FONCTIONS HOLOMORPHES SUR UN OUVERT DE C. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

(1)

�� FONCTIONS HOLOMORPHES SUR UN OUVERT DE C . EXEMPLES ET APPLICATIONS.

Soit un ouvert deC, etf : ≠æC.

I. Fonctions holomorphes

[Tau��, §�.�/Ch�, p��/��]

I. A. Holomorphie, di�érentiabilité, analycité

Fonction holomorphe

E��. Soitf :z‘≠æ ¹z. Alors pourzœC^ú, on a si|h|<|z|: f(z+h)≠f(z)

h =≠ 1

(z+h)z ≠æ

|h|æ0 ≠1 z²

Doncf œH(C^ú).

Stabilité par somme, produit, composition, inverse, selon les hypothèses ...

Équations deC��-R��, application :f^Õ= 0impliquefcontante surUsur un connexe, puisfcontante surUcorrespond àŸ(f)constante correspond à|f|constante, etc

Fonction analytique (c’est-à-dire développable en série entière en tout point)

D��. [�� ,��,��]

• On dit quefest développable en série entière au voisinage dez₀ œ s’il exister >0 et(an)_nœNtels queD^r(a)µ etf(z) =q

nØ0an(z≠z₀)ⁿsurD^r(a),

• On dit quefest analytique sur si elle est développable en série entière au voisinage de tout point de ,

• Si =C,fest dite entière si elle est analytique.

E��. _1≠¹_z =q

nØ0zⁿest développable en série entière en0.

On supposera dans la suitefanalytique.

P��. Sifadmet un développement en série entière surD^R(0)autour de0, alors pour toutz₀œD^R(0), le développement en série entière defenz₀a un rayon de convergence au moins égal àR≠|z₀|et coïncide avecfsurD^R≠|z₀|(z0).

DSE implique holomorphe, relation entre les dérivées et les coe�icients du DSE, exemple de l’exponentielle

I. B. Application : détermination continue du logarithme

D��.

• Un argument continu sur est une application continue : ≠æ Rtelle que pour toutzœ ,_|^z_z_|=Á¶ (z).

• Un logarithme continu sur est une application continue¸ : ≠æ Ctelle que pour toutzœ , z= exp¶¸(z).

P��. Soit =C\R≠.

• Il existe un argument continu sur . Si on suppose de plus à valeurs dans]≠ﬁ,ﬁ[, on a alors unicité et on appelle la détermination principale de l’argument,

• Il existe un logarithme continu sur . Application : détermination continue dez^–

II. Intégrales sur des chemins

[Tau��, Ch�, p��]

II. A. Définitions

Arcs, chemins, intégrales le long d’un chemin, exemples dez‘≠æz,z‘≠æz,z‘≠æz^≠1 L’intégrale est invariante par chemins équivalents, opposée par chemin opposé

II. B. Théorie de C��

fcontinue admet une primitive sur si et seulement si pour tout chemin fermé,s

“f(z)dz= 0 Sur un convexe,fadmet une primitive dès ques

Tf(z)dz= 0pour tout triangle Théorème deG��, formule deC��:s

“f(z)dz= 0 Lemme de l’indice, exemple (en annexe)

Formule deC��, exemples

C��. Une fonction holomorphe est analytique. Plus précisément siD(z0, R)µU etfest holomorphe surUalorsfest développable en série entière surD(z0, R)et on a pour tout chemin“d’indice�enz₀:

’nœN,f⁽ⁿ⁾(z0) n! = 1

2iﬁ

⁄

“

f(s) (s≠z₀)ⁿ⁺¹ds En particulierfestC^Œ

Dans le cas réel, le développement en série entière est beaucoup moins puissant. En e�et : E��. Une fonctionC^Œpeut ne pas être développable en série entière en un point.

Considérer par exemple en0la fonctionf :x≠æe^≠1/x²1_x>0. Inégalité deC��

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

(2)

Agrégation – Leçons ��– Fonctions holomorphes sur un ouvert deC. Exemples et applications.

III. Propriétés des fonctions holomorphes

[Tau��, Ch�, p��]

III. A. Propriétés liées à l’analycité et/ou l’holomorphie

Formule de la moyenne, principe du maximum Lemme deS��, automorphismes du disque

T��. [�� ]

Sif : ≠æCest non nulle, l’ensemble des zéros defn’admet pas de point d’accumulation.

