ÉLECTRICITÉ : Abaque pour Câbles triphasés.

LA HOUILLE BLANCHE

É L E C T R I C I T É

A b a q u e pour Câbles triphasés.

P a r P A U L C H E V R A N T , Ingénieur I. E. G., aux Mines de la Sarre.

L'administration des Mines de la Sarre exploite actuellement son bassin houiller sur une quarantaine de kilomètres en longueur et une vingtaine en largeur. Deux centrales à turbines et une à gaz de jours à coke, représentant une puissance installée, de 80.000 kVA débitent sur un réseau souterrain bouclé à 10.000 volts, de 260 km. de développement, alimentant Une trentaine de sous-stations. La longueur totale des câbles secon- daires au-dessus de 1.000 volts dépasse 250 km. On s'occupe actuellement d'augmenter la puissance des usines génératrices, le nombre des câbles de toutes tensions et de soulager la distribution actuelle par un nouveau réseau à 35.000 volts de 130 km. Vu l'étendue relativement restreinte pour la forte consommation d'énergie, on a préféré les câbles enterrés aux lignes aériennes pour des raisons de sécurité dans une région extrêmement peuplée et très riche en forêts.

Afin de déterminer plus rapidement les sections des câbles de nombreuses installations nouvelles, l'au- teur a construit un abaque qui pourra peut-être être utilisé avec fruit par certains lecteurs de celle revue.

U S A G E D E L ' A B A Q U E

L e b u t est d e d é t e r m i n e r i n d é p e n d a m m e n t l'une d e l'autre les trois valeurs suivantes :

S^t section au-dessous d e laquelle o n n e doit p a s descendre sous peine d'avoir u n é c h a u f f e m e n t exagéré d u câble ;

section m i n i m a p o u r q u e la c h u t e d e tension d a n s le câble ne dépasse p a s la limite admissible ;

S³ la section é c o n o m i q u e , c'est-à-dire celle p o u r laquelle la s o m m e d e la d é p e n s e annuelle e n frais d'intérêts, entretien et amortissement d u câble et d e la valeur m a r c h a n d e d e l'énergie perdue a n n u e l l e m e n t p a r effet Joule d a n s le câble est m i n i m a .

E x e m p l e I. — Soit p a r e x e m p l e à utiliser u n e puissance m é c a nique de 5 0 H P sur l'arbre d u m o t e u r à u n e distance d e 1 0 0 mètres sous la tension cle 2 2 0 volts.

D é t e r m i n o n s d'abord la section m i n i m a p o u r éviter u n échauf- fement exagéré. S u p p o s o n s u n r e n d e m e n t d u m o t e u r d e 0,90 et un facteur d e puissance d e 0,85 ; e n suivant les indications d e la figure I, n o u s repérons le point c sur l'échelle I V e n t e n d a n t u n fil ; puis t e n d a n t Ce fil entre les points c déjà repéré et d = 5 0 H P lu à g a u c h e d e l'échelle I V , n o u s d é t e r m i n o n s le point e. L e fil tendu à n o u v e a u entre le point e et / = 2 2 0 volts, lu à droite d e l'échelle V , d o n n e sur l'échelle I, I = 1 3 0 a m p è r e s . O r , à côté d e de l'échelle I o n a r e m p o r t é p o u r différentes tensions les sections les plus usuelles e n face d u point représentant l'intensité p e r m a - nente admissible d a n s u n câble triphasé d e la section i indiquée.

N o u s v o y o n s q u e l'extrême m i n i m u m admissible est : S = 3 5 millimètres carrés

Cherchons ensuite la section S^a. S u p p o s o n s q u ' o n n e doive pas dépasser u n e c h u t e d e tension d e 6 % , c'est-à-dire 1 4 volts. E n suivant les indications d o la figure 2 et e n a y a n t soin d e lire la graduation c o r r e s p o n d a n t e d u côté indiqué p a r cette figure, On

obtient :

