Antilles-Guyane Juin 2017
Exercice 2
Un particulier possède une piscine et décide de s’équiper d’un système automatique de remplissage pour tenir compte de l’évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont telles qu’il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4 % de la quantité d’eau. Il décide alors de régler son système de remplissage automatique à un apport de 2m3 d’eau par jour.
Le premier jour de la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage, la piscine contient 75m3 .
Pour tout entier naturel n, on note un le volume d’eau dans la piscine, exprimé en mètre cube
(
m3)
, n jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage.Ainsi, u0=75 .
1. Calculer u1 et u2 .
2. Justifier que la suite (un) n’est pas arithmétique. Est-elle géométrique ? 3. Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1=0,96×un+2 .
4. Pour tout entier naturel n, on pose vn=un−50 .
a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme v0 .
b. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.
c. En déduire que pour tout entier naturel n, un=25×0,96n+50 .
d. Déterminer la limite de la suite (un) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
5. Si le volume d’eau dans la piscine est inférieur à 65m3 , le niveau de l’eau est insuffisant pour alimenter les pompes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d’eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l’algorithme suivant :
L1 U ← 75 L2 N ← 0
L3 Tant que U ...
L4 U ← ...
L5 N ← N + 1 L6 Fin tant que
a. Recopier et compléter les lignes L et L de cet algorithme.₃ ₄ b. Quelle est la valeur de N calculée à la fin de cet algorithme ?
c. Pendant combien de jours le niveau de l’eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?
