Leçon 2

(1)

Leçon 2 Addition des polynômes

1. Addition des polynômes Soient deux polynômes :

( )

0 1 ... _p ^p,

P x =a +a x+ +a x Q x

( )

=b0+b x1 + +... b x_q ^q.

On suppose que pq. Définition

La somme P(x)+Q(x) est : ^{P x}

( )

⁺^{Q x}

( )

⁼^c₀⁺^{c x}₁ ^{+ +}^... ^{c x}_p ^p^;

Tel que : , 0,1, 2,..., , 1, 2,...,

i i

a b i q

c a i q q p

+ =

=  = + +

deg



P(x)+Q(x)



=maxdeg



P(x),Q(x)



Exemple 1 : Soient deux polynômes :

4

3 3

7 1 )

(x x x x

P =− + − + et Q(x)=−4+x−3x²+2x³

On a : ^deg



P⁽x⁾+Q⁽x⁾



=⁴

0=−1

a a₁ =7 a₂ =0 a₃=−3 a₄ =1

0=−4

b b₁ =1 b₂ =−3 b₃=2 b₄ =0

0=−5

c c₁ =8 c₂ =−3 c₃ =−1 c₄ =1

On obtient P(x)+Q(x)=−5+8x−3x²−x³+x⁴

1 7 3

2 )

(x = x⁴− x³+x²− x−

P et Q(x)=2x³−3x²+x−4

On a : deg



P(x)+Q(x)



=4

4 =2

a a₃=−3 a₂ =1 a₁ =−7 a₀=−1

4 =0

b b₃=2 b₂ =−3 b₁ =1 b₀ =−4

4 =2

c c₃ =−1 c₂ =−2 c₁ =−6 c₀=−5

On obtient P(x)+Q(x)=2x⁴−x³−2x²−6x−5

5 4 3 2 )

(x =x⁴− x³+ x²− x+

P et Q(x)=−2x³+3x²+4x−1

On a : ^deg



^P⁽^x⁾⁺^Q⁽^x⁾



⁼⁴

+ +

− +

−

=

+ ( ) ( 2 3 4 5) )

(x Q x x⁴ x³ x² x

P (−2x³+3x²+4x−1)

(2)

4 6 4 )

( )

(x +Q x =x⁴− x³+ x²+ P

2. Soustraction de deux polynômes Soient deux polynômes :

( )

0 1 ... _p ^p,

P x =a +a x+ +a x Q x

( )

=b0+b x1 + +... b x_q ^q.

On suppose que pq. Définition

( ) ( )

0 1 ... _p ^p P x −Q x =c +c x+ +c x est : Tel que : , 0,1, 2,...,

, 1, 2,...,

i i

a b i q

c a i q q p

− =

=  = + +

( )

^{9 7} ³ ³ ⁴

P x = + x+ x +x et ^{Q x}

( )

^{= − + −}⁴ ^x ³^x²⁺²^x³

0 =9

a a₁ =7 a₂ =0 a₃ =3 a₄ =1

0=−4

b b₁ =1 b₂ =−3 b₃=2 b₄ =0

0 =13

c c₁ =6 c₂ =3 c₃=1 c₄ =1

( ) ( )

^{13 6} ³ ² ³ ⁴

P x −Q x = + x+ x +x +x

1 5 2 2

)

(x = x⁴−x³+ x²− x+

P et Q(x)=2x³−4x²−4x+3 ) 3 4 4 2 ( ) 1 5 2 2

( ) ( )

(x −Q x = x⁴−x³+ x²− x+ − x³− x²− x+ P

2 6

3 2 ) ( )

(x −Q x = x⁴− x³+ x²−x− P

3. Multiplication des polynômes.

Soient deux polynômes : ^{P x}

( )

^et^{Q x}

( )

Définition

Le produit ^{P x}

( )

^et^{Q x}

( )

^{est :}

( ) ( )

0 1 2 ² ... _{p q} ^{p q}

P x Q x =d +d x d x+ + +d ₊ x ⁺ , tel que :