S² — 3 0 millimètres carrés

Fixons enfin S^3>— A d m e t t o n s p o u r cela q u e le kilowatt-heure coûte 2 0 centimes) le n o m b r e d'heures d e f o n c t i o n n e m e n t p a r a n étant de H = 3 0 0 s e u l e m e n t . D o n n o n s - n o u s d e plus le prix p ' d'un kilomètre d e câble d e section S' = 2 5 m m2, soit 13.500 fr., et le prix p' d'un câble d e S = 3 5 m m2, soit 19.000 fr. et sup-

p o s o n s q u e l'on évalue à 1/7 d u prix d'achat la d é p e n s e annuelle résultant d e l'intérêt, entretien et a m o r t i s s e m e n t d u câble. Alors :

S

j / 1 0 . 0 0 0 3 5

1 3 . 5 0 0 1 „ , - ^ r X y = / o francs

d ' a u g m e n t a t i o n d e frais p a r a n et p a r millimètre carré supplé- m e n t a i r e . (Sauf les d e u x soustractions, toutes les opérations se font a u m o y e n d e l'abaque). D'après les indications d e la figure 5,

° 5

n o u s p o u v o n s calculer H I² = 3 0 0 X 1 3 0 " = 5 x 1 0 .

S u i v a n t les indications d e la figure 3, il suffit d e repérer c p a r l'intersection d e l'axe m é d i a n a v e c la droite passant p a r a = 0,20 et b = 5 X 1 0⁵, puis d e lire l'intersection d e la droite d = 7 8 , c a v e c la graduation g a u c h e d e l'échelle I V , ce qui d o n n e :

S = 2 7 m m ²

Il f a u d r a d o n c a d o p t e r d a n s ce cas u n câble triphasé à trois c o n d u c t e u r s a y a n t c h a c u n u n e section d e 3 5 m m ² o u u n p e u supérieure à ce chiffre.

I I . — Soit, c o m m e s e c o n d e x e m p l e , à transporter u n e puissance d e 2 4 5 H P sur l'arbre, à 3.000 volts et u n e durée d e f o n c t i o n n e m e n t d e 3.000 heures par a n .

E n p r o c é d a n t e x a c t e m e n t c o m m e il vient d'être dit o n t r o u v e (en s u p p o s a n t , p o u r simplifier, toutes les antres d o n n é e s identiques à celles d u cas précédent) :

Si = 1 0 S j = 3 8 S3 - 3 2

O n p r e n d r a d o n c la section usuelle d e câble i m m é d i a t e m e n t supérieure, o u égale à 3 8 millimètres carrés p a r p h a s e .

III. — Soit, c o m m e dernier e x e m p l e : d a n s u n e distribution 5.500 volts et à u n e distance d e 5.200.mètres, transporter 1.200 H P p e n d a n t 5.000 heures p a r a n et 7 0 0 H P p e n d a n t 3.000 heures.

Seule, la puissance m a x i m a d e 1.200 H P ' i n t e r v i e n t p o u r le calcul d e Sj, et S² qui sont :

S^x = 7 3

S2 = 1 1 2 millimètres carrés Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1923032

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E n s u p p o s a n t encore des d o n n é e s identiques a u x précédentes, c h e r c h o n s à déterminer S³. — P o u r 1.200 H P , I = 1 2 8 , p o u r 7 0 0 H P , I = 7 2 a m p è r e s . D'après la figure 5, n o u s calculons :

3 0 0 0 1 2 8² = 8,5 X 1 0⁷ 5 0 0 0 x 7 22 = 1,6 X 1 07

S o m m é d e H P = 10,1 x 1 0⁷

L e point représentatif correspondant sortirait d e la g r a d u a t i o n V d e g a u c h e ; m a i s n o u s n'avons p a s besoin d e prolonger p o u r cela cette, graduation. E n effet, le point c d e la figure 3 sera le m ê m e si n o u s abaissons le point b et relevons le point a d'une l o n g u e u r correspondante à d e u x fois u n e puissance d e 1 0 p a r e x e m p l e . C e point, p o u r / = 2 0 fr. (au lieu d e 2 0 centimes) et V b = 1,01 X 1 06

(au lieu d e 1 0^s) sera caractérisé p a r 1,2 X 1 0⁶, lue sur l'axe d u milieu, qui d o n n e r a :

S³ = 1 2 3

il faudra d o n c choisir la section usuelle la plus voisine d e 1 2 3 , p o u r v u toutefois qu'elle soit supérieure à 1 1 2 .