Théorème deL��

III. B. Convergence de suites de fonctions holomorphes

[BMP��, §�.�, p��]

Convergence uniforme sur tout compact implique fonction limite holomorphe T��. [�� ]

Supposons queUest un ouvert deCetf : ◊E≠æCtels que :

• pour toutzœ ,x‘≠æf(z, x)est mesurable surE,

• pourµ-presque toutx,u‘≠æf(z, x)est holomorphe sur ,

• il existegintégrable telle que pour toutzœ ,|f(z, x)|Æg(x)µ- p.p..

AlorsFest holomorphe sur et pour toutkØ0,F^(k):z‘≠æs

E ˆ^kf

ˆz^k(z, x)dµ(x).

Prolongement des fonctions holomorphes (par le théorème des zéros isolés) E��. est holomorphe sur{Ÿ(z)>0}.

A��. admet un unique prolongement méromorphe surC, holomorphe sur C\≠N. Celui-ci ne s’annule pas et de plus1/ est une fonction entière.

IV. Fonctions méromorphes

[Tau��, Ch�, p��]

IV. A. Singularités isolées

Singularité isolée,3cas possibles, tous distincts Pôle simple, pôle multiple, résidu, exemples Fonction méromorphe

IV. B. Calculs d’intégrales

T��. [�� ]

SoitUun ouvert convexe ou étoilé (ou simplement convexe). Soitf méromorphe surU. On notePl’ensemble de pôles def. Alors pour“: [0,1]≠æU \Pchemin fermé, on a :

1 2iﬁ

⁄

“

f(z)dz=ÿ

aœP

Res(f, a) Ind(“, a)

A��. Pour–œR^ú+, on as

R+exp(≠x²) cos(–x)dx=^Ô₂^ﬁexp(≠–²/4).

A��. On retrouves

R 1

1+x²dx=ﬁous2ﬁ 0 sin(x)

x dx= ^ﬁ₂. E��. Soit≠1<–<1. AlorsI–=⁄ +Œ

0

x^–ln(x)

x²≠1 dx= ﬁ² 4 cos²(^ﬁ₂–). Autres exemples

(3)

Agrégation – Leçons ��– Fonctions holomorphes sur un ouvert deC. Exemples et applications.

��

Exemples de contours, dessins d’indices

��

On étend la notion de dérivée pour des fonctions de variables complexes. En fait cette nouvelle notion va donner une structure extrêmement forte qui va découler sur toute une théorie.

��

C’est une leçon vaste, rester sur ce que l’on maitrise.

��

Q Soitf :t ‘≠æ 1/(1 +t²).f est la restriction d’une fonction holomorphe sur un voisinage deR. Pourquoi le rayon de convergence n’est pas infini?

R ±isont pôles.

Q Quelle est la caractérisation géométrique d’une fonction holomorphe?

R La di�érentielle d’une fonction holomorphe préserve les angles.

Q Interprétation géométrique de l’indice?

Q Soit(fn)nune suite de fonctions holomorphes convergeant versfholomorphe, telle que les(fn)nne s’annulent pas. Que dire def?

R fest soit nulle, soit ne s’annule pas. Supposonsfnon nulle.

En admettant la formuleN = _2iﬁ¹ s f^Õ(z)

f(z)dzle nombre de0dans l’ouvert délimité par“tel quefne s’annule pas sur“.

Siaest un zéros def, on prend un chemin autour de“etNn = 0pour toutnpuisque les (fn)nne s’annulent pas. Par convergence uniforme,Nn≠æNdoncN = 0. Absurde.

Il faut vérifier la convergence uniforme sur tout compact de ^f_fⁿ_n^Õ vers ^f_f(z)^Õ^(z), on utilise les convergences uniformes def_n^Õ versf^Õet defnversf.

Q On rappelle le théorème deB��: si(X, d)est métrique et les(Fn)nsont des fermés tels queF^¶n = ?, alors(ﬁⁿFn)^¶ = ?. Soitf œ H(C)telle que’z œ C,÷n₀|f⁽ⁿ⁾(z) = 0.

Montrer quefest un polynôme.

R On aC=ﬁnØ0Z(f⁽ⁿ⁾).Z(f⁽ⁿ⁾)est un fermé. Sif⁽ⁿ⁾ ”= 0alors par le théorème des zéros isolésZ(f⁽ⁿ⁾)est d’intérieur vide. Si c’est le cas pour toutn, parB��on auraitC = ?. Doncf⁽ⁿ⁰⁾= 0pour unn₀. Doncfest un polynôme.

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Tau��] P.T��:Analyse complexe pour la Licence�. Dunod,��.

￿￿￿ FONCTIONS HOLOMORPHES SUR UN OUVERT DE C. EXEMPLES ET APPLICATIONS.