0 0 0

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

0 1 1 ... 0

q q q q

d a b d a b a b d a b a b a b

d a b a b₋ a b

=

= +

= + +

= + + +

(3)

1 1 2 1 ... 1 0

q q q q

p q p q

d a b a b a b

d a b

+ − +

+

= + + +

=

Finalement, on obtient : ₀ ₁ ₁ ₂ ₂ _{1 1} ₀

0

...

k

k k k k k k i j

i i j k

d a b a b ₋ a b ₋ a ₋b a b a b

=+ =

= + + + + + =



^.

deg



P(x)Q(x)



=deg[P(x)]+deg[Q(x)]

Exemple 1 :

Soient ^{P x}

( )

⁼^x⁴⁻^3x³⁺^{7x 1}⁻ , ^{Q x}

( )

⁼^2x³⁻^3x²^{+ −}^{x 4}



( ) ( )



4 3 7 deg P x Q x = + = Méthode 1

On a : ⁰ ¹ ² ³ ⁴

0 1 2 3

1, 7, 0, 3, 1;

4, 1, 3, 2;

a a a a a

b b b b

= − = = = − =

= − = = − =

c₀ = −5,c₁=8,c₂ = −3,c₃= −1,c₄=1 ^{P x}

( ) ( )

⁺^{Q x} ⁼^x⁴^{− −}^x³ ^3x²^{+ −}^{8x 5},

0 0 0

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

3 0 3 1 2 2 1 3 0

4 1 3 2 2 3 1 4 0

( 1)( 4) 4,

( 1)(1) (7)( 4) 29,

( 1)( 3) (7)(1) (0)( 4) 10,

( 1)(2) (7)( 3) (0)(1) ( 3)( 4) 11, (7)(2) (0)( 3) ( 3)(1

d a b d a b a b d a b a b a b d a b a b a b a b d a b a b a b a b

= = − − =

= + = − + − = −

= + + = − − + + − =

= + + + = − + − + + − − = −

= + + + = + − + −

5 2 3 3 2 4 1

6 3 3 4 2

7 4 3

) (1)( 4) 7, (0)(2) ( 3)( 3) (1)(1) 10,

( 3)(2) (1)( 3) 9, (1)(2) 2

d a b a b a b d a b a b d a b

+ − =

= + + = + − − + =

= + = − + − = −

= = =

( ) ( )

P x Q x

 =2x⁷−9x⁶+10x⁵+7x⁴−11x³+10x²−29x+4.

Méthode 2

. ^{P x}

( ) ^{= −}

^x⁴ ^3x³

^{+ −}

^{7x 1}, ^{Q x}

( )

⁼^2x³⁻^3x²^{+ −}^{x 4}

4 5 6 7 2

3

4(2x 3x x 4) 2x 3x x 4x

x − + − = − + −

3 4

5 6 2

3

3(2 3 4) 6 9 3 12

3x x − x +x− = − x + x − x + x

−

x x

x x x

x(2 3 4) 14 21 7 28

7 ³ − ² + − = + ⁴ − ³ + ² −

4 3

2 )

4 3

2 (

1 ³ − ² + − = − ³ + ² − +

− x x x x x x

P(x)Q(x)=2x⁷ −9x⁶ +10x⁵ +7x⁴ −11x³ +10x² −29x+4

(4)

Méthode 3

. ^{P x}

( )

⁼^x⁴⁻^3x³⁺^{7x 1}⁻ , ^{Q x}

( )

⁼^2x³⁻^3x²^{+ −}^{x 4}

1 7 3 ³

4 − x + x−

x

4 3

2x³ − x² +x−

3 4 6

7 6 14 2

2x − x + x − x

−3x⁶ +9x⁵ −21x³ +3x² x x x

x − + −

+ ⁵ 3 ⁴ 7 ²

4 28 12

4 ⁴ + ³ − +

− x x x

2x⁷ −9x⁶ +10x⁵ +7x⁴ −11x³ +10x² −29x+4 Méthode 4 :

Coefficients de P(x) en ordre décroissant

−−  1 7

0 3 1

4 28 0

12 4

1 7 0

3 1

3 21 0

9 3

2 14

0 6 2

−









−

− 4 1 3 2

Coefficients de Q(x)

2x⁷ −9x⁶ +10x⁵ +7x⁴ −11x³ +10x² −29x+4=P(x)Q(x) Exemple 2 : Soit deux polynômes ^{P x}

( )

^{= − −}^{1 7}^x⁺^x²⁻³^x³⁺²^x⁴ ^et

^{Q x}

( )

^{= − + −}⁴ ^x ³^x²⁺²^x³^.