R E M A R Q U E S S U R L'EMPLOI D E L ' A B A Q U E

O n voit d o n c q u e , p o u r déterminer S^{l s} il faut connaître : 1° L e r e n d e m e n t des m o t e u r s Y; e n % ;

2° L e facteur d e puissance d e l'installation : cos a> e n % ; 3 ° L a puissance P à recevoir e n K W o u e n H P ;

4 ° L a tension d e la distribution V e n volts ;

P o u r déterminer S², o n doit savoir, e n plus des d o n n é e s pré- cédentes :

5 ° L a l o n g u e u r d u câble à placer L e n m è t r e s ;

6° L a chute d e tension m a x i m u m admissible V e n volts ; P o u r fixer S³, e n plus d e 1°, 2°, 3 ° et 4 ° , o n a besoin d'avoir : 7 ° L e prix d u K w h a u départ d u câble, / e n francs.

8 ° L e prix « p » d'un kilomètre d e câble d e section « s », d e tension d e service V volts, p e x p r i m é e e n franc et s e n milli- m è t r e s d e cuivre.

9 ° L e prix « p' » d'un kilomètre d e m ê m e câble d e section « s' » e n francs et millimètres carrés ;

10° L e t a u x « / » a u q u e l o n estime les frais d'intérêts, entretien et a m o r t i s s e m e n t d u câble à placer, e n % ;

11° L e s différentes puissances « P » à fournir et les durées m o y e n n e s p a r a n « H » d e ces différents régimes, e n K W o u e n H P et e n heures.

L a valeur d e S j est u n e fonction croissante a v e c l'intensité m a x i m u m I admissible d e façon continue, déterminée e x p é r i m e n - t a l e m e n t et indiquée e n millimètres carrés à la h a u t e u r d e l'in- tensité m a x i m u m correspondante ; à g a u c h e d e la graduation I p o u r les valeurs usuelles françaises et les câbles à 20.000 volts, à droite et e n traits pleins p o u r les types n o r m a u x a l l e m a n d s à tension inférieure à 3.000 volts, et e n traits p o n c t u é s p o u r les types a l l e m a n d s d e tension c o m p r i s e entre 3.000 et 10.000 volts.

Il suffira d o n c d e déterminer l'intensité m a x i m a I q u e le. câble devra supporter p e n d a n t u n e h e u r e d e suite p o u r lire sur l'une des graduations u n e valeur égale à S^x o u l é g è r e m e n t supérieure.

O n choisira la graduation d'après la tension d e service.

O n voit d e suite q u e , p o u r u n e intensité d o n n é e , les sections m i n i m a a l l e m a n d e s sont b e a u c o u p plus faibles q u e les françaises.

Cela n o u s paraît m o i n s d û à u n e très g r a n d e différence d e fabri- cation p o u r des tensions plus élevées qu'à ce q u e le r è g l e m e n t du V . D . E . tient c o m p t e d u refroidissement d u câble p a r u n terrain g é n é r a l e m e n t froid et h u m i d e .

U n e graduation supplémentaire d o n n a n t le poids d u cuivre a été m i s e e n h a u t et à droite d e la feuille et p e u t s'utiliser c o m m e l'indique la figure 6.

E n f i n , à la suite d e l'échelle V (tensions et longueurs), o n a signalé p a r les initiales A L , E U , F R et G B les tensions r e c o m m a n - dées c o m m e n o r m a l e s e n A l l e m a g n e , A m é r i q u e d u N o r d , France et Angleterre, e n majuscules o u minuscules suivant q u e ces ten- sions sont plus o u m o i n s usuelles.

A l'heure actuelle, o n n e s e m b l e p a s fabriquer e n très grandes longueurs des câbles triphasés à trois conducteurs d o n t la tension d e service dépasse 40.000 volts. C e p e n d a n t ces tensions a u g m e n - tent à m e s u r e q u e la fabrication se perfectionne. S'il n'était pas téméraire d e la part d'un simple exploitant d'oser des pronostics, l'auteur exprimerait ici la supposition q u ' u n prochain progrès d a n s la technique sera peut-être l'emploi d u verre tissé o u laminé assez m i n c e p o u r avoir u n e souplesse supérieure à celle d u mica.

