On ´ecrit des lettres au hasard jusqu’`a ce qu’on ´ecrive le mot M ;X d´esigne le nombre de lettres ´ecrites

EX G114

Consid´erons plus g´en´eralement un alphabet de r lettres et un mot M de longueurp. On ´ecrit des lettres au hasard jusqu’`a ce qu’on ´ecrive le mot M ;X d´esigne le nombre de lettres ´ecrites.

1 ) On suppose dans un premier cas que pour tout 16k < ple mot form´e par leskpremi`eres lettres de M n’est pas le mˆeme que celui form´e par leskderni`eres (PAPE v´erifie cette condition mais pas PAPA).

Soita_n le nombre de mots de longueur nne contenant pas le mot M. Pourn < p on aa_n =rⁿ ; pour n = p, a_p =r^p−1. Pour n > pon a : a_n = ra_n−1−a_n−p car pour obtenir un mot convenable de longueurnon compl`ete un mot de longueurn−1 par l’une desrlettres ; il faut cependant retirer les mots qui se terminent par M et qui sont au nombre dea<sub>n−p</sub>. On peut alors exprimera<sub>n</sub> comme combinaison de suites g´eom´etriques de raisons les racines de l’´equation x<sup>p</sup>−rx<sup>p−1</sup>+ 1 = 0 ; on peut montrer que toutes les racines ont un module inf´erieur `a r ce qui prouve l’existence de l’esp´erance math´ematique de X donn´ee par la formule : E(X) =

∞

X

n=0

nP[X = n] =

∞

X

n=0

P[X > n] =

∞

X

n=0

an

rⁿ. On en d´eduit : E(X) =

p−1

X

n=0

a_n rⁿ+

∞

X

n=p

a_n rⁿ =

p−1

X

n=0

a_n rⁿ+

∞

X

n=p

ra_n−1−a_n−p

rⁿ =E(X) +a_p−1 r^p−1−

∞

X

n=p

a_n−p

rⁿ =E(X) + 1−E(X) r^p . On obtient alors la formule tr`es simple : E(X) =r^p.

Une autre m´ethode fait intervenir les esp´erances conditionnelles. Notons M=A1A2...ApetE(X/A1A2...Ak) l’esp´erance deX sachant que leskpremi`eres lettres ´ecrites sontA1, A2, ..., Ak. Pour simplifier les calculs posonsx0=E(X) etxk=E(X/A1A2...Ak)−k. On a d’abord : E(X) =1

rE(X/A1) +r−1

r (1 +E(X)) car l’esp´erance de X sachant que la lettre A1 n’a pas ´et´e ´ecrite en premier est ´egale `a 1 +E(X).

On d´eduit rx0 = 1 +x1+ (r−1)(1 +x0) soit encore x0 = r+x1. Puis pour 1 6 k 6 p−1 : E(X/A₁A₂...A_k) = 1

rE(X/A₁A₂...A_k+1) +1

r(k+E(X/A₁)) + r−2

r

(k+ 1 +E(X)) d’o`ur(k+x<sub>k</sub>) = k+ 1 +x<sub>k+1</sub>+k+ 1 +x<sub>1</sub>+ (r−2)(k+ 1 +x<sub>0</sub>) soitrx<sub>k</sub> =r+x<sub>k+1</sub>+x<sub>1</sub>+ (r−2)x<sub>0</sub>=x<sub>k+1</sub>+ (r−1)x<sub>0</sub>. On d´eduit alors facilement par r´ecurrence quex<sub>0</sub>=x<sub>k</sub>+r<sup>k</sup> d’o`u puisquex_p= 0 , E(X) =x₀=r^p.

2) Dans un deuxi`eme cas, int´eressons nous au mot PAPA, A et P ´etant deux des lettres de l’alphabet.

Reprenons la premi`ere m´ethode ; si b_n est le nombre de mots de longueurn sans PAPA,b_k =r^k pour k < 4 , b4 = r⁴ −1 et b5 = r⁵−2r. La formule de r´ecurrence est ici beaucoup plus compliqu´ee : on ´ecrit d’abord bn =rb_n−1−b_n−4+b_n−6−b_n−8+... (car il faut retirer les mots de longueur n−1 finissant par PAP) ; pour n > 4 on d´eduit bn = rb_n−1 −b_n−2+rb_n−3−b_n−4 (avec b0 = 1). Le calcul de l’esp´erance donne : E(Y) =

3

X

n=0

bn

rⁿ +

∞

X

n=4

bn

rⁿ =

3

X

n=0

bn

rⁿ +

∞

X

n=4

rb_n−1−b_n−2+rb_n−3−b_n−4

rⁿ =

E(Y) +b3

r³−E(Y)−2

r² +E(Y)−1

r² −E(Y)

r⁴ =E(Y) + 1 + 1

r²−E(Y)

r⁴ . On obtient alors :E(Y) =r⁴+r². La seconde m´ethode est ici plus simple ; en reprenant les notations pr´ec´edantes : x0=r+x1,rx1= r+x1+x2+(r−2)x0=x2+(r−1)x0,rx2=r+x3+(r−1)x0etrx3=r+x1+x4+(r−1)x0= (r−1)x0. On en d´eduit alorsE(Y) =x0=r⁴+r².

Conclusion : E(Y)> E(X). Avecr= 26 le temps moyen d’attente de PAPA (457652) est sup´erieur

`

a celui de PAPE (456976).

3) Le cas g´en´eral est plus difficile. La m´ethode 2 peut se g´en´eraliser en ´ecrivant un programme qui analyse le mot M=A1...Appour rechercher si le d´ebut de M coincide avec la fin. On peut alors conjecturer la formule g´en´erale : E(X) = X

k∈I

r^k avec I ={k ∈ [[1, p]]/A1...Ak =A_p−k+1...Ap}. Ce r´esultat peut

1

se d´emontrer en utilisant la th´eorie des martingales. On imagine un jeu dans lequel un nouveau joueur intervient `a chaque seconde et parie sur la prochaine lettre. Il mise un euro surA1et gagnereuros si cette lettre sort, sinon il perd sa mise et est ´elimin´e. A la seconde suivante (alors qu’un autre joueur arrive), s’il a gagn´e il remise tout ce qu’il a gagn´e sur la lettreA2, gagnantr<sup>2</sup>euros si la lettre sort, perdant sa mise sinon. Il continue ainsi jusqu’`a gagnerr^peuros avec le mot complet M ou jusqu’`a perdre. L’esp´erance de son gain est nulle et le gain total de l’ensemble des joueurs est une martingale dont l’esp´erance est nulle.

En consid´erant les joueurs encore en jeu `a l’instantX on remarque que le gain total est ´egal `aX

k∈I

r^k−X o`u I={k∈[[1, p]]/A<sub>1</sub>...A<sub>k</sub>=A<sub>p−k+1</sub>...A<sub>p</sub>}d’o`u l’on d´eduit le r´esultat annonc´e.

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