On a : d₀=a b_{0 0} = − − =( 1)( 4) 4,

d₁=a b_{0 1}+a b_{1 0}= −( 1)(1) ( 7)( 4)+ − − =27,

d₂=a b_{0 2}+a b_{1 1}+a b_{2 0} = − − + −( 1)( 3) ( 7)(1) (1)( 4)+ − = −8,

d₃=a b_{0 3}+a b_{1 2}+a b_{2 1}+a b_{3 0}= −( 1)(2) ( 7)( 3) (1)(1) ( 3)( 4)+ − − + + − − =32, d₄=a b_{1 3}+a b_{2 2}+a b_{3 1}+a b_{4 0}= −( 7)(2) (1)( 3) ( 3)(1) (2)( 4)+ − + − + − = −28, d₅=a b_{2 3}+a b_{3 2}+a b_{4 1}=(1)(2) ( 3)( 3) (2)(1) 13,+ − − + =

d₆=a b_{3 3}+a b_{4 2} = −( 3)(2) (2)( 3)+ − = −12, d₇=a b_{4 3}=(2)(2)=4

( ) ( )

^{4 27} ⁸ ² ³² ³ ²⁸ ⁴ ¹³ ⁵ ¹² ⁶ ⁴ ⁷

P x Q x x x x x x x x

 = + − + − + − +

On obtient donc : ^{P x Q x}

( ) ( )

⁼ ⁴^x⁷⁻¹²^x⁶⁺¹³^x⁵⁻²⁸^x⁴⁺³²^x³⁻⁸^x²⁺²⁷^x⁺^4.

(5)

Exercices

1. Soit deux polynômes P x( )= − + −45 x 10x²+6x⁵ et Q x( )= −4 9x+13x². Calculer P x( )+Q x( );P x( )−Q x( )

2. Soit deux plynômes P x( )= − + −3 x 9x+5x³ et Q x( )= − +1 4x+x². Calculer P x( )+Q x( ); P x( )−Q x( ).

3. Soit deux polynômes P x( ) 1 2= − x+2x³ et Q x( )= − +1 4x+x². Calculer P x( )+Q x( ); P x( )−Q x( ); P x Q x( ) ( )

4. Soit deux polynômes P x( )= +8 14x−8x²−7x³+2x⁴ et Q x( )= − + −6 x 3x²+10x³. Calculer P x( )+Q x( ); P x( )−Q x( );

5. Soit deux polynômes P x( ) 1 2= − x+x² et Q x( )= − +1 3x+x². Calculer P x( )+Q x( ); P x( )−Q x( ); P x²( ); Q x²( )

6. Calculer P x( )= − −2 5x+4x²+3x³ et Q x( )= − +5 3x+3x². Calculer P x( )+Q x( ); P x( )−Q x( ); P x²( ); Q x²( )

7. Soit deux polynômes P x( ) 1 2= − x+x² et Q x( )= − +1 3x+x². a. Calculer P x( )+Q x( ); P x( )−Q x( ); P x²( ); Q x²( ).

b. Montrer que :



P(x)+Q(x)

 

 P(x)−Q(x)



=P²(x)−Q²(x)

8. Trouver les réels a et b pour que le polynôme P x( )=x⁴+2ax³+bx²+2x+1soit le carré du polynôme Q x( ) puis calculer Q x( ).

Leçon 2

( )

( )

( )

( )





















( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )







( )

( )





( ) ( )

( ) ( )

( ) = −

+ −

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )



 



( ) ^{= −}

^{+ −}