Résumé de cours : Calcul Matriciel Première partie

Résumé de cours : Calcul Matriciel Première partie

Cours d’algèbre linéaire Présenté par

Dr B. Chaouchi

email : chaouchicukm@gmail.com à

L’Université d’Alger 1

Faculté des sciences

L1 MATHS INFORMATIQUE Section D

Jours et Horaires de réception Mardi 8h00-9h30

Avril 2016

Les Matrices

1.1 Dé…ntions et notations

Dé…nition 1.1 Une matrice de type (n m) à coe¢ cients dans | est un tableau de n lignes et m colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coe¢ cients). Une matrice à n lignes et m colonnes est dite matrice d’ordre (n;m)ou de dimension n m .

1. L’ensemble des matrices ànlignes etmcolonnes à coe¢ cients dans|se noteMn;m(|): 2. Les coe¢ cients s’écrivent sans séparation verticale ou horizontale contrairement aux tableaux que vous connaissez. La matrice est "encadrée" par des parenthèses (ou des crochets)

3. SiA est une matrice de dimensionn m, on note généralement a_ij;

le coe¢ cient qui se trouve à la i-ème ligne et dans j-ème colonneoù 1 i n et 1 i m:

4. Une matriceA de type (n m)peut s’écrire sous la forme condensée A= (a_ij)

1 i n;1 i m

Exemple 1.1

A = 2 4

1 0 3 4 4 3 4 5 8 7 7 3

3 5

est une matrice de3 lignes et 4 colonnes. DoncA 2M_3;4(R): Exemple 1.2

A = 2 4

1 9 6 3 8 0

3 5

est une matrice de3 lignes et 2 colonnes. DoncA 2M_3;2(R): 2

1.1. DÉFINTIONS ET NOTATIONS 3

Exemple 1.3

A= 2 4

1 6 1+i

3 5

est une matrice de 3 lignes et1 colonne. Donc A2M_3;1(C): Exemple 1.4

A = 1 0 1 i 4 est une matrice de 1 ligne et3 colonnes. Donc A2M_1;3(C):

1.1.1 Cas particuliers :

Matrice nulle : Une matrice A donttous les éléments sont nuls est appeléematrice nulle:

Exemple 1.5

A = 2 66 4

0 0 : 0 0 0 : : : 0

: : : : :

0 0 : : 0 3 77 5

Matrice carrée : Une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes (matricen n) est appeléematrice carrée. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coe¢ cients dans se note M_n;n(|) ou plus simplementM_n(|):

Exemple 1.6

A= 2 4

1 0 3 4 3 4 8 7 7

3 5

Matrice diagonale : c’est une matrice carrée dont les coe¢ cients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Exemple 1.7

A= 2 66 64

1 0 0 0

0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4

3 77 75

Matrice identité d’ordre n : c’est une matrice carrée d’ordren, dontles éléments de la diagonale sont égaux à1 et tous les autres sont égauxà 0. On la noteI_n.

Exemple 1.8

I₄= 2 66 4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

3 77 5

Matrice triangulaire supérieure : une matrice triangulaire supérieure à coe¢ cients dans | est une matrice carrée à coe¢ cients dans | dont les valeurs sous la diagonale principale sont nulles, autrement ditA est triangulaire supérieure si et seulement si :

8 iij:a_ij=0:

Exemple 1.9

A= 2 66 64

1 2 4 4

0 -5 9 7 0 0 7 2 0 0 0 4

3 77 75

Matrice triangulaire inférieure: une matrice triangulaire inférieure à coe¢ cients dans| est une matrice carrée à coe¢ cients dans| dont les valeursau-dessus de la diagonale principale sont nulles, autrement ditA est triangulaire inférieure si et seulement si :

8 ihj:a_ij=0:

Exemple 1.10

A= 2 66 64

1 0 0 0

20 -5 0 0 6 4 7 0 2 7 9 4

3 77 75

1.1.2 Égalité de deux matrices

Soit A et B deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes, c’est à dire la même dimension, on dit que

A=B;

si tous les éléments deA sont égaux aux éléments correspondants deB.