Q u o i qu'il e n soit, n o u s a v o n s indiqué sur l'échelle m ê m e les tensions les plus élevées (qu'on n'atteindra sans d o u t e jamais industriellement d a n s d e s câbles) parce qu'il est b o n q u ' u n ingé- nieur ait ces valeurs d e v a n t les y e u x et aussi parce, q u e ce m ê m e a b a q u e pourrait, a v e c p e u d'adjonctions, être utilisé p o u r les lignes aériennes.

O n p e u t reprocher à ce m o d e d e détermination u n e précision assez faible d'une m a n i è r e générale, p u i s q u e le calcul d e la chute d e tension p o u r déterminer S2 n e tient c o m p t e q u e d e la résistance o h m i q u e d u câble ; et encore, d a n s le calcul d e S³, l'hypothèse a p p r o x i m a t i v e , q u e , p o u r u n e tension d o n n é e , l'augmentation du prix d u câble est proportionnelle à l'augmentation d e la sec- tion. N o u s estimons c e p e n d a n t q u e les erreurs inséparables de ces simplifications sont e n pratique très inférieures à celles que l'on c o m m e t f o r c é m e n t d a n s les prévisions d e la puissance con- s o m m é e , d u prix d e l'énergie, d e la durée d e l'amortissement d e l'installation, etc.

E T A B L I S S E M E N T D E S F O R M U L E S

1° P o u r S^v o n part d e : P = V I | / 3 cos ? x Y; X — P e x p r i m é e n kilowatts d e puissance m é c a n i q u e , V e n volts a u x b o r n e s d e la m a c h i n e , I e n a m p è r e s , C o s <? et Y; e n % . For- m u l e qui se transforme e n :

log I + log V = log P + log ^ -f- log ~ + log ¹

y G cos Ç> Q

O r , o n voit d a n s la figure 1 :

l 0 = l O g I , V / = l o g V , I I d = l o g P , I V Q = l 0 g - p r q 7 = — 2 1 o g c o s?, Q 6 = 2 log r„ d'où Q 7 = l o g l o g J-

L e s échelles I et V , d'une part, et, d'autre part, l'échelle II sur laquelle est m a r q u é e P et l'échelle I V sont s y m é t r i q u e s p a r rapport à l'axe III. L a condition nécessaire et suffisante p o u r q u e les deux trapèzes I V , c, d, II et V /, g, I aient la s o m m e de. leurs bases égale et q u e les droites c.d et ef c o u p e n t l'axe d e symétrie a u m ê m e point.

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O r , la connaissance d e cos <p d o n n e le point a, celle d e -q d o n n e le point b, ce qui d é t e r m i n e le point c. E n joignant c a u point d, représentatif d e la puissance, o n obtient le point e. L e point / est d o n n é p a r la valeur d e la tension ; et, e n prolongeant / e (on se sert c o m m o d é m e n t d'un fil t e n d u ) , o n obtient le point I d o n n a n t l'intensité. O n trouvera d o n c i m m é d i a t e m e n t u n e valeur a p p r o - c h é e d e Sx e n lisant a u n i v e a u d e I o u u n p e u au-dessus la valeur indiquée p o u r u n e tension voisine d e la tension d o n n é e .

2 ° P o u r S2

Si V est la chute d e tension m a x i m u m q u e l'on p e u t consentir e n ligne o n a, e n n e t e n a n t c o m p t e q u e d e la résistance o h m i q u e :

V ' = 18 V l k i 1 0 0 0

s.,

qui p e u t s'écrire :

log I + log L = l o g V + log 1 0 C 0 18 J/3

log S .

I e n a m p è r e s , L e n m è t r e s , V e n volts, S2 e n millimètres carrés.

