c m

s H p

v

H p S p

F p Q p K

a A r K

p p S p





 

 

 

2

( ) 0

( ) (1 . ).

( ) ( ) (1 . ). . . .

s Hc p m v

H p p p

F p Q p _ p p S p a A K r K

  

 

  

2

2 2 3

( ) 0

( ) .

( ) ( ) . . . .

s Hc p m v

H p p p

F p Q p _ S p S p a A K r K

  

 

  

2

2 ( ) 0 2 3

1 .

( ) ( ) .

( ) . . . . .

1 . .

. . . .

s Hc p m v

m v m v

p

H p p p

F p Q p a A K r K S S

p p

a A K r K a A K r K





 

 

  

2 ( ) 0 2 3

( ) 1 .

( ) .

( ) . . . . .

1 . .

. . . .

s Hc p m v

m v m v

H p p p

F p Q p a A K r K S S

p p

a A K r K a A K r K



  

 

  

Ainsi si H p_c( )0 alors H p( )F p Q p₂( ). _s( )

Question 4 :

En déduire, à l’aide du théorème de superposition, l’expression de H p^{( )}f H



c^{( )}p Q ps^{( )}



.

Si les 2 entrées sont présentes en même temps, le théorème de superposition nous donne :

1 2

( ) ( ). _c( ) ( ). _s( ) H p F p H p F p Q p

En connaissant la nature (échelon, rampe…) et les caractéristiques (amplitude, pente…) des deux entrées du système (consigne de niveau d’eau hC(t) et débit d’évacuation qS(t)), on pourrait repasser dans le domaine temporel et connaître ainsi l’évolution du niveau d’eau h(t) dans le bassin en fonction du temps…

On multiplie le numérateur et le dénominateur, par le dénominateur du dénominateur…

(5)

Corrigé Exercice 2 : PELLE HYDRAULIQUE .

Question 1 :

Représenter le système asservi par un schéma-bloc. (Vous indiquerez le nom des constituants dans les blocs, ainsi que les flux d’énergie ou d’information entre les blocs).

Image de l’erreur

) p

( Image de

la consigne ) p ( U_c

Débit ) p ( Q Tension de

pilotage ) p ( U_e

Interface H/M + Correcteur

- Electrovanne

Capteur

Vitesse du vérin ) p ( V Consigne

de vitesse ) p ( V_c

Image mesurée de la Sortie

) p ( U_mes

Vérin

Corrigé Exercice 3 : BANDEROLEUSE À PLATEAU TOURNANT .

Question 1 :

Représenter le système asservi par un schéma-bloc. (Vous indiquerez le nom des éléments constituants les blocs ainsi que les informations entre les blocs).

Image de l’erreur

) p

( Image de

la consigne ) p ( U_c

Tension de pilotage

) p ( U_m

Interface H/M Correcteur

(Amplificateur)

+ - ^Moteur

Génératrice tachymétrique Consigne

de vitesse ) p

c(



Image mesurée de la Sortie

) p ( U_mes

Réducteur Vitesse de

rotation du moteur

) p

m(



Vitesse de rotation du réducteur

) p

r(



(6)

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 03/11/2011

Exercice 2 : SIMPLIFICATION DE SCHÉMAS-BLOCS A BOUCLES IMBRIQUÉES.

Système à boucles imbriquées A.

Question 1 :

Donner l’expression de la transmittance ( )

( ) ( )

H p S p

 E p par réduction du schéma-bloc.

-

- +

E +

C 1

A C S

B

+ -

E

C 1

A S

C . B 1

C . B



E S

C . B 1

C . . B A C . 1 1

C . B 1

C . . B A

 



E S

B . A C . B 1

C . B . A



NB : Il est plus long de retrouver ce résultat par le calcul...

(7)

Système à boucles imbriquées B.

Question 2 :

( ) ( )

H p S p

+ +

E

A C

E

+ + ^D

S

B

+ +

E

C 1 A

E

+ + ^D

S

B

C

+ +

E

C 1 A

E

+ + ^D

S

B

C

E

C

A



B S

CDE 1

CD



E S



 





 



 

 

CDE 1 . CD C A B

Attention, ce sont des blocs en

parallèle, et non pas une boucle de retour, donc il ne faut pas utiliser la

FTBF !

(8)

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 03/11/2011

Système à boucles imbriquées C.

Question 3 :

( ) ( )

H p S p

+

+ +

+

E

D 1

) G B ( 1

1



A  C

C

+ +

^D

S

+

+ +

E

+

D 1

B 1

1

A  C

C

+ +

^D ^S

) G B ( 1

1





+ +

E

D 1

A ^S

CD 1

D 1 

) G B ( 1

C 





E S

) CD 1 )(

G B 1 (

D ) G B 1 C ( . A D 1 1

) CD 1 )(

G B 1 (

D ) G B 1 C ( A



 





E S

) G B 1 C ( A ) CD 1 )(

G B 1 (

D ) G B 1 C ( A







 G