1.2 Opérations élémentaires

1.2.1 Transposée d’une matrice

Pour A= (a_ij)2M_n;m(|): On appelle transposée de A et l’on note B=^tA;

la matrice àm lignes etn colonnes obtenue en échangeant les lignes et les colonnes deA et on a

8(i;j)2 f1; ::;ng f1; ::;mg:b_ij =a_ji

1.2. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES 5

Exemple 1.11

A= 2 4

1 9 6 3 8 0

3

5;^tA= 1 6 8 9 3 0

1.2.2 Addition de matrices

Soit A et B deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes. La somme des matrices A et B est la matrice de même dimension que A et B, dont chaque élément est la somme des éléments correspondants de M et N, autrement dit :

Pour A= (a_ij) et B= (b_ij) 2 M_n;m(|): Alors, la somme S=A+B = (s_ij) est une matrice de M_n;m(|)avec

s_ij=a_ij+b_ij: Exemple 1.12

2 4

1 9 6 3 8 0

3 5+

2 4

3 7 4 1 5 1

3 5=

2 4

1+3 9+7 6+4 3+1 8+5 0+1

3 5=

2 4

4 16 2 2 13 1

3 5

1.2.3 Multiplication par un scalaire

Soit A= (a_ij)2M_n;m(|)une matrice quelconque et un scalaire. Le produit de A par est la matrice de même dimension que A et dont chaque élément est le produit de par l’élément correspondant de A, autrement dit, pour A= (a_ij)2M_n;m(|): Alors, le produit

A est une matrice de M_n;m(|) avec

A= ( aij): Exemple 1.13

p5 2 4

1 9 6 3 8 0

3 5=

2 4

1p

5 9p 5 6p

5 3p 5 8p

5 0

3 5:

En prenant = 1, on peut dé…nir la matrice opposée d’une matriceA. C’est la matrice ( 1) A:

qu’on note aussi A. De même, on dé…nitla soustraction de deux matrices A et B : A B=A+ ( 1) B:

Propriétés

Soit A;B et C, trois matrices ayant la même dimension, et deux scalaires. On admettra les propriétés suivantes :

1. A+B=B+A qui caractérise la commutativité de l’addition matricielle

2. (A+B) +C=A+ (B+C) qui caractérise l’associativité de l’addition matri- cielle

3. (A+B) = A+ B 4. ( + )A = A+ A 5. ( : ):A = :( :A)

1.2.4 Produit de matrices

Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne Soit A = (a_ij)2M_1;n(|)et B= (b_ij)2M_n;1(|)

On appelle produit de la matrice ligne A par la matrice colonneB la matrice C= (c_ij)2M_1;1(|)

avec

c₁₁= Xn k=1

a_1kb_k1

Exemple 1.14

A = 2 3 4 5 B= 0 BB

@ p2 p3 p4 p5

1 CC

A=C = 2p

2 + 3p

3 + 4p

4 + 5p 5

Produit matriciel

A = (a_ij)2M_n;p(|)etB = (b_ij)2M_p;m(|) On peut e¤ectuer le produit d’une matrice à n lignes et p colonnes par une matrice à p lignes et m colonnes. On appelle la matrice produit, la matrice

C=A B

de dimension n m obtenue en multipliant chaque ligne de A par chaque colonne de B. Plus précisément,

C= (c_ij) avec

c_ij= Xn k=1

a_ikb_kj:

On remarque la condition de compatibilité sur les tailles des matrices, c’est-à-dire l’égalité entre le nombre de colonnes de la première matrice A avec le nombre de lignes de la deuxième matrice B.

Exemple 1.15

1.2. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES 7

Soit la matrice

A= 2 4 6

1 8 4 2M_2;3(R) et la matrice

B = 2 4

p3 p5 p7

3

52M_3;1(R)

Le produit AB est la matrice

C=A B2M_2;1(R) et on a

C = 2 4 6 1 8 4

2 4

p3 p5 p7

3 5

= 2 p

3 +4 p

5 +6 p 7 1 p

3 +8 p

5 +4 p 7 Exemple 1.16

Soit la matrice

A= 3 2 4

1 4 7 2M_2;3(R) et la matrice

B= 2 4

2 3 9

3

52M_3;1(R)

Le produit A B est la matrice

C=AB2M_2;1(R) et on a

C= 3 2 4 1 4 7

2 4

2 3 9

3

5= 24 73

Exemple 1.17 Soit la matrice

A = 2 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

52M_3;3(R)

et la matrice

B= 2 4

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

3

52M_3;4(R)