O n raisonnerait d e m ê m e q u e p r é c é d e m m e n t e n r e m a r - q u a n t q u e la graduation S„ c o m m e n c e e n u n point U tel q u e

. 1 8 1/3

= l 0^ T u ë ô '

3 ° P o u r S3

L'énergie p e r d u e d a n s u n kilomètre d e câble triphasé parcouru p a r u n courant I est e n K W :

J_ x i><l

p "

1 0 0 0

s

Si le câble fonctionne d u r a n t l'année p e n d a n t u n e certain n o m b r e d'heures H a v e c le c o u r a n t I, p e n d a n t u n certain n o m b r e d'heure H ' a v e c le courant I' e t c . , la valeur m a r c h a n d e d e l'énergie p e r d u e p a r kilomètre sera : / étant le prix d u k w h e n francs :

f X ^ ^ -8 X S H P 1 0 0 0

O r , si / est le t a u x d'intérêt entretien et a m o r t i s s e m e n t d u câble, le prix p d u kilomètre d e câble étant p o u r u n e tension d o n n é e d e la f o r m e p = a + b s, la s o m m e des dépenses annuelles p a r kilomètre d e câble sera :

C'est u n e expression d e la f o r m e y = ~ -f- n x + k; qui est m

m i m m a p o u r — = n d'où la relation

2 < i8 ^ m 2

' 1 0 0 0 X L-a _{3 * *} qui p e u t s'écrire

,P — P

H P — tb = t

3 X 1 8 P-P S - S '

C o m m e p r é c é d e m m e n t , o n voit q u e cette égalité est réalisée sur la figure 3 e n p r e n a n t p o u r la graduation d e S3 u n e échelle d o u b l e d e celle des a x e s I, II et V et e n décalant la graduation d e « s o m m e d e H I2» d'une h a u t e u r correspondante à log -jfi^

Ceci à la seule condition q u e les droites ab, de et l'axe III se c o u p e n t a u m ê m e point c. Alors, p o u r avoir S.,, a v e c a et b ou d é t o r m i n c c, et d et c d é t e r m i n e n t e.

4 ° P r o d u i t a-, y = z (fig. 4 ) . D a n s le trapèze I, x, z, V o n voit q u e :

t

l0

S tirf'

+

§

=

M

III y = - (I X + V Z )

or l'axe III porte u n e graduation à échelle moitié m o i n d r e que celle d e I et d e V . L e s points x, y,z étant e n ligne droite, il suffira d e connaître d e u x d'entre e u x p o u r avoir le troisième et déter- m i n e r ainsi le produit, o u le quotient d e d e u x n o m b r e s .

5 ° Produit H I2 (fig. 5 ) .

O n vérifie i m m é d i a t e m e n t q u e les graduations sont telles que:

log y = log x + 2 log z 6 ° P o i d s d u cuivre (fig. 6 ) .

C e poids étant proportionnel à S3L , il a suffi d e construire au milieu d e ces d e u x graduations u n e graduation à échelle moitié m o i n d r e et à u n e h a u t e u r telle q u e la valeur indiquée soit vérifiée p o u r u n e seule valeur q u e l c o n q u e choisie à l'avance d e la section et d e la longueur.

D ' u n e m a n i è r e générale, n o u s v o y o n s q u e , d a n s les figures 4, 5 et 6, n o u s a v o n s , a u m o y e n d e trois a x e s parallèles équidislanls à graduation logarithmique, m i s e n a b a q u e u n e équation de la f o r m e :

X " Y " Z = K''

A v e c des graduations linéaires, n o u s pourrions résoudre égale- m e n t toute équation d e la f o r m e :

a X + b Y + c Z = K

Dans'les figures 1, 2 et 3, n o u s a v o n s d é t e r m i n é a u m o y e n de quatre a x e s principaux s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t à u n a x e médian u n e variable q u e l c o n q u e e n fonction d e s trois autres dans une expression d e la f o r m e :

X " Y " Ze T " = K''

a v e c d e s graduations logarithmiques. Cette m é t h o d e pourrait d'ailleurs servir, a v e c des graduations linéaires, à résoudre la relation :

a X + f t Y + c Z - f < / T = K

O n pourrait encore généraliser et m o n t r e r q u e ces axes ne sont p a s f o r c é m e n t équidistants, ce q u i permettrait d e modifier les échelles adoptées p o u r les graduations. O r d e telles équations, surtout celles p o u v a n t se m e t t r e sous f o r m e d'un produit d'expo- nentielles, sont e x t r ê m e m e n t fréquentes d a n s la pratique ; leur résolution p a r a b a q u e deviendrait particulièrement rapide et aisée si l'on p o u v a i t se procurer, facilement d a n s le c o m m e r c é des graduations logarithmiques i m p r i m é e s à des échelles, différentes qu'il suffirait d e coller sur le papier.