Enonc´e noD161 (Diophante)
Les sept nains prennent goˆut `a la g´eom´etrie
Atchoum (A), Prof (P), Dormeur (D), Grincheux (G) et Joyeux (J) se placent dans cet ordre sur la circonf´erence d’un cercle. Simplet (S) et Timide (T) se placent respectivement `a l’intersection des deux droitesADetP Get
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a l’intersection des deux droitesAD etP J. Blanche-Neige constate que les distancesAT,T S etSD sont respectivement ´egales `a 40, 20 et 10 m`etres.
Atchoum (A), Dormeur (D), Grincheux (G) et Joyeux (J) ne bougent pas.
Simplet (S) prend la place de Timide (T). Prof (P) va alors se placer `a l’intersection de GS et du cercle tandis que Timide (T) se place `a nouveau
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a l’intersection deAD et de P J. Quelles sont les nouvelles distances AT et T S mesur´ees par Blanche-Neige ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je noteS0(=T),P0 etT0 les nouvelles positions de Simplet, Prof et Timide.
Il s’agit de d´eterminer AT0 etT0S0.
Les alignementsGP S,GP0S0,J P T, J P0T0 cr´eent des correspondances ho- mographiques conservant le birapport.
(AS/AD)(T D/T S) = (A, T, S, D) birapport de 4 points surAD,
= (GA, GP0, GP, GD) birapport de 4 droites concourantes enG,
= (A, P0, P, D) birapport de 4 points d’une conique (le cercle donn´e),
= (J A, J P0, J P, J D) birapport de 4 droites concourantes enJ,
= (A, T0, T, D) = (AT /AD)(T0D/T0T), birapport des 4 points d’intersection de ces droites avec AD.
CommeAT = 40, T S= 20, SD= 10, (A, T, S, D) = (60/70)(30/20) = 9/7.
Donc
9
7 = (A, T0, T, D) = AT AD
T0D T0T = 40
70
T0T + 30 T0T
Ainsi 1 + 30/T0T = 9/4, 30/T0T = 5/4, T0T = T0S0 = 24 m`etres, AT0 = AT−T0T = 16 m`etres.
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