Le produit A B est la matrice

C=AB2M_3;4(R) et on a

C=

2 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 5

2 4

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

3 5=

2 4

40 34 28 22 112 97 82 67 184 160 136 112

3 5

– La matrice identité joue pour le produit matriciel une rôle similaire au nombre1 pour le produit des nombres réels, en supposant que les dimensions permettent le produit, on a

A I_n=I_n A=A:

– Le produit matriciel n’est pas commutatif Propriétés

On admettra les propriétés suivantes :

Soit A;B et C, trois matrices réelles ; si les opérations indiquées existent, alors on ad- mettra

1. A (B+C) = (A B) + (A C) 2. (A+B) C=A C+B C 3. A (B C) = (A B) C

Dé…nition1.2

Soit A une matrice carrée d’ordre n. Soit p un entier naturel non nul. On note A^p, la matrice dé…nie par

A^p = A A A ::::A

| {z }

p fois

Attention ! ! ! Le calcul de A², par exemple, ne consiste pas à élever les éléments de A au carré !

Matrices inversibles Dé…nition1.3

Soit A une matrice carrée d’ordre n. On dit que la matrice A est inversible s’il existe une matrice carréeB d’ordre n telle que :

A B =I_n B est appelée l’inverse de la matrice A et se note A ¹:

Chapitre 2

Détereminant d’une matrice

A toute matrice carréeA d’ordren correspond une valeur appelée le déterminant de A que l’on dénote det(A)ou encore jAj. Nous éviterons la dé…nition formelle du déterminant (qui implique des notions de permutations) mais allons plutôt nous concentrer sur le calcul celui-ci.

2.1 Déterminant d’une matrice 2 2

Considérons la matriceA de dimension 2 2 A= a₁₁ a₁₂

a21 a22

Le déterminant de la matrice A est dé…nie par la relation det(A) := a11 a12

a₂₁ a₂₂ :=a11a22 a21a12: Exemple 2.1

Soit la matrice

A= 2 3 5 4 Le déterminant de la matrice A est

det(A) := 2 3

5 4 :=2 4 3 5= 7:

Avant de ne pouvoir évaluer le déterminant d’une matrice 3 3 (ou toute autre matrice de dimension supérieure), il nous faut d’abord voir quelques concepts qui s’y rattachent

2.2 Dé…nition d’un mineur

A titre d’exemple, on considère une matrice carrée A de dimension3 3 A =

2 4

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33

3 5

9

Le mineur M₁₂ est le déterminant de la matrice obtenue en éliminant la 1-ère ligne et la 2-ème colonne, c’est-à-dire

12= a₂₁ a₂₃ a₃₁ a₃₃

Le mineur M₂₂ est le déterminant de la matrice A obtenue en éliminant la 2-ème ligne et la 2-ème colonne, c’est-à-dire

12= a11 a13

a₃₁ a₃₃

De même pour une matrice carrée de dimensionn n, le mineurM_ijest le déterminant de la matrice obtenue en éliminant la i-ème ligne et la j-ème colonne.

2.2.1 Dé…nition d’un cofacteur

Le cofacteur,

C_ij d’une matrice A est dé…ni par la relation

C_ij = ( 1)^i+j _ij: Exemple 2.2

Considérons la matrice

A= 2

4 2 1 4 5 2 3 8 7 3

3 5

ainsi

C₁₂= ( 1)¹⁺² ₁₂ avec

12= 5 3

8 3 = 9 C₂₂= ( 1)²⁺² ₂₂ avec

22= 2 4

8 3 = 26

2.2.2 Déterminant d’une matrice carrée

Soit A = (a_ij) 2 Mn;n(|) une matrice carrée. Le déterminant de A est donné par la méthode des cofacteurs

det(A) : = Xn

j=1

a_ijC_ij

: = Xn

j=1

a_ij( 1)^i+j _ij:

2.2. DÉFINITION D’UN MINEUR 11

Exemple 2.3

A= 2

4 2 1 4 5 2 3 8 7 3

3 5

alors

jAj = 2 ( 1)¹⁺¹ ₁₁+1 ( 1)¹⁺² ₁₂+4 ( 1)¹⁺³ ₁₃

= 2 ( 1)¹⁺¹ 2 3

7 3 +1 ( 1)¹⁺² 5 3

8 3 +4 ( 1)¹⁺³ 5 2 8 7

= 55 Exemple 2.4

B= 2 66 4

1 2 3 4

8 7 6 5

9 10 11 12 16 15 14 13

3 77 5

jBj

= 1 ( 1)¹⁺¹ ₁₁+2 ( 1)¹⁺² ₁₂+3 ( 1)¹⁺³ ₁₃+ 4 ( 1)¹⁺⁴ ₁₄

= 1 ( 1)¹⁺¹

7 6 5 10 11 12 15 14 13

+2 ( 1)¹⁺²

8 6 5 9 11 12 16 14 13 +3 ( 1)¹⁺³

8 7 5 9 10 12 16 15 13

+4 ( 1)¹⁺⁴

8 7 6 9 10 11 16 15 14

= 0

Donnons maintenant quelques propriétés importantes du déterminant : comment se com- porte le déterminant face aux opérations élémentaires sur les colonnes et lignes ?

Soit A= (a_ij)2M_n;n(|)une matrice carrée.

1. Les déterminants deA et de ^tAsont égaux :

det(A) =det(^tA):

2. Si A a une ligne (colonne) formée de zéros, alors det(A) = 0:

3. SiA a deux lignes (colonnes) identiques, alors det(A) = 0:

4. SiAest triangulaire, alorsdet(A)est produit des éléments diagonaux. En particulier, det(I) = 1:

Soit A= (a_ij) 2 M_n;n(|)une matrice carrée. Soit B la matrice obtenue à partir de la matriceA :

1. par multiplication d’une ligne (colonne) deA par un scalaire k; alors det(B) = kdet(A)

1. en échangeant deux lignes (colonnes) deA; alors det(B) = det(A):

2. en additionnant un multiple d’une ligne (colonne) de A à une autre ligne (colonne), alors,

det(B) = det(A):

Chapitre 3 Applications

3.1 Inverse d’une matrice

On appelle inverse de la matrice carréeA2M_n(|) toute matriceB2M_n(|) telle que AB=BA=I_n

La matrice B est alors notée A ¹: Propriétés :

1. Il su¢ t qu’une matriceB véri…e l’une des relations AB=I_n etBA=I_n pour qu’elle véri…e l’autre.

2. Si deux matricesA etB sont inversibles, leur produit est inversible et on a (AB) ¹=B ¹A ¹:

3. L’inverse de la transposée d’une matrice A est égale à la transposé de l’inverse 4. Déterminant de l’inverse d’une matrice

A ¹ = 1 jAj Dé…ntion 3.1

SoitA2M_n(|)une matrice carrée ànlignes etncolonnes. On appelle lacomatricede A;la matrice des cofacteursde la matrice A (dans laquelle on remplace chaque élément de A par son cofacteur). On la notecom(A):

Dé…nition 3.2

La matrice adjointeest la matrice transposée de com(A) . Elle a aussi n lignes et n colonnes. On la note A:e

Exemple 3.1

A= 2 4

1 3 7 2 4 8 5 0 6

3 5

13

com(A) = 2 66 66 66 4

( 1)¹⁺¹ 4 8

0 6 ( 1)¹⁺² 2 8

5 6 ( 1)¹⁺³ 2 4 5 0 ( 1)²⁺¹ 3 7

0 6 ( 1)²⁺² 1 7

5 6 ( 1)²⁺³ 1 3 5 0 ( 1)³⁺¹ 3 7

4 8 ( 1)³⁺² 1 7

2 8 ( 1)³⁺³ 1 3 2 4

3 77 77 77 5

ainsi

com(A) = 2 4

24 28 20 18 29 15

4 6 2

3 5

Dans la suite, on suppose que A est inversible i.e det(A)6=0

Dé…nition 3.3

Soit A 2M_n(|) une matrice inversible. Alors A ¹ = 1

jAj

t

com(A)

= 1

jAjA:e

3.2 Applications aux systèmes linéaires

En algèbre linéaire, un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple :

8<

:

x+2y+z =5 x+y+4z =0 3x+3y+z = 1

Le problème est de trouver les valeurs des inconnues x;2y et z qui satisfassent les trois équations simultanément.

En général, un système de n équations linéaires à p inconnues peut être écrit sous la forme suivante

(S) : 8>

>>

><

>>

>>

:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ +a₁₃x₃ ::::::::::::+a_1px_p =b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂ +a₂₃x₃ ::::::::::::+a_2px_p =b₂ a₃₁x₁+ a₃₂x₂ +a₃₃x₃ ::::::::::::+a_3px_p =b₃ a_n1x₁+ a_n2x₂ +a_n3x₃ ::::::::::::+a_npx_p =b_n;

où x₁, ..., x_p sont les inconnues et les nombresa_ij sont les coe¢ cients du système.

Le système d’équations linéaires (S)peut aussi s’écrire sous la forme matricielle : A X=B

3.2. APPLICATIONS AUX SYSTÈMES LINÉAIRES 15

avec :

A = 2 66 66 4

a₁₁ a₁₂ a₁₃ ::::::::::::a_1p a21 a22 a23 ::::::::::::a2p

a₃₁ a₃₂ a₃₃ ::::::::::::a_3p an1 an2 an3 ::::::::::::anp

3 77 77 5

;X= x₁ x2

x₃ xp

et B= b₁ b2

b₃ bn

L’élémentB est appelésecond membre du système (S) La matrice A est appelé matrice du système(S):

Le vecteur X est appelé solution solution du système (S):

Les systèmes linéaires rencontrés en Sciences Physiques étant pour la plupart de Cramer, c’est-à-dire un système qui véri…e les deux conditions suivantes :

1. le système(S) est carré, c’est à dire qu’il y autant d’équations que d’inconnues, c’est à dire n=p,

2. il admet une solution unique.

Nous présentons deux méthodes de résolution pour ces systèmes.

3.2.1 1

méthode : Inversion matricielle

Si la matrice carrée A admet une matrice inverseA ¹. Le système(S) sous la forme matricielle

A X=B

peut être pré-multiplié par A ¹ a…n d’obtenir la solution : A ¹ A X=A ¹ B ce qui implique que

X=A ¹ B Exemple 3.2

Résolution du système :

(S) : 8<

:

x+3y+4z =50 3x+5y 4z =2 4x+7y 2z =31 La matrice du système étant

A= 2 4

1 3 4 3 5 4 4 7 2

3 5:

Calculons A ¹ par la formule

A ¹ = 1 jAj

t

com(A): Sachant que

jAj= 8;

et

com(A) = 2 4

18 10 1 34 18 5 32 16 4

3 5:

Donc

A ¹ = 1 jAj

t

com(A) = 1 8

2 4

18 34 32 10 18 16

1 5 4

3 5: Il vient alors que

X = 2 4

x y z

3

5=A ¹ B

= 1 8

2 4

18 34 32 10 18 16

1 5 4

3 5

2 4

50 2 31

3 5

= 2 4

3 5 8

3 5

3.2.2 2

Méthode : méthode de Cramer

.

Le théorème a¢ rme alors que le système admet une unique solution si et seulement si sa matriceA est inversible (déterminant non nul), et cette solution est alors donnée par :

x_k = det (A_k) det (A) ;

où A_k est la matrice carrée formée en remplaçant la k-ième colonne de A par le vecteur colonneB:

Exemple 3.3

Système d’ordre 3

(S) : 8<

:

a₁x+b₁y+c₁z =d₁ a₂x+b₂y+c₂z =d₂ a₃x+b₃y+c₃z =d₃ Posons :

A = 2 4

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

3 5;X=

x y z

etB= d₁ d₂ d₃ Le système (S)admet une solution unique si et seulement si

det (A)6=0

3.2. APPLICATIONS AUX SYSTÈMES LINÉAIRES 17

et on a

x= det (A₁) det (A) =

d₁ b₁ c₁ d2 b2 c2

d₃ b₃ c₃ a₁ b₁ c₁ a2 b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

y= det (A₂) det (A) =

a₁ d₁ c₁ a₂ d₂ c₂ a3 d3 c3

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a3 b3 c3

x= det (A₁) det (A) =

a₁ b₁ d₁ a₂ b₂ d₂ a₃ b₃ d₃